初中数学中考复习 专题45：第8章几何中的最值问题之四边形的面积-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（原卷版）

45第8章几何中的最值问题之四边形的面积

一、单选题

1．如图，等边△ABC 的边长为3，点D在边AC上，AD＝，线段PQ在边BA上运动，PQ＝，有下列结论：①CP与QD可能相等；②△AQD与△BCP可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为；④四边形PCDQ周长的最小值为．其中，正确结论的序号（　　）

A．①④ B．②④ C．①③ D．②③

二、填空题

2．已知，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，且AC+BD＝10，当AC＝_______时，四边形ABCD的面积最大，最大值为__________．

3．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，已知D是⊙O上一动点，连接AD、CD，若圆的半径r＝2，则以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积为_____．

4．已知AB为半圆的直径，AB＝2，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝1，BC＝3，点P为半圆上的动点，则AD，AB，BC，CP，PD围成的图形的面积的最大值是_____．

5．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．抛物线与轴正半轴交于点，点的坐标为，是该抛物线第一象限图像上的一点，三点均在某一个正方形的边上，且该正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行，设点的横坐标为．若这个正方形的面积最小，则的取值范围是__________．

6．如图，的半径为1，点为外一点，过点作的两条切线，切点分别为点和点，则四边形面积的最小值是___________．

7．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是A边上一点，且AE＝，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为_____．

三、解答题

8．[问题提出]

（1）如图①，在中，为上一点，则面积的最大值是  

（2）如图②，已知矩形的周长为，求矩形面积的最大值

[实际应用]

（3）如图③，现有一块四边形的木板余料，经测量且木匠师傅从这块余料中裁出了顶点在边上且面积最大的矩形求该矩形的面积

9．如图三角形ABC，BC＝12，AD是BC边上的高AD＝10．P，N分别是AB，AC边上的点，Q，M是BC上的点，连接PQ，MN，PN交AD于E．求

（1）若四边形PQMN是矩形，且PQ：PN＝1：2．求PQ、PN的长；

（2）若四边形PQMN是矩形，求当矩形PQMN面积最大时，求最大面积和PQ、PN的长．

10．某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计．这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长m，直角三角形较短边长n，且n＝2m﹣4，大正方形的面积为S．

（1）求S关于m的函数关系式．

（2）若小正方形边长不大于3，当大正方形面积最大时，求m的值．

11．如图，点E，F，G，H分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF=DG=DH，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH．

（1）求证：四边形EFGH是矩形；

（2）若AB=2，∠A=60°，当BE为何值时，矩形EFGH的面积最大？

12．如图，在中，，，，点、分别是边、上的动点（点不与、重合），且，过点作，交于点，连接，设．

（1）是否存在一点，使得四边形为平行四边形，并说明理由；

（2）当时，求的值；

（3）当为何值时，四边形的面积最大，并求出最大值．

13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，过点D作⊙O的切线交EC于点F．

（1）求证：EF=FC；

（2）填空：①当∠ACD的度数为 时，四边ODFC为正方形；

②若AD=4，DC=2，则四边形ABCD的最大面积是     ．

14．如图，已知AB是⊙O中一条固定的弦，点C是优弧AB上一个动点(点C不与A，B重合)．

（1）设∠ACB的角平分线与劣弧AB交于点P，试猜想点P在弧AB上的位置是否会随点C的运动而发生变化？请说明理由；

（2）如图②，设A′B′=8，⊙O的半径为5，在（1）的条件下，四边形ACBP的面积是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，试确定四边形A′C′B′P′的面积的取值范围．

15．空地上有一段长为am的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为120m．

（1）已知a＝30，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了120m木栏，且围成的矩形菜园而积为1000m2．如图1，求所利用旧墙AD的长；

（2）已知0＜a＜60，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．

16．如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求一次函数（直线）的表达式和的面积；

（3）如图2，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求四边形最大面积时点的坐标和最大面积．

17．如图，已知AB为半圆O的直径，P为半圆上的一个动点（不含端点），以OP、OB为一组邻边作▱POBQ，连接OQ、AP，设OQ、AP的中点分别为M、N，连接PM、ON．

（1）试判断四边形OMPN的形状，并说明理由．

（2）若点P从点B出发，以每秒15°的速度，绕点O在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为ts．

①试求：当t为何值时，四边形OMPN的面积取得最大值？并判断此时直线PQ与半圆O的位置关系（需说明理由）；

②是否存在这样的t，使得点Q落在半圆O内？若存在，请直接写出t的取值范围；若不存在，请说明理由．

18．如图，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC，，且CA∥y轴．

（1）若点C在反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式；

（2）在（1）中的反比例函数图象上是否存在点N，使四边形ABCN是菱形，若存在请求出点N坐标，若不存在，请说明理由．

（3）点P在第一象限的反比例函数图象上，当四边形OAPB的面积最小时，求出P点坐标．

19．（1）如图1，是上一动点，是外一点，在图中作出最小时的点．

（2）如图2，中，，，，以点为圆心的的半径是，是上一动点，在线段上确定点的位置，使的长最小，并求出其最小值．

（3）如图3，矩形中，，，以为圆心，为半径作，为上一动点，连接，以为直角边作，，，试探究四边形的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．

20．如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4），矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD，AB分别在x轴，y轴上，且AD=2，AB=3．

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；

（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．

①设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

②当t=1时，射线AB上存在点Q，使△QME为直角三角形，请直接写出点Q的坐标．

21．如图，四边形内接于，对角线为的直径，过点作的垂线交的延长线于点，过点作的切线，交于点．

（1）求证：；

（2）填空：

①当的度数为          时，四边形为正方形；

②若，，则四边形的最大面积是          ．

22．如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A(-3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C

(1)求这个抛物线的函数表达式．

(2)点D的坐标为(-1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．

(3)点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

23．如图，在中，，，，点分别是边上的动点（点不与重合），且，过点作的平行线，交于点，连接，设为．

（1）试说明不论为何值时，总有∽；

（2）是否存在一点，使得四边形为平行四边形，试说明理由；

（3）当为何值时，四边形的面积最大，并求出最大值．

24．如图1，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B，与y轴交于C，抛物线的顶点为D，直线l过C交x轴于E（4，0）．

（1）写出D的坐标和直线l的解析式；

（2）P（x，y）是线段BD上的动点（不与B，D重合），PF⊥x轴于F，设四边形OFPC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；

（3）点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线l于M，交抛物线于N，连接CN，将△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′．在图2中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．