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2023-2024学年河南省信阳市固始县桃花坞中学及分校八年级（上）开学数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年河南省信阳市固始县桃花坞中学及分校八年级（上）开学数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年河南省信阳市固始县桃花坞中学及分校八年级第一学期开学数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．已知三角形的两边长分别为4和9，则此三角形的第三边长可能为（ ）
A．9 B．4 C．5 D．13
2．将一个n边形变成（n+2）边形，内角和将（ ）
A．减少180° B．增加180° C．减少360° D．增加360°
3．要使五边形木架（用五根木条钉成）不变形，至少要再钉上（ ）根木条．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若△ABC的面积为18，则△ABE的面积为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．9
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．五边形的内角和是720°
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．三角形的外角大于任意一个内角
D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点
6．三角形的三个内角的度数之比为2：3：7，则这个三角形最大内角一定是（ ）
A．75° B．90° C．105° D．120°
7．一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的边数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
8．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角之间的关系是（ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．无法确定
9．一副直角三角板，按如图所示的方式叠放在一起，其中∠B＝45°，∠D＝60°，若EF∥AB，则∠BGF＝（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
10．如图，在竖直墙角AOB中，可伸长的绳子CD的端点C固定在OA上，另一端点D在OB上滑动，在保持绳子拉直的情况下，∠BOE＝30°，∠BDC的平分线DF与OE交于点E，∠DCO＝α，当CE⊥DE时，则2∠OEC+α＝（ ）
A．120° B．135° C．150° D．152°
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．已知△ABC的三边长a、b、c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是 ．
12．等腰三角形的周长为20cm，一边长为6cm，则底边长为 cm．
13．用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝ 度．
14．如图，AD，CE都是△ABC的角平分线，且交于点O，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°，则∠ABO的度数为 ．
15．如图，在△ABC中，∠A＝80°，延长BC到点D，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2＝ ，…，则依此规律得∠An，则∠An＝ ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．如图，点D是△ABC的边BC上的一点，∠B＝∠1，∠ADC＝70°，∠C＝70°
（1）求∠B的度数；
（2）求∠BAC的度数．
17．已知一个多边形的内角和与外角和的差为1080°，
（1）求这个多边形的边数；
（2）求此多边形的对角线条数．
18．在△ABC中，∠ADB＝100°，∠C＝80°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，求∠BED的度数．
19．已知：如图，△ABC的两个外角的平分线交于点P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度数．
20．如图，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E为边AD（不与点A，D重合）上一动点，EF⊥BC于点F．
（1）若∠B＝40°，∠DEF＝20°，求∠C的度数；
（2）求证：∠C﹣∠B＝2∠DEF．
21．将一副三角尺叠放在一起：
（1）如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE的度数；
（2）如图②，若∠ACE＝2∠BCD，请求出∠ACD的度数．
22．【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图1，在△ABC和△A′B′C′中，AD，A′D′分别是BC和B′C′边上的高线，且AD＝A′D′，则△ABC和△A′B′C′是等高三角形．
【性质探究】
如图1，用S△ABC，S△A′B′C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积．
则，．
∵AD＝A′D′，
∴S△ABC：S△A′B′C′＝BC：B′C′．
【性质应用】
（1）如图2，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝ ．
（2）如图3，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝ ，S△CDE＝ ．
【提示】∵△BEC和△ABC是等高三角形，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2．∴．∵△CDE和△BEC是等高三角形，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3．∴．
（3）如图3，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点，若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝ ．
【提示】∵△BEC和△ABC是等高三角形，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m．∴．∵△CDE和△BEC是等高三角形，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n．∴．
23．（1）问题发现：由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”联想到四边形的外角．
如图①，∠1，∠2是四边形ABCD的两个外角．
∵四边形ABCD的内角和是360°，
∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，
又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，
由此可得∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系是 ；
（2）知识应用：如图②，已知四边形ABCD，AE，DE分别是其外角∠NAD和∠MDA的平分线，若∠B+∠C＝230°，求∠E的度数；
（3）拓展提升：如图③，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠CDN和∠CBM是它的两个外角，且∠CDP＝∠CDN，∠CBP＝∠CBM，求∠P的度数．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．已知三角形的两边长分别为4和9，则此三角形的第三边长可能为（ ）
