专题20二次函数与对称变换综合问题 -挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（教师版含解析）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)
专题20二次函数与对称变换综合问题

【例1】(2021秋•开化县月考)定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“镜像抛物线”．
例如：y＝(x﹣h)2﹣k的“镜像抛物线”为y＝﹣(x﹣h)2+k．
(1)请写出抛物线y＝(x﹣2)2﹣4的顶点坐标 　(2，﹣4)　，及其“镜像抛物线”y＝﹣(x﹣2)2+4的顶点坐标 　(2，4)　．写出抛物线的“镜像抛物线”为 　　．
(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“镜像抛物线”于点C，分别作点B，C关于抛物线对称轴对称的点B'，C'，连接BC，CC'，B'C'，BB'．
①当四边形BB'C'C为正方形时，求a的值．
②求正方形BB'C'C所含(包括边界)整点个数．(说明：整点是横、纵坐标均为整数的点)

【分析】(1)根据定义直接求解即可；
(2)①分别求出B(1，1﹣3a)，C(1，3a﹣1)，B'(3，1﹣3a)，C'(3，3a﹣1)，由正方形的性质可得BB'＝BC，即2＝6a﹣2，求出a即可；
②由①求出B(1，﹣1)，C(1，1)，B'(3，﹣1)，C'(3，1)，在此区域内找出所含的整数点即可．
【解答】解：(1)y＝(x﹣2)2﹣4的顶点坐标为(2，﹣4)，y＝﹣(x﹣2)2+4的顶点坐标为(2，4)，
的“镜像抛物线”为，
故答案为：(2，﹣4)，(2，4)，；
(2)①∵y＝ax2﹣4ax+1＝a(x﹣2)2+1﹣4a，
∴抛物线L的“镜像抛物线”为y＝﹣a(x﹣2)2﹣1+4a，
∵点B的横坐标为1，
∴B(1，1﹣3a)，C(1，3a﹣1)，
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴B'(3，1﹣3a)，C'(3，3a﹣1)，
∴BB'＝2，BC＝6a﹣2，
∵四边形BB'C'C为正方形，
∴2＝6a﹣2，
∴a＝；
②∵a＝，
∴B(1，﹣1)，C(1，1)，B'(3，﹣1)，C'(3，1)，
∴正方形BB'C'C所含(包括边界)整点有(1，﹣1)，(1，1)，(3，﹣1)，(3，1)，(1，0)，(3，0)，(2，﹣1)，(2，0)，(2，1)共9个．
【例2】(2022•巩义市模拟)已知，二次函数y＝ax2+bx﹣3 的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于C点，点A的坐标为(﹣1，0)，且 OB＝OC．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当0≤x≤4 时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？
(3)设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC'与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】(1)根据OB＝OC可得B点的坐标为(3，0)，把A、B的坐标代入二次函数y＝ax2+bx﹣3，求出a、b的值即可；
(2)求出二次函数的顶点坐标为(1，﹣4)，根据二次函数的性质即可得出答案；
(3)先设出P的坐标，根据相似三角形的性质列出方程，解出方程即可得到点P的坐标．
【解答】解：(1)∵二次函数y＝ax2+bx﹣3 的图象与y轴交于C点，
∴C(0，﹣3)．
∵OB＝OC，点A在点B的左边，
∴B(3，0)．
∵点A的坐标为(﹣1，0)，
由题意可得，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

(2)∵二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，
∴二次函数顶点坐标为(1，﹣4)，
∴当x＝1时，y最小值＝﹣4，
∵当0≤x≤1时，y随着x的增大而减小，
∴当x＝0时，y＝﹣3，
∵当1＜x≤4时，y随着x的增大而增大，
∴当x＝4时，y＝5．
∴当0≤x≤4时，函数的最大值为5，最小值为﹣4；

(3)在y轴上存在点P，使△PCC'与△POB相似，理由如下：
设P(0，m)，如图，

∵点C'与点C关于该抛物线的对称轴直线x＝1对称，C(0，﹣3)．
∴C′(2，﹣3)．
∴CC'∥OB，
∵△PCC'与△POB相似，且PC与PO是对应边，
∴，
即：，
解得：m＝﹣9或m＝﹣，
∴存在，P(0，﹣9)或P(0，﹣)．
【例3】(2022•济宁二模)如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为(3，0)，C点的坐标为(0，3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线AC于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由．
(3)图2中，点C和点C'关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且∠MBA＝∠CBC'，求M点的横坐标．

【分析】(1)利用待定系数法求解析式即可；(2)存在直线l，证明△ACO≌△DBO(ASA)得到OA＝OD，求出A点坐标即可求出D点坐标，再利用待定系数法求直线解析式即可；
(3)连接BM，CC′，作C′H⊥BC交BC于H，求出tan∠MBA＝，进一步可求出N(0，)或N(0，﹣)分情况讨论，即可求出M的横坐标为﹣或﹣．
【解答】(1)解：抛物线y＝﹣x2+bx+c过B(3，0)，C(0.3)，
∴，
解得：，
∴函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
(2)解：存在直线l使得以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似，
当l⊥AC时，以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似，
∴∠ACD＝∠EBO，
在Rt△ACO和Rt△DBO中，
，
∴ΔΑCO≌△DBO(ASA)，
∴OA＝OD，
解﹣x2+2x+3＝0，
得：x1＝3(不符合题意，舍去)，x2＝﹣1，
∴A(﹣1，0)，
∴D(0，1)，
设直线的解析式为：y＝kx+b，
将B(3，0)，D(0，1)代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为：y＝x+1；
(3)解：连接BM，CC′，作C′H⊥BC交BC于H，
∵抛物线对称轴为直线：x＝＝1，
∴CC′＝2，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝45°，
∴∠C′CB＝45°，
∵C′H⊥BC，CC′＝2，
∴C′H＝CH＝，
∵OB＝OC＝3，
∴BC＝3，
∴BH＝，
∴tan∠CBC′＝，
∵∠MBA＝∠CBC′，
∴tan∠MBA＝，
∴ON＝，
∴N(0，)或N(0，﹣)，
当N(0，)，如图：

∵B(3，0)，
∴，
∴，
∴直线BN解析式为：y＝x+，
解方程﹣x2+2x+3＝﹣x+，得：(不符合题意，舍去)，
∴M的横坐标为﹣；
当N(0，﹣)，如图：

∵B(3，0)，
∴，
∴，
∴直线BN解析式为：y＝x﹣，
解方程﹣x2+2x+3＝x﹣，
得：(不符合题意，舍去)，
∴M的横坐标为﹣，
综上所述：M的横坐标为﹣或﹣．
【例4】(2022•合肥四模)已知抛物线L1：y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A(﹣3，0)，B(1，0)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若两个抛物线的交点在x轴上，且顶点关于x轴对称，则称这两个抛物线为“对称抛物线”，求抛物线L1对称抛物线L2的解析式；
(3)在(2)的条件下，点M是x轴上方的抛物线L2上一动点，过点M作MN⊥x轴于点N，设M的横坐标为m，记W＝MN﹣2ON，求W的最大值．
【分析】(1)将点A(﹣3，0)，B(1，0)代入y＝ax2+bx﹣3，即可求解；
(2)求出顶点的对称点为(﹣1，4)，设抛物线L2的解析式为y＝n(x+1)2+4，再将抛物线与x轴的交点为(﹣3，0)或(1，0)代入，即可求解析式；
(3)由题意可知M(m，﹣m2﹣2m+3)，N(m，0)，则MN＝﹣m2﹣2m+3，ON＝|m|，分两种情况讨论；当﹣3＜x≤0时，W＝﹣m2+3，当m＝0时，W有最大值3；当0≤x＜1时，W＝﹣(m+2)2+7，当m＝0时，W有最大值3．
【解答】解：(1)将点A(﹣3，0)，B(1，0)代入y＝ax2+bx﹣3，
∴，
解得，
∴y＝x2+2x﹣3；
(2)令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴抛物线与x轴的交点为(﹣3，0)或(1，0)，
∵y＝x2+2x﹣3＝(x+1)2﹣4，
∴顶点为(﹣1，﹣4)，
∴顶点关于x轴的对称点为(﹣1，4)，
设抛物线L2的解析式为y＝n(x+1)2+4，
∵抛物线经过点(﹣3，0)或(1，0)，
∴n＝﹣1，
∴y＝﹣x2﹣2x+3；
(3)∵点M是x轴上方的抛物线L2上一动点，
∴﹣3＜x＜1，
∵M的横坐标为m，
∴M(m，﹣m2﹣2m+3)，N(m，0)，
∴MN＝﹣m2﹣2m+3，ON＝|m|，
当﹣3＜x≤0时，W＝MN﹣2ON＝﹣m2﹣2m+3+2m＝﹣m2+3，
∴当m＝0时，W有最大值3；
当0≤x＜1时，W＝MN﹣2ON＝﹣m2﹣2m+3﹣2m＝﹣m2﹣4m+3＝﹣(m+2)2+7，
∴当m＝0时，W有最大值3；
综上所述：W的最大值为3．



