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初中数学中考复习 专题44：第8章几何中的最值问题之三角形的面积-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）
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这是一份初中数学中考复习 专题44：第8章几何中的最值问题之三角形的面积-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版），共45页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
44第8章几何中的最值问题之三角形的面积
一、单选题
1．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
【答案】D
【解答】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），即可求解．
【解答】解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC＝＝＝6，△ABC的面积＝×AC×BP＝×8×12＝48，
故选：D．
【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
2．将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是 （ ）
A．4cm2 B．8cm2
C．12cm2 D．16cm2
【答案】B
【分析】当AC⊥AB时，重叠三角形面积最小，此时△ABC是等腰直角三角形，面积为8cm2．
【解答】解：如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小，
∵∠BAC=90°∠ACB=45°
∴AB=AC=4cm，
∴S△ABC=×4×4=8cm2．
故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质，发现当AC⊥AB时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关键．
3．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A是以D（0，2）为圆心，2为半径的⊙D上的一个动点，连接AC、AB，则△ABC面积的最小值是（ ）
A．30 B．29 C．28 D．27
【答案】B
【分析】过D作DM⊥BC于M，连接BD，则由三角形面积公式得，BC×DM=OB×CD，可得DM，可知圆D上点到直线的最小距离，由此即可解决问题．
【解答】过D作DM⊥BC于M，连接BD，如图，
令，则，令，则，
∴B（12，0），C（0，-5），
∴OB=12，OC=5，BC==13，
则由三角形面积公式得，BC×DM=OB×CD，
∴DM=，
∴圆D上点到直线的最小距离是，
∴△ABC面积的最小值是．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的应用、勾股定理的应用、圆的有关性质，解此题的关键是求出圆上的点到直线BC的最大距离以及最小距离．
4．如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．18
【答案】B
【分析】连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．首先利用三角形的面积公式求出OH，再证明△OP1P2是等腰直角三角形，OP最小时，△OP1P2的面积最小．
【解答】解：连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．
∵S△OMN＝•MN•OH＝12，MN＝6，
∴OH＝4，
∵点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，
∴∠AOP＝∠AOP1，∠POB＝∠P2OB，OP＝OP1＝OP2
∵∠AOB＝45°，
∴∠P1OP2＝2（∠POA+∠POB）＝90°，
∴△OP1P2是等腰直角三角形，
∴OP＝OP1最小时，△OP1P2的面积最小，
根据垂线段最短可知，OP的最小值为4，
∴△OP1P2的面积的最小值＝×4×4＝8，
故选：B．
【点评】本题考查轴对称，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是证明△OP1P2是等腰直角三角形，属于中考常考题型．
5．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF面积的最小值是（ ）
A．16 B．15 C．12 D．11
【答案】B
【分析】过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，则△FEH∽△EBA，设AE=x，可得出△CEF面积与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．
【解答】解：过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，
∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，
∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA，
∴△FEH∽△EBA，
∴
为的中点，
∴
设AE=x， ∵AB
∴HF
∴当 时，△CEF面积的最小值
故选：B．
【点评】本题通过构造K形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF面积与AE长度的函数关系式是解题的关键．
二、填空题
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为AB边上一点（不与点B重合），连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE．若AB＝6，则△BDE面积的最大值为_________．
【答案】
【分析】作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，根据AAS证得EDN≌DCM，得出EN＝DM，然后解直角三角形求得AM＝3，得到BM＝9，设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x，根据三角形面积公式得到S△BDE＝＝（9﹣x）＝﹣（x﹣4.5）2+，根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，
∴∠EDN+∠DEN＝90°，
∵∠EDC＝90°，
∴∠EDN+∠CDM＝90°，
∴∠DEN＝∠CDM，
在EDN和DCM中
∴EDN≌DCM（AAS），
∴EN＝DM，
∵∠BAC＝120°，
∴∠MAC＝60°，
∴∠ACM＝30°，
∴AM＝AC＝6＝3，
∴BM＝AB+AM＝6+3＝9，
设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x，
∴S△BDE＝＝（9﹣x）＝﹣（x﹣4.5）2+，
∴当BD＝4.5时，S△BDE有最大值为，
故答案为：．
【点评】此题主要考查旋转综合题、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质和求最值，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质和利用二次函数求最值．