A．9 B．4 C．5 D．13
【分析】设第三边为x，根据三角形三边关系定理得出9﹣4＜x＜9+4，再逐个判断即可．
解：设第三边为x，
则9﹣4＜x＜9+4，
5＜x＜13，
符合的数只有9，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形三边关系定理，能熟记三角形的三边关系定理的内容是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
2．将一个n边形变成（n+2）边形，内角和将（ ）
A．减少180° B．增加180° C．减少360° D．增加360°
【分析】利用多边形的内角和公式即可求出答案．
解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°，
n+2边形的内角和是n•180°，
因而（n+2）边形的内角和比n边形的内角和大n•180°﹣（n﹣2）•180＝360°．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式，熟记内角和公式是解题的关键．
3．要使五边形木架（用五根木条钉成）不变形，至少要再钉上（ ）根木条．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据三角形的稳定性，添加的木条把五边形分成三角形即可．
解：如图，至少需要2根木条．
故选：B．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
4．已知AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若△ABC的面积为18，则△ABE的面积为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．9
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
解：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ABC＝×18＝9，
∵BE是△ABD的中线，
∴S△ABE＝S△ABD＝×9＝4.5．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键．
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．五边形的内角和是720°
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．三角形的外角大于任意一个内角
D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点
【分析】根据多边形的内角和公式可知，五边形的内角和为540°；根据三角形三边的关系可知，任意两边之和大于第三边；三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角；三角形的重心是三角形三条中线的交点．
解：根据多边形的内角和公式可知，五边形的内角和为540°，故A是假命题；
根据三角形三边的关系可知，三角形的任意两边之和大于第三边，故B是真命题；
三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角，故C是假命题；
三角形的重心是三角形三条中线的交点，故D是假命题．
故选：B．
【点评】本题考查命题与定理及三角形的相关性质和结论，熟知三角形的相关性质和结论是解题的关键．
6．三角形的三个内角的度数之比为2：3：7，则这个三角形最大内角一定是（ ）
A．75° B．90° C．105° D．120°
【分析】由一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，利用三角形的内角和定理，可求得这个三角形的最大角的度数，继而求得答案．
解：∵一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，
∴这个三角形的最大角为：180°×＝105°．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的内角和定理．此题依据三角形内角和定理求得三角形的最大角是关键．
7．一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的边数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）180°，根据多边形的内角和为1800°，就得到一个关于n的方程，从而求出边数．
解：根据题意得：
（n﹣2）180＝1800，
解得：n＝12．
故选：D．
【点评】本题根据多边形的内角和定理，把求边数问题转化成为一个方程问题．
8．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角之间的关系是（ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．无法确定
【分析】此题可以通过两个图形得出这两个角的关系相等或互补．
解：如图：
图1中，根据垂直的量相等的角都等于90°，对顶角相等，所以∠1＝∠2，
图2中，同样根据垂直的量相等的角都等于90°，根据四边形的内角和等于360°，所以∠1+∠2＝360°﹣90°﹣90°＝180°．
所以如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的关系是相等或互补，
故选：C．
【点评】本题考查了垂线的定义．解题的关键是明确四边形的内角和等于360°，三角形的内角和等于180°，对顶角相等的性质．
9．一副直角三角板，按如图所示的方式叠放在一起，其中∠B＝45°，∠D＝60°，若EF∥AB，则∠BGF＝（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【分析】根据平行线的性质得到∠BMF＝∠F＝30°，再根据三角形外角的性质即可得解．
解：∵∠D＝60°，
∴∠F＝90°﹣60°＝30°，
∵EF∥AB，
∴∠BMF＝∠F＝30°，
∴∠BGF＝∠B+∠BMF＝30°+45°＝75°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，正确得出∠BMF的度数是解答本题的关键．
10．如图，在竖直墙角AOB中，可伸长的绳子CD的端点C固定在OA上，另一端点D在OB上滑动，在保持绳子拉直的情况下，∠BOE＝30°，∠BDC的平分线DF与OE交于点E，∠DCO＝α，当CE⊥DE时，则2∠OEC+α＝（ ）
A．120° B．135° C．150° D．152°
【分析】由题意可得∠CDO＝90°﹣α，则有∠BDC＝180°﹣∠CDO＝90°+α，由角平分线可得∠BDE＝∠CDE＝45°+0.5α，由三角形的外角性质可得∠DEO＝45°+0.5α﹣30°，再由CE⊥DE，则有∠OEC＝90°﹣∠DEO＝75°﹣0.5α，代入所求运算即可．
解：由题意得：∠CDO＝90°﹣α，
∴∠BDC＝180°﹣∠CDO＝90°+α，
∵∠BDC的平分线DF与OE交于点E，
∴∠BDE＝∠CDE＝∠BDC＝45°+0.5α，
∵∠BDE是△DEO的一个外角，
∴∠DEO＝∠BDE﹣∠DOE
＝45°+0.5α﹣30°
＝15°+0.5α，
∵CE⊥DE，
∴∠OEC＝90°﹣∠DEO
＝75°﹣0.5α，
∴2∠OEC+α
＝2×（75°﹣0.5α）+α
＝150°﹣α+α
＝150°．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．已知△ABC的三边长a、b、c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是 2b﹣2c ．
【分析】先根据三角形三边关系判断出a+b﹣c与b﹣a﹣c的符号，再把要求的式子进行化简，即可得出答案．
解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，
∴a+b＞c，b﹣a＜c，
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，
∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|＝a+b﹣c﹣（﹣b+a+c）＝a+b﹣c+b﹣a﹣c＝2b﹣2c；
故答案为：2b﹣2c
【点评】此题考查了三角形三边关系，用到的知识点是三角形的三边关系、绝对值、整式的加减，关键是根据三角形的三边关系判断出a+b﹣c与，b﹣a﹣c的符号．
12．等腰三角形的周长为20cm，一边长为6cm，则底边长为 6或8 cm．
【分析】分6cm是底边与腰长两种情况讨论求解．
解：①6cm是底边时，腰长＝（20﹣6）＝7cm，
此时三角形的三边分别为7cm、7cm、6cm，
能组成三角形，
②6cm是腰长时，底边＝20﹣6×2＝8cm，
此时三角形的三边分别为6cm、6cm、8cm，
能组成三角形，
综上所述，底边长为6或8cm．
故答案为：6或8．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．
13．用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝ 36 度．
【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．
解：∵∠ABC＝＝108°，△ABC是等腰三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝36度．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质．
n边形的内角和为：180°（n﹣2）．
14．如图，AD，CE都是△ABC的角平分线，且交于点O，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°，则∠ABO的度数为 25° ．
【分析】根据角平分线的定义可得出∠BAC＝60°、∠ACB＝70°，结合三角形内角和可得出∠ABC＝50°，由三角形的三条角平分线交于一点，可得出BO平分∠ABC，进而可得出∠ABO的度数，此题得解．
解：∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°，
∴∠BAC＝2∠DAC＝60°，∠ACB＝2∠ECA＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝50°．
∵△ABC的三条角平分线交于一点，
∴BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠ABC＝25°．
故答案为：25°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线以及三角形的内心，利用角平分线的定义结合三角形内角和定理找出∠ABO的度数是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，∠A＝80°，延长BC到点D，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2＝ 20° ，…，则依此规律得∠An，则∠An＝ ．
【分析】由∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，而A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，于是有∠A＝2∠A1，同理可得∠A1＝2∠A2，即∠A＝22∠A2，因此找出规律．
解：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，
而∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠A1＝80°，
∴∠A1＝40°，
同理可得∠A1＝2∠A2，
即∠A＝22∠A2＝80°，
∴∠A2＝20°，
∴∠A＝2n∠An，
∴∠An＝80°×（）n．
故答案为：20°，．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的外角性质以及角平分线性质，难度适中．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．如图，点D是△ABC的边BC上的一点，∠B＝∠1，∠ADC＝70°，∠C＝70°
（1）求∠B的度数；
（2）求∠BAC的度数．
【分析】（1）根据三角形的外角性质计算；
（2）根据三角形内角和定理计算．
解：（1）∵∠ADC＝∠1+∠B，∠B＝∠1，
∴∠B＝∠ADC＝×70°＝35°；
（2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣35°﹣70°＝75°．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
17．已知一个多边形的内角和与外角和的差为1080°，
（1）求这个多边形的边数；
（2）求此多边形的对角线条数．
【分析】（1）根据多边形的内角和、外角和公式列出方程，解方程即可；
（2）根据多边形的对角线的条数的计算公式计算即可．
解：（1）设这个多边形的边数为n，
由题意得，（n﹣2）×180°﹣360°＝1080°，
解得，n＝10，
答：这个多边形的边数为10；
（2）此多边形的对角线条数＝×10×（10﹣3）＝35．
【点评】本题考查的是多边形的内角与外角、多边形的对角线的条数，掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°、多边形的外角和等于360度是解题的关键．
18．在△ABC中，∠ADB＝100°，∠C＝80°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，求∠BED的度数．
【分析】根据外角的性质，求得∠CAD＝20°，根据角平分线的定义可得∠BAD＝20°，根据三角形的内角和求得∠DBA＝60°，角平分线的性质可得∠DBE＝30°，根据三角形内角和即可求解．
解：∵∠ABD＝∠C+∠CAD＝100°，∠C＝80°，
∴∠CAD＝20°，
∵AD平分∠BACM
∴∠BAD＝∠CAD＝20°，
由三角形的内角和性质可得，
∠ABC＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝60°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝，
由三角形的内角和性质可得，∠BED＝180°﹣∠ADB﹣∠EBD＝50°．
【点评】此题考查了三角形内角和的性质、外角的性质以及角平分线的定义，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解．
19．已知：如图，△ABC的两个外角的平分线交于点P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度数．
【分析】根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝140°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
解：∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠EBC+∠FCB＝360°﹣140°＝220°，
∵BP、CP是△ABC的外角平分线，
∴∠PBC＝∠EBC，∠PCB＝∠FCB，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠EBC+∠FCB）＝110°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝70°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E为边AD（不与点A，D重合）上一动点，EF⊥BC于点F．
（1）若∠B＝40°，∠DEF＝20°，求∠C的度数；
（2）求证：∠C﹣∠B＝2∠DEF．
【分析】（1）先求出∠EDF的度数和∠BAD的度数，进而求出∠BAC的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠C的度数；
（2）由（1）知∠EDF＝90°﹣∠DEF＝∠B+∠BAD，从而∠DEF＝90°﹣∠B﹣∠BAD，再利用等量代换可证明出结论．
【解答】（1）解：∵EF⊥BC，