一．解答题(共20题)
1．(2022•广陵区二模)已知二次函数y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4(m为常数，且m＞0)．
(1)求二次函数的顶点坐标；
(2)设该二次函数图象上两点A(a，ya)、B(a+2，yb)，点A和点B间(含点A，B)的图象上有一点C，将点C纵坐标的最大值和最小值的差记为h．
①当m＝1时，若点A和点B关于二次函数对称轴对称，求h的值；
②若存在点A和点B使得h的值是4，则m的取值范围是 　0＜m≤4　．
【分析】(1)利用配方法求出顶点坐标即可．
(2)①根据A，B关于抛物线的对称轴对称，求出a的值，在求出﹣3≤x≤﹣1时，二次函数的最大值，最小值，可得结论．
②分四种情形：当a+2≤﹣2，即a≤﹣4时，当﹣4＜a≤﹣3时，当﹣3＜a≤﹣2时，当a＞﹣2时，分别求出满足条件的m的取值范围，可得结论．
【解答】解：(1)y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4
＝﹣m(x2+4x+4)+4
＝﹣m(x+2)2+4，
∴二次函数的顶点坐标为(﹣2，4)．
(2)①∵点A、B关于对称轴对称＝﹣2，
∴a＝﹣3，
当m＝1时，y＝﹣x2﹣4x﹣4+4＝﹣x2﹣4x，
则当x＝﹣3(或x＝﹣1)时，y最小值＝3，
当x＝﹣2时，y最大值＝4，
∴h＝1．

②结论：0＜m≤4，理由如下：
当a+2≤﹣2，即a≤﹣4时，
h＝yb﹣ya
＝﹣m(a+2+2)2+4﹣[﹣m(a+2)2+4]
＝﹣4m(a+3)，
∵h＝4，
∴4＝﹣4m(a+3)，
∴a＝﹣﹣3≤﹣4，
∵m＞0，
解得m≤1，
当﹣4＜a≤﹣3时，
h＝4﹣ya
＝4﹣[﹣m(a+2)2+4]
＝m(a+2)2，
∴可得a＝﹣﹣2，
∴﹣4＜﹣﹣2≤﹣3，
解得1＜m≤4，
当﹣3＜a≤﹣2时，
h＝4﹣yb
＝4﹣[﹣m(a+2+2)2+4]
＝m(a+4)2，
可得a＝﹣4，
∴﹣3＜﹣4≤﹣2，
不等式无解．
当a＞﹣2时，
h＝ya﹣yb
＝﹣m(a+2)2+4﹣[﹣m(a+2+2)2+4]
＝4m(a+3)，
可得a＝﹣3，
∴﹣3＞﹣2，
∴m＜1，
综上所述，满足条件的m的值为0＜m≤4．
故答案为：0＜m≤4．
2．(2022•绿园区二模)在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象同时经过点A(0，3)、B(2m，3)、C(m，m+3)．其中，m≠0．
(1)当m＝1时．
①该二次函数的图象的对称轴是直线 　x＝1　．
②求该二次函数的表达式．
(2)当|m|≤x≤|m|时，若该二次函数的最大值为4，求m的值．
(3)若同时经过点A、B、C的圆恰好与x轴相切时，直接写出该二次函数的图象的顶点坐标．

【分析】(1)①根据所给的点可知A、B两点关于抛物线对称轴对称，利用对称性可求对称轴；
②利用待定系数法求函数的解析式即可；
(2)用的待定系数法求函数的解析式y＝﹣(x﹣m)2+m+3，再分两种情况讨论：当m＞0时，m≤x≤m，当x＝m时，函数有最大值m+3；当m＜0时，﹣m≤x≤﹣m，当x＝﹣m时，函数有最大值；分别求m的值即可求解；
(3)先判断△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，则过点A、B、C的圆是以AB的中点M为圆心，AB为半径，再分两种情况讨论：当m＞0时，MN＝AM＝|m|＝3，可求C点坐标；当m＜0时，CM＝AM＝3＝|m|，可求C点坐标．
【解答】解：(1)①∵A(0，3)、B(2m，3)，
∴A、B两点关于抛物线对称轴对称，
∵m＝1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
故答案为：x＝1；
②设y＝ax2+bx+c(a≠0)，
∵m＝1，
∴B(2，3)、C(1，4)，
将点A、B、C代入y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3；
(2)∵A(0，3)、B(2m，3)两点关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，
设抛物线的解析式为y＝a(x﹣m)2+m+3，
将点A(0，3)代入，
∴am2+m+3＝3，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣(x﹣m)2+m+3，
当m＞0时，m≤x≤m，
∴当x＝m时，函数有最大值m+3，
∴m+3＝4，
∴m＝1；
当m＜0时，﹣m≤x≤﹣m，
∴当x＝﹣m时，函数有最大值，
∴4＝﹣(﹣m﹣m)2+m+3，
解得m＝﹣；
综上所述：m的值为1或﹣；
(3)∵A(0，3)、B(2m，3)、C(m，m+3)，
∴AB＝|2m|，AC＝|m|，BC＝|m|，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴过点A、B、C的圆是以AB的中点M为圆心，AB为半径，
如图1，当m＞0时，
∵⊙M与x轴相切，
∴MN＝AM＝|m|＝3，
∴m＝3，
∴C(3，6)；
如图2，当m＜0时，
∵⊙M与x轴相切，
∴CM＝AM＝3＝|m|，
∴m＝﹣3，
∴C(﹣3，0)；
综上所述：该二次函数的图象的顶点坐标为(3，6)或(﹣3，0)．


3．(2022•荷塘区校级模拟)已知二次函数y＝ax2+bx+c(a＜0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且(x1＜0＜x2)，交y轴于点C，顶点为D．
(1)a＝﹣1，b＝2，c＝4，
①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标；
②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；
(2)如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足∠ACE＝∠CBE，求ac的值．

【分析】(1)①运用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出答案；
②由y＝﹣x与y＝ax2+bx+c联立可得x2﹣3x﹣4＝0，运用根的判别式可得Δ＞0，即可得出结论；
(2)如图，连接AC，先求出直线CD的解析式为y＝x+c，可得E(﹣，0)，再利用求根公式可得：A(，0)，B(，0)，再证明△EAC∽△ECB，可得CE2＝AE•BE，即c2+＝(+)(+)，化简即可得出答案．
【解答】解：(1)①当a＝﹣1，b＝2，c＝4时，
抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+4，
∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣(x﹣1)2+5，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点为D(1，5)；
②当y＝﹣x时，﹣x2+2x+4＝﹣x，
整理得：x2﹣3x﹣4＝0，
∵Δ＝(﹣3)2﹣4×1×(﹣4)＝25＞0，
∴二次函数y＝﹣x2+2x+4有两个不同的“零和点”；
(2)如图，连接AC，

∵y＝ax2+bx+c，
∴C(0，c)，顶点D(﹣，)，
设直线CD的解析式为y＝kx+n，
则，
解得：，
∴直线CD的解析式为y＝x+c，
∴E(﹣，0)，
∵A(，0)，B(，0)，
∴AE＝﹣(﹣)＝+，BE＝﹣(﹣)＝+，
∵∠ACE＝∠CBE，∠AEC＝∠CEB，
∴△EAC∽△ECB，
∴＝，
∴CE2＝AE•BE，
在Rt△CEO中，CE2＝OC2+OE2＝c2+()2＝c2+，
∴c2+＝(+)(+)，
化简得：ac＝﹣1，
故ac的值为﹣1．
4．(2022•绥江县二模)已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a(a＜0)的图象经过(3，0)．
(1)求二次函数的对称轴；
(2)点A的坐标为(1，0)，将点A向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点B，若二次函数的图象与线段AB有公共点，求a的取值范围．
【分析】(1)首先利用待定系数法确定函数解析式，然后利用对称轴方程求解；
(2)根据平移的性质求得B(2，3)，然后由“二次函数的图象与线段AB有公共点”得到4a﹣4a﹣3a≤3，通过解该不等式求得答案．
【解答】解：(1)∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a(a＜0)的图象经过(3，0)，
∴把(3，0)代入y＝ax2+bx﹣3a，得
9a+3b﹣3a＝0，
化简，得b＝﹣2a，
∴二次函数的对称轴为：．