7．如图，⊙O的直径为5，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A，B重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．则△PCD的面积最大为______________．
【答案】
【分析】由圆周角定理可知，再由可证明，最后根据相似三角形对应边成比例，及已知条件BC：CA＝4：3，结合三角形面积公式解题即可．
【解答】为直径，
，
又
BC：CA＝4：3，
当点P在弧AB上运动时，
当PC最大时，取得最大值
而当PC为直径时最大，
．
【点评】本题考查圆周角定理、三角形面积、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
8．已知AB为半圆的直径，AB＝2，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝1，BC＝3，点P为半圆上的动点，则AD，AB，BC，CP，PD围成的图形的面积的最大值是_____．
【答案】2+
【分析】五边形ABCDP的面积＝四边形ABCD的面积﹣△CPD的面积只要求出△CDP面积的最小值，作EF//CD，且与⊙O相切于点P，连接OP延长OP交AD于H，易知此时点P到CD的距离最小，此时△CDP的面积最小．
【解答】解：∵五边形ABCDP的面积＝四边形ABCD的面积﹣△CPD的面积，
∴只要求出△CDP面积的最小值，
作EF//CD，且与⊙O相切于点P，连接OP延长OP交AD于H，
易知此时点P到CD的距离最小，此时△CDP的面积最小，
易知AD＝2，
∵四边形ABCD的面积＝（1+3）×2＝4＝×1×1+•AD•OH+•1•3，
∴OH＝，
∴PH＝﹣11，
∴△CAD的面积最小值为2﹣，
∴五边形ABCDP面积的最大值是4﹣（2﹣）＝2+．
故答案为2+．
【点评】本题主要考查了求解多边形的面积知识点，结合圆的切线的性质进行求解是解题的重要步骤．
9．如图，在矩形ABCD中，∠ACB=30°，BC=2，点E是边BC上一动点（点E不与B，C重合），连接AE，AE的中垂线FG分别交AE于点F，交AC于点G，连接DG，GE．设AG=a，则点G到BC边的距离为_____（用含a的代数式表示），ADG的面积的最小值为_____．
【答案】
【分析】先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB=2，AC=4，从而得CG的长，作辅助线，构建矩形ABHM和高线GM，如图2，通过画图发现：当GE⊥BC时，AG最小，即最小，可计算的值，从而得结论．
【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵∠ACB=30°，BC=2，
∴AB=2，AC=4，
∵AG=，
∴CG=，
如图1，过G作MH⊥BC于H，交AD于M，
Rt△CGH中，∠ACB=30°，
∴GH=CG=，
则点G到BC边的距离为，
∵HM⊥BC，AD∥BC，
∴HM⊥AD，
∴∠AMG=90°，
∵∠B=∠BHM=90°，
∴四边形ABHM是矩形，
∴HM=AB=2，
∴GM=2﹣GH==，
∴S△ADG，
当最小时，△ADG的面积最小，
如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，
∵FG是AE的垂直平分线，
∴AG=EG，
∴，
∴，
∴△ADG的面积的最小值为，
故答案为：，．
【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG的面积最小时点G的位置是解答此题的关键．
10．如图，直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，点P在抛物线上，则△ABP面积的最小值为__________．
【答案】
【分析】根据直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，计算得直线AB解析式；平移直线AB到直线CD，直线CD当抛物线相交并只有一个交点P时，△ABP面积为最小值，通过一元二次方程和抛物线的性质求得点P坐标；再利用勾股定理逆定理，证明为直角三角形，从而计算得到△ABP面积的最小值．
【解答】设直线AB为
∵直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)
∴
∴
∴直线AB为
如图，平移直线AB到直线CD，直线CD为
当与抛物线相交并只有一个交点P时，△ABP面积为最小值
∴
∴
∴
∴
∴
∴
将代入，得
∴
∴
∴
∴为直角三角形，
∴
即△ABP面积的最小值为
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数、一次函数、平移、一元二次方程、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、平移、一元二次方程、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解．
三、解答题
11．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是(1，0)，C点坐标是(4，3)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点P是抛物线上AC下方的一个动点，是否存在点p，使△PAC的面积最大？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线y＝x2-4x+3;（2）D(2，1)；（3）点的坐标为，
【分析】（1）（1） 将、坐标代入即可；
（2）由于长度不变， 要周长最小， 就是让最小， 而、关于对称轴对称， 所以就是的最小值， 此时点就是与抛物线对称轴的交点；
【解答】解：（1）抛物线经过点，点，
，
解得，
所以，抛物线的解析式为；
（2），
，抛物线的对称轴为；
长度不变，
最小时，的周长最小，
、是关于抛物线对称轴对称的，
当点为对称轴与的交点时，最小， 即的周长最小， 如图，
，
解得：，
，
抛物线对称轴上存在点，使的周长最小；
（3）存在，
如图，设过点与直线平行线的直线为，
联立，
消掉得，，
，
解得：，
即时，点到的距离最大，的面积最大，
此时，，
点的坐标为，，
设过点的直线与轴交点为，则，，
，
直线的解析式为，
，
点到的距离为，
又，
的最大面积．
【点评】本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题，熟悉相关性质是解题的关键．
12．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，AD上，AH＝2，连接CF．
（1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；
（2）当DG＝6时，求△FCG的面积；
（3）求△FCG的面积的最小值．
【答案】（1）2‘（2）1；（3）（7-）．
【分析】（1）当四边形EFGH为正方形时，则易证AHE≌△DGH，则DG=AH=2；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=∠M=90°，HE=FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM=HA=2（即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2），进而可求三角形面积；
（3）先设DG=x，由第（2）小题得，S△FCG=7-x，在△AHE中，AE≤AB=7，利用勾股定理可得HE2≤53，在Rt△DHG中，再利用勾股定理可得x2+16≤53，进而可求x≤，从而可得当x=时，△GCF的面积最小．
【解答】解：（1）∵四边形EFGH为正方形，
∴HG=HE，∠EAH=∠D=90°，
∵∠DHG+∠AHE=90°，
∠DHG+∠DGH=90°，
∴∠DGH=∠AHE，
∴△AHE≌△DGH（AAS），