∴∠EFD＝90°．
∵∠DEF＝20°，
∴∠EDF＝90°﹣∠DEF＝70°．
∵∠EDF＝∠B+∠BAD，
∴∠BAD＝∠EDF﹣∠B＝70°﹣40°＝30°．
∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝60°．
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°；
（2）证明：由（1），可知∠EDF＝90°﹣∠DEF＝∠B+∠BAD，
∴．
∴∠C﹣∠B＝2∠DEF．
【点评】本题考查三角形内角和定理及其推论，熟练运用三角形内角和定理及其推论是解题的关键．
21．将一副三角尺叠放在一起：
（1）如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE的度数；
（2）如图②，若∠ACE＝2∠BCD，请求出∠ACD的度数．
【分析】（1）根据∠BAC＝90°列出关于∠1、∠2的方程求解即可得到∠2的度数，再根据同角的余角相等求出∠CAE＝∠2，从而得解；
（2）根据∠ACB和∠DCE的度数列出等式求出∠ACE﹣∠BCD＝30°，再结合已知条件求出∠BCD，然后根据∠ACD＝∠ACB+∠BCD代入数据计算即可得解．
解：（1）∵∠BAC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝4∠2，
∴4∠2+∠2＝90°，
∴∠2＝18°，
又∵∠DAE＝90°，
∴∠1+∠CAE＝∠2+∠1＝90°，
∴∠CAE＝∠2＝18°；
（2）∵∠ACE+∠BCE＝90°，
∠BCD+∠BCE＝60°，
∴∠ACE﹣∠BCD＝30°，
又∠ACE＝2∠BCD，
∴2∠BCD﹣∠BCD＝30°，
∠BCD＝30°，
∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+30°＝120°．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
22．【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图1，在△ABC和△A′B′C′中，AD，A′D′分别是BC和B′C′边上的高线，且AD＝A′D′，则△ABC和△A′B′C′是等高三角形．
【性质探究】
如图1，用S△ABC，S△A′B′C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积．
则，．
∵AD＝A′D′，
∴S△ABC：S△A′B′C′＝BC：B′C′．
【性质应用】
（1）如图2，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝ 3：4 ．
（2）如图3，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝ ，S△CDE＝ ．
【提示】∵△BEC和△ABC是等高三角形，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2．∴．∵△CDE和△BEC是等高三角形，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3．∴．
（3）如图3，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点，若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝ ．
【提示】∵△BEC和△ABC是等高三角形，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m．∴．∵△CDE和△BEC是等高三角形，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n．∴．
【分析】（1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案；
（2）同（1）的方法即可求出答案；
（3）同（1）的方法即可求出答案．
解：（1）∵BD＝3，DC＝4，
∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4，
故答案为：3：4；
（2）∵BE：AB＝1：2，
∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2，
∵S△ABC＝1，
∴S△BEC＝；
∵CD：BC＝1：3，
∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3，
∴S△CDE＝S△BEC＝×＝；
故答案为：，；
（3）∵BE：AB＝1：m，
∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m，
∵S△ABC＝a，
∴S△BEC＝S△ABC＝；
∵CD：BC＝1：n，
∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n，
∴S△CDE＝S△BEC＝•＝，
故答案为：．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的面积公式，理解等高的两三角形的面积比等于底的比是解本题的关键．
23．（1）问题发现：由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”联想到四边形的外角．
如图①，∠1，∠2是四边形ABCD的两个外角．
∵四边形ABCD的内角和是360°，
∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，
又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，
由此可得∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系是 ∠1+∠2＝∠A+∠D ；
（2）知识应用：如图②，已知四边形ABCD，AE，DE分别是其外角∠NAD和∠MDA的平分线，若∠B+∠C＝230°，求∠E的度数；
（3）拓展提升：如图③，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠CDN和∠CBM是它的两个外角，且∠CDP＝∠CDN，∠CBP＝∠CBM，求∠P的度数．
【分析】（1）根据两个等式，可以得出∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系．
（2）根据第（1）问结论，先确定∠MDA与∠DAN的和，再根据角平分线的性质，可以确定∠EDA与∠DAE的和．这样就可以确定∠E的度数．
（3）先确定∠CDN与∠CBM之和，再确定∠CDP与∠CBP之和，进而确定∠ADC与∠ABP之和，再根根四边形内角和，就可以确定∠P的度数．
解：（1）∵四边形ABCD的内角和是360°，
∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，
又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，
∴∠1+∠2＝∠A+∠D．
故答案为：∠1+∠2＝∠A+∠D．
（2）根据第（1）问的结论，可知：
∠MDA+∠DAN＝∠B+∠C＝230°
∵AE，DE分别是∠NAD和∠MDA的平分线，
∴2∠EDA+2∠DAE＝230°，
∴∠EDA+∠DAE＝115°．
∴∠E＝180﹣（∠EDA+∠DAE）＝65°．
（3）根据第（1）问的结论，可得：∠CDN+∠CBM＝∠ABC+∠ADC，
∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠CDN+∠CBM＝360°﹣（∠A﹣∠C）＝180°．
∵∠CDP＝∠CDN，∠CBP＝∠CBM，
∴∠CDP+∠CBP＝（∠CDN+∠CBM）＝45°，
∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠CDN+∠CBM+∠CDN+∠CBM＝180°+45°＝225°，
即∠ADP+∠ABP＝225°，
∵∠A＝90°，
∴∠P＝360°﹣（∠ADP+∠ABP）﹣∠A＝45°．
