2023高考数学二轮真题与模拟训练26讲 专题25 圆锥曲线综合解析

专题25 圆锥曲线综合

第一部分 真题分类

1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率是（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【解析】双曲线的渐近线为，易知与直线平行，

所以.

故选：D.

2．（2021·全国高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ）

A．13 B．12 C．9 D．6

【答案】C

【解析】由题，，则，

所以（当且仅当时，等号成立）．

故选：C．

3．（2021·全国高考真题（理））设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，由，因为 ，，所以

，

因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；

当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．

故选：C．

4．（2021·天津高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【解析】设双曲线与抛物线的公共焦点为，

则抛物线的准线为，

令，则，解得，所以,

又因为双曲线的渐近线方程为，所以，

所以，即，所以，

所以双曲线的离心率.

故选：A.

5．（2021·全国高考真题（文））已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．

【答案】

【解析】因为为上关于坐标原点对称的两点，

且，所以四边形为矩形，

设，则，

所以，

，即四边形面积等于.

故答案为：.

6．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．

【答案】4

【解析】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.

故答案为：4.

7．（2021·全国高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.

【答案】

【解析】抛物线： ()的焦点,

∵P为上一点，与轴垂直，

所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,

不妨设,

因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，

又，

因为，所以,

，

所以的准线方程为

故答案为：.

8．（2021·江苏高考真题）已知椭圆的离心率为.

（1）证明：；

（2）若点在椭圆的内部，过点的直线交椭圆于、两点，为线段的中点，且.

①求直线的方程；

②求椭圆的标准方程.

【答案】（1）证明见解析；（2）①；②.

【解析】（1），，因此，；

（2）①由（1）知，椭圆的方程为，即，

当在椭圆的内部时，，可得.

设点、，则，所以，，

由已知可得，两式作差得，

所以，

所以，直线方程为，即.

所以，直线的方程为；

②联立，消去可得.

，

由韦达定理可得，，

又，而，，

，

解得合乎题意，故，

因此，椭圆的方程为.

9．（2021·湖南高考真题）已知椭圆经过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆相交于两点，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）椭圆经过点，所以，

因为离心率为，所以，所以，

所以椭圆的方程为.

（2）由得，解得，

所以，或，

可得，，或者，，

所以.

10．（2021·天津高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）易知点、，故，

因为椭圆的离心率为，故，，

因此，椭圆的方程为；

（2）设点为椭圆上一点，

先证明直线的方程为，

联立，消去并整理得，，

因此，椭圆在点处的切线方程为.

在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，

直线的斜率为，所以，直线的方程为，

在直线的方程中，令，可得，即点，

因为，则，即，整理可得，

所以，，因为，，故，，

所以，直线的方程为，即.

第二部分 模拟训练

一、单选题

1．已知P(x0,y0)是椭圆C: +y2=1上的一点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,若<0,则x0的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】如图，设以O为原点、半焦距为半径的圆x2+y2=3与椭圆交于A，B两点.

由得，

要使<0，则点P在A、B之间，

∴x0的取值范围是．故选A．

2．已知抛物线C1：和圆C2：(x-6)2+(y-1)2=1，过圆C2上一点P作圆的切线MN交抛物线C，于M，N两点，若点P为MN的中点，则切线MN的斜率k>1时的直线方程为（    ）

A．4x-3y-22=0 B．4x-3y-16=0 C．2x-y-11+5=0 D．4x-3y-26=0

【答案】D

【解析】画出曲线图像如下图：

由题意知，切线MN的斜率k存在且不为0，设点，

设直线MN的方程为：，其中，则，

联立，可得，

则有，，，

根据中点坐标公式可得，，，

又直线MN与圆C2相切，则有，即①，

依题意，直线C2P与直线MN垂直，则，

整理得②，

将②代入①并整理得，，

降次化简可得，③，

令，

则，因为，

所以，即在单调递减，

则在上恒成立，即在无解，

从而③式的解只有一个，，代入②式可得，，

所以，直线MN的方程为：，整理得，4x-3y-26=0.

