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    专题21二次函数与三角函数综合问题-挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(教师版含解析)

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    挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用) 专题21二次函数与三角函数综合问题 【例1】(2022•泰安二模)抛物线的顶点在轴上,与轴交于点.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,直线交抛物线于,两点,若,求的面积;(3)如图2,已知(2)中点坐标,点是第二象限抛物线上一点,是否存在点,使得,若存在,请求出点坐标,若不存在,请说明理由.【分析】(1)根据,求得的值,从而得出抛物线的解析式;(2)以为斜边作等腰直角三角形,设,从而表示出,将点坐标代入抛物线的解析式求得的值,进而求得,两点坐标,进一步求的面积;(3)作直角三角形,使,作轴于,作轴于,可证得,进而求得点的坐标,进一步求得的解析式,进一步可求得结果.【解答】解:(1)由题知,,,;(2)如图1,由题意得:,是等腰直角三角形,以为斜边作等腰直角三角形,,,设,,为抛物线上,,,当时,,,,延长交轴于,作轴于,;(3)如图2,作直角三角形,使,作轴于,作轴于,,,,,,,,,,,,的解析式为:,由得,(舍取),,当时,,.【例2】(2022•江岸区校级模拟)抛物线与轴交于、两点,与轴交于点,且,.(1)如图1,求抛物线的解析式;(2)如图2,若,是抛物线上两点,在对称轴右侧,且,求点坐标;(3)如图3,是点右侧抛物线上的一动点,、两点关于轴对称,直线、分别交直线于、两点,交轴于,求的值.【分析】(1)如图1,连接、,可求得:,,,,,再结合,建立方程求解即可得出答案;(2)过点作轴于点,过点作,使,过点作轴于点,如图2,可证明,利用,求得,运用待定系数法求得直线的解析式为,联立方程组求解可得,;如图2,在的反向延长线上截取,连接交抛物线于点,同理可求得,;(3)设,则,利用待定系数法可得直线的解析式为,得出,同理可得:直线的解析式为,,再由,即可求得的值为3.【解答】解:(1)如图1,连接、,抛物线,令,得,,,令,得,解得:,,,,,,,,,①,,,②,把②代入①,得,解得:或(不符合题意,舍去),,抛物线的解析式为;(2)过点作轴于点,过点作,使,过点作轴于点,如图2,点在抛物线上,,,轴,,,,,,轴,,,,,,,,即,,,,设直线的解析式为,把,代入,得:,解得:,直线的解析式为,联立方程组得:,解得:(舍去),,,;如图2,在的反向延长线上截取,连接交抛物线于点,点与点关于原点对称,,同理可得:直线的解析式为,联立方程组得:,解得:(舍去),,,;综上所述,点坐标为,或,;(3)抛物线,令,得,,,,,如图3,、两点关于轴对称,设,则,设直线的解析式为,则,解得:,直线的解析式为,当时,,,同理可得:直线的解析式为,当时,,,,,,,故的值为3.【例3】(2022•沈阳模拟)如图1,直线分别交轴,轴于点,,经过点,的抛物线交轴正半轴于点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图2,是第三象限内的抛物线上动点,轴交直线于点,若是等腰三角形,求点坐标;(3)是抛物线的顶点,直线上存在点,使,请直接写出点坐标.【分析】(1)将,代入,即可求解;(2)设,则,求出,,,再分三种情况讨论即可;(3)设,求出直线的解析式为,分两种情况讨论:①当点在点左侧时,过点作交于点,过点作轴交轴于点,过点作交于点,则,再由,设,求出,,将点代入,可求点坐标;②当点在点右侧时,过点作交于点,过点作轴交轴于点,过点作交于点,则,由,设,求出,,将点点代入,求出点坐标即可.【解答】解:(1)令,则,,令,则,,将,代入,,解得,;(2)设,则,在第三象限内,,,,,①当时,,解得(舍或,;②当时,,解得(舍或或(舍,,;③当时,,解得(舍或(舍或,;综上所述:点坐标为或,或.(3),顶点,设,设直线的解析式为,,,,①当点在点左侧时,过点作交于点,过点作轴交轴于点,过点作交于点,,,,,,,,,设,,,,,,,将点代入,可得,解得(舍或,,;②当点在点右侧时,过点作交于点,过点作轴交轴于点,过点作交于点,,,,,,,,,设,,,,,,,将点,代入,则,解得,,;综上所述,点坐标为,或,.