【点评】本题是一道阅读题，主要考查四边形的两个外角和的性质，先读清题目所给材料是关键，然后在此基础上进行拓展和延伸．属于考查能力的题型，新的中考改革比较侧重考查学生对数学知识的活学活用的能力．
2023-2024学年河南省信阳市固始县桃花坞中学及分校八年级第一学期开学数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．已知三角形的两边长分别为4和9，则此三角形的第三边长可能为（ ）
A．9 B．4 C．5 D．13
2．将一个n边形变成（n+2）边形，内角和将（ ）
A．减少180° B．增加180° C．减少360° D．增加360°
3．要使五边形木架（用五根木条钉成）不变形，至少要再钉上（ ）根木条．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若△ABC的面积为18，则△ABE的面积为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．9
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．五边形的内角和是720°
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．三角形的外角大于任意一个内角
D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点
6．三角形的三个内角的度数之比为2：3：7，则这个三角形最大内角一定是（ ）
A．75° B．90° C．105° D．120°
7．一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的边数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
8．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角之间的关系是（ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．无法确定
9．一副直角三角板，按如图所示的方式叠放在一起，其中∠B＝45°，∠D＝60°，若EF∥AB，则∠BGF＝（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
10．如图，在竖直墙角AOB中，可伸长的绳子CD的端点C固定在OA上，另一端点D在OB上滑动，在保持绳子拉直的情况下，∠BOE＝30°，∠BDC的平分线DF与OE交于点E，∠DCO＝α，当CE⊥DE时，则2∠OEC+α＝（ ）
A．120° B．135° C．150° D．152°
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．已知△ABC的三边长a、b、c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是 ．
12．等腰三角形的周长为20cm，一边长为6cm，则底边长为 cm．
13．用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝ 度．
14．如图，AD，CE都是△ABC的角平分线，且交于点O，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°，则∠ABO的度数为 ．
15．如图，在△ABC中，∠A＝80°，延长BC到点D，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2＝ ，…，则依此规律得∠An，则∠An＝ ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．如图，点D是△ABC的边BC上的一点，∠B＝∠1，∠ADC＝70°，∠C＝70°
（1）求∠B的度数；
（2）求∠BAC的度数．
17．已知一个多边形的内角和与外角和的差为1080°，
（1）求这个多边形的边数；
（2）求此多边形的对角线条数．
18．在△ABC中，∠ADB＝100°，∠C＝80°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，求∠BED的度数．
19．已知：如图，△ABC的两个外角的平分线交于点P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度数．
20．如图，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E为边AD（不与点A，D重合）上一动点，EF⊥BC于点F．
（1）若∠B＝40°，∠DEF＝20°，求∠C的度数；
（2）求证：∠C﹣∠B＝2∠DEF．
21．将一副三角尺叠放在一起：
（1）如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE的度数；
（2）如图②，若∠ACE＝2∠BCD，请求出∠ACD的度数．
22．【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图1，在△ABC和△A′B′C′中，AD，A′D′分别是BC和B′C′边上的高线，且AD＝A′D′，则△ABC和△A′B′C′是等高三角形．
【性质探究】
如图1，用S△ABC，S△A′B′C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积．
则，．
∵AD＝A′D′，
∴S△ABC：S△A′B′C′＝BC：B′C′．
【性质应用】
（1）如图2，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝ ．
（2）如图3，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝ ，S△CDE＝ ．
【提示】∵△BEC和△ABC是等高三角形，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2．∴．∵△CDE和△BEC是等高三角形，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3．∴．
（3）如图3，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点，若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝ ．
【提示】∵△BEC和△ABC是等高三角形，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m．∴．∵△CDE和△BEC是等高三角形，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n．∴．
23．（1）问题发现：由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”联想到四边形的外角．
如图①，∠1，∠2是四边形ABCD的两个外角．
∵四边形ABCD的内角和是360°，
∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，
又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，
由此可得∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系是 ；
（2）知识应用：如图②，已知四边形ABCD，AE，DE分别是其外角∠NAD和∠MDA的平分线，若∠B+∠C＝230°，求∠E的度数；
（3）拓展提升：如图③，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠CDN和∠CBM是它的两个外角，且∠CDP＝∠CDN，∠CBP＝∠CBM，求∠P的度数．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．已知三角形的两边长分别为4和9，则此三角形的第三边长可能为（ ）
A．9 B．4 C．5 D．13
【分析】设第三边为x，根据三角形三边关系定理得出9﹣4＜x＜9+4，再逐个判断即可．
解：设第三边为x，
则9﹣4＜x＜9+4，
5＜x＜13，