(2)∵点A的坐标为(1，0)，将点A向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点B，
∴B(2，3)，
∵a＜0，开口向下，
∴二次函数图象与线段AB有交点时，4a﹣4a﹣3a≤3，
解得a≥﹣1，
故a的取值范围是：﹣1≤a＜0．
5．(2022•兴化市二模)已知一次函数y＝kx+m的图象过点(2，3)，A(k，y1)、B(k+1，y2)是二次函数y＝x2﹣(m﹣2)x+2m图象上的两点．
(1)若该二次函数图象的对称轴是直线x＝1，分别求出一次函数和二次函数的表达式；
(2)当点A、B在二次函数的图象上运动时，满足|y1﹣y2|＝1，求m的值；
(3)点A、B的位置随着k的变化而变化，设点A、B的运动路线分别与直线x＝n交于点P、Q，当PQ＝2时，求n的值．
【分析】(1)利用对称轴为1求出m的值，可得二次函数的解析式，将点(2，3)和m＝4代入一次函数y＝kx+m，可得一次函数的解析式；
(2)将A(k，y1)、B(k+1，y2)两点分别代入y＝x2﹣(m﹣2)x+2m，求出|y1﹣y2|＝1，再利用y＝kx+m过点(2，3)，得出m＝3﹣2k，代入①式，最后得出结果；
(3)将A，B坐标代入分别表示出yP和yQ，再由m＝3﹣2k，得出yP＝k2﹣(m﹣2)k+2m，yQ＝(k+1)2﹣(m﹣2)(k+1)+2m，再将k＝n，k+1＝n代入，得出用n表示的yP和yQ，，进而得出|yP﹣yQ|＝|2n﹣4|＝2，求解即可．
【解答】解：(1)∵对称轴为x＝1，
∴，
∴，
解得m＝4，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣(4﹣2)x+2x4＝x2﹣2x+8，
将点(2，3)和m＝4代入一次函数y＝kx+m，
得到3＝2k+4，
解得：k＝﹣，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+4；
∴一次函数表达式：，
二次函数的表达式：y＝x2﹣2x+8；
(2)将A(k，y1)、B(k+1，y2)两点分别代入y＝x2﹣(m﹣2)x+2m，
得到y1＝k2﹣(m﹣2)k+2m，y2＝(k+1)2﹣(m﹣2)(k+1)+2m，
∵|y1﹣y2|＝1，
∴y1﹣y2＝±1，
∴k2﹣(m﹣2)k+2m﹣[(k+1)2﹣(m﹣2)(k+1)+2m]＝±1，
整理得：m﹣2k﹣3＝±1①，
∵y＝kx+m过点(2，3)，代入得：m＝3﹣2k，
将m＝3﹣2k代入①式得：
k＝±，即k＝或k＝﹣，
当k＝时，m＝3﹣2×＝；
当k＝﹣时，m＝3﹣2×(﹣)＝，
综上所述，m＝或m＝．
(3)解：将A(k，) B(k+1，y2)代入二次函数y＝x2﹣(m﹣2)x+2m，得
yP＝k2﹣(m﹣2)k+2m，yQ＝(k+1)2﹣(m﹣2)(k+1)+2m，
又∵一次函数y＝kx+m过点(2，3)，代入得：m＝3﹣2k，
∴yP＝3k2﹣5k+6，yQ＝3k2﹣k+6，
∵k＝n，k+1＝n，
把k＝n代入得yP＝3n2﹣5n+6，
把k＝n﹣1代入yQ＝3(n﹣1)2﹣(n﹣1)+6，
∴|yP﹣yQ|＝|2n﹣4|＝2，
解得n＝1或3．
6．(2022•三门峡一模)已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2a(a≠0)．
(1)该二次函数图象的对称轴是直线x＝　1　；
(2)若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，求抛物线的解析式；
(3)若对于该抛物线上的两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，请结合图象，直接写出x1的取值范围．

【分析】(1)利用对称轴公式计算即可；
(2)构建方程求出a的值即可解决问题；
(3)结合图象，分两种情况讨论，当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，推出当抛物线开口向上，当﹣1≤x1≤3时，满足条件，由此即可解决问题．
【解答】解：(1)对称轴x＝﹣＝1．
故答案为1；
(2)∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，且当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，
∴当x＝4时，y的最大值为5，
∴16a﹣8a+2a＝5，
∴a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+1；
(3)如图，

∵对称轴为直线x＝1，
∴x＝﹣1与x＝3时的y值相等，
∵x2＞3时，均满足y1＜y2，
②当a＜0时，抛物线开口向下，如图1，不成立；
②当a＞0时，抛物线开口向上，如图2，当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，此时，x1的取值范围是：﹣1≤x1≤3；
∴由①②知：当a＞0时，抛物线开口向上．当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，
此时，x1的取值范围是：﹣1≤x1≤3．
7．(2022•无锡二模)二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A(﹣1，0)、B(4，0)．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)①如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F(﹣，0)，动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标；
②如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转45°，交抛物线于点P，求点P的坐标；
(3)已知Q在y轴上，T为二次函数对称轴上一点，且△QOT为等腰三角形，若符合条件的Q恰好有2个，直接写出T的坐标．

【分析】(1)先求得点C的坐标，设抛物线的解析式为y＝a(x+1)(x﹣4)，将点C的坐标代入求得a的值，从而得到抛物线的解析式；
(2)①当点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似时分两种情况：△CDN∽△FEN和△CDN∽△NEF，列比例式可解答；
②如图2所示：过点A作GH∥y轴，过点M作MG⊥GH于G，过点A作AE⊥AM，交MP于点E，证明△AEM是等腰直角三角形，得AM＝AE，计算点M的坐标，证明△MGA≌△AHE(AAS)，则EH＝AG＝6，AH＝GM＝2，利用待定系数法可得直线EA的解析式为y＝−2x+8，与二次函数解析式联立方程，解出可得结论；
(3)分T在x轴上，x轴上方和下方三种情况：根据符合条件的Q恰好有2个正确画图可得结论．
【解答】解：(1)y＝ax2+bx+4，
当x＝0时，y＝4，
∴C(0，4)，
设抛物线的解析式为y＝a(x+1)(x−4)，
将点C的坐标代入得：−4a＝4，解得a＝−1，
∴抛物线的解析式为y＝−x2+3x+4；
(2)①如图1，抛物线的对称轴是：x＝−＝，
∴CD＝，EF＝+＝＝，
设点N的坐标为(，a)则ND＝4−a，NE＝a，
当△CDN∽△FEN时，＝，
即＝，
解得a＝，
∴点N的坐标为(，)；
当△CDN∽△NEF时，＝，
即＝，
解得：a1＝a2＝2，
∴点N的坐标为(，2)，
综上所述，点N的坐标为(，)或(，2)；
②如图2所示：过点A作GH∥y轴，过点M作MG⊥GH于G，过点A作AE⊥AM，交MP于点E，

∵∠AMP＝45°，∠MAE＝90°，
∴△AEM是等腰直角三角形，
∴AM＝AE，
将x＝1代入抛物线的解析式得：y＝6，
∴点M的坐标为(1，6)，
∴MG＝2，AG＝6，
∵∠GAM+∠EAH＝90°，∠EAH+∠AEH＝90°，
∴∠GAM＝∠AEH，
∵∠G＝∠H＝90°，
∴△MGA≌△AHE(AAS)，
∴EH＝AG＝6，AH＝GM＝2，
∴E(5，﹣2)，
设ME的解析式为y＝kx+b，
将点A和点E的坐标代入得：，
解得：，
∴直线EA的解析式为y＝−2x+8，
﹣2x+8＝﹣x2+3x+4，
解得：x＝1(舍)或x＝4，
将x＝4代入y＝−2x+8得：y＝0，
∴点P的坐标为(4，0)；
(3)分种情况：
①如图3，当T在x轴上时，满足条件，此时T(，0)；

