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2023届新高考数学解析几何专题讲义 第5讲 向量与解析几何
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这是一份2023届新高考数学解析几何专题讲义 第5讲 向量与解析几何
第5讲 向量与解析几何问题综述本讲研究向量问题与解析几何交叉问题，具体如下：1.利用向量线性的关系，将几何问题代数化；2.利用向量垂直的充要条件，巧妙化解几何中的垂直问题；3.利用向量夹角，合理处理解析几何中的角度问题；4.利用数量积坐标形式、投影解决几何问题. 二、典例分析类型一：利用向量线性的关系，几何问题代数化【例1】过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，若，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意设，由，，即设直线的方程为联立直线与抛物线方程，消元得故即【例2】（2018年浙江高考17题）已知点，椭圆上两点满足，则当 时，点横坐标的绝对值最大. 【答案】【解析】若直线的斜率不存在，那么，不是最大值；设直线，，.由知，所以.因此，当且仅当，即时取等号.解法2：设则，，又均在椭圆上，则.而，则当时，取得最大值为4.【例3】（2018学年金丽衢十二校第二次联考17）过点的直线与椭圆交于点和，且，点满足.若为坐标原点，则的最小值为 .【答案】.【解析】解法1：常规处理（运算量偏大）情形一：直线斜率存在时，设直线为，联立：由于点在椭圆内部，显然；由韦达定理有：联立.处理1：（柯西不等式求最值）.处理2：（几何意义求最值）情形二：当直线斜率不存在时，直线方程为，此时.综上所述.解法2：定比点差（运算量较小）设点，（*），代入（*）式有.所以的轨迹方程为直线.注：背景解读：过异于原点的点引椭圆的割线，其中点在椭圆上，点是割线上异于的一点，且满足，则点在直线上.证明方法：定比点差法.类型二：利用向量垂直的充要条件，巧妙化解几何中的垂直问题【必要储备】两个非零向量垂直的充要条件是，如，，则．【例4】（2017届广西武鸣县高中高三月考）已知椭圆的左顶点为，是椭圆上异于点的任意一点，点与点关于点对称．（1）若点的坐标为，求的值；（2）若椭圆上存在点，使得以线段为直径的圆过原点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）依题意，是线段的中点，因为，，所以点的坐标为 .由点在椭圆上，所以，解得.（2）设则且又，以线段为直径的圆过原点，则OP⊥OM，即，所以=由①②得：，所以.【例5】（江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试）设点是圆上任意一点，点是点在轴上的投影，动点满足.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设点，若直线与轨迹相切于点，且与直线相交于点，求证：以为直径的圆经过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）设，由已知得，因为点在圆上，所以＝4，即.所以点的轨迹方程为.（2）证明：由 得， 如图，设点的坐标为，依题意，且，则，整理得.此时 所以，由，解得 即. 由，，，故.所以为直径的圆过定点. 类型三：利用向量夹角，合理处理解析几何中的角度问题【例6】（河北省唐山市2018届高三上学期期末）已知为抛物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线，直线交于不同的两点，直线交于不同的两点，记直线的斜率为.（1）求的取值范围；（2）设线段的中点分别为点，求证：为钝角.【解析】（1）由题可知设直线的方程为.由，则或.设直线的方程为，由，同理得或.又或，即或（2）设，由方程得即，，而，所以与不共线.故为钝角.类型四：利用数量积坐标形式、投影解决几何问题【例7】（2017浙江高考21题）如图，已知抛物线， 点，抛物线上的点，过点作直线的垂线，垂足为.（1）求直线斜率的取值范围；（2）求的最大值.【解析】（2）投影法，而代入得： . 令，则.所以在上单调递增，在上单调递减；所以当时，的最大值.注：也可将目标式转化为：，，也可，可谓殊途同归！【例8】(宁波市2018.02高三期末试卷）已知抛物线的方程为，为其焦点，过不在抛物线上的一点作次抛物线的切线，为切点，且.（1）求证：直线过定点；（2）直线与曲线的一个交点为，求的最小值.