符合的数只有9，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形三边关系定理，能熟记三角形的三边关系定理的内容是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
2．将一个n边形变成（n+2）边形，内角和将（ ）
A．减少180° B．增加180° C．减少360° D．增加360°
【分析】利用多边形的内角和公式即可求出答案．
解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°，
n+2边形的内角和是n•180°，
因而（n+2）边形的内角和比n边形的内角和大n•180°﹣（n﹣2）•180＝360°．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式，熟记内角和公式是解题的关键．
3．要使五边形木架（用五根木条钉成）不变形，至少要再钉上（ ）根木条．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据三角形的稳定性，添加的木条把五边形分成三角形即可．
解：如图，至少需要2根木条．
故选：B．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
4．已知AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若△ABC的面积为18，则△ABE的面积为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．9
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
解：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ABC＝×18＝9，
∵BE是△ABD的中线，
∴S△ABE＝S△ABD＝×9＝4.5．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键．
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．五边形的内角和是720°
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．三角形的外角大于任意一个内角
D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点
【分析】根据多边形的内角和公式可知，五边形的内角和为540°；根据三角形三边的关系可知，任意两边之和大于第三边；三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角；三角形的重心是三角形三条中线的交点．
解：根据多边形的内角和公式可知，五边形的内角和为540°，故A是假命题；
根据三角形三边的关系可知，三角形的任意两边之和大于第三边，故B是真命题；
三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角，故C是假命题；
三角形的重心是三角形三条中线的交点，故D是假命题．
故选：B．
【点评】本题考查命题与定理及三角形的相关性质和结论，熟知三角形的相关性质和结论是解题的关键．
6．三角形的三个内角的度数之比为2：3：7，则这个三角形最大内角一定是（ ）
A．75° B．90° C．105° D．120°
【分析】由一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，利用三角形的内角和定理，可求得这个三角形的最大角的度数，继而求得答案．
解：∵一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，
∴这个三角形的最大角为：180°×＝105°．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的内角和定理．此题依据三角形内角和定理求得三角形的最大角是关键．
7．一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的边数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）180°，根据多边形的内角和为1800°，就得到一个关于n的方程，从而求出边数．
解：根据题意得：
（n﹣2）180＝1800，
解得：n＝12．
故选：D．
【点评】本题根据多边形的内角和定理，把求边数问题转化成为一个方程问题．
8．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角之间的关系是（ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．无法确定
【分析】此题可以通过两个图形得出这两个角的关系相等或互补．
解：如图：
图1中，根据垂直的量相等的角都等于90°，对顶角相等，所以∠1＝∠2，
图2中，同样根据垂直的量相等的角都等于90°，根据四边形的内角和等于360°，所以∠1+∠2＝360°﹣90°﹣90°＝180°．
所以如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的关系是相等或互补，
故选：C．
【点评】本题考查了垂线的定义．解题的关键是明确四边形的内角和等于360°，三角形的内角和等于180°，对顶角相等的性质．
9．一副直角三角板，按如图所示的方式叠放在一起，其中∠B＝45°，∠D＝60°，若EF∥AB，则∠BGF＝（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【分析】根据平行线的性质得到∠BMF＝∠F＝30°，再根据三角形外角的性质即可得解．
解：∵∠D＝60°，
∴∠F＝90°﹣60°＝30°，
∵EF∥AB，
∴∠BMF＝∠F＝30°，
∴∠BGF＝∠B+∠BMF＝30°+45°＝75°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，正确得出∠BMF的度数是解答本题的关键．
10．如图，在竖直墙角AOB中，可伸长的绳子CD的端点C固定在OA上，另一端点D在OB上滑动，在保持绳子拉直的情况下，∠BOE＝30°，∠BDC的平分线DF与OE交于点E，∠DCO＝α，当CE⊥DE时，则2∠OEC+α＝（ ）
A．120° B．135° C．150° D．152°
【分析】由题意可得∠CDO＝90°﹣α，则有∠BDC＝180°﹣∠CDO＝90°+α，由角平分线可得∠BDE＝∠CDE＝45°+0.5α，由三角形的外角性质可得∠DEO＝45°+0.5α﹣30°，再由CE⊥DE，则有∠OEC＝90°﹣∠DEO＝75°﹣0.5α，代入所求运算即可．
解：由题意得：∠CDO＝90°﹣α，
∴∠BDC＝180°﹣∠CDO＝90°+α，
∵∠BDC的平分线DF与OE交于点E，
∴∠BDE＝∠CDE＝∠BDC＝45°+0.5α，
∵∠BDE是△DEO的一个外角，
∴∠DEO＝∠BDE﹣∠DOE
＝45°+0.5α﹣30°
＝15°+0.5α，
∵CE⊥DE，
∴∠OEC＝90°﹣∠DEO
＝75°﹣0.5α，
∴2∠OEC+α
＝2×（75°﹣0.5α）+α
＝150°﹣α+α
＝150°．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．已知△ABC的三边长a、b、c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是 2b﹣2c ．
【分析】先根据三角形三边关系判断出a+b﹣c与b﹣a﹣c的符号，再把要求的式子进行化简，即可得出答案．
解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，
∴a+b＞c，b﹣a＜c，
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，
∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|＝a+b﹣c﹣（﹣b+a+c）＝a+b﹣c+b﹣a﹣c＝2b﹣2c；
故答案为：2b﹣2c
【点评】此题考查了三角形三边关系，用到的知识点是三角形的三边关系、绝对值、整式的加减，关键是根据三角形的三边关系判断出a+b﹣c与，b﹣a﹣c的符号．