∴DG=AH=2；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF，
在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，
∴△AHE≌△MFG（AAS），
∴FM=HA=2，
即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，
因此S△FCG=×FM×GC=×2×（7-6）=1；
（3）设DG=x，则由（2）得，S△FCG=7-x，
在△AHE中，AE≤AB=7，
∴HE2≤53，
∴x2+16≤53，
∴x≤，
∴S△FCG的最小值为7-，此时DG=，
∴当DG=时，△FCG的面积最小为（7-）．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
13．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．
【答案】(1)抛物线的表达式为：；(2)有最大值，当时，其最大值为；(3) 或或或．
【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将点D坐标代入上式，即可求解；
（2）设点，求出，根据，利用二次函数的性质即可求解；
（3）分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．
【解答】解：(1)函数的表达式为：，将点D坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：…①；
(2)设直线PD与y轴交于点G，设点，
将点P、D的坐标代入一次函数表达式：并解得，直线PD的表达式为：，则，
，
∵，故有最大值，当时，其最大值为；
(3)∵，∴，
∵，故与相似时，分为两种情况：
①当时，，，，
过点A作AH⊥BC与点H，
，解得：，
∴CH＝
则，
则直线OQ的表达式为：…②，
联立①②并解得：，
故点或；
②时，
，
则直线OQ的表达式为：…③，
联立①③并解得：，
故点或；
综上，点或或或．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
14．已知抛物线y＝a（x﹣1）2过点（3，4），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，1），且∠BDC＝90°，求点C的坐标：
（3）如图，直线y＝kx+1﹣k与抛物线交于P、Q两点，∠PDQ＝90°，求△PDQ面积的最小值．
【答案】（1）y＝（x﹣1）2；（2）点C的坐标为（2，1）；（3）1
【分析】（1）将点（3，4）代入解析式求得a的值即可；
（2）设点C的坐标为（x0，y0），其中y0＝（x0﹣1）2，作CF⊥x轴，证△BDO∽△DCF得，即1＝＝，据此求得x0的值即可得；
（3）过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则DG＝4，根据S△PDQ＝DG•MN列出关于k的等式求解可得．
【解答】解：（1）将点（3，4）代入解析式，得：4a＝4，
解得：a＝1，
所以抛物线解析式为y＝（x﹣1）2；
（2）由（1）知点D坐标为（1，0），
设点C的坐标为（x0，y0），（x0＞1、y0＞0），
则y0＝（x0﹣1）2，
如图1，过点C作CF⊥x轴，
∴∠BOD＝∠DFC＝90°，∠DCF+∠CDF＝90°，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDO+∠CDF＝90°，
∴∠BDO＝∠DCF，
∴△BDO∽△DCF，
∴，
∴1＝＝，
解得：x0＝2，此时y0＝1，
∴点C的坐标为（2，1）．
（3）设点P的坐标为（x1，y1），点Q为（x2，y2），（其中x1＜1＜x2，y1＞0，y2＞0），
如图2，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
由y=(x-1)2 ，y=kx+1-k，得x2﹣（2+k）x+k＝0．
∴x1+x2＝2+k，x1•x2＝k．
∴MN＝|x1﹣x2|＝＝＝|2﹣k|．
则过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则点G的坐标为（1，1），
所以DG＝1，
∴S△PDQ＝DG•MN＝×1×|x1﹣x2|＝＝|2﹣k|，
∴当k＝0时，S△PDQ取得最小值1．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质及一元二次方程根与系数的关系等知识点．
15．如图，已知二次函数的图象交x轴于A(－1，0),B(4，0)，交y轴于点C，点P是直线BC上方抛物线上一动点（不与B,C重合），过点P作PE⊥BC，PF∥y轴交BC与F，则△PEF面积的最大值是___________．
【答案】
【分析】先证明△PEF∽△BOC,得出，再根据，得出关于x的二次函数方程，根据顶点坐标公式，求得则△PEF面积最大值．
【解答】解：设(0
∵PF∥y轴，PE⊥BC，
∴∠PFE=∠BCO,
又∵∠PEF=∠BOC=90°,
∴△PEF∽△BOC,
∴ ,
把B(4,0),C(0,2)代入直线BC的解析式为，
点，
∴，
∴PE=BO·=4× ，
EF=OC·=2× ，
∴ =，
当时，取值最大，
∴的最大值为，
故答案为．
【点评】本题考查了三角形的面积及相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质及用含x的代数式表示出三角形的面积是解题的关键．
16．如图，已知点P是∠AOB内一点，过点P的直线MN分别交射线OA，OB于点M，N，将直线MN绕点P旋转，△MON的形状与面积都随之变化．
（1）请在图1中用尺规作出△MON，使得△MON是以OM为斜边的直角三角形；
（2）如图2，在OP的延长线上截取PC＝OP，过点C作CM∥OB交射线OA于点M，连接MP并延长交OB于点N．求证：OP平分△MON的面积；
（3）小亮发现：在直线MN旋转过程中，（2）中所作的△MON的面积最小．请利用图2帮助小亮说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当点P是MN的中点时S△MON最小．理由见解析．
【分析】（1）根据尺规作图，过P点作PN⊥OB于N，交OA于点M；
（2）证明三角形全等得P为MN的中点，便可得到结论；
（3）过点P作另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，与MC交于于G，证明△PGM≌△PFN，得△PGM与△PFN的面积相等，进而得S四边形MOFG＝S△MON． 便可得S△MON＜S△EOF，问题得以解决．
【解答】（1）①在OB下方取一点K，
②以P为圆心，PK长为半径画弧，与OB交于C、D两点，
③分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于E点，
④作直线PE，分别与OA、OB交于点M、N，
故△OMN就是所求作的三角形；
（2）∵CM∥OB，
∴∠C＝∠PON，
在△PCM和△PON中，
，
∴△PCM≌△PON（ASA），
∴PM＝PN，
∴OP平分△MON的面积；
（3）过点P作另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，与MC交于于G，
∵CM∥OB，
∴∠GMP＝∠FNP，
在△PGM和△PFM中，
，
∴△PGM≌△PFN（ASA），
∴S△PGM＝S△PFN
∴S四边形MOFG＝S△MON．
∵S四边形MOFG＜S△EOF，
∴S△MON＜S△EOF，
∴当点P是MN的中点时S△MON最小．
【点评】本题主要考查了图形的旋转性质，全等三角形的性质与判定，三角形的中线性质，关键证明三角形全等．
17．如图，已知，是线段上的两点，，，，以为中心顺时针旋转点，以为中心逆时针旋转点，使，两点重合成一点，构成，设．