【例4】(2022•湖北)抛物线与直线交于原点和点,与轴交于另一点,顶点为.(1)直接写出点和点的坐标;(2)如图1,连接,为轴上的动点,当时,求点的坐标;(3)如图2,是点关于抛物线对称轴的对称点,是抛物线上的动点,它的横坐标为,连接,,与直线交于点.设和的面积分别为和,求的最大值.【分析】(1)令,求出的值即可得出点的坐标,将函数化作顶点式可得出点的坐标;(2)过点作轴于点,易得,因为,所以,分两种情况进行讨论,当点在线段的右侧时,轴,当点在线段左侧时,设直线与轴交于点,则是等腰三角形,分别求出点的坐标即可.(3)分别过点,作轴的平行线,交直线于点,,则,,由点的横坐标为,可表达,再利用二次函数的性质可得出结论.【解答】解:(1)令,解得或,;,顶点.(2)如图,过点作轴于点,,,,,,①当点在线段的右侧时,轴,如图,;②当点在线段左侧时,设直线与轴交于点,则是等腰三角形,,设,则,,在中,,解得,,直线的解析式为:,令,则,解得,,.综上,点的坐标为或,.(3)点与点关于对称轴对称,.如图,分别过点,作轴的平行线,交直线于点,,,,点横坐标为,,,.,,,,当时,的最大值为.【例5】(2022•南充)抛物线与轴分别交于点,,与轴交于点.(1)求抛物线的解析式.(2)如图1,顶点在抛物线上,如果面积为某值时,符合条件的点有且只有三个,求点的坐标.(3)如图2,点在第二象限的抛物线上,点在延长线上,,连接并延长到点,使.交轴于点,与均为锐角,,求点的坐标.【分析】(1)将、两点坐标代入抛物线的解析式,从而求得,,进而得出抛物线的解析式;(2)在的下方存在一个点,在的上方时两个,其中过下方的点的直线与平行的直线与抛物线相切,根据直线的解析式与抛物线解析式可以得出一个一元二次方程,该一元二次方程的根的判别式为0,从而求得的值,进而得出在的上方的直线解析式,与抛物线联立成方程组,进一步求得结果;(3)作轴于,作轴于,作,交的延长线于,设点的横坐标为,根据得出,根据得出,,从而,根据可表示出,根据可得出的值,进一步求得结果.【解答】解:(1)由题意得,,,;(2)如图1,作直线且与抛物线相切于点,直线交轴于,作直线且直线到的距离等于直线到的距离,的解析式为,设直线的解析式为:,由得,,△,,,,,,,,,,,,即,直线的解析式为:,,,,,,,,综上所述:点或,或,;(3)如图2,作轴于,作轴于,作,交的延长线于,设点的横坐标为,,,点的横坐标为:,,,,,,同理可得:,,,,,,,,,,,,,,,,当时,,.【例6】(2022•无锡)已知二次函数图象的对称轴与轴交于点,图象与轴交于点,、为该二次函数图象上的两个动点(点在点的左侧),且.(1)求该二次函数的表达式;(2)若点与点重合,求的值;(3)点是否存在其他的位置,使得的值与(2)中所求的值相等?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)二次函数与轴交于点,求得,根据,即二次函数对称轴为直线,求出的值,即可得到二次函数的表达式;(2)通过证明,,然后结合点的坐标特征列方程求得和的长度,从而求解;(3)根据题目要求,找出符合条件的点的位置,再利用几何图形的性质,结合方程思想求出对应点的坐标即可.【解答】解:将点代入,可得,二次函数图象的对称轴与轴交于点,,解得:,二次函数的解析式为;(2)如图,过点作轴于点,连接,,,,,,,,即,设点坐标为,,,,,解得:(舍去),,当时,,,,在中,,在中,,在中,;(3)存在,理由如下:①如图,与(2)图中关于对称轴对称时,,点的坐标为,此时,点的坐标为,当点、关于对称轴对称时,此时与长度相等,即,②当点在轴上方时,过点作垂直于轴,垂足为,,点、关于对称轴对称,,为等腰直角三角形,,设点的坐标为,,,,解得(舍去)或,此时点的坐标为,;③当点在轴下方时,过点作垂直于轴,垂足为,,点、关于对称轴对称,,为等腰直角三角形,,设点的坐标为,,,,解得(舍去)或,此时点的坐标为,;综上,点的坐标为或,或,.一.解答题(共20题)1.(2022秋•工业园区期中)已知抛物线的图象与轴交于、两点(点在点的左侧),与轴正半轴交于点,顶点为,直线轴于点.