②如图4，当T在x轴的上方时，
∵△QOT为等腰三角形，且符合条件的Q恰好有2个，

∴OT＝OQ2＝OQ1＝Q1T，
∴△OQ1T是等边三角形，
∴∠TOQ1＝60°，
∴∠BOT＝30°，
∵OE＝，
∵tan30°＝＝，
∴ET＝，
∴T(，)；
③当T在x轴的下方时，同理得T(，﹣)；
综上，T的坐标为(，0)或(，)或(，﹣)．
8．(2022秋•乐陵市校级月考)如图，已知二次函数的图象经过A(2，0)、B(0，﹣6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求这个二次函数的对称轴、顶点坐标；
(3)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积．
(4)若点D为抛物线与x轴的另一个交点，在抛物线上是否存在一点M，使△ADM的面积为△ABC的面积的2倍，若存在，请求出M的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】(1)将A(2，0)、B(0，﹣6)两点代入y＝x2+bx+c，算出b和c，即可得解析式；
(2)把求得的解析式化成顶点式即可解决问题；
(3)先求出对称轴方程，写出C点的坐标，计算出AC，然后由面积公式计算即可解决问题；
(4)方法一：点D为抛物线与x轴的另一个交点，该抛物线图象的对称轴为直线x＝4，A(2，0)，可得点D和点A的关于对称轴对称，所以AD＝2AC，根据△ADM的面积为△ABC的面积的2倍，可得△ADM和△ABC的AD边上的高相等，所以点B和点M是关于对称轴对称的点，进而可得M的坐标；
方法二：根据△ADM的面积为△ABC的面积的2倍，列出方程即可解决问题．
【解答】解：(1)把A(2，0)、B(0，﹣6)代入y＝−x2+bx+c，
得，
解得，
∴这个二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣6；
(2)∵y＝﹣x2+4x﹣6＝﹣(x﹣4)2+2，
∴二次函数的对称轴为直线x＝4，顶点坐标为(4，2)；
(3)∵该抛物线图象的对称轴为直线x＝4，
∴点C的坐标为(4，0)，
∴AC＝OC﹣OA＝4﹣2＝2，
∴S△ABC＝×AC×OB＝×2×6＝6；
(4)如图，在抛物线上存在一点M，使△ADM的面积为△ABC的面积的2倍，理由如下：

方法一：∵点D为抛物线与x轴的另一个交点，该抛物线图象的对称轴为直线x＝4，A(2，0)，
∴D(6，0)，
∴点D和点A的关于对称轴对称，
∴AD＝4，
∴AD＝2AC，
∵△ADM的面积为△ABC的面积的2倍，
∴△ADM和△ABC的AD边上的高相等，
∴点B和点M是关于对称轴对称的点，
∴M(8，﹣6)或(0，﹣6)．
方法二：∵点D为抛物线与x轴的另一个交点，该抛物线图象的对称轴为直线x＝4，A(2，0)，
∴D(6，0)，
∴AD＝4，
设M(m，﹣m2+4m﹣6)，
∵△ADM的面积为△ABC的面积的2倍，
∴4×|﹣m2+4m﹣6|＝12，
当﹣m2+4m﹣6＝6时，
∵Δ＜0，此方程无解；
当﹣m2+4m﹣6＝﹣6时，
解得m1＝8，m2＝0，
∴M(8，﹣6)或(0，﹣6)．
9．(2022秋•永城市月考)如图，关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且过点D(﹣1，4)．
(1)求b的值及该二次函数图象的对称轴；
(2)连接AC，AD，CD，求△ADC的面积；
(3)在AC上方抛物线上有一动点M，请直接写出△ACM的面积取到最大值时，点M的坐标．

【分析】(1)直接把点D(﹣1，4)代入二次函数y＝﹣x2+bx+3中得b的值，从而可得结论；
(2)根据三角形的面积差可得结论；
(3)如图2，过点M作MN∥y轴，交AC于点N，利用待定系数法可得直线AC的解析式，设点M的坐标为(t，﹣t2﹣2t+3)，则N(t，t+3)，表示MN的长，根据三角形的面积公式并配方成顶点式可得结论．
【解答】解：(1)把点D(﹣1，4)代入二次函数y＝﹣x2+bx+3中得：﹣1﹣b+3＝4，
∴b＝﹣2，
∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣(x+1)2+4，
∴对称轴是：直线x＝﹣1；
(2)如图1，连接OD，

当y＝0时，﹣(x+1)2+4＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝1，
∴A(﹣3，0)，
∵D(﹣1，4)，C(0，3)，
∴△ADC的面积＝S△AOD+S△CDO﹣S△AOC＝×3×4+×3×1﹣×3×3＝3；
(3)如图2，过点M作MN∥y轴，交AC于点N，

∵A(﹣3，0)，C(0，3)，
∴设直线AC的解析式为y＝kx+m，
则，解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝x+3，
设点M的坐标为(t，﹣t2﹣2t+3)，则N(t，t+3)，
∵点M是在AC上方抛物线上有一动点，
∴﹣3＜t＜0，MN＝(﹣t2﹣2t+3)﹣(t+3)＝﹣t2﹣3t，
∴S△AMC＝•MN•OA＝(﹣t2﹣3t)＝﹣(t+)2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝时，△ACM的面积有最大值，此时点M的坐标为(﹣，)．
10．(2022秋•越秀区校级月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，A(1，0)，B(0，2)，以AB为边向右作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，二次函数的图象经过点C．

(1)求二次函数的解析式；
(2)平移该二次函数图象的对称轴所在的直线l，若直线l恰好将△ABC的面积分为1：2两部分，请求出直线l平移的最远距离；
(3)将△ABC以AC所在直线为对称轴翻折，得到△AB'C，那么在二次函数图象上是否存在点P，使△PB'C是以B'C为直角边的直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】(1)过点C作CK⊥x轴交于点K，证明△ABO≌△CAK(AAS)，得OB＝AK＝2，AO＝CK＝1，即得点C的坐标为(3，1)，用待定系数法有二次函数表达式为y＝x2﹣x﹣2；
(2)由y＝x2﹣x﹣2可知抛物线的对称轴为直线x＝，且当直线l将△ABC的面积分为左部分比右部分＝2：1时，直线l平移的距离最远，设此时直线l分别交边BC、AC分别为点M、N，由B(0，2)，C(3，1)可得直线BC解析式为y＝﹣x+2，由A(1，0)，C(3，1)可得直线AC解析式为y＝x﹣，设点M的坐标为，点N坐标为，1≤t＜3，根据S△CMN＝S△ABC，得×(3﹣t)(﹣t+2﹣t+)＝×××，可解得直线l平移的距离最远是3﹣﹣＝；
(3)分两种情况：①当∠PCB'＝90°时，由B，B'关于直线AC对称，可得∠BCB'＝90°，即点P为直线BC与抛物线的另外一个交点，根据得点P的坐标为；②当∠CB'P＝90°时，过B'作BT⊥x轴于T，由△BOA≌△B'TA(AAS)，可得B'(2，﹣2)，故B'P解析式为y＝﹣x﹣，由得点P的坐标为(﹣1，﹣1)或．
【解答】解：(1)过点C作CK⊥x轴交于点K，如图：

∵∠BAO+∠CAK＝90°，∠BAO+∠OBA＝90°，
∴∠CAK＝∠OBA，
又∠AOB＝∠AKC＝90°，AB＝AC，
∴△ABO≌△CAK(AAS)，
∴OB＝AK＝2，AO＝CK＝1，
∴OK＝AO+AK＝1+2＝3，
∴点C的坐标为(3，1)，
将点C的坐标代入y＝x2+bx﹣2得：1＝×9+3b﹣2，
解得：b＝﹣，
∴二次函数表达式为y＝x2﹣x﹣2；
(2)由y＝x2﹣x﹣2可知抛物线的对称轴为直线x＝，且当直线l将△ABC的面积分为左部分比右部分＝2：1时，直线l平移的距离最远，
如图：

设此时直线l分别交边BC、AC分别为点M、N，
由B(0，2)，C(3，1)可得直线BC解析式为y＝﹣x+2，
由A(1，0)，C(3，1)可得直线AC解析式为y＝x﹣，
设点M的坐标为，点N坐标为，1≤t＜3，
∵直线l将△ABC的面积分为左部分比右部分＝2：1，
∴S△CMN＝S△ABC，
又AB＝＝，
∴×(3﹣t)(﹣t+2﹣t+)＝×××，
解得或(舍去)，
∴直线l平移的距离最远是3﹣﹣＝；
(3)在二次函数图象上存在点P，使△PB'C是以B'C为直角边的直角三角形，理由如下：
①当∠PCB'＝90°时，如图：

∵B，B'关于直线AC对称，
∴∠BCA＝∠B'CA＝45°，
∴∠BCB'＝90°，即点P为直线BC与抛物线的另外一个交点，
由得：或，
∴点P的坐标为；
②当∠CB'P＝90°时，过B'作BT⊥x轴于T，如图：