（1）求的取值范围；
（2）求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由旋转可得到AC=MA=x，BC=BN=3-x，利用三角形三边关系可求得x的取值范围；
（2）过点C作CD⊥AB于D，设CD=h，利用勾股定理表示出AD、BD，再根据BD=AB-AD列方程求出h2，然后求出△ABC的面积的平方，再根据二次函数的最值问题解答．
【解答】解：（1）∵，，，
∴．
由旋转的性质，得，，
由三角形的三边关系，得
解不等式①得，
解不等式②得，
∴的取值范围是．
（2）如图，过点作于点，
设，由勾股定理，得，，
∵，
∴，两边平方并整理，得，两边平方整理，得．
∵的面积为，
∴，
∴当时，面积最大值的平方为，
∴面积的最大值为．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形的三边关系，勾股定理，二次函数的最值问题，（1）难点在于考虑利用三角形的三边关系列出不等式组，（2）难点在于求解利用勾股定理列出的无理方程．
18．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．
【答案】（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S△PMN最大＝．
【分析】（1）由已知易得，利用三角形的中位线得出，，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出位置关系；
（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法由，即可得出结论；
（3）方法1：先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论．
【解答】解：（1）点，是，的中点，
，，
点，是，的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）是等腰直角三角形．
由旋转知，，
，，
，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
同（1）的方法得，，
，
同（1）的方法得，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，
最大时，的面积最大，
且在顶点上面，
最大，
连接，，
在中，，，
，
在中，，，
，
．
方法2：由（2）知，是等腰直角三角形，，
最大时，面积最大，
点在的延长线上，
，
，
．
【点评】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出，，解（2）的关键是判断出，解（3）的关键是判断出最大时，的面积最大．
19．问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝16，则AC＝ ；
问题探究
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，点D是AC边上一点，且满足DA＝DB，则CD＝ ；
问题解决
（3）如图③，在Rt△ABC中，过点B作射线BP，将∠C折叠，折痕为EF，其中E为BC中点，点F在AC边上，点C的对应点落在BP上的点D处，连接ED、FD，若BC＝8，求△BCD面积的最大值，及面积最大时∠BCD的度数．
【答案】（1）20；（2）5；（3）S△BCD＝16；∠BCD＝45°
【分析】（1）由勾股定理可求解；
（2）由等腰三角形的性质可得∠A＝∠DBA，由余角的性质可得∠DBC＝∠C，可得DB＝DC＝AD＝AC＝5；
（3）由中点的性质和折叠的性质可得DE＝EC＝4，则当DE⊥BC时，S△BCD有最大值，由三角形面积公式和等腰直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝16，
∴，
故答案为：20；
（2）∵DA＝DB，
∴∠A＝∠DBA，
∵∠ABC＝90°
∴∠A+∠C＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°，
∴∠DBC＝∠C，
∴DB＝DC，
∴DB＝DC＝AD＝AC＝5，
故答案为：5；
（3）∵E为BC中点，BC＝8，
∴BE＝EC＝4，
∵将∠C折叠，折痕为EF，
∴DE＝EC＝4，
当DE⊥BC时，S△BCD有最大值，S△BCD＝×BC×DE＝×8×4＝16，
此时∵DE⊥BC，DE＝EC，
∴∠BCD＝45°．
故答案为：S△BCD＝16；∠BCD＝45°．
【点评】本题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边中线问题以及三角形中的折叠问题；题目较为综合，其中熟练掌握定义定理是解题的关键．
20．如图，已知边长为6的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别为AB，AD边上的动点，满足，连接EF交AC于点G，CE、CF分别交BD于点M，N，给出下列结论：①△CEF是等边三角形；②∠DFC＝∠EGC； ③若BE＝3，则BM＝MN＝DN；④； ⑤△ECF面积的最小值为．其中所有正确结论的序号是______
【答案】①②③⑤
【分析】由“SAS”可证△BEC≌△AFC，可得CF＝CE，∠BCE＝∠ACF，可证△EFC是等边三角形，由三角形内角和定理可证∠DFC＝∠EGC；由等边三角形的性质和菱形的性质可求MN＝DN＝BM＝；由勾股定理即可求解EF2＝BE2＋DF2不成立；由等边三角形的性质可得△ECF面积的EC2，则当EC⊥AB时，△ECF的最小值为．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，
∵AC＝BC，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC，
∴△ABC，△ACD是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝∠DAC＝60°，
∵AC＝BC，∠ABC＝∠DAC，AF＝BE，
∴△BEC≌△AFC（SAS）
∴CF＝CE，∠BCE＝∠ACF，
∴∠ECF＝∠BCA＝60°，
∴△EFC是等边三角形，故①正确；
∵∠ECF＝∠ACD＝60°，
∴∠ECG＝∠FCD，
∵∠FEC＝∠ADC＝60°，
∴∠DFC＝∠EGC，故②正确；
若BE＝3，菱形ABCD的边长为6，
∴点E为AB中点，点F为AD中点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∠ABO＝∠ABC＝30°，
∴AO＝AB＝3，BO＝AO＝，
∴BD＝，
∵△ABC是等边三角形，BE＝AE＝3，
∴CE⊥AB，且∠ABO＝30°，
∴BE＝EM＝3，BM＝2EM，
∴BM＝，
同理可得DN＝，
∴MN＝BD−BM−DN＝，
∴BM＝MN＝DN，故③正确；
∵△BEC≌△AFC，
∴AF＝BE，
同理△ACE≌△DCF，
∴AE＝DF，
∵∠BAD≠90°，
∴EF2＝AE2＋AF2不成立，
∴EF2＝BE2＋DF2不成立，故④错误，
∵△ECF是等边三角形，
∴△ECF面积的EC2，
∴当EC⊥AB时，△ECF面积有最小值，
此时，EC＝，△ECF面积的最小值为，故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
【点评】本题是四边形综合题，考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键．
21．如图，抛物线与坐标轴交于点,点为抛物线上动点,设点的横坐标为．
（1）若点与点关于抛物线的对称轴对称,求点的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点在第四象限,连接及,当为何值时,的面积最大?最大面积是多少?