(1)当时,知,求的长;(2)当时,若,,求抛物线的解析式;【分析】(1)根据题意求出,,再由,得到,则,当时,分别求出,,,,再求的长即可;(2)过点作交于点,由,,可得,再由,求出,,,根据,,可知,,,根据,求出的值,从而确定、点的坐标,再用待定系数法求函数的解析式即可.【解答】解:(1),顶点,,令,则,,,,,,令,则,或,,,,,;(2)过点作交于点,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,将代入中,,解得,.2.(2022春•德化县期中)在平面直角坐标系中,经过原点的抛物线与轴的正半轴交于点,为抛物线的顶点,且.(1)已知.①求二次函数的解析式;②直线平行于,且将分成面积相等的两部分,求直线的解析式.(2)若为对称轴右侧的二次函数图象上的一点,且直线交对称轴于点,点,关于点对称,求证:直线过定点.【分析】(1)①将,代入,可得,从而求出,再由,求出的值即可求函数的解析式;②由①可知,求出直线的解析式可得,设直线与轴的交点为,由平行可得,求出,,即可求直线的解析式;(2)由题意可求,,,,,设,求出直线的解析式,可求,,,,再由求出直线的解析式为,即可得直线经过定点.【解答】(1)解:①,,抛物线经过原点,,,,,,,,解得,;②由①可知,设直线的解析式为,,解得,,,,设直线与轴的交点为,,直线将分成面积相等的两部分,,,,,,解得,;(2)证明:,抛物线的对称轴为直线,,,令,则,解得或,,,,,解得,,,,,,设,直线的解析式为,,解得,,,,点,关于点对称,,,设直线的解析式为,,解得,,直线经过定点.3.(2021秋•朝阳区校级期中)如图,已知抛物线与轴交于点,与轴交于点、,(1)若点的坐标为;①求该抛物线的解析式.② 3 ;③点是线段上的动点.过点作,交线段于点,连接,设点的横坐标为,的面积为,求关于的函数关系式;当的面积最大时,求点的坐标;(2)已知、是抛物线上两点;将抛物线上位于、两点间的部分记为;把的最高点与最低点的纵坐标的差记为,当时,求的取值范围.【分析】(1)①将点、的坐标代入可得出、的值,继而确定抛物线解析式;②求出点的坐标,即可得的值;③设,且,由,可得,利用对应边成比例可得出的长,由,可得关于的表达式,利用配方法求最值即可;(2)由点可得,可得、,由,可得顶点坐标为,分当时,当时两种情况,根据最高点与最低点的纵坐标的差记为,,即可求解.【解答】解:(1)①将点,点代入抛物线得:,解得:,故抛物线解析式:;②令则,,,点的坐标为,,点,,,故答案为:3;③设,且,作轴于,,△,,即,,的面积,,当时,面积最大,此时;(2)抛物线与轴交于点,,,顶点坐标为,、,当时,最高点为,最低点为,,,,;当时,最高点为,最低点为,,,,.综上,的取值范围为或.4.(2022•长春模拟)在平面直角坐标系中,抛物线的顶点为,且该抛物线与轴交于、两点(点在点的左侧).我们规定抛物线与轴围成的封闭区域称为“区域”(不包括边界);横、纵坐标都是整数的点称为整点.(1)如果抛物线经过点.①求的值;②直接写出“区域”内整数点的个数;(2)当时,如果抛物线在“区域”内有4个整数点,求的取值范围;(3)当时,抛物线与直线交于点,把点向左平移5个单位长度得到点,以为边作等腰直角三角形,使,点与抛物线的顶点始终在的两侧,线段与抛物线交于点,当时,直接写出的值.【分析】(1)①将点代入,求出的值即可;②画出函数图象,分别求出满足条件的点即可;(2)由题意可得在对称轴上有2个整数点,在和上各有一个整数点,则,即可求的取值范围;(3)求出,,则,由题意可知当时,点与抛物线的顶点重合,当时,点始终在顶点的上方,则点在点上方,点,过点作交于,设,则,,由,求出,进而求出,,再将点坐标代入函数的解析式即可求的值.【解答】解:(1)①抛物线经过点,,解得;②,,令,则,解得或,,,当时,,在轴上有整点,,当时,,在的直线上有整点,,当时,,在的直线上有整点,,综上所述:“区域”内整数点共有6个;(2)令,则,解得或,,,,抛物线的对称轴为直线, “区域”内有4个整数点,在对称轴上有2个整数点,在和上各有一个整数点,,解得,当时,“区域”内有4个整数点;(3)当时,,,点向左平移5个单位长度得到点,,,,抛物线的对称轴为直线,当时,点与抛物线的顶点重合,当时,点始终在顶点的上方,点与抛物线的顶点始终在的两侧,点在点上方,,过点作交于,为等腰直角三角形,,,,,设,则,,,,,,,,,点在抛物线上,,解得或.5.(2022•长沙二模)如果三角形的两个内角与满足,那么我们称这样的三角形为“三角形”.(1)判断下列三角形是否为“三角形”?