【解析】（1）设直线的方程为设，以为切点的切线方程分别为由这两条切线的斜率分别为所以直线恒过定点 （2）设当时，则，可得； 当时，则，可得 所以， 令 所以在上为减函数，在上为增函数. 所以注：也可以由三元均值得三、巩固练习1.（湖南省长沙市长郡中学2018届高三实验班选拔考试）已知椭圆，若直线经过，与椭圆交于两点，且，则直线的方程为A. B. C. D. 2.（2017江苏13）在平面直角坐标系中，点，，点在圆上．若，则点的横坐标的取值范围是 ．3.（2014年浙江文22）已知的三个顶点在抛物线：上，为抛物线的焦点，点为的中点，.（1）若，求点的坐标；（2）求面积的最大值.4.（广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测）已知椭圆的离心率为，且过点.若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两点，且两点的“椭点”分别为，以为直径的圆经过坐标原点，试求的面积.5.已知圆的圆心在坐标原点，且与直线相切.（1）求直线被圆所截得的弦的长；（2）过点作两条与圆相切的直线，切点分别为，求直线的方程；（3）若与直线垂直的直线与圆交于不同的两点，若为钝角，求直线纵截距的取值范围．6.（2017课标II，理）设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.（1）求点的轨迹方程；（2）设点在直线上，且.证明：过点且垂直于的直线过的左焦点7.已知抛物线：经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于.（1）求直线的斜率的取值范围；（2）设为原点，，，求证为定值.8.（2018学年宁波市第一学期期末）过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，抛物线在、处的切线交于．（1）求证：；（2）设，当时，求的面积的最小值．四、巩固练习参考答案1.【答案】B【解析】设直线斜率为， ， ，由与联立可得 ，则，解得，故选B.2.【答案】【解析】不妨设，则，且易知．..故．所以点在圆上，且在直线的左上方（含直线）.联立，得，，如图所示，结合图形知．3.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）由题意知焦点为，准线方程为，设，由抛物线的定义知，，得到，代入求得或，所以或，由得或.（2）设直线的方程为，，，，由得，于是，所以，，所以的中点，由，所以，所以，因为，所以，由，，所以，又因为，点到直线的距离为，所以，记，，令解得，.所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，又，所以当时 ，取得最大值，此时，所以的面积的最大值为.4.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，得， 又， 椭圆， 因点在上，，得， ， 所以椭圆的方程为：.（2）设，则， 由以为直径的圆经过坐标原点，得，即 （1） 由，消除整理得：， 由，得， 而 （2） （3） 将（2）（3）代入（1）得：，即， 又， 原点到直线的距离， 把代入上式得，即的面积是为5.【解析】（1）由题意得圆心到直线的距离等于半径，圆C的标准方程:所以圆心到直线的距离（2）因为点，所以，所以以点为圆心，线段长为半径的圆方程： （1）又圆方程为： （2），由得直线方程： （3）设直线的方程为：联立得：，设直线与圆的交点， 由，得， （3） 因为为钝角，所以，即满足，且与不是反向共线，又，所以 由（3）（4）得，满足，即， 当与反向共线时，直线过原点，此时，不满足题意，故直线纵截距的取值范围是，且. 6.【解析】（1）设，设， .由得因为在上，所以.因此点的轨迹方程为.（2）由题意知.设，则，.由得，又由知，故.所以，即.又过点存在唯一直线垂直于，所以过点且垂直于的直线过的左焦点.7.【解析】（1）由已知可得，所以抛物线的方程为，令，，直线显然不能与轴垂直，令其方程为，代入整理得，即，所以由已知可得解得且，所以直线的斜率的取值范围为.（2） 由（1）知，，而点，均在抛物线上，所以，.因为直线与直线与轴相交，则直线与直线的斜率均存在，即，，因为，所以直线的方程为.令，可得，即，同理可得，而由可得，，所以；同理由可得，，所以，所以=.8.【答案】（1）详见解析；（2）【解析】（1）设，，把抛物线看成函数求导得， 则：即，：. 解得，所以，所以． 设：与抛物线联立得：，所以，， 从而，所以，所以；（2）由（1）得，，，， 因为，所以，，所以， ，所以 ，因为，所以点到直线的 距离，所以， 令，则有，所以.
