专题5二次函数与面积最值定值问题-挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（学生版）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘

              专题5二次函数与面积最值定值问题

面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积(如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题)以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决这类问题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法. 面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．二是先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．

解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下：

如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．

如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．

图1                       图2                     图3

计算面积长用到的策略还有：

如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．

如图5，同底三角形的面积比等于高的比．

如图6，同高三角形的面积比等于底的比．

图4                   图5            图6

【例1】(2022•青海)如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；

(3)设点P是(1)中抛物线上的一个动点，是否存在满足S△PAB＝6的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(请在图2中探讨)

【例2】(2022•随州)如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c(a＜0)与x轴分别交于点A和点B(1，0)，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．

(1)直接写出抛物线的解析式；

(2)如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；

(3)设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【例3】(2022•成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3(k≠0)与抛物线y＝﹣x2相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，点B关于y轴的对称点为B'．

(1)当k＝2时，求A，B两点的坐标；

(2)连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；

(3)试探究直线AB'是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

【例4】(2022•岳阳)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y＝x2+bx+c经过点A(﹣3，0)和点B(1，0)．

(1)求抛物线F1的解析式；

(2)如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；

(3)如图3，将(2)中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点(点C在点D的左侧)．

①求点C和点D的坐标；

②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点(点M，N与点C，D不重合)，试求四边形CMDN面积的最大值．

1．(2022•金坛区二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx﹣2的图象与x轴交于点A(3，0)，B(点B在点A左侧)，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，作直线AD．

(1)填空：b＝　   　；

(2)将△AOC平移到△EFG(点E，F，G依次与A，O，C对应)，若点E落在抛物线上且点G落在直线AD上，求点E的坐标；

(3)设点P是第四象限抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交AC于点T．若∠CPT+∠DAC＝180°，求△AHT与△CPT的面积之比．

2．(2022•罗城县模拟)如图，已知抛物线y＝ax2+b经过点A(2，6)，B(﹣4，0)，其中E、F(m，n)为抛物线上的两个动点．

(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；

(2)若C(x，y)是抛物线上的一点，当﹣4＜x＜2且S△ABC最大时，求点C的坐标；

(3)若EF∥x轴，点A到EF的距离大于8个单位长度，求m的取值范围．

3．(2022•老河口市模拟)在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2mx的顶点为A，直线l：y＝x﹣1与x轴交于点B．

(1)如图，已知点A的坐标为(2，4)，抛物线与直线l在第一象限交于点C．

①求抛物线的解析式及点C的坐标；

②点M为线段BC上不与B，C重合的一动点，过点M作x轴的垂线交x轴于点D，交抛物线于点E，设点M的横坐标t．当EM＞BD时，求t的取值范围；

(2)过点A作AP⊥l于点P，作AQ∥l交抛物线于点Q，连接PQ，设△APQ的面积为S．直接写出①S关于m的函数关系式；②S的最小值及S取最小值时m的值．

4．(2022•新吴区二模)如图，已知抛物线y＝+bx过点A(﹣4，0)、顶点为B，一次函数y＝x+2的图象交y轴于M，对称轴与x轴交于点H．

(1)求抛物线的表达式；

(2)已知P是抛物线上一动点，点M关于AP的对称点为N．

①若点N恰好落在抛物线的对称轴上，求点N的坐标；

②请直接写出△MHN面积的最大值．

5．(2022•开福区校级二模)如图，抛物线y＝(x+1)(x﹣a)(其中a＞1)与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．

(1)直接写出∠OCA的度数和线段AB的长(用a表示)；

(2)如图①，若a＝2，点D在抛物线的对称轴上，DB＝DC，求△BCD与△ACO的周长之比；

(3)如图②，若a＝3，动点P在线段OA上，过点P作x轴的垂线分别与AC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△BPM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．

6．(2022•官渡区二模)抛物线交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于点C，对称轴为直线．

(1)如图1，若点C坐标为(0，2)，则b＝　   　，c＝　   　；

(2)若点P为第二象限抛物线上一动点，在(1)的条件下，求四边形ABCP面积最大时，点P坐标和四边形ABCP的最大面积；

(3)如图2，点D为抛物线的顶点，过点O作MN∥CD别交抛物线于点M，N，当MN＝3CD时，求c的值．

7．(2022•徐州二模)如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，动点P从A点出发，沿边AB运动到点B，动点Q同时由A点出发，沿折线AD﹣DC﹣CB运动点B停止，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，已知y与x之间函数关系如图②，其中MN为线段，曲线OM，NK为抛物线的一部分，根据图中信息，解答下列问题：

(1)图①AB＝　   　，BC＝　   　；

(2)分别求线段MN，曲线NK所对应的函数表达式；

(3)当x为何值，△APQ的面积为6？

8．(2022•茌平区一模)如图，已知二次函数的图象交x轴于点B(﹣8，0)，C(2，0)，交y轴点A．

(1)求二次函数的表达式；

(2)连接AC，AB，若点P在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点P作PD∥AC，交AB于点D，试猜想△PAD的面积有最大值还是最小值，并求出此时点P的坐标．

