2023高考数学二轮真题与模拟训练26讲 专题24 直线与圆锥曲线的位置关系解析

专题24 直线与圆锥曲线的位置关系

第一部分 真题分类

1．（2021·天津高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【解析】设双曲线与抛物线的公共焦点为，

则抛物线的准线为，

令，则，解得，所以,

又因为双曲线的渐近线方程为，所以，

所以，即，所以，

所以双曲线的离心率.

故选：A.

2．（2021·全国高考真题（文））已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．

【答案】

【解析】因为为上关于坐标原点对称的两点，

且，所以四边形为矩形，

设，则，

所以，

，即四边形面积等于.

故答案为：.

3．（2021·江苏高考真题）已知椭圆的离心率为.

（1）证明：；

（2）若点在椭圆的内部，过点的直线交椭圆于、两点，为线段的中点，且.

①求直线的方程；

②求椭圆的标准方程.

【答案】（1）证明见解析；（2）①；②.

【解析】（1），，因此，；

（2）①由（1）知，椭圆的方程为，即，

当在椭圆的内部时，，可得.

设点、，则，所以，，

由已知可得，两式作差得，

所以，

所以，直线方程为，即.

所以，直线的方程为；

②联立，消去可得.

，

由韦达定理可得，，

又，而，，

，

解得合乎题意，故，

因此，椭圆的方程为.

4．（2021·天津高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）易知点、，故，

因为椭圆的离心率为，故，，

因此，椭圆的方程为；

（2）设点为椭圆上一点，

先证明直线的方程为，

联立，消去并整理得，，

因此，椭圆在点处的切线方程为.

在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，

直线的斜率为，所以，直线的方程为，

在直线的方程中，令，可得，即点，

因为，则，即，整理可得，

所以，，因为，，故，，

所以，直线的方程为，即.

5．（2021·全国高考真题）已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）由题意，椭圆半焦距且，所以，

又，所以椭圆方程为；

（2）由（1）得，曲线为，

当直线的斜率不存在时，直线，不合题意；

当直线的斜率存在时，设，

必要性：

若M，N，F三点共线，可设直线即，

由直线与曲线相切可得，解得，

联立可得，所以，

所以,

所以必要性成立；

充分性：设直线即，

由直线与曲线相切可得，所以，

联立可得，

所以，

所以

，

化简得，所以，

所以或，所以直线或，

所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立；

所以M，N，F三点共线的充要条件是．

6．（2021·全国高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】因为，

所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，

设轨迹的方程为，则，可得，，

所以，轨迹的方程为；

（2）设点，若过点的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点，

不妨直线的方程为，即，

联立，消去并整理可得，

设点、，则且.

由韦达定理可得，，

所以，，

设直线的斜率为，同理可得，

因为，即，整理可得，

即，显然，故.

因此，直线与直线的斜率之和为.

7．（2021·全国高考真题（理））已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．

（1）求；

（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）抛物线的焦点为，，

所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；

（2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得，

设点、、，

直线的方程为，即，即，

同理可知，直线的方程为，

由于点为这两条直线的公共点，则，

所以，点、的坐标满足方程，

所以，直线的方程为，

联立，可得，

由韦达定理可得，，

所以，，

点到直线的距离为，

所以，，

，

由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.

8．（2020·海南高考真题）已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，

（1）求C的方程；

（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.

【答案】（1）；（2）18.

【解析】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.

当y=0时，解得，所以a=4，

椭圆过点M(2，3)，可得，

解得b2=12.

所以C的方程：.

(2)设与直线AM平行的直线方程为：，

如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.

联立直线方程与椭圆方程，

可得：，

化简可得：，

所以，即m2=64，解得m=±8，

与AM距离比较远的直线方程：，

直线AM方程为：，

点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，

利用平行线之间的距离公式可得：，

由两点之间距离公式可得.

所以△AMN的面积的最大值：.

9．（2020·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．

（1）求△AF1F2的周长；

（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值；

（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．

【答案】（1）6；（2）-4；（3）或.

【解析】（1）∵椭圆的方程为

∴,

由椭圆定义可得：.

∴的周长为

（2）设，根据题意可得.

∵点在椭圆上，且在第一象限，

∴

∵准线方程为

∴

∴，当且仅当时取等号.

∴的最小值为.

（3）设，点到直线的距离为.

∵，

∴直线的方程为

∵点到直线的距离为，

∴

∴

∴①

∵②

∴联立①②解得，.

∴或.

第二部分 模拟训练

一、单选题

1．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，且，则（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】C

【解析】由得，所以，准线为，

设直线，联立，消去并整理得，

设，

则，，

所以，，

因为，，，

所以，所以，

所以，所以，

所以.

故选：C

2．已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且，则(O为坐标原点)的面积为（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】D

【解析】由题意，抛物线的焦点坐标为，

设直线AB为，，，

因为，可得，

由，整理得，所以，

又由，可得，解得或，

当时，，可得；

当时，，可得.

故选：D.

3．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由点在抛物线上得，

设，由直线过定点得，

解得（舍去），，

所以．

故选：C．

4．已知点，．设点满足，且，，则的最大值为（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】C

【解析】解：因为，所以点在以，为焦点，实轴长为6，焦距为10的双曲线的右支上，则双曲线的方程为．

由题意知在圆上，在圆上，

如图所示，，，

则．

当是延长线与圆的交点，是与圆的交点时取等号．

故选：C．

5．已知双曲线的方程为，点，分别在双曲线的左支和右支上，则直线的斜率的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由双曲线的方程可得其渐近线方程为，故当点，分别在双曲线的左支和右支上时，直线的斜率的取值范围是.

故选：A.

6．已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，的延长线交轴于点.若，，则抛物线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意，抛物线，可得焦点，准线方程为，

作垂直于轴交轴于点，

因为，，所以为线段的三等分点，且，

由，得，即，

所以，

所以抛物线的方程为.

故选：B.

二、填空题

7．过抛物线()的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于､两点，且，则___________.

【答案】

【解析】设抛物线的焦点坐标为，由条件可知，

所以，又，所以，

故答案为：.

8．已知抛物线C：y2＝x，过C的焦点的直线与C交于A，B两点．弦AB长为2，则线段AB的中垂线与x轴交点的横坐标为__________．

【答案】

【解析】抛物线的焦点为，则可设直线为：，

联立，消得，，设，

,得，

当时，得，所以中点坐标为，

则AB的中垂线方程为，则与轴的交点的横坐标为；

同理，当时，线段AB的中垂线与x轴交点的横坐标为.

故答案为：

9．已知双曲线的右顶点为，若以点为圆心、双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，与轴正半轴交于点，且线段交双曲线于点，，则双曲线的离心率是______．

【答案】

【解析】由题意知、，

以点为圆心、双曲线的实半轴长为半径的圆的方程为．

不妨设点在第一象限，联立，解得，即点，

设点，，，

可得，解得，

根据点在双曲线上，得，得，所以，．

因此，该双曲线的离心率为.

故答案为：.

10．已知椭圆右顶点为，上顶点为，该椭圆上一点与的连线的斜率，中点为，记的斜率为，且满足.若、分别是轴、轴负半轴上的动点，且四边形的面积为2，则三角形面积的最大值是______.

【答案】

【解析】解：设，，中点，

则有，，

两式相减得，即，

则，

由为椭圆右顶点，所以，

又，，得到，.

设，，，，则由四边形的面积为2，又为上顶点，

则，即，

由基本不等式得，解不等式得，

所以三角形的面积，

当且仅当，即，时取等号.

故答案为：