∵B，B'关于直线AC对称，∠BAC＝90°，
∴BA＝B'A，
∵∠BAO＝∠B'AT，∠BOA＝90°＝∠B'TA，
∴△BOA≌△B'TA(AAS)，
∴AT＝AO＝1，OB＝B'T＝2，
∴OT＝AO+AT＝2，
∴B'(2，﹣2)，
由①知，∠BCB'＝90°，
∴过B'作BC的平行线，与抛物线的交点即为P，
∵直线BC解析式为y＝﹣x+2，B'(2，﹣2)，
∴B'P解析式为y＝﹣x﹣，
由得或，
∴点P的坐标为(﹣1，﹣1)或，
综上所述，点P的坐标为：或(﹣1，﹣1)或．
11．(2022秋•西城区校级期中)定义：若两个函数的图象关于某一点Q中心对称，则称这两个函数关于点Q互为“对称函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“对称函数”．
(1)函数y＝﹣x+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为 　y＝x﹣1　，函数y＝(x﹣2)2﹣1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为 　y＝﹣(x﹣2)2﹣1　；
(2)已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点Q(0，1)互为“对称函数”，若函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，求x的取值范围；
(3)已知点A(0，1)，点B(4，1)，点C(2，0)，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a(a＞0)，与函数N关于点C互为“对称函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a(a＞0)与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．
【分析】(1)结合新定义利用待定系数法解答即可；
(2)利用数形结合的方法结合图象，利用新定义的规定解得即可；
(3)利用分类讨论的方法分三种情况解答：①当“对称函数”的顶点在AB上时，求得函数N的顶点坐标，利用对称性求得对称点的坐标，利用待定系数法即可求解；②当两个函数的交点在AB上时，利用两函数与x轴的交点坐标，求函数N的解析式，令y＝1，即可求得a值；③当“对称函数”经过点B时，将坐标代入函数N的解析式即可确定a的取值范围．
【解答】解：(1)∵两个函数是关于原点O的“对称函数”，
∴两个函数的点分别关于原点中心对称，
设函数y＝﹣x+1上的任一点为(x，y)，则它的对称点为(﹣x，﹣y)，
将(﹣x，﹣y)代入函数y＝﹣x+1得：
﹣y＝x+1，
∴y＝﹣x﹣1．
函数y＝x+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为y＝﹣x﹣1；
同理可得，函数y＝(x﹣2)2+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为y＝﹣(x+2)2﹣1，
故答案为：y＝﹣x﹣1；y＝﹣(x+2)2﹣1；
(2)函数G的解析式为y＝﹣(x+1)2+3，
如图，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，

∵“对称函数”的开口方向向下，
∴在对称轴的右侧y随自变量x的增大而减小，
函数y＝x2﹣2x在对称轴的左边y随自变量x的增大而减小，
∴函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，自变量x的取值范围为﹣1＜x＜1；
(3)①当“对称函数”的顶点在AB上时，如图，

∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a(x﹣1)2﹣4a，
∴二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为直线x＝1，
∵点C(2，0)为对称中心，
∴函数N的对称轴为直线x＝3，
∴函数N的顶点坐标为(3，1)，
∵(3，1)关于点C(2，0)对称的点为(1，﹣1)，
∴将(1，﹣1)代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得：
a﹣2a﹣3a＝﹣1，
∴a＝；
②当两个函数的交点在AB上时，如图，

二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴的交点为(﹣1，0)和(3，0)，
∵点C(2，0)为对称中心，
∴函数N与x轴的交点为(5，0)和(1，0)，
∴函数N的解析式为y＝﹣ax2+6ax﹣5a，
当y＝1时，
，
解得：a＝；
③当“伴随函数”经过点B时，如图，

∵点B(4，1)，
∴1＝﹣a×16+6a×4﹣5a，
解得：a＝．
综上，图形W与线段AB恰有2个公共点，a的取值范围为a＝或a＝或a＞．
12．(2022春•鼓楼区校级期末)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2(a+1)x+a+2(a≠0)．
(1)当a＝﹣时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；
(2)请直接写出二次函数图象的对称轴是直线(用含a的代数式表示)及二次函数图象经过的定点坐标是 　(1，0)　．
(3)若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；
(4)已知点A(0，﹣3)、B(5，﹣3)，若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．
【分析】(1)利用对称轴公式求得对称轴为直线x＝﹣7，再代入解析式求得y的值，即可求得顶点坐标；
(2)利用对称轴公式求得对称轴，把解析式变形得到y＝(x﹣1)[a(x﹣1)﹣2]，即可得到二次函数经过的定点坐标为(1，0)；
(3)根据(2)可知：二次函数图象的对称轴为直线x＝1+，分a＞0或a＜0两种情况，分对称轴在已知范围的左边，中间，右边分类讨论最值即可解答；
(4)分类讨论顶点在线段AB上，a＞0，a＜0，由点A，B和抛物线的位置结合图象求解．
【解答】解：(1)a＝﹣时，y＝﹣x2﹣x+
∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣7，
把x＝﹣7代入y＝﹣x2﹣x+得，y＝8，
∴顶点坐标为(﹣7，8)；
(2)∵y＝ax2﹣2(a+1)x+a+2(a≠0)．
∴对称轴为直线x＝﹣＝1+，
∵y＝ax2﹣2(a+1)x+a+2＝a(x﹣1)2﹣2(x﹣1)＝(x﹣1)[a(x﹣1)﹣2]，
∴二次函数经过的定点坐标为(1，0)；
故答案为：(1，0)；
(3)由(2)知：二次函数图象的对称轴为直线x＝1+，
分两种情况：
①当a＜0时，1+＜1，
在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，y＝0，
而当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，
所以此种情况不成立；
②当a＞0时，1+＞1，
i)当1＜1+≤3时，即a≥，
当x＝5时，二次函数的最大值为y＝25a﹣10(a+1)+a+2＝8，
∴a＝1，
此时二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3；
ii)当1+＞3时，
在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，即x＝1有最大值，
所以此种情况不成立；
综上所述：此时二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
(4)分三种情况：
①当抛物线的顶点在线段AB上时，抛物线与线段AB只有一个公共点，
即当y＝﹣3时，ax2﹣2(a+1)x+a+2＝﹣3，
ax2﹣2(a+1)x+a+5＝0，
Δ＝4(a+1)2﹣4a(a+5)＝0，
∴a＝，
当a＝时，x2﹣x+＝0，
解得：x1＝x2＝4(符合题意，如图1)，

②当a＞0时，如图2，

当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，
∴，
解得：﹣5＜a＜，
∴0＜a＜；
③当a＜0时，如图3，

当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，
∴，
解得：﹣5＜a＜，
∴﹣5＜a＜0；
综上所述，a的取值范围是：a＝或0＜a＜或﹣5＜a＜0．
13．(2022春•西湖区校级期末)如图所示，在矩形AOCD中，把点D沿AE对折，使点D落在OC上的F点．已知AO＝8，AD＝10．
(1)求F点的坐标；
(2)如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与抛物线仅一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线经过O，F，且直线y＝6x﹣36是该抛物线的切线．求抛物线的解析式．并验证点M(5，﹣5)是否在该抛物线上．
(3)在(2)的条件下，若点P是位于该二次函数对称轴右侧图象上不与顶点重合的任意一点，试比较∠POF与∠MOF的大小(不必证明)，并写出此时点P的横坐标xP的取值范围．

【分析】(1)由折叠可知AD＝AF，再由直角三角形的勾股定理求解即可；
(2)设y＝ax2+bx，将F(6，0)代入可得b＝﹣6a，可得y＝ax2﹣6ax，联立方程组，Δ＝0，可得a＝1，即可求抛物线的解析式；
(3)设P(xP，xP2﹣6xP)，过点M作MG⊥x轴交于G，过P点作PH⊥x轴交于H，可得∠MOF＝45°，当∠POH＝45°时，xP＝7，再分三种情况讨论：当xP＝7时∠POF＝∠MOF；当xP＞7时∠POF＞∠MOF；当3＜xP＜7时∠POF＜∠MOF．
【解答】解：(1)由折叠可知AD＝AF，
∵AD＝10，
∴AF＝10，
∵AO＝8，
∴OF＝6，
∴F(6，0)；
(2)设y＝ax2+bx，
将F(6，0)代入可得b＝﹣6a，
∴y＝ax2﹣6ax，
联立方程组，
整理得ax2﹣6ax﹣6x+36＝0，
∴Δ＝0，可得a＝1，
∴y＝x2﹣6x，
将点M(5，﹣5)代入y＝x2﹣6x，等式成立，
∴M点在抛物线上；
(3)设P(xP，xP2﹣6xP)，
∵M(5，﹣5)，
过点M作MG⊥x轴交于G，过P点作PH⊥x轴交于H，
∴MG＝OG＝5，
∴∠MOF＝45°，
当∠POH＝45°时，xP＝xP2﹣6xP，
∴xP＝0(舍)或xP＝7，
∴当xP＝7时∠POF＝∠MOF；
当xP＞7时∠POF＞∠MOF；
当3＜xP＜7时∠POF＜∠MOF．