如果是,请在对应横线上画“”,如果不是,请在对应横线上画“”;①其中有两内角分别为,的三角形   ;②其中有两内角分别为,的三角形   ;③其中有两内角分别为,的三角形   ;(2)如图1,点在双曲线上且横坐标为1,点,为中点,为轴负半轴上一点,若.①求的值,并求证:为“三角形”;②若与相似,直接写出的坐标;(3)如图2,在中,,,,为边上一点,且是“三角形”,已知,记,过,作抛物线,在右侧,且在轴上,点在抛物线上,使得,若符合条件的点个数为3个,求抛物线的解析式.【分析】(1)①三角形中最小的两个角的和是,则三角形不是“三角形”;②三角形中最小的两个角的和大于,则三角形不是“三角形”;③三角形中最小的两个角分别为和,则三角形是“三角形”;(2)①利用勾股定理求的值即可,确定的值可知,,再根据定义证明即可;②分两种情况讨论:当时,,;当时,,,;(3)过点作轴交于,过点作轴交于,求出,,由于是“三角形”,分两种情况讨论:当时,;当时,(不合题意);则可求,与轴的交点为或,经过,的直线与抛物线有唯一交点,联立方程组,得到△①,将,代入,得到②,联立①②可求函数的解析式.【解答】解:(1)①两内角分别为,,,三角形不是“三角形”,故答案为:;②两内角分别为,,,三角形不是“三角形”,故答案为:;③两内角分别为,,三角形的另一个内角是,,三角形是“三角形”,故答案为:;(2)①点在双曲线上且横坐标为1,,点,为中点,,,,,解得,,,,,为中点,,,,是“三角形”;②,,或,当时,,,即,解得,;当时,,,即,解得,,;综上所述:点坐标为或,;(3),,,,,,过点作轴交于,过点作轴交于,,,,,,,是“三角形”,或,当时,,,解得,;当时,,解得,,,,不合题意;,,,与轴的交点为或,设经过,的直线解析式为,,解得,,,符合条件的点个数为3个,直线与抛物线有唯一交点,联立方程组,整理得,,△①,将,代入,②,联立①②可得,抛物线的解析式为.6.如图,抛物线与轴交于点,,与轴交于点,点是抛物线上一动点,过点,作直线.(1)求抛物线的解析式及的值;(2)当点到直线的距离为时,求点的坐标;(3)过点作轴于点,交直线于点,若,求点的坐标.【分析】(1)将,代入,即可求函数的解析式,再求出点坐标,即可求;(2)过点作交于,可求,由题意可知,点在经过的中点且与平行的直线上,求出的中点为,,则经过的中点且与平行的直线解析式为,联立方程组,可求点坐标为或,;直线关于直线对称的直线解析式为,联立方程组,可求;(3)作点关于轴的对称点,连接,则,可推导出,求出直线的解析式为,联立方程组,可求;作关于的对称直线交轴于,可证明,从而求出,则直线的解析式为,联立方程组,可求,.【解答】解:(1)将,代入,,解得,,令,则,,,,;(2)过点作交于,,,,,点到直线的距离为,点在经过的中点且与平行的直线上,是的中点,,的中点为,,设直线的解析式为,,解得,,经过的中点且与平行的直线解析式为,联立方程组,解得或,点坐标为或,;直线关于直线对称的直线解析式为,联立方程组,解得,;综上所述:点坐标为或,或;(3)作点关于轴的对称点,连接,,,,,,,,设直线的解析式为,,解得,,联立方程组,解得(舍或,;作关于的对称直线交轴于,,,,,,,设直线的解析式为,,解得,,联立方程组,解得(舍或,,;综上所述:点坐标为或,.7.(2022•中山市三模)如图,抛物线与轴交于、两点,与轴交于点,抛物线的对称轴为直线,点,过的直线交轴于点,交抛物线于,且.(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线第四象限的图象上找一点,使得的面积最大,求出点的坐标;(3)点是线段上的一点,求的最小值,并求出此时点的坐标.【分析】(1)由得点的对称点的坐标,将、坐标代入中,利用待定系数法可求;(2)求出直线的解析式,用表示点、的坐标,进而表示线段,根据,用含的代数式表示的面积,利用二次函数的性质,求出关于的二次函数的顶点横坐标,即可得出结论:(3)过点作轴,过点作轴,过作于点,构造出直角三角形,利用三角函数找到与相等的线段,根据“垂线段最短”得的最小值,将二次函数与直线方程联立,解方程组,先求出点坐标,点坐标可求.【解答】解:(1)抛物线与轴交于、两点,抛物线的对称轴为直线,点,,,解得.抛物线的解析式为.(2),,,即.直线的解析式为:.如图,过点作轴,交于点,设,则,,,,当时,即,时的面积最大.(3)如图,过点作轴,过点作轴,过作于点,轴,,,,,,,的最小值为.