故选：D.

3．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的值为（    ）

A．1 B． C．4 D．16

【答案】C

【解析】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，

则根据椭圆及双曲线的定义，，

设，

则在中由余弦定理得，

化简，该式变成，

故选：C.

4．已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，其准线与双曲线交于点，点在轴上.若最大，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为双曲线的离心率为,即,

又,所以,即,

因此抛物线的准线方程为,

联立,

设,由可得,

结合下图可知,当点运动到,即三点共线时,最大,

设此时,则有,即,

因此,

故选:D.

5．已知抛物线和点，直线与抛物线交于不同两点，，直线与抛物线交于另一点．给出以下判断：

①以为直径的圆与抛物线准线相离；

②直线与直线的斜率乘积为；

③设过点，，的圆的圆心坐标为，半径为，则．

其中，所有正确判断的序号是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【答案】D

【解析】如图，设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，则圆心为线段的中点．

设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，

显然，，三点不共线，

则．所以①正确．

由题意可设直线的方程为，

代入抛物线的方程，有．

设点，的坐标分别为，，

则，．

所以．

则直线与直线的斜率乘积为．所以②正确．

将代入抛物线的方程可得，，从而，．根据抛物线的对称性可知，

，两点关于轴对称，所以过点，，的圆的圆心在轴上．

由上，有，，

则．

所以，线段的中垂线与轴的交点（即圆心）横坐标为，所以．

于是，，

代入，，得，

所以．

所以③正确．

故选：D

6．已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设点，由于点是抛物线上任意一点，则，

点，则，

由于点是圆上任意一点，所以要使的值最小，则的值要最大，即点到圆心的距离加上圆的半径为的最大值，则 ，

，

，经检验满足条件，

的最小值为，

故答案选A．

7．以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，，，是椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点），若存在锐角，使，（0为坐标原点）则直线，的斜率乘积为___.

【答案】或-2

【解析】由题意可设椭圆方程为，

又设A（，），B（，），

因为M点在该椭圆上，

∴，则

又因为A、B点在也该椭圆上，

∴，

∴，

即直线OA、OB的斜率乘积为，

同理当椭圆方程为时直线OA、OB的斜率乘积为﹣2．

故答案为或﹣2．

8．在平面直角坐标系中，椭圆与为双曲线有公共焦点，.设P是椭圆与双曲线的一个交点，则的面积是_____________.

【答案】.

【解析】根据对称性，不妨设P在第一象限.由题设可知.

即，，.

根据椭圆与双曲线的定义得

，

在中，由余弦定理得

.

所以，，.

故答案为：

9．已知，是双曲线的左、右焦点，点P为上异于顶点的点，直线l分别与以，为直径的圆相切于A，B两点，若向量，的夹角为，则=___________.

【答案】

【解析】如图，设以PF1，PF2为直径的圆的圆心分别为C，D，连接AC，BD，

过D作DE⊥AC于点E，连接CD，则，

因为直线AB是圆C和圆D的公切线，且切点分别是A，B，

所以AC⊥AB，BD⊥AB，则四边形ABDE是矩形，所以|AB|=|DE|，|AE|=|BD|.

且，，易知|CE|=|AC|-|AE|=|AC|-|BD|=，

根据双曲线的定义知，|PF1|-|PF2|=10，所以|CE|=5.

因为，由|可得，

即|AB|=3，因为向量的夹角即为的夹角，

所以.

故答案为：.

10．在直角坐标系中，双曲线（）的离心率，其渐近线与圆 交轴上方于两点，有下列三个结论：

① ；

②存在最大值；

③ ．

则正确结论的序号为_______.

【答案】①③

【解析】，，

对①，根据向量加法的平行四边形法则，结合，可得成立，故①正确；

对②，，由于，没有最大值，没有最大值，

故②错误；

对③，当时，，

，又，，

，故③正确；

故答案为：①③.