14．(2022•南京模拟)已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点A(﹣1，0)，C(0，﹣3)两点，对称轴为直线x＝1，对称轴与x轴交于点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上的点，当∠ACP＝45°时，求点P的坐标；
(3)点F为二次函数图象上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．

【分析】(1)由对称轴为直线x＝1则设抛物线y＝a(x﹣1)2+k代入点A、C的坐标求出解析式；
(2)过AC作AQ⊥AC，且AQ＝AC，过A作MN∥y轴，过C作CN⊥MN于N，过Q作QM⊥MN于M，构建△MQA≌△NAC，即可得出Q(2，1)，求得直线CQ的解析式为：yCQ＝2x﹣3与抛物线解析式联立即可得出P点坐标；
(3)设N(1，n)，M(m，m2﹣2m﹣3)，分以AF为对角线时以AN为对角线时，以AM为对角线时，进行讨论，列出方程组，即可解答问题．
【解答】解：(1)∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴设抛物线y＝a(x﹣1)2+k，
把A(﹣1，0)，C(0，﹣3)代入y＝a(x﹣1)2+k得：，
∴，
∴y＝(x﹣1)2﹣4；
(2)如图过AC作AQ⊥AC，且AQ＝AC，过A作MN∥y轴，过C作CN⊥MN于N，过Q作QM⊥MN于M，
∴∠ACQ＝45°，点P即所求的点，

∴∠QMA＝∠CNA＝90°，∠QAC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，∠1+∠MQA＝90°，
∴∠2＝∠MQA，
∴△MQA≌△NAC(AAS)，
∴MA＝NC＝1，MQ＝AN＝3，
∴Q(2，1)，
设直线CQ的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴yCQ＝2x﹣3，
∴，
∴，，
∴P(4，5)；
(3)∵y＝(x﹣1)2﹣4，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
依题意设N(1，n)，M(m，m2﹣2m﹣3)，
∵C(0，﹣3)，对称轴为直线x＝1，
∴F(2，﹣3)，
∵A(﹣1，0)，F(2，﹣3)，N(1，n)，M(m，m2﹣2m﹣3)，
当以AF为对角线时，

，
∴m＝0，
∴M(0，﹣3)，
当以AN为对角线时，

，
∴m＝﹣2，
∴M(﹣2，5)，
当以AM为对角线时，

，
∴m＝4，
∴M(4，5)，
综上所述：M(0，﹣3)或M(﹣2，5)或M(4，5)．
15．(2022•兴宁区校级模拟)如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C(2，﹣3)，且与x轴交于原点及点B(8，0)，点A为抛物线的顶点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是等腰三角形？如果存在，请求出点M的坐标．如果不存在，请说明理由；
(3)若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为，求的最小值．

【分析】(1)运用待定系数法即可求出答案；
(2)分三种情况：①当AM＝BM，时，点P与F重合；②当AB＝AM＝4时，M在x上方和下方两种情况；③当AB＝BM＝4时，由等腰三角形“三线合一”即可求出；
(3)如图2，以O为圆心，为半径作圆，则点P在圆周上，在OA上取点D，使OD＝，连接PD，根据相似三角形的判定定理得到△APO∽△PDO，根据相似三角形的性质得到＝＝＝2，从而得：PD＝AP，当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，过点D作DG⊥OB于点G，由于OD＝，且△ABO为等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：(1)由题意，
解得：，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x；
(2)过点A作直线AF⊥x轴于点F，
由(1)得y＝(x﹣4)2﹣4，
∴抛物线的顶点A(4，﹣4)，
①AM＝BM，
∵B(8，0)，
∴BF＝4，
∵∠AFB＝90°，AF＝BF＝4，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴M在点F处，△ABM是等腰直角三角形，此时M为(4，0)，
②AB＝AM，
由①得△ABF是等腰直角三角形，BF＝4，
∴AB＝＝＝4，
∴M为(4，﹣4﹣4)或(4，﹣4+4)，
③AB＝BM，
∵AB＝BM，BF⊥AM，
∴MF＝AF，
∴M为(4，4)，
综上所述，M为(4，0)，(4，﹣4﹣4)或(4，﹣4+4)或(4，4)；
(3)如图2，以O为圆心，为半径作圆，则点P在圆周上，
在OA上取点D，使OD＝，连接PD，
则在△APO和△PDO中，
满足：＝＝2，∠AOP＝∠POD，
∴△APO∽△PDO，
∴＝＝＝2，
从而得：PD＝AP，
∴AP+PB＝PD+PB，
∴当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，
过点D作DG⊥OB于点G，由于OD＝，且△ABO为等腰直角三角形，
则有DG＝1，∠DOG＝45°，
∴AP+PB的最小值为：AP+PB＝DB＝＝＝5．


16．(2022•南京模拟)已知二次函数解析式为y＝x﹣1(a≠0)，该抛物线与y轴交于点A，其顶点记为B，点A关于抛物线对称轴的对称点记为C．已知点D在抛物线上，且点D的横坐标为2，DE⊥y轴交抛物线于点E．
(1)求点D的纵坐标．
(2)当△ABC是等腰直角三角形时，求出a的值．
(3)当0≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为2时，求a的取值范围．
(4)设点R(a﹣3，﹣1)，点A、R关于直线DE的对称点分别为N、M，当抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象中，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出a的取值范围．
【分析】(1)将x＝2代入抛物线解析式即可求D点坐标；
(2)求出B(，﹣)，C(a+2，﹣1)，由题意可得||＝|﹣1+|，求出a的值即可；
(3)分四种情况讨论：①当＜0时，a＜﹣2符合题意；②当＞2时，a＞2，符合题意；③当0≤≤1时，﹣2≤a＜0，得a＝﹣2；④当1＜≤2时，0＜a≤2，得a＝2；
(4)由A(0，﹣1)，R(a﹣3，﹣1)，得N(0，﹣5)，R(a﹣3，﹣5)，当a＞0且≥a﹣3时，a﹣3＞0，可得3＜a≤8；当a＞0且＜a﹣3时，a﹣3＞0，(a﹣3)2﹣•(a﹣3)﹣1≤﹣5，解得a≤15；当a＜0时，﹣≥﹣1，解得a＜0．
【解答】解：(1)当x＝2时，y＝﹣3，
∴D(2，﹣3)；
(2)令x＝0，则y＝﹣1，
∴A(0，﹣1)，
∵y＝x﹣1＝(x﹣)2﹣，
∴顶点B(，﹣)，
∵抛物线的对称轴为直线x＝，
∴C(a+2，﹣1)，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB⊥BC，
∴||＝|﹣1+|，
解得a＝±2或a＝﹣，
当a＝2时，B(0，1)，C(0，﹣1)，此时C点与A点重合，
∴a＝2(舍)；
∴a＝﹣2或a＝﹣；
(3)∵抛物线的对称轴为直线x＝，
①当＜0时，a＜﹣2，
此时当x＝0时，函数有最大值﹣1，
当x＝2时，函数有最小值﹣3，
∴函数的最大值与最小值的差为2；
②当＞2时，a＞2，
此时当x＝0时，函数有最大值﹣1，
当x＝2时，函数有最小值﹣3，
∴函数的最大值与最小值的差为2；
③当0≤≤1时，﹣2≤a＜0，
此时当x＝，函数有最大值﹣，
当x＝2时，函数有最小值﹣3，
∵函数的最大值与最小值的差为2，
∴﹣+3＝2，
∴＝1，
解得a＝﹣2；
④当1＜≤2时，0＜a≤2，
此时当x＝0时，函数有最大值﹣1，
当x＝时，函数有最小值﹣，
∵函数的最大值与最小值的差为2，
∴﹣1+＝2，
∴＝3，
解得a＝2；
综上所述：a≤﹣2或a≥2时，函数的最大值与最小值的差为2；
(4)∵D(2，﹣3)，DE⊥y轴，
∴DE所在直线为y＝﹣3，
∵A(0，﹣1)，R(a﹣3，﹣1)，
∴N(0，﹣5)，R(a﹣3，﹣5)，
当a＞0且≥a﹣3时，
∴0＜a≤8，
∵a﹣3＞0，
∴3＜a≤8；此时抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象，y随x的增大而减小；
当a＞0且＜a﹣3时，
解得a＞8，
∵a﹣3＞0，
∴a＞3，
∵(a﹣3)2﹣•(a﹣3)﹣1≤﹣5，
解得a≥15；此时抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象，y随x的增大而减小；
当a＜0时，﹣≥﹣1，
解得a＜0，此时抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象，y随x的增大而增大；
综上所述：a≥15或a＜0或3＜a≤8时，符合题意．
17．(2021•九龙坡区校级模拟)若直线y＝﹣2x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数y＝ax2+3x+c的图象经过点A，交x轴于C、D两点，且抛物线的对称轴为直线x＝．
(1)求二次函数的解析式；
(2)过点C作直线CE∥AB交y轴于点E，点P是直线CE上一动点，点Q是第一象限抛物线上一动点，求四边形APBQ面积的最大值与此时点Q的坐标；
(3)在(2)的结论下，点E是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点G，直线EQ交x轴于点F，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得∠MFQ+∠CAO＝45°，求点M的坐标．

