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2023届新高考数学解析几何专题讲义 第22讲 解析几何同构
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第22讲 同构式的解题赏析高考链接：1.【2011年浙江理21】 已知抛物线，圆的圆心为点.（Ⅰ）求点到抛物线的准线的距离；（Ⅱ）已知点是抛物线上一点（异于原点），过点作圆的两条切线，交抛物线于两点，若过两点的直线垂足于，求直线的方程.解析：（I）由题意可知，抛物线的准线方程为： 所以圆心到准线的距离是（II）设，则题意得，设过点的圆的切线方程为，即 ①则即，设，的斜率为，则是上述方程的两根，所以将①代入,得由于是此方程的根，故，所以由，得，解得即点的坐标为，所以直线的方程为2. 【2018年浙江21】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．解析：（Ⅰ）设，，，则中点为，由中点在抛物线上，可得，化简得，显然，且对也有，所以是二次方程的两不等实根，所以，，即垂直于轴.（Ⅱ），由（1）可得，，，此时在半椭圆上，∴，∵，∴，∴，，所以，，所以，即的面积的取值范围是.模考链接：1.如图，已知抛物线：，直线过点与抛物线交于第一象限内两点，设的斜率分别为.(Ⅰ)求的取值范围；(Ⅱ)若直线恰好与圆:相切，求的值.解析：(Ⅰ)设：，代入，得，，得.设，则， ，所以的取值范围是.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，设过原点且与圆相切的直线为，则，整理得，，得，所以.2.已知椭圆：，点在椭圆上，点到直线的距离均等于.直线的斜率分别为.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)证明：.解析：(Ⅰ)设，因为直线：，：，所以，化简得同理所以是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理得，因为点在椭圆上，所以，即，所以 (Ⅱ) 设，，即，即因为在椭圆上，所以，即，整理得，所以，所以.3.【2019届9+1联盟期中考试】已知抛物线：上动点，点在射线上，满足的中点在抛物线上．(Ⅰ)若直线的斜率为1，求点的坐标；(Ⅱ)若射线上存在不同于的另一点， 使得的中点也在抛物线上，求的最大值．解析：(Ⅰ)设直线的方程为， 则，设，由得，所以，， 又解得 经检验都是方程的解，所以或. (Ⅱ)设，，，则由的中点在抛物线上，可得，整理得， 同理，所以是方程的两个不相等的非负根，所以 所以. 所以，当且仅当时，取“=”号.所以的最大值为. 4.【2018金华十校4月模拟】已知抛物线和，过抛物线上的一点，作的两条切线，与轴分别相交于，两点.（Ⅰ）若切线过抛物线的焦点，求直线斜率；（Ⅱ）求面积的最小值.解析：（Ⅰ）抛物线的焦点为，设切线的斜率为，则切线的方程为：，即.∴，解得：.∵，∴.（Ⅱ）设切线方程为，由点在直线上得：①圆心到切线的距离，整理得：②将①代入②得：③设方程的两个根分别为，..，由韦达定理得：，，从而，.记函数，则，..，的最小值为，当取得等号.5．【2018浙江省名校协作体试题】如图，已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；[来源:学.科（Ⅱ）过点..作抛物线的两条切线，分别为两个切点，求面积的最小值．解析：（Ⅰ）的方程为,其准线方程为． （Ⅱ）设，，， 则切线的方程：，即，又，所以..，同理切线的方程为，又和都过..点，所以，所以直线的方程为. 联立..得，所以。所以． 点到直线的距离． 所以的面积所以当时， 取最小值为。即面积的最小值为
第22讲 同构式的解题赏析高考链接：1.【2011年浙江理21】 已知抛物线，圆的圆心为点.（Ⅰ）求点到抛物线的准线的距离；（Ⅱ）已知点是抛物线上一点（异于原点），过点作圆的两条切线，交抛物线于两点，若过两点的直线垂足于，求直线的方程.解析：（I）由题意可知，抛物线的准线方程为： 所以圆心到准线的距离是（II）设，则题意得，设过点的圆的切线方程为，即 ①则即，设，的斜率为，则是上述方程的两根，所以将①代入,得由于是此方程的根，故，所以由，得，解得即点的坐标为，所以直线的方程为2. 【2018年浙江21】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．解析：（Ⅰ）设，，，则中点为，由中点在抛物线上，可得，化简得，显然，且对也有，所以是二次方程的两不等实根，所以，，即垂直于轴.（Ⅱ），由（1）可得，，，此时在半椭圆上，∴，∵，∴，∴，，所以，，所以，即的面积的取值范围是.模考链接：1.如图，已知抛物线：，直线过点与抛物线交于第一象限内两点，设的斜率分别为.(Ⅰ)求的取值范围；(Ⅱ)若直线恰好与圆:相切，求的值.解析：(Ⅰ)设：，代入，得，，得.设，则， ，所以的取值范围是.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，设过原点且与圆相切的直线为，则，整理得，，得，所以.2.已知椭圆：，点在椭圆上，点到直线的距离均等于.直线的斜率分别为.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)证明：.解析：(Ⅰ)设，因为直线：，：，所以，化简得同理所以是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理得，因为点在椭圆上，所以，即，所以 (Ⅱ) 设，，即，即因为在椭圆上，所以，即，整理得，所以，所以.3.【2019届9+1联盟期中考试】已知抛物线：上动点，点在射线上，满足的中点在抛物线上．(Ⅰ)若直线的斜率为1，求点的坐标；(Ⅱ)若射线上存在不同于的另一点， 使得的中点也在抛物线上，求的最大值．解析：(Ⅰ)设直线的方程为， 则，设，由得，所以，， 又解得 经检验都是方程的解，所以或. (Ⅱ)设，，，则由的中点在抛物线上，可得，整理得， 同理，所以是方程的两个不相等的非负根，所以 所以. 所以，当且仅当时，取“=”号.所以的最大值为. 4.【2018金华十校4月模拟】已知抛物线和，过抛物线上的一点，作的两条切线，与轴分别相交于，两点.（Ⅰ）若切线过抛物线的焦点，求直线斜率；（Ⅱ）求面积的最小值.解析：（Ⅰ）抛物线的焦点为，设切线的斜率为，则切线的方程为：，即.∴，解得：.∵，∴.（Ⅱ）设切线方程为，由点在直线上得：①圆心到切线的距离，整理得：②将①代入②得：③设方程的两个根分别为，..，由韦达定理得：，，从而，.记函数，则，..，的最小值为，当取得等号.5．【2018浙江省名校协作体试题】如图，已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；[来源:学.科（Ⅱ）过点..作抛物线的两条切线，分别为两个切点，求面积的最小值．解析：（Ⅰ）的方程为,其准线方程为． （Ⅱ）设，，， 则切线的方程：，即，又，所以..，同理切线的方程为，又和都过..点，所以，所以直线的方程为. 联立..得，所以。所以． 点到直线的距离． 所以的面积所以当时， 取最小值为。即面积的最小值为
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