12．等腰三角形的周长为20cm，一边长为6cm，则底边长为 6或8 cm．
【分析】分6cm是底边与腰长两种情况讨论求解．
解：①6cm是底边时，腰长＝（20﹣6）＝7cm，
此时三角形的三边分别为7cm、7cm、6cm，
能组成三角形，
②6cm是腰长时，底边＝20﹣6×2＝8cm，
此时三角形的三边分别为6cm、6cm、8cm，
能组成三角形，
综上所述，底边长为6或8cm．
故答案为：6或8．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．
13．用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝ 36 度．
【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．
解：∵∠ABC＝＝108°，△ABC是等腰三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝36度．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质．
n边形的内角和为：180°（n﹣2）．
14．如图，AD，CE都是△ABC的角平分线，且交于点O，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°，则∠ABO的度数为 25° ．
【分析】根据角平分线的定义可得出∠BAC＝60°、∠ACB＝70°，结合三角形内角和可得出∠ABC＝50°，由三角形的三条角平分线交于一点，可得出BO平分∠ABC，进而可得出∠ABO的度数，此题得解．
解：∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°，
∴∠BAC＝2∠DAC＝60°，∠ACB＝2∠ECA＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝50°．
∵△ABC的三条角平分线交于一点，
∴BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠ABC＝25°．
故答案为：25°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线以及三角形的内心，利用角平分线的定义结合三角形内角和定理找出∠ABO的度数是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，∠A＝80°，延长BC到点D，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2＝ 20° ，…，则依此规律得∠An，则∠An＝ ．
【分析】由∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，而A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，于是有∠A＝2∠A1，同理可得∠A1＝2∠A2，即∠A＝22∠A2，因此找出规律．
解：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，
而∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠A1＝80°，
∴∠A1＝40°，
同理可得∠A1＝2∠A2，
即∠A＝22∠A2＝80°，
∴∠A2＝20°，
∴∠A＝2n∠An，
∴∠An＝80°×（）n．
故答案为：20°，．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的外角性质以及角平分线性质，难度适中．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．如图，点D是△ABC的边BC上的一点，∠B＝∠1，∠ADC＝70°，∠C＝70°
（1）求∠B的度数；
（2）求∠BAC的度数．
【分析】（1）根据三角形的外角性质计算；
（2）根据三角形内角和定理计算．
解：（1）∵∠ADC＝∠1+∠B，∠B＝∠1，
∴∠B＝∠ADC＝×70°＝35°；
（2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣35°﹣70°＝75°．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
17．已知一个多边形的内角和与外角和的差为1080°，
（1）求这个多边形的边数；
（2）求此多边形的对角线条数．
【分析】（1）根据多边形的内角和、外角和公式列出方程，解方程即可；
（2）根据多边形的对角线的条数的计算公式计算即可．
解：（1）设这个多边形的边数为n，
由题意得，（n﹣2）×180°﹣360°＝1080°，
解得，n＝10，
答：这个多边形的边数为10；
（2）此多边形的对角线条数＝×10×（10﹣3）＝35．
【点评】本题考查的是多边形的内角与外角、多边形的对角线的条数，掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°、多边形的外角和等于360度是解题的关键．
18．在△ABC中，∠ADB＝100°，∠C＝80°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，求∠BED的度数．
【分析】根据外角的性质，求得∠CAD＝20°，根据角平分线的定义可得∠BAD＝20°，根据三角形的内角和求得∠DBA＝60°，角平分线的性质可得∠DBE＝30°，根据三角形内角和即可求解．
解：∵∠ABD＝∠C+∠CAD＝100°，∠C＝80°，
∴∠CAD＝20°，
∵AD平分∠BACM
∴∠BAD＝∠CAD＝20°，
由三角形的内角和性质可得，
∠ABC＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝60°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝，
由三角形的内角和性质可得，∠BED＝180°﹣∠ADB﹣∠EBD＝50°．
【点评】此题考查了三角形内角和的性质、外角的性质以及角平分线的定义，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解．
19．已知：如图，△ABC的两个外角的平分线交于点P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度数．
【分析】根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝140°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
解：∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠EBC+∠FCB＝360°﹣140°＝220°，
∵BP、CP是△ABC的外角平分线，
∴∠PBC＝∠EBC，∠PCB＝∠FCB，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠EBC+∠FCB）＝110°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝70°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E为边AD（不与点A，D重合）上一动点，EF⊥BC于点F．
（1）若∠B＝40°，∠DEF＝20°，求∠C的度数；
（2）求证：∠C﹣∠B＝2∠DEF．
【分析】（1）先求出∠EDF的度数和∠BAD的度数，进而求出∠BAC的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠C的度数；
（2）由（1）知∠EDF＝90°﹣∠DEF＝∠B+∠BAD，从而∠DEF＝90°﹣∠B﹣∠BAD，再利用等量代换可证明出结论．
【解答】（1）解：∵EF⊥BC，
∴∠EFD＝90°．
∵∠DEF＝20°，
∴∠EDF＝90°﹣∠DEF＝70°．
∵∠EDF＝∠B+∠BAD，
∴∠BAD＝∠EDF﹣∠B＝70°﹣40°＝30°．
∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝60°．