令,解得(舍或,,,的最小值,此时.8.(2022•松江区校级模拟)如图,在平面直角坐标系中,点、点分别在的正半轴和的正半轴上,,抛物线经过、两点,顶点为.(1)求抛物线的表达式;(2)将绕点顺时针旋转后,点落到点的位置,求四边形的面积;(3)将该抛物线沿轴向上或向下平移,使其经过点,若点在平移后的抛物线上,且满足,求点的坐标.【分析】(1)根据,求得点的坐标,代入即可求得抛物线解析式;(2)由旋转可得出,再求出抛物线顶点,利用勾股定理及其逆定理可得,根据,即可求得答案;(3)根据平移规律可得平移后的抛物线解析式为,分两种情况:①若点在轴上方时,②若点在轴下方时,分别求出点的坐标即可.【解答】解:(1)抛物线经过点,,,,,,将代入抛物线,得,解得:,抛物线的表达式为.(2)将绕点顺时针旋转后,得到△,,,,,,,,,,,,,,又,且,,即四边形的面积为7.(3)当时,,可知抛物线经过点,将原抛物线沿轴向下平移2个单位过点,平移后得抛物线解析式为:;①若点在轴上方时,作轴,交抛物线于点,易证,点与点关于抛物线的对称轴直线对称,;②若点在轴下方时,如图2,作的中垂线,与轴交与点,联结并延长,交抛物线于点,根据线段的垂直平分线的性质可得,,轴,,,作轴,垂足为,则,,设,则,,在中,,,解得,,,,,设直线的解析式为,则,解得:,直线的解析式为,,解得:(舍去),,当时,,,,综上所述,满足条件得点坐标为或.9.(2022•沈阳模拟)如图,已知点,点,直线过点,交轴于点,抛物线经过点,.(1)求抛物线的解析式;(2)为直线上方的抛物线上一点,且,求点的坐标;(3)平面内任意一点,与点距离始终为2,连接,.直接写出的最小值.【分析】(1)将点坐标代入中,求得,进而求得点坐标,将、两点坐标代入抛物线解析式,从而求得,的值,进而求得结果;(2)发现,故作,作轴,作,设,根据可表示出,在直角三角形中,根据勾股定理列出方程,从而求得点坐标,进而求得的关系式,根据的关系式和抛物线的关系式,进而求得结果;(3)先确定点在以为圆心,2 为半径的圆上运动,取,求得出,从而得出,进而确定点、、共线时,的值最小,进一步求得结果.【解答】解:(1)由题意得,,,直线的解析式是:,,,,抛物线的解析式是:;(2)如图1,作于,作轴于,作于,,,,,,可得:,,设,则,,在中,由勾股定理得,,,(舍去),,,,,直线的解析式是:,由得,(舍去),,当时,,,;(3)如2,点距离始终为2,点在以为圆心,2为半径的圆上运动,在上取,,,,,,,当、、共线时,最小,此时在线段与的交点处,,在中,,的最小值是.10.(2022春•西山区校级月考)已知对称轴为直线的抛物线经过,两点,抛物线与轴的另一个交点为.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,若点为第四象限抛物线上一点,连接,交于点,连接,求的最大值;(3)如图2,若点为抛物线上一点,且当,求点的坐标.【分析】(1)设抛物线的解析式为,将,的坐标和抛物线代入,从而得到抛物线的解析式;(2)过点作轴于点,交于点,证明,得出,求出直线的解析式为,设,则,可得出的关系式,由二次函数的性质可得出结论;(3)过点作轴于点,交于点,过点作于点,证明,,设,则,求出,可得,求出的值,即可得点的坐标.【解答】解:(1)设抛物线的解析式为.,,抛物线,,解得,抛物线的解析式为;(2)过点作轴于点,交于点,,,,,抛物线经过,与轴的另一个交点为.,设直线的解析式为,,解得,直线的解析式为,设,则,..当时,有最大值,最大值是1;(3)过点作轴于点,交于点,过点作于点,,,,,,,,设,则,.,,,,,,,解得或,点的坐标为,或,.11.(2022春•汉川市校级月考)如图,在平面直角坐标系中,顶点为的抛物线经过点,且与轴交于,两点(点在点的左侧).(1)求抛物线的解析式;(2)求的值;(3)点在第二象限内的抛物线上,点在轴上,且,当与相似时,求点的坐标.【分析】(1)根据待定系数法,可得抛物线的解析式;(2)过点作轴交轴于,过点作轴交于,先证明和均为等腰直角三角形,得出:,,,,再运用三角函数定义即可;(3)根据抛物线上的点满足函数解析式,可得方程②,根据相似三角形的性质,可得方程①③,根据解方程组,可得点的坐标.【解答】解:(1),,设抛物线的解析式为,将点坐标代入函数解析式,得:,解得:.该抛物线的解析式为:;(2)如图1,过点作轴交轴于,过点作轴交于,,,,,,和均为等腰直角三角形,,,,,,;(3)设,,当时,,解得:,,,.