（3）是否存在点,使为以为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）当时，有最大值；（3）
【分析】（1）根据抛物线上的对称点B和E，求出对称轴从而可求出C点坐标．然后设出抛物线的交点式，再把点A代入求出a值即可求出抛物线的解析式；
（2）过点P作y轴的平行线交AE于点H，分别根据抛物线和直线AE的解析式表示出点P和点H的坐标，从而求出线段PH的长，最后用含t的式子表示APE的面积，利用二次函数的性质求解；
（3）根据两直线垂直时，它们的斜率之积为-1，可求得与直线AE垂直的直线方程，最后联立方程组可求点P的坐标．
【解答】解：（1）抛物线经过点
抛物线的对称轴为
点点
抛物线表达式为
,解得
抛物线的表达式为
如图,过点作轴的平行线交于点
由点的坐标得直线的表达式为
设点，则
当时，有最大值
直线表达式中的值为,则与之垂直的直线表达式中的值为
① 当时，
直线的表达式为将点的坐标代人并解得,直线的表达式为
联立得
解得或（不合题意，舍去）
故点的坐标为
② 当时，
直线PA的表达式为将点A的坐标代人并解得,直线的表达式为
联立得
解得或0（不合题意，舍去）
故点
综上，点的坐标为或（1,-4)
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；会解一元二次方程；理解坐标与图形性质，记住两直线垂直时它们的斜率之积为-1；会利用分类讨论的思想解决数学问题．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，当以点A、D、P、Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）(﹣1，0)，y＝ax+a；（2）﹣；（3）(1，﹣)或(1，﹣4)
【分析】（1）当y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3）=0，解得x1=-1，x2=3，可得A（﹣1，0），B（3，0），由于直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0）可得k＝b，即得直线l：y＝kx+k，联立抛物线与直线I的解析式为方程组，可得ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，由于CD＝4AC，可得点D的横坐标为4，利用根与系数关系可得﹣3﹣＝﹣1×4，求出k＝a，即得直线l的函数表达式为y＝ax+a；
（2）如图1，过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），可得F（x，ax+a），从而得出EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，由S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF，利用三角形面积公式，可得S△ACE的关系式，利用二次函数的性质即可求出结论．
（3）分两种情况讨论，①如图2，若AD是矩形ADPQ的一条边，②如图3，若AD是矩形APDQ的对角线，据此分别解答即可．
【解答】解：（1）当y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3），得A（﹣1，0），B（3，0），
∵直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0），
∴0＝﹣k+b，
即k＝b，
∴直线l：y＝kx+k，
∵抛物线与直线l交于点A，D，
∴ax2﹣2ax﹣3a＝kx+k，
即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，
∵CD＝4AC，
∴点D的横坐标为4，
∴﹣3﹣＝﹣1×4，
∴k＝a，
∴直线l的函数表达式为y＝ax+a
（2）解：如图1，过E作EF∥y轴交直线l于F，
设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），
则F（x，ax+a），EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，
∴S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF＝（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x＝（ax2﹣3ax﹣4a）＝a（x﹣）2﹣a，
∴△ACE的面积的最大值═a，
∵△ACE的面积的最大值为，
∴﹣a＝，
解得a＝﹣；
（3）解：以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，
令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴D（4，5a），
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
设P（1，m），
①如图2，若AD是矩形ADPQ的一条边，
则易得Q（﹣4，21a），
∴m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ是矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴AD2+PD2＝AP2，
∴52+（5a）2+32+（26a﹣5a）2＝22+（26a）2，
即a2＝，
∵a＜0，
∴a＝﹣
∴P（1，﹣）；
②如图3，若AD是矩形APDQ的对角线，
则易得Q（2，﹣3a），
∴m＝5a﹣（﹣3a）＝18a，则P（1，8a），
∵四边形APDQ是矩形，
∴∠APD＝90°，
∴AP2+PD2＝AD2，
∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2，
即a2＝，
∵a＜0，
∴a＝﹣，
∴P（1，﹣4），
综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣）或（1，﹣4）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，需要掌握待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为，点坐标为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点为直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标；
（3）如图2，点为该抛物线的顶点，直线轴于点，在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于点到点的距离？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，或
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，先求出直线的解析式，再用m表示，得出，配方即可得出结论
（3）先根据抛物线的解析式得出顶点M的坐标, 设点坐标为，得出，从而确定NG的长，再根据得到关于n的方程，解方程即可
【解答】解：（1）由题意得：，
解得，
抛物线的解析式为
（2）设点的坐标为，过点作轴于点，交于点，
点，，
直线的解析式为：，
点为，
．
，
当时，最大，此时点坐标为．
（3）存在点满足要求．
，
顶点为，
直线的表达式为：．设直线与轴交于点，则点为，
，．
设满足要求的点坐标为，则．
过点作于点，则，
，，而，
，
整理得，
解得．
存在点满足要求，点坐标为或．
【点评】本题是二次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握待定系数法可求抛物线的解析式，三角形面积公式，二次函数的最值，抛物线的顶点坐标，两点间的距离公式，以及方程思想的应用，综合性较强．
24．如图，已知边长为10的正方形是边上一动点（与不重合），连结是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若．
（1）求证：；
（2）若，求的面积；
（3）请直接写出为何值时，的面积最大．
【答案】（1）见解析；（2）8；（3）5
【分析】（1）先判断出CG=FG，再利用同角的余角相等，判断出∠BAE=∠FEG，进而得出△ABE∽△EGF，即可得出结论；
（2）先求出BE=8，进而表示出EG=2+FG，由△BAE∽△GEF，得出，求出FG，最后用三角形面积公式即可得出结论；
（3）同（2）的方法，即可得出S△ECF=，即可得出结论.