【分析】(1)先由直线y＝﹣2x+4求出点A的坐标，再由点A在抛物线上和抛物线的对称轴为直线x＝列方程组求出a、c的值；
(2)根据直线y＝﹣2x+4求出点B的坐标，根据(1)中求得的抛物线的解析式求出点C的坐标，△ABP的面积等于△ABC的面积且为定值，设点Q的横坐标为x，过点Q分别作x轴、y轴的垂线，用含x的代数表示△ABQ的面积，再根据二次函数的性质求出当△ABQ的面积最大时的x值，进而求出四边形APBQ面积的最大值及此时点Q的坐标；
(3)通过计算，得出GE＝GF，可见∠GFQ＝45°．当点M在直线EF下方，则只要作出∠GFM＝∠CAO，则∠MFQ＝∠CAO．可通过求EQ的解析式的方法求得点F的坐标，再求MG的长，从而得到点M的坐标；当点M在直线EF的上方，作点M关于直线EF的对称点J，求直线FJ的解析式，再求出另一点M的坐标．
【解答】解：(1)由直线y＝﹣2x+4与y轴交于点A，得A(0，4)，
又抛物线经过点A且对称轴为直线x＝，
则c＝4，由﹣＝，得a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4．
(2)如图1，作QH⊥AB于点H，QN∥y轴交直线AB于点N．
设点Q(x，﹣x2+3x+4)，则F(x，﹣2x+4)；
当y＝0时，由﹣x2+3x+4＝0得，x1＝﹣1，x2＝4，
∴C(﹣1，0)，D(4，0)；
由﹣2x+4＝0，得x＝2，
∴B(2，0)，
∴AB＝．
∵∠HNQ＝∠OAB，
∴，
∴HQ＝QN＝(﹣x2+3x+4+2x﹣4)＝(﹣x2+5x)，
由CE∥AB，可得，
∴S四边形APBQ＝S△ABQ+S△ABP
＝(﹣x2+5x)+6
＝﹣x2+5x+6
＝﹣(x﹣)2+，
∴当x＝时，四边形APBQ的面积最大，四边形APBQ的最大面积为，此时Q(，)．

(3)存在．
如图2，由y＝﹣x2+3x+4＝﹣(x﹣)2+，得E(，)，又Q(，)，
设直线EF的解析式为y＝kx+b，则，解得，
∴F(，0)，GF＝＝＝GE，
∴△EGF是等腰直角三角形．
若点M在直线EF下方，当时，则∠GFM＝∠CAO，
∴∠MFQ+∠CAO＝45°，此时MG＝×＝，
∴M(，)．
若点M在直线EF上方，作点M关于直线EF的对称点J，连接EJ，则△MEJ是等腰直角三角形，
∴EJ∥x轴．
∵EJ＝EM＝，
∴J(，)．
设直线FJ的解析式为y＝mx+n，则，
解得，
∴y＝﹣4x+31，当x＝时，y＝﹣4×+31＝25，
此时，M(，25)．
综上所述，点M的坐标为(，)或(，25)

18．(2022•成都模拟)如图1所示，直线y＝x+3与x轴、y轴分别相交于点A，点B，点C(1，2)在经过点A，B的二次函数y＝ax2+bx+c的图象上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为线段AB上(不与端点重合)的一动点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，求PQ+PB取得最大值时点P的坐标；
(3)如图2，连接BC并延长，交x轴于点D，E为第三象限抛物线上一点，连接DE，点G为x轴上一点，且G(﹣1，0)，直线CG与DE交于点F，点H在线段CF上，且∠CFD+∠ABH＝45°，连接BH交OA于点M，已知∠GDF＝∠HBO，求点H的坐标．

【分析】(1)求得A、B两点坐标，将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式，进而求得结果；
(2)作PD⊥OB于D，设出点P和Q点坐标，表示出PQ的长，由△BPD∽△BAO表示出PB，从而表示出PQ+PB，进而根据二次函数性质求得结果；
(3)作CN⊥AD于N，作MT⊥AB于T，根据条件推出BM平分∠ABO，根据S△ABM+S△BOM＝S△AOB，求得OM长，进而得出直线CG，BM的解析式，进一步求得结果．
【解答】解：(1)由题意得：A(﹣4，0)，B(0，3)，
∴，
∴，
∴y＝﹣﹣+3；
(2)如图1，

作PD⊥OB于D，
设Q(m，﹣﹣+3)，P(m，m+3)，
∴PQ＝﹣﹣+3﹣(＝﹣﹣，
∵PD∥OA，
∴△BPD∽△BAO，
∴＝，
∴＝，
∴PB＝﹣，
∴PQ+PB＝﹣﹣m﹣m＝﹣﹣，
∴当m＝﹣＝﹣，
∵+3＝，
∴P(﹣，)；
(3)如图2，

作CN⊥AD于N，作MT⊥AB于T，
∵C(1，2)，G(﹣1，0)，
∴CN＝GN＝2，
∴∠CGN＝∠NCG＝45°，
∴∠CFD+∠GDF＝45°，
∵∠CFD+∠ABH＝45°，
∴∠GDF＝∠ABH，
∵∠GDF＝∠HBO，
∴∠ABH＝∠HBO，
∴OM＝MT，
∵S△ABM+S△BOM＝S△AOB，
∴，
∴5OM+3OM＝3×4，
∴OM＝，
∴M(﹣，0)，
∴直线BM的解析式为：y＝2x+3，
∵C(1，2)，G(﹣1，0)，
∴直线CG的解析式为：y＝x+1，
由2x+3＝x+1得，x＝﹣2，
∴x+1＝﹣1，
∴H(﹣2，﹣1)．
19．(2022秋•甘井子区校级月考)抛物线y＝x2+bx+c过A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴相交于点C，点C、D关于抛物线的对称轴对称．
(1)抛物线的解析式是 　y＝x2﹣2x﹣3　，△ABD的面积为 　6　；
(2)在直线AD下方的抛物线上存在点P，使△APD的面积最大，求出最大面积．
(3)当t≤x≤t+1时，函数y＝x2+bx+c的最小值为5，求t的值．
(4)若点M在y轴上运动，点N在x轴上运动，当以点D、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时M点的坐标．

【分析】(1)把A(﹣1，0)，B(3，0)代入y＝x2+bx+c中，可求抛物线的解析式，再利用三角形的面积公式求△ABD的面积即可；
(2)过点P作PM⊥x轴于点M，交AD于点N．设点P的横坐标为m，则P(m，m2﹣2m﹣3)，N(m，﹣m﹣1)，可得PN＝﹣m﹣1﹣(m2﹣2m﹣3)＝﹣m2+m+2．可得S△APD＝S△APN+S△DPN＝﹣(m﹣)2+．根据二次函数的最值即可求解；
(3)将二次函数解析式化为顶点式，分类讨论x＝t，x＝t+1时y取最小值；
(4)分三种情形，①当∠DNM＝90°，ND＝NM时，②当∠DMN＝90°，MN＝MD时，③当∠NDM＝90°，DN＝DM时，分别求解即可．
【解答】解：(1)把A(﹣1，0)，B(3，0)分别代入y＝x2+bx+c(a≠0)中，
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴C(0，﹣3)，
∵点C、D关于抛物线的对称轴对称，y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，
∴抛物线的对称轴为x＝1，点D(2，﹣3)，
∴△ABD的面积为AB•OC＝×4×3＝6，
故答案为：y＝x2﹣2x﹣3，6；
(2)过点P作PM⊥x轴于点M，交AD于点N．

设直线AD的解析式为y＝kx+a，
把A(﹣1，0)，D(2，﹣3)分别代入y＝kx+a中，
得，
解得：，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣1，
设点P的横坐标为m，则P(m，m2﹣2m﹣3)，N(m，﹣m﹣1)，
∴PN＝﹣m﹣1﹣(m2﹣2m﹣3)＝﹣m2+m+2．
∴S△APD＝S△APN+S△DPN
＝PN•(xD﹣xA)
＝×(﹣m2+m+2)×(2+1)
＝﹣×(m2﹣m﹣2)
＝﹣(m﹣)2+．
∴当m＝时，△APD的最大面积为；
(3)∵y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，﹣4)，
①当t+1＜1时，t＜0，
当x＝t+1时，y＝(t+1﹣1)2﹣4＝5为最小值，
解得t＝3(舍去)或t＝﹣3；
②当t≤1，t+1≥1时，0≤t≤1，
此时，函数的最小值为﹣4≠5；
③当t＞1时，
x＝t时，y＝(t﹣1)2﹣4＝5为最小值，
解得t＝4或t＝﹣2(舍去)，
综上所述，t的值为﹣3或4；
(4)①当∠DNM＝90°，ND＝NM时，如图，过点D作DE⊥x轴于E，