①当时,如图2,则,即,化简,得:①,在抛物线上,②,联立①②,得,解得:(不符合题意,舍),,,,当时,如图3,则,即,化简,得③,联立②③,得:,解得:(不符合题意,舍),,,.综上所述:当与相似时,点的坐标为或.12.(2022秋•道里区校级期中)如图,在平面直角坐标系中,点为坐标原点,直线交轴于点,轴于点,抛物线与轴交于,两点,交轴于点.(1)求抛物线的解析式;(2)在第三象限抛物线上,点横坐标为,连接、,的面积为,求关于的函数关系式;(不要求写自变量的取值范围)(3)在(2)的条件下,绕点逆时针旋转,与线段相交于点,且,过点作交于,轴于点,连接,若,求线段的长.【分析】(1)直接把点坐标代入求出的值即可得到抛物线解析式为;(2)连接,过点作轴于,轴于,根据可得出与的函数关系式;(3)过作轴交的延长线于,作于,轴于,如图3,利用得到,加上,则,于是根据等腰三角形的性质可得,接着判断四边形为矩形得到,则,然后证明得到,所以;再在中利用正弦定义可得到,利用勾股定理得,设点坐标为,则,,于是可表示出,所以,解方程得到得,(舍去),所以.【解答】解:(1)直线交轴于点,轴于点,,,将代入抛物线,,,抛物线解析式为,(2)连接,过点作轴于,轴于,在第三象限抛物线上,点横坐标为,,.(3)过作轴交的延长线于,作于,轴于,如图3,,,,,而,,易得四边形为矩形,,,,,而,,,,,,,在中,,,,设点坐标为,则,,,,整理得,(舍去),.13.(2022•荆门模拟)抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,顶点的坐标为.(1)求抛物线的解析式;(2)如图,点在第一象限的抛物线上,且,求点的坐标;在线段上确定一点,使平分四边形的面积,求点的坐标;(3)点是抛物线对称轴上的一个动点,连接、,设的外心为,当的值最大时,请直接写出点的坐标.【分析】(1)设,再将代入,即可求解;(2)由可得点,可得,根据即可求解;(3)作的外心,作轴,则,进而可得在的垂直平分线上运动,根据题意当最大转化为求当取得最小值时,最大,进而根据点到直线的距离,垂线段最短,即可求得,运用勾股定理求得,即可求得点的坐标,根据对称性求得另一个坐标.【解答】解:(1)顶点的坐标为,设,将代入,解得,;(2)点,则,而,解得:或4,点在第一象限的抛物线上,点;顶点的坐标为.直线的解析式为,,,点,,直线的解析式为,,,,,点在线段上,平分四边形的面积,设,,,解得,点的坐标为,;(3)如图,作的外心,作轴,则,,在的垂直平分线上运动,依题意,当最大时,即最大时,是的外心,,即当最大时,最大,,,则当取得最小值时,最大,,即当直线时,取得最小值,此时,,在中,,,,根据对称性,则存在,,综上所述,,或,.14.(2022春•磐安县期中)如图,抛物线与轴交于点,,与轴交于点,已知.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点在轴上,在该抛物线的对称轴上,是否存在唯一的点,满足?如果存在,请求出点的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)若点在轴上,满足的点是否存在?如果存在,请求出点的坐标;如果不存在,请说明理由.【分析】(1)证明,根据相似三角形的性质可得,利用待定系数法即可求解;(2)由题意得为直径的圆与对称轴:直线有唯一的交点,即相切.根据切线的性质可得点的横坐标为0.5,所以点到直线的距离为4.5,则直径的长为9,根据勾股定理即可求解;(3)当点在以为弦的上,圆心角是的两倍.过点做于,则.根据,可得,利用两点的距离公式即可得点的坐标.【解答】解:(1),,,,,,,抛物线与轴交于点,,设,把代入得,解得,抛物线的函数表达式;(2)存在,抛物线的对称轴上是否存在唯一的点,满足,就是指以为直径的圆与对称轴:直线有唯一的交点,即相切.如图,设的中点为,,点的横坐标为0.5,点到直线的距离为4.5,直径的长为9,,点的坐标为,或;(3)存在,如图:当点在以为弦的上,圆心角.过点做于,则.,.,,或,设,,当时,,或,同理,当时,或综上所述,点的坐标为或或或.15.(2022•合肥模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点,,与直线交于轴上的点,直线与轴交于点.