(3)连接OD，在(2)的条件下，求出的值．

9．(2022•碑林区校级模拟)抛物线W1：y＝a(x+)2﹣与x轴交于A(﹣5，0)和点B．

(1)求抛物线W1的函数表达式；

(2)将抛物线W1关于点M(﹣1，0)对称后得到抛物线W2，点A、B的对应点分别为A'，B'，抛物线W2与y轴交于点C，在抛物线W2上是否存在一点P，使得S△PA′B′＝S△PA'C，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

10．(2021秋•钦北区期末)如图，抛物线y＝ax2+bx+6与直线y＝x+2相交于A(，)、B(4，6)两点，点P是线段AB上的动点(不与A、B两点重合)，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C，点E是直线AB与x轴的交点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点C是抛物线的顶点时，求△BCE的面积；

(3)是否存在点P，使得△BCE的面积最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

11．(2022•保定一模)如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t秒(t＞0)，抛物线y＝x2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为A(1，0)，B(1，﹣5)，D(4，0)．

(1)求c，b(含t的代数式表示)；

(2)当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．

①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；

②求△MPN的面积S与t的函数关系式．并求t为何值时，△MPN的面积为．

12．(2022•黄石模拟)如图，已知抛物线与x轴交于A(2，0)，B两点，与y轴交于点C(0，﹣4)，直线与x轴交于点D，点P是抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F．

(1)求该抛物线的表达式；

(2)点P是抛物线上位于第三象限的一动点，设点P的横坐标是m，四边形PCOB的面积是S．①求S关于m的函数解析式及S的最大值；②点Q是直线PE上一动点，当S取最大值时，求△QOC周长的最小值及FQ的长．

13．(2022•哈尔滨模拟)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴的负半轴交于点A，与x的正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，OB＝2OA．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点D是第四象限内抛物线上一点，连接AD交y轴于点E，过C作CF⊥y轴交抛物线于点F，连接DF，设四边形DECF的面积为S，点D的横坐标的t，求S与t的函数解析式；

(3)在(2)的条件下，过F作FM∥y轴交AD于点M，连接CD交FM于点G，点N是CE上一点，连接MN、EG，当∠BAD+2∠AMN＝90°，MN：EG＝，求点D的坐标．

14．(2022•利川市模拟)如图，等腰直角三角形OAB的直角顶点O在坐标原点，直角边OA，OB分别在y轴和x轴上，点C的坐标为(3，4)，且AC平行于x轴．

(1)求直线AB的解析式；

(2)求过B，C两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式；

(3)抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为D，试判定OC与BD的大小关系；

(4)若点M是抛物线上的动点，当△ABM的面积与△ABC的面积相等时，求点M的坐标．

15．(2021•襄阳)如图，直线y＝x+1与x，y轴分别交于点B，A，顶点为P的抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A．

(1)求出点A，B的坐标及c的值；

(2)若函数y＝ax2﹣2ax+c在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；

(3)连接AP，过点A作AP的垂线交x轴于点M．设△BMP的面积为S．

①直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围；

②结合S与a的函数图象，直接写出S＞时a的取值范围．

16．(2021•辽宁)如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点C(﹣1，0)，与y轴交于点B(0，3)，连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；

(3)如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．

17．(2021•贺州)如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A(﹣1，0)，对称轴为直线x＝2．

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；

(3)点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P(xP，yP)，当1≤xP≤a，1≤a≤5时，求△PCD面积的最大值(可含a表示)．

18．(2021•常德)如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与y轴交于E点，F是AD的中点，B、C、D的坐标分别为(﹣2，0)，(8，0)，(13，10)．

(1)求过B、E、C三点的抛物线的解析式；

(2)试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；

(3)设过F与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点P，当△PBQ的面积最大时，求P的坐标．

19．(2021•福建)已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴只有一个公共点．

(1)若抛物线过点P(0，1)，求a+b的最小值；

(2)已知点P1(﹣2，1)，P2(2，﹣1)，P3(2，1)中恰有两点在抛物线上．

①求抛物线的解析式；

②设直线l：y＝kx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y＝﹣1上，且∠MAN＝90°，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C．求证：△MAB与△MBC的面积相等．

20．(2021•柳州)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2+bx+c交x轴于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣)．

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD，过点B作BE⊥OD，垂足为E，若BE＝2OE，求点D的坐标；

(3)如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM，交BC于点N，连接BM，记△BMN的面积为S1，△ABN的面积为S2，求的最大值．

21．(2021•聊城)如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A(1，0)，C(0，﹣2)，连接AC，BC．

(1)求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；

(2)将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；

(3)若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标．

22．(2020•贺州)如图，抛物线y＝a(x﹣2)2﹣2与y轴交于点A(0，2)，顶点为B．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点P(t，y1)，Q(t+3，y2)都在抛物线上，且y1＝y2，求P，Q两点的坐标；

(3)在(2)的条件下，若点C是线段QB上一动点，经过点C的直线y＝﹣x+m与y轴交于点D，连接DQ，DB，求△BDQ面积的最大值和最小值．