∴DE＝3，OE＝2，
∵∠MON＝∠DEN＝90°，∠DNM＝90°，
∴∠MNO＝∠NDE，
∵ND＝NM，
∴△MNO≌△NDE(AAS)，
∴OM＝EN，ON＝DE＝3，
∴OM＝EN＝ON﹣OE＝3﹣2＝1，
∴M(0，1)，
如图，同理可得NE＝OM＝ON+OE＝DE+OE＝3+2＝5，

∴M(0，5)；
②当∠DMN＝90°，MN＝MD时，

∵点C、D关于抛物线的对称轴对称．
∴CD⊥y轴，
∴∠DCM＝∠MON＝90°＝∠DMN，
∴∠DMC＝∠MNO，
∵MN＝MD，
∴△MNO≌△DMC(AAS)，
∴OM＝CD＝2，
∴M(0，2)或(0，﹣2)，
③当∠NDM＝90°时，过点D作DE⊥x轴于E，

同理可得△DCM≌△DEN，则DC＝DN，
∵D(2，﹣3)，
∴DC＝2，DN＝3，与DC＝DN矛盾，故此种情况不存在，
综上所述，满足条件的M点的坐标为(0，1)或(0，5)或(0，2)或(0，﹣2)．
20．(2021秋•沙坪坝区月考)如图，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点E与点C关于抛物线对称轴对称，抛物线的对称轴与x轴交于点G．
(1)求直线AE的解析式及△ACE的面积．
(2)如图1，连接AE，交y轴于点D，点P为直线AE上方抛物线一点，连接PD、PE，直线l过点B且平行于AE，点F为直线l上一点，连接FD、FE，当四边形PDFE面积最大时，在y轴上有一点N，连接PN，过点N作NM垂直于抛物线对称轴于点M，求的最小值．
(3)连接AC，将△AOC向右平移得△A'O'C'，当A'C'的中点恰好落在∠CAB的平分线上时，将△A'O'C'绕点O'旋转，记旋转后的三角形为△A″O′C″，在旋转过程中，直线A″C″与y轴交于点K，与直线AC交于点H，在平面中是否存在一点Q，使得以C、K、H、Q为顶点的四边形是以KH为边的菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】(1)由抛物线解析式可求得点A，B，C，E的坐标，由待定系数法可求出AE的解析式；根据三角形的面积公式可得出△ACE的面积；
(2)根据AE∥BF可得S△DEF为定值，由铅锤法可求得S△PDE的最大值，此时S四边形PDFE 最大，确定点P坐标，PN+NM+MG的最小值转化为PN+NM+NO的最小值，其中NM是定值，问题本质是“胡不归”问题，再构造60°角转化NO，利用垂线段最短即可求得其最小值；
(3)根据A′C′中点落在∠CAB的角平分线上可确定点O′坐标，再求出当△CKH为等腰三角形时，K，H的坐标，最后利用翻折或菱形的性质求得点Q坐标．
【解答】解：(1)作O与y轴夹角是60°角的直线l2，作PS∥y轴交AE于点S，交l2于点J，作NT⊥l2于点T，设直线FB与y轴交于点I，连接IE，IE，如图：

∵＝﹣(x+1)(x﹣3)＝﹣(x﹣1)2+，
令y＝0得x＝﹣1或x＝3，
∴A(﹣1，0)，B(3，0)，
令x＝0得y＝，
∴C(0，)，
∵抛物线对称轴为直线x＝1，C、E关于对称轴对称，
∴E(2，)，
设直线AE解析式为y＝kx+b，
则，解得，
∴直线AE的解析式为：y＝x+，
∴D(0，)，
∴CD＝．
∴S△ACE＝CD•(xE﹣xA)＝ו[2﹣(﹣1)]＝．
(2)∵AE∥BF，B(3，0)
∴直线BF的解析式为：y＝x﹣，
∴I(0，﹣)，
∴S△DEF＝S△DEI＝DI•xE＝×(+)×2＝，
设P(m，﹣m2+m+)，(﹣1＜m＜2)，则S(m，m+)，
∴PS＝(m﹣m2+m+)﹣(m+)＝﹣m2+m+)＝﹣(m﹣)2+，
∴S△PDE＝PS•(xE﹣xD)＝×[﹣(m﹣)2+]×2＝﹣(m﹣)2+，
当m＝时，S△PDE有最大值，S四边形PDFE取得最大值，此时P(，)，
∵NM⊥MG，MG⊥OG，OG⊥ON，
∴∠NMG＝∠MGO＝∠GON＝90°，
∴四边形NMGO为矩形，
∴NO＝MG，
∴PN+NM+MG＝PN+1+NO＝PN+1+NO•sin∠NOT＝PN+1+NT≥1+PT，
∴当P，N，T三点共线且PT⊥l2时，PN+NM+MG取得最小值，
∵直线l2过原点且∠NOT＝60°，
∴直线l2的解析式为：y＝﹣x，
∴J(，﹣)，
∴PJ＝+＝，
∴PN+NM+MG的最小值为1+•sin∠PJT＝1+＝；
(3)存在，理由如下：
设A′C′的中点为L，AL平分∠OAC，作LX⊥OB于点X，如图2：

∵OC＝，OA＝1，
∴tan∠OAC＝＝，
∴∠OAC＝∠O′A′C′＝60°，
∵AL平分∠OAC，
∴∠A′AL＝∠A′LA＝30°，
∴A′A＝A′L，
∵L为A′C′的中点，
∴LX＝C′O′＝，
∴A′L＝＝1，
∴A′A＝A′L＝1，即O，A′重合，O′(1，0)
①当HC＝HK时，设直线A′′C′′与x轴交于点Y，如图3：

将△HCK沿y轴翻折可得菱形CHKQ，
∴∠HKC＝∠HCK＝∠ACO＝30°，
∴∠O′YA′′＝∠O′A′′Y＝60°，
∴O′Y＝O′A′′＝1，
∴Y(2，0)，
∵kA′′C′′＝﹣，
∴由待定系数法直线A′′C′′的解析式为：y＝﹣x+2，
∵A(﹣1，0)，C(0，)，
∴直线AC的解析式为：y＝x+，
令﹣x+2＝x+，
解得x＝，
∴H(，)，
∴Q(﹣，)．
如图4：

同理可得：∠HKC＝∠HCK＝30°，
∴∠YHA＝∠YAH＝60°，
∴∠O′YA′′＝∠O′A′′Y＝60°，kA′′C′′＝﹣，
∴O′Y＝O′A′′＝O′O＝1，
∴O，K，Y重合，
∴直线A′′C′′的解析式为：y＝﹣x，
令x+＝﹣x，
解得x＝﹣．
∴H(﹣，)，
∴Q(，)．
②当KH＝KC时，作QZ⊥OC于点Z，如图5：

∵∠KHC＝∠KCH＝30°，∠CAY＝60°，
∴∠CKY＝60°，∠O′YC′′＝∠O′C′′Y＝30°，
∴kA′′C′′＝，O′Y＝O′C′′＝，
∴Y(1+，0)，
∴由待定系数法得直线A′′C′′的解析式为：y＝x﹣﹣1，
∴K(0，﹣﹣1)，
在菱形CKHQ中，CQ＝CK＝++1＝，
∵∠QCZ＝2∠KCH＝60°，
∴CZ＝CQ•cos∠QCZ＝，QZ＝CQ•sin∠QCZ＝，
∴OZ＝OC﹣CZ＝﹣＝，
∴Q(﹣，)．
如图6：

∵∠KHC＝∠KCH＝30°，∠CAO＝60°
∴∠C′′YO′＝∠AYH＝∠O′C′′A′′＝30°
∴O′Y＝O′C′′＝，kAkA′′C′′＝，
∴Y(1﹣，0)，
∴由待定系数法得直线A′′C′′的解析式为：y＝x﹣+1，
∴K(0，﹣+1)，
在菱形CKHQ中，CQ＝CK＝+﹣1＝，
∴CZ＝CQ•cos∠QCZ＝，QZ＝CQ•sin∠QCZ＝，
∴OZ＝OC﹣CZ＝﹣＝，
∴Q(，)．
综上所述，点Q的坐标为：(﹣，)或(，)或Q(﹣，)或(，)．