(1)求该抛物线的解析式;(2)点是抛物线上第一象限内的一一个动点,连接、,当的面积最大时,求点的坐标;(3)将抛物线的对称轴向左平移3个长度单位得到直线,点是直线上一点,连接、,若直线上存在使最大的点,请直接写出满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)用交点式函数表达式得:,即可求解;(2)由,即可求解;(3)如图,经过点、的圆与直线相切于点,此时,最大,即可求解.【解答】解:(1)用交点式函数表达式得:,当时,,则,即,解得:.则函数的表达式为;(2),令,则,即点,连接,设点,,,有最大值,此时点;(3)如图,经过点、的圆与直线相切于点,此时,最大,过圆心作轴于点,则,,,过点的坐标为,;同样当点在轴的下方时,其坐标为;故点的坐标为,或.16.(2022•高州市一模)在平面直角坐标系中,已知抛物线与轴交于、两点,与轴交于点,为抛物线顶点.(1)求该抛物线的解析式.(2)如图1,连接,交轴于点,点是第一象限的抛物线上的一个动点,连接交轴于,连接、,若,求点的坐标.(3)点是抛物线对称轴上一动点,连接、,设外接圆圆心为,当的值最大时,请求出点的坐标.【分析】(1)把,代入即可求解;(2)根据题意先求得,,,各点的坐标,求得的解析式,进而求得点的坐标,通过计算可得,进而可得,由可得出,依题意,设,其中,建立方程求解即可得出答案;(3)作的外心,作轴,则,进而可得在的垂直平分线上运动,根据题意当最大转化为求当取得最小值时,最大,进而根据点到直线的距离,垂线段最短,即可求得,运用勾股定理求得,即可求得点的坐标,根据对称性求得另一个坐标.【解答】解:(1)把,代入中,得:,解得:,抛物线解析式为;(2)抛物线与轴交于、两点,与轴交于点,为抛物线顶点.令,得:,则,,.设直线的解析式为,,,,解得:,直线的解析式为,令,则,,,,,,,,,,,依题意,设,其中,,解得:,(舍去),,;(3)如图,作的外心,作轴,则,,在的垂直平分线上运动,依题意,当最大时,即最大时,是的外心,,即当最大时,最大,,,则当取得最小值时,最大,,即当直线时,取得最小值,此时,,在中,,,,根据对称性,则存在,,综上所述,,或,.17.(2022•夏津县模拟)如图,抛物线与轴交于,两点,且,与轴交于点,连接,抛物线对称轴为直线.为第一象限内抛物线上一动点,过点作于点,与交于点,设点的横坐标为.(1)求抛物线的表达式;(2)当线段的长度最大时,求的值;(3)点是抛物线对称轴上的一点,点是坐标平面内的一点,是否存在点,使得以点,,,为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)由,设,则,又抛物线对称轴为直线,得,解得,,用待定系数法可得抛物线的表达式为;(2)连接,得,可得直线解析式为,设,则,,用二次函数性质可得当时,取最大值,最大值是1,,,可得,,即知;(3)设,,,又,,①以、为对角线,则、的中点重合,且,可得,解得,或,;②以、为对角线,则、的中点重合,且,③以、为对角线,则、的中点重合,且,分别列方程组可解得答案.【解答】解:(1)由,设,则,抛物线对称轴为直线,,解得,,,将,代入得:,解得,抛物线的表达式为;(2)连接,如图:在中,令得,,设直线解析式为,将代入得:,解得,直线解析式为,设,则,,,当时,取最大值,最大值是1,此时,,,,,;(3)存在点,使得以点,,,为顶点的四边形是菱形,理由如下:如图:设,,,又,,①以、为对角线,则、的中点重合,且,,解得或,,或,;②以、为对角线,则、的中点重合,且,,解得或,,或,;③以、为对角线,则、的中点重合,且,,解得,,;综上所述,的坐标为,或,或,或,或,.18.(2022•黄冈模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交点为、,与轴交于点,为抛物线上一点,过点作于.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,若在直线上方,轴于,交于.①求的值;②求线段的最大值.(3)如图2,连接,当与相似时,直接写出点的坐标.【分析】(1)根据待定系数法求解析式即可;(2)①根据对顶角性质,平行线的性质可得,进而可得,根据勾股定理求得,进而根据正弦的定义求解即可;②待定系数法求得直线的解析式为,设.