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCG=90°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCG=∠DCG=45°，
∵∠G=90°，
∴∠GCF=∠CFG=45°，
∴FG=CG，
∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，
∴∠B=∠G=∠AEF=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEG=90°，
∴∠BAE=∠FEG，
∵∠B=∠G=90°，
∴△BAE∽△GEF；
（2）∵AB=BC=10，CE=2，
∴BE=8，
∴FG=CG，
∴EG=CE+CG=2+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，
∴，
∴，
∴FG=8，
∴S△ECF=CE•FG=×2×8=8；
（3）设CE=x，则BE=10-x，
∴EG=CE+CG=x+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，
∴，
∴，
∴FG=10-x，
∴S△ECF=×CE×FG=×x•（10-x）=，
当x=5时，S△ECF最大=，
∴当EC=5时，的面积最大.
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，判断出△BAE∽△GEF是解本题的关键．
44第8章几何中的最值问题之三角形的面积
一、单选题
1．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
【答案】D
【解答】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），即可求解．
【解答】解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC＝＝＝6，△ABC的面积＝×AC×BP＝×8×12＝48，
故选：D．
【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
2．将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是 （ ）
A．4cm2 B．8cm2
C．12cm2 D．16cm2
【答案】B
【分析】当AC⊥AB时，重叠三角形面积最小，此时△ABC是等腰直角三角形，面积为8cm2．
【解答】解：如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小，
∵∠BAC=90°∠ACB=45°
∴AB=AC=4cm，
∴S△ABC=×4×4=8cm2．
故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质，发现当AC⊥AB时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关键．
3．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A是以D（0，2）为圆心，2为半径的⊙D上的一个动点，连接AC、AB，则△ABC面积的最小值是（ ）
A．30 B．29 C．28 D．27
【答案】B
【分析】过D作DM⊥BC于M，连接BD，则由三角形面积公式得，BC×DM=OB×CD，可得DM，可知圆D上点到直线的最小距离，由此即可解决问题．
【解答】过D作DM⊥BC于M，连接BD，如图，
令，则，令，则，
∴B（12，0），C（0，-5），
∴OB=12，OC=5，BC==13，
则由三角形面积公式得，BC×DM=OB×CD，
∴DM=，
∴圆D上点到直线的最小距离是，
∴△ABC面积的最小值是．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的应用、勾股定理的应用、圆的有关性质，解此题的关键是求出圆上的点到直线BC的最大距离以及最小距离．
4．如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．18
【答案】B
【分析】连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．首先利用三角形的面积公式求出OH，再证明△OP1P2是等腰直角三角形，OP最小时，△OP1P2的面积最小．
【解答】解：连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．
∵S△OMN＝•MN•OH＝12，MN＝6，
∴OH＝4，
∵点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，
∴∠AOP＝∠AOP1，∠POB＝∠P2OB，OP＝OP1＝OP2
∵∠AOB＝45°，
∴∠P1OP2＝2（∠POA+∠POB）＝90°，
∴△OP1P2是等腰直角三角形，
∴OP＝OP1最小时，△OP1P2的面积最小，
根据垂线段最短可知，OP的最小值为4，
∴△OP1P2的面积的最小值＝×4×4＝8，
故选：B．
【点评】本题考查轴对称，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是证明△OP1P2是等腰直角三角形，属于中考常考题型．
5．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF面积的最小值是（ ）
A．16 B．15 C．12 D．11
【答案】B
【分析】过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，则△FEH∽△EBA，设AE=x，可得出△CEF面积与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．
【解答】解：过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，
∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，
∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA，
∴△FEH∽△EBA，
∴
为的中点，
∴
设AE=x， ∵AB
∴HF
∴当 时，△CEF面积的最小值
故选：B．
【点评】本题通过构造K形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF面积与AE长度的函数关系式是解题的关键．
二、填空题
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为AB边上一点（不与点B重合），连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE．若AB＝6，则△BDE面积的最大值为_________．
【答案】
【分析】作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，根据AAS证得EDN≌DCM，得出EN＝DM，然后解直角三角形求得AM＝3，得到BM＝9，设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x，根据三角形面积公式得到S△BDE＝＝（9﹣x）＝﹣（x﹣4.5）2+，根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，
∴∠EDN+∠DEN＝90°，
∵∠EDC＝90°，
∴∠EDN+∠CDM＝90°，
∴∠DEN＝∠CDM，
在EDN和DCM中