第5讲 向量与解析几何问题综述本讲研究向量问题与解析几何交叉问题，具体如下：1.利用向量线性的关系，将几何问题代数化；2.利用向量垂直的充要条件，巧妙化解几何中的垂直问题；3.利用向量夹角，合理处理解析几何中的角度问题；4.利用数量积坐标形式、投影解决几何问题. 二、典例分析类型一：利用向量线性的关系，几何问题代数化【例1】过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，若，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意设，由，，即设直线的方程为联立直线与抛物线方程，消元得故即【例2】（2018年浙江高考17题）已知点，椭圆上两点满足，则当 时，点横坐标的绝对值最大. 【答案】【解析】若直线的斜率不存在，那么，不是最大值；设直线，，.由知，所以.因此，当且仅当，即时取等号.解法2：设则，，又均在椭圆上，则.而，则当时，取得最大值为4.【例3】（2018学年金丽衢十二校第二次联考17）过点的直线与椭圆交于点和，且，点满足.若为坐标原点，则的最小值为 .【答案】.【解析】解法1：常规处理（运算量偏大）情形一：直线斜率存在时，设直线为，联立：由于点在椭圆内部，显然；由韦达定理有：联立.处理1：（柯西不等式求最值）.处理2：（几何意义求最值）情形二：当直线斜率不存在时，直线方程为，此时.综上所述.解法2：定比点差（运算量较小）设点，（*），代入（*）式有.所以的轨迹方程为直线.注：背景解读：过异于原点的点引椭圆的割线，其中点在椭圆上，点是割线上异于的一点，且满足，则点在直线上.证明方法：定比点差法.类型二：利用向量垂直的充要条件，巧妙化解几何中的垂直问题【必要储备】两个非零向量垂直的充要条件是，如，，则．【例4】（2017届广西武鸣县高中高三月考）已知椭圆的左顶点为，是椭圆上异于点的任意一点，点与点关于点对称．（1）若点的坐标为，求的值；（2）若椭圆上存在点，使得以线段为直径的圆过原点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）依题意，是线段的中点，因为，，所以点的坐标为 .由点在椭圆上，所以，解得.（2）设则且又，以线段为直径的圆过原点，则OP⊥OM，即，所以=由①②得：，所以.【例5】（江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试）设点是圆上任意一点，点是点在轴上的投影，动点满足.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设点，若直线与轨迹相切于点，且与直线相交于点，求证：以为直径的圆经过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）设，由已知得，因为点在圆上，所以＝4，即.所以点的轨迹方程为.（2）证明：由 得， 如图，设点的坐标为，依题意，且，则，整理得.此时 所以，由，解得 即. 由，，，故.所以为直径的圆过定点. 类型三：利用向量夹角，合理处理解析几何中的角度问题【例6】（河北省唐山市2018届高三上学期期末）已知为抛物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线，直线交于不同的两点，直线交于不同的两点，记直线的斜率为.（1）求的取值范围；（2）设线段的中点分别为点，求证：为钝角.【解析】（1）由题可知设直线的方程为.由，则或.设直线的方程为，由，同理得或.又或，即或（2）设，由方程得即，，而，所以与不共线.故为钝角.类型四：利用数量积坐标形式、投影解决几何问题【例7】（2017浙江高考21题）如图，已知抛物线， 点，抛物线上的点，过点作直线的垂线，垂足为.（1）求直线斜率的取值范围；（2）求的最大值.【解析】（2）投影法，而代入得： . 令，则.所以在上单调递增，在上单调递减；所以当时，的最大值.注：也可将目标式转化为：，，也可，可谓殊途同归！【例8】(宁波市2018.02高三期末试卷）已知抛物线的方程为，为其焦点，过不在抛物线上的一点作次抛物线的切线，为切点，且.（1）求证：直线过定点；（2）直线与曲线的一个交点为，求的最小值.【解析】（1）设直线的方程为设，以为切点的切线方程分别为由这两条切线的斜率分别为所以直线恒过定点 （2）设当时，则，可得； 当时，则，可得 所以， 令 所以在上为减函数，在上为增函数. 所以注：也可以由三元均值得三、巩固练习1.