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°；
（2）证明：由（1），可知∠EDF＝90°﹣∠DEF＝∠B+∠BAD，
∴．
∴∠C﹣∠B＝2∠DEF．
【点评】本题考查三角形内角和定理及其推论，熟练运用三角形内角和定理及其推论是解题的关键．
21．将一副三角尺叠放在一起：
（1）如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE的度数；
（2）如图②，若∠ACE＝2∠BCD，请求出∠ACD的度数．
【分析】（1）根据∠BAC＝90°列出关于∠1、∠2的方程求解即可得到∠2的度数，再根据同角的余角相等求出∠CAE＝∠2，从而得解；
（2）根据∠ACB和∠DCE的度数列出等式求出∠ACE﹣∠BCD＝30°，再结合已知条件求出∠BCD，然后根据∠ACD＝∠ACB+∠BCD代入数据计算即可得解．
解：（1）∵∠BAC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝4∠2，
∴4∠2+∠2＝90°，
∴∠2＝18°，
又∵∠DAE＝90°，
∴∠1+∠CAE＝∠2+∠1＝90°，
∴∠CAE＝∠2＝18°；
（2）∵∠ACE+∠BCE＝90°，
∠BCD+∠BCE＝60°，
∴∠ACE﹣∠BCD＝30°，
又∠ACE＝2∠BCD，
∴2∠BCD﹣∠BCD＝30°，
∠BCD＝30°，
∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+30°＝120°．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
22．【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图1，在△ABC和△A′B′C′中，AD，A′D′分别是BC和B′C′边上的高线，且AD＝A′D′，则△ABC和△A′B′C′是等高三角形．
【性质探究】
如图1，用S△ABC，S△A′B′C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积．
则，．
∵AD＝A′D′，
∴S△ABC：S△A′B′C′＝BC：B′C′．
【性质应用】
（1）如图2，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝ 3：4 ．
（2）如图3，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝ ，S△CDE＝ ．
【提示】∵△BEC和△ABC是等高三角形，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2．∴．∵△CDE和△BEC是等高三角形，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3．∴．
（3）如图3，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点，若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝ ．
【提示】∵△BEC和△ABC是等高三角形，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m．∴．∵△CDE和△BEC是等高三角形，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n．∴．
【分析】（1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案；
（2）同（1）的方法即可求出答案；
（3）同（1）的方法即可求出答案．
解：（1）∵BD＝3，DC＝4，
∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4，
故答案为：3：4；
（2）∵BE：AB＝1：2，
∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2，
∵S△ABC＝1，
∴S△BEC＝；
∵CD：BC＝1：3，
∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3，
∴S△CDE＝S△BEC＝×＝；
故答案为：，；
（3）∵BE：AB＝1：m，
∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m，
∵S△ABC＝a，
∴S△BEC＝S△ABC＝；
∵CD：BC＝1：n，
∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n，
∴S△CDE＝S△BEC＝•＝，
故答案为：．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的面积公式，理解等高的两三角形的面积比等于底的比是解本题的关键．
23．（1）问题发现：由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”联想到四边形的外角．
如图①，∠1，∠2是四边形ABCD的两个外角．
∵四边形ABCD的内角和是360°，
∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，
又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，
由此可得∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系是 ∠1+∠2＝∠A+∠D ；
（2）知识应用：如图②，已知四边形ABCD，AE，DE分别是其外角∠NAD和∠MDA的平分线，若∠B+∠C＝230°，求∠E的度数；
（3）拓展提升：如图③，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠CDN和∠CBM是它的两个外角，且∠CDP＝∠CDN，∠CBP＝∠CBM，求∠P的度数．
【分析】（1）根据两个等式，可以得出∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系．
（2）根据第（1）问结论，先确定∠MDA与∠DAN的和，再根据角平分线的性质，可以确定∠EDA与∠DAE的和．这样就可以确定∠E的度数．
（3）先确定∠CDN与∠CBM之和，再确定∠CDP与∠CBP之和，进而确定∠ADC与∠ABP之和，再根根四边形内角和，就可以确定∠P的度数．
解：（1）∵四边形ABCD的内角和是360°，
∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，
又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，
∴∠1+∠2＝∠A+∠D．
故答案为：∠1+∠2＝∠A+∠D．
（2）根据第（1）问的结论，可知：
∠MDA+∠DAN＝∠B+∠C＝230°
∵AE，DE分别是∠NAD和∠MDA的平分线，
∴2∠EDA+2∠DAE＝230°，
∴∠EDA+∠DAE＝115°．
∴∠E＝180﹣（∠EDA+∠DAE）＝65°．
（3）根据第（1）问的结论，可得：∠CDN+∠CBM＝∠ABC+∠ADC，
∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠CDN+∠CBM＝360°﹣（∠A﹣∠C）＝180°．
∵∠CDP＝∠CDN，∠CBP＝∠CBM，
∴∠CDP+∠CBP＝（∠CDN+∠CBM）＝45°，
∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠CDN+∠CBM+∠CDN+∠CBM＝180°+45°＝225°，
即∠ADP+∠ABP＝225°，
∵∠A＝90°，
∴∠P＝360°﹣（∠ADP+∠ABP）﹣∠A＝45°．
【点评】本题是一道阅读题，主要考查四边形的两个外角和的性质，先读清题目所给材料是关键，然后在此基础上进行拓展和延伸．属于考查能力的题型，新的中考改革比较侧重考查学生对数学知识的活学活用的能力．
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