∴EDN≌DCM（AAS），
∴EN＝DM，
∵∠BAC＝120°，
∴∠MAC＝60°，
∴∠ACM＝30°，
∴AM＝AC＝6＝3，
∴BM＝AB+AM＝6+3＝9，
设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x，
∴S△BDE＝＝（9﹣x）＝﹣（x﹣4.5）2+，
∴当BD＝4.5时，S△BDE有最大值为，
故答案为：．
【点评】此题主要考查旋转综合题、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质和求最值，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质和利用二次函数求最值．
7．如图，⊙O的直径为5，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A，B重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．则△PCD的面积最大为______________．
【答案】
【分析】由圆周角定理可知，再由可证明，最后根据相似三角形对应边成比例，及已知条件BC：CA＝4：3，结合三角形面积公式解题即可．
【解答】为直径，
，
又
BC：CA＝4：3，
当点P在弧AB上运动时，
当PC最大时，取得最大值
而当PC为直径时最大，
．
【点评】本题考查圆周角定理、三角形面积、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
8．已知AB为半圆的直径，AB＝2，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝1，BC＝3，点P为半圆上的动点，则AD，AB，BC，CP，PD围成的图形的面积的最大值是_____．
【答案】2+
【分析】五边形ABCDP的面积＝四边形ABCD的面积﹣△CPD的面积只要求出△CDP面积的最小值，作EF//CD，且与⊙O相切于点P，连接OP延长OP交AD于H，易知此时点P到CD的距离最小，此时△CDP的面积最小．
【解答】解：∵五边形ABCDP的面积＝四边形ABCD的面积﹣△CPD的面积，
∴只要求出△CDP面积的最小值，
作EF//CD，且与⊙O相切于点P，连接OP延长OP交AD于H，
易知此时点P到CD的距离最小，此时△CDP的面积最小，
易知AD＝2，
∵四边形ABCD的面积＝（1+3）×2＝4＝×1×1+•AD•OH+•1•3，
∴OH＝，
∴PH＝﹣11，
∴△CAD的面积最小值为2﹣，
∴五边形ABCDP面积的最大值是4﹣（2﹣）＝2+．
故答案为2+．
【点评】本题主要考查了求解多边形的面积知识点，结合圆的切线的性质进行求解是解题的重要步骤．
9．如图，在矩形ABCD中，∠ACB=30°，BC=2，点E是边BC上一动点（点E不与B，C重合），连接AE，AE的中垂线FG分别交AE于点F，交AC于点G，连接DG，GE．设AG=a，则点G到BC边的距离为_____（用含a的代数式表示），ADG的面积的最小值为_____．
【答案】
【分析】先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB=2，AC=4，从而得CG的长，作辅助线，构建矩形ABHM和高线GM，如图2，通过画图发现：当GE⊥BC时，AG最小，即最小，可计算的值，从而得结论．
【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵∠ACB=30°，BC=2，
∴AB=2，AC=4，
∵AG=，
∴CG=，
如图1，过G作MH⊥BC于H，交AD于M，
Rt△CGH中，∠ACB=30°，
∴GH=CG=，
则点G到BC边的距离为，
∵HM⊥BC，AD∥BC，
∴HM⊥AD，
∴∠AMG=90°，
∵∠B=∠BHM=90°，
∴四边形ABHM是矩形，
∴HM=AB=2，
∴GM=2﹣GH==，
∴S△ADG，
当最小时，△ADG的面积最小，
如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，
∵FG是AE的垂直平分线，
∴AG=EG，
∴，
∴，
∴△ADG的面积的最小值为，
故答案为：，．
【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG的面积最小时点G的位置是解答此题的关键．
10．如图，直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，点P在抛物线上，则△ABP面积的最小值为__________．
【答案】
【分析】根据直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，计算得直线AB解析式；平移直线AB到直线CD，直线CD当抛物线相交并只有一个交点P时，△ABP面积为最小值，通过一元二次方程和抛物线的性质求得点P坐标；再利用勾股定理逆定理，证明为直角三角形，从而计算得到△ABP面积的最小值．
【解答】设直线AB为
∵直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)
∴
∴
∴直线AB为
如图，平移直线AB到直线CD，直线CD为
当与抛物线相交并只有一个交点P时，△ABP面积为最小值
∴
∴
∴
∴
∴
∴
将代入，得
∴
∴
∴
∴为直角三角形，
∴
即△ABP面积的最小值为
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数、一次函数、平移、一元二次方程、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、平移、一元二次方程、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解．
三、解答题
11．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是(1，0)，C点坐标是(4，3)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点P是抛物线上AC下方的一个动点，是否存在点p，使△PAC的面积最大？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线y＝x2-4x+3;（2）D(2，1)；（3）点的坐标为，
【分析】（1）（1） 将、坐标代入即可；
（2）由于长度不变， 要周长最小， 就是让最小， 而、关于对称轴对称， 所以就是的最小值， 此时点就是与抛物线对称轴的交点；
【解答】解：（1）抛物线经过点，点，
，
解得，
所以，抛物线的解析式为；
（2），
，抛物线的对称轴为；
长度不变，
最小时，的周长最小，
、是关于抛物线对称轴对称的，
当点为对称轴与的交点时，最小， 即的周长最小， 如图，
，
解得：，
，
抛物线对称轴上存在点，使的周长最小；
（3）存在，
如图，设过点与直线平行线的直线为，
联立，
消掉得，，
，
解得：，
即时，点到的距离最大，的面积最大，
此时，，
点的坐标为，，
设过点的直线与轴交点为，则，，
，
直线的解析式为，
，
点到的距离为，
又，
的最大面积．
【点评】本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题，熟悉相关性质是解题的关键．
12．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，AD上，AH＝2，连接CF．
（1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；
（2）当DG＝6时，求△FCG的面积；
（3）求△FCG的面积的最小值．
【答案】（1）2‘（2）1；（3）（7-）．