（湖南省长沙市长郡中学2018届高三实验班选拔考试）已知椭圆，若直线经过，与椭圆交于两点，且，则直线的方程为A. B. C. D. 2.（2017江苏13）在平面直角坐标系中，点，，点在圆上．若，则点的横坐标的取值范围是 ．3.（2014年浙江文22）已知的三个顶点在抛物线：上，为抛物线的焦点，点为的中点，.（1）若，求点的坐标；（2）求面积的最大值.4.（广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测）已知椭圆的离心率为，且过点.若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两点，且两点的“椭点”分别为，以为直径的圆经过坐标原点，试求的面积.5.已知圆的圆心在坐标原点，且与直线相切.（1）求直线被圆所截得的弦的长；（2）过点作两条与圆相切的直线，切点分别为，求直线的方程；（3）若与直线垂直的直线与圆交于不同的两点，若为钝角，求直线纵截距的取值范围．6.（2017课标II，理）设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.（1）求点的轨迹方程；（2）设点在直线上，且.证明：过点且垂直于的直线过的左焦点7.已知抛物线：经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于.（1）求直线的斜率的取值范围；（2）设为原点，，，求证为定值.8.（2018学年宁波市第一学期期末）过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，抛物线在、处的切线交于．（1）求证：；（2）设，当时，求的面积的最小值．四、巩固练习参考答案1.【答案】B【解析】设直线斜率为， ， ，由与联立可得 ，则，解得，故选B.2.【答案】【解析】不妨设，则，且易知．..故．所以点在圆上，且在直线的左上方（含直线）.联立，得，，如图所示，结合图形知．3.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）由题意知焦点为，准线方程为，设，由抛物线的定义知，，得到，代入求得或，所以或，由得或.（2）设直线的方程为，，，，由得，于是，所以，，所以的中点，由，所以，所以，因为，所以，由，，所以，又因为，点到直线的距离为，所以，记，，令解得，.所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，又，所以当时 ，取得最大值，此时，所以的面积的最大值为.4.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，得， 又， 椭圆， 因点在上，，得， ， 所以椭圆的方程为：.（2）设，则， 由以为直径的圆经过坐标原点，得，即 （1） 由，消除整理得：， 由，得， 而 （2） （3） 将（2）（3）代入（1）得：，即， 又， 原点到直线的距离， 把代入上式得，即的面积是为5.【解析】（1）由题意得圆心到直线的距离等于半径，圆C的标准方程:所以圆心到直线的距离（2）因为点，所以，所以以点为圆心，线段长为半径的圆方程： （1）又圆方程为： （2），由得直线方程： （3）设直线的方程为：联立得：，设直线与圆的交点， 由，得， （3） 因为为钝角，所以，即满足，且与不是反向共线，又，所以 由（3）（4）得，满足，即， 当与反向共线时，直线过原点，此时，不满足题意，故直线纵截距的取值范围是，且. 6.【解析】（1）设，设， .由得因为在上，所以.因此点的轨迹方程为.（2）由题意知.设，则，.由得，又由知，故.所以，即.又过点存在唯一直线垂直于，所以过点且垂直于的直线过的左焦点.7.【解析】（1）由已知可得，所以抛物线的方程为，令，，直线显然不能与轴垂直，令其方程为，代入整理得，即，所以由已知可得解得且，所以直线的斜率的取值范围为.（2） 由（1）知，，而点，均在抛物线上，所以，.因为直线与直线与轴相交，则直线与直线的斜率均存在，即，，因为，所以直线的方程为.令，可得，即，同理可得，而由可得，，所以；同理由可得，，所以，所以=.8.【答案】（1）详见解析；（2）【解析】（1）设，，把抛物线看成函数求导得， 则：即，：. 解得，所以，所以． 设：与抛物线联立得：，所以，， 从而，所以，所以；（2）由（1）得，，，， 因为，所以，，所以， ，所以 ，因为，所以点到直线的 距离，所以， 令，则有，所以.
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