则.,求得,根据①的结论求得,当取得最大值时,取得最大值,进而根据二次函数的性质求得的最大值;(3)分别表示出,,求得,,的长,根据,与相似时,有以下2种情形,①当时,②当时,进而根据相似三角形的性质列出方程解方程求解即可.【解答】解:(1)抛物线与轴交点为、,与轴交于点,令,则,,设抛物线的解析式为,将点代入得,,解得:,,抛物线的解析式为;(2)①轴,,又,,,,,,,.;②设过,,的直线解析式为,则,解得:,直线解析式为,设,则,,当时,有最大值2,,取最大值时,取最大值,最大值为;(3)设,则,,,,,,,,,,,与相似,有以下两种情形,①当时,,即,整理得:,解得:(与点重合,舍去),,当时,,,;当时,,即,整理得,解得:,,(舍去),当时,,,当时,,,.综上所述,当与相似时,点的坐标,或或,.19.(2022•广东模拟)在平面直角坐标系中,已知抛物线与轴交于、两点,与轴交于点,为抛物线顶点.(1)连接,交轴于点,是抛物线上的一个动点.①如图一,点是第一象限的抛物线上的一点,连接交轴于,连接、,若,求点的坐标.②如图二,点在第四象限的抛物线上,连接、交于点,设,则有最大值还是最小值?的最值是多少?(2)如图三,点是第四象限抛物线上的一点,过、、三点作圆,过点作轴,垂足为,交圆于点,点在运动过程中线段是否变化?若有变化,求出的取值范围;若不变,求线段长度的定值.(3)点是抛物线对称轴上一动点,连接、,设外接圆圆心为,当的值最大时,请直接写出点的坐标.【分析】(1)①根据题意先求得,,,各点的坐标,求得的解析式,进而求得点的坐标,通过计算可得,进而可得,由可得出,依题意,设,其中,建立方程求解即可得出答案;②根据已知条件设,其中,求得直线的解析式,直线的解析式,联立即可求得点的坐标,根据,令,根据二次函数的性质求得的最大值,即可求得的最小值;(2)根据题意过点作,依题意,点为的外心,为垂直平分线上的点,则点在抛物线的对称轴直线上,设,其中,,,,根据建立方程,解得:,进而求得,即可求得;(3)作的外心,作轴,则,进而可得在的垂直平分线上运动,根据题意当最大转化为求当取得最小值时,最大,进而根据点到直线的距离,垂线段最短,即可求得,运用勾股定理求得,即可求得点的坐标,根据对称性求得另一个坐标.【解答】解:(1)抛物线与轴交于、两点,与轴交于点,为抛物线顶点.令,得:,则,令,得:,解得:,,则,,,.①设直线的解析式为,如图1,,,,解得:,直线的解析式为,令,则,,,,,,,,,,,依题意,设,其中,,解得:,(舍去),,.②点在第四象限的抛物线上,、交于点,如图2,设,其中,设直线的解析式为,,,,解得:,直线的解析式为,设直线的解析式为,,,,解得:,直线的解析式为,联立方程组,得:,解得:,,,,,,,令,,当时,取得最大值,取得最小值为,有最小值,最小值为.(2)不变,,理由如下:如图,过点作,依题意,点为的外心,为垂直平分线上的点,即点在抛物线的对称轴直线上,轴,,,轴,,设,,,,,为的外心,,则,即,解得:,,,,,.(3)如图4,作的外心,作轴,则,,在的垂直平分线上运动,依题意,当最大时,即最大时,是的外心,,即当最大时,最大,,,则当取得最小值时,最大,,即当直线时,取得最小值,此时,,在中,,,,根据对称性,则存在,,综上所述,,或,.20.(2022•瓯海区校级自主招生)如图,在平面直角坐标系中,点从原点出发,沿轴向右以每秒一个单位长的速度运动秒,抛物线经过点和点.(1)求,(用的代数式表示);(2)抛物线与直线和分别交于,两点,当时,①在点的运动过程中,你认为的大小是否会变化?若变化,说明理由;若不变,求出的值;②的面积与的函数关系式;③是否存在这样的值,使得以,、,为顶点的四边形为梯形?如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由.【分析】(1)根据抛物线经过点和点,将,,代入求出,的值即可;(2)①根据(1)中解析式得出,得出,即可得出的大小不会变化;②根据当时以及当时,分别得出,,求出即可;③根据当时以及当时,分别得出的值即可.【解答】解:(1)由题意得,,代入,得,,即.即.(2)当时,①,即,,即,,是定值.②当时,,如图1,过点作的垂线,垂足为,,,,当时,如图2,,,③存在这样的值,使得以、、、为顶点的四边形为梯形.当时,如图3,,,即,代入得.解得;当时,如图4,则,关于对称轴对称,即,解得:.综上,当或时,以、、、为顶点的四边形为梯形.

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