【分析】（1）当四边形EFGH为正方形时，则易证AHE≌△DGH，则DG=AH=2；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=∠M=90°，HE=FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM=HA=2（即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2），进而可求三角形面积；
（3）先设DG=x，由第（2）小题得，S△FCG=7-x，在△AHE中，AE≤AB=7，利用勾股定理可得HE2≤53，在Rt△DHG中，再利用勾股定理可得x2+16≤53，进而可求x≤，从而可得当x=时，△GCF的面积最小．
【解答】解：（1）∵四边形EFGH为正方形，
∴HG=HE，∠EAH=∠D=90°，
∵∠DHG+∠AHE=90°，
∠DHG+∠DGH=90°，
∴∠DGH=∠AHE，
∴△AHE≌△DGH（AAS），
∴DG=AH=2；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF，
在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，
∴△AHE≌△MFG（AAS），
∴FM=HA=2，
即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，
因此S△FCG=×FM×GC=×2×（7-6）=1；
（3）设DG=x，则由（2）得，S△FCG=7-x，
在△AHE中，AE≤AB=7，
∴HE2≤53，
∴x2+16≤53，
∴x≤，
∴S△FCG的最小值为7-，此时DG=，
∴当DG=时，△FCG的面积最小为（7-）．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
13．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．
【答案】(1)抛物线的表达式为：；(2)有最大值，当时，其最大值为；(3) 或或或．
【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将点D坐标代入上式，即可求解；
（2）设点，求出，根据，利用二次函数的性质即可求解；
（3）分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．
【解答】解：(1)函数的表达式为：，将点D坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：…①；
(2)设直线PD与y轴交于点G，设点，
将点P、D的坐标代入一次函数表达式：并解得，直线PD的表达式为：，则，
，
∵，故有最大值，当时，其最大值为；
(3)∵，∴，
∵，故与相似时，分为两种情况：
①当时，，，，
过点A作AH⊥BC与点H，
，解得：，
∴CH＝
则，
则直线OQ的表达式为：…②，
联立①②并解得：，
故点或；
②时，
，
则直线OQ的表达式为：…③，
联立①③并解得：，
故点或；
综上，点或或或．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
14．已知抛物线y＝a（x﹣1）2过点（3，4），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，1），且∠BDC＝90°，求点C的坐标：
（3）如图，直线y＝kx+1﹣k与抛物线交于P、Q两点，∠PDQ＝90°，求△PDQ面积的最小值．
【答案】（1）y＝（x﹣1）2；（2）点C的坐标为（2，1）；（3）1
【分析】（1）将点（3，4）代入解析式求得a的值即可；
（2）设点C的坐标为（x0，y0），其中y0＝（x0﹣1）2，作CF⊥x轴，证△BDO∽△DCF得，即1＝＝，据此求得x0的值即可得；
（3）过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则DG＝4，根据S△PDQ＝DG•MN列出关于k的等式求解可得．
【解答】解：（1）将点（3，4）代入解析式，得：4a＝4，
解得：a＝1，
所以抛物线解析式为y＝（x﹣1）2；
（2）由（1）知点D坐标为（1，0），
设点C的坐标为（x0，y0），（x0＞1、y0＞0），
则y0＝（x0﹣1）2，
如图1，过点C作CF⊥x轴，
∴∠BOD＝∠DFC＝90°，∠DCF+∠CDF＝90°，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDO+∠CDF＝90°，
∴∠BDO＝∠DCF，
∴△BDO∽△DCF，
∴，
∴1＝＝，
解得：x0＝2，此时y0＝1，
∴点C的坐标为（2，1）．
（3）设点P的坐标为（x1，y1），点Q为（x2，y2），（其中x1＜1＜x2，y1＞0，y2＞0），
如图2，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
由y=(x-1)2 ，y=kx+1-k，得x2﹣（2+k）x+k＝0．
∴x1+x2＝2+k，x1•x2＝k．
∴MN＝|x1﹣x2|＝＝＝|2﹣k|．
则过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则点G的坐标为（1，1），
所以DG＝1，
∴S△PDQ＝DG•MN＝×1×|x1﹣x2|＝＝|2﹣k|，
∴当k＝0时，S△PDQ取得最小值1．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质及一元二次方程根与系数的关系等知识点．
15．如图，已知二次函数的图象交x轴于A(－1，0),B(4，0)，交y轴于点C，点P是直线BC上方抛物线上一动点（不与B,C重合），过点P作PE⊥BC，PF∥y轴交BC与F，则△PEF面积的最大值是___________．
【答案】
【分析】先证明△PEF∽△BOC,得出，再根据，得出关于x的二次函数方程，根据顶点坐标公式，求得则△PEF面积最大值．
【解答】解：设(0
∵PF∥y轴，PE⊥BC，
∴∠PFE=∠BCO,
又∵∠PEF=∠BOC=90°,
∴△PEF∽△BOC,
∴ ,
把B(4,0),C(0,2)代入直线BC的解析式为，
点，
∴，
∴PE=BO·=4× ，
EF=OC·=2× ，
∴ =，
当时，取值最大，
∴的最大值为，
故答案为．
【点评】本题考查了三角形的面积及相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质及用含x的代数式表示出三角形的面积是解题的关键．
16．如图，已知点P是∠AOB内一点，过点P的直线MN分别交射线OA，OB于点M，N，将直线MN绕点P旋转，△MON的形状与面积都随之变化．
（1）请在图1中用尺规作出△MON，使得△MON是以OM为斜边的直角三角形；
（2）如图2，在OP的延长线上截取PC＝OP，过点C作CM∥OB交射线OA于点M，连接MP并延长交OB于点N．求证：OP平分△MON的面积；
（3）小亮发现：在直线MN旋转过程中，（2）中所作的△MON的面积最小．请利用图2帮助小亮说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当点P是MN的中点时S△MON最小．理由见解析．
【分析】（1）根据尺规作图，过P点作PN⊥OB于N，交OA于点M；
（2）证明三角形全等得P为MN的中点，便可得到结论；
（3）过点P作另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，与MC交于于G，证明△PGM≌△PFN，得△PGM与△PFN的面积相等，进而得S四边形MOFG＝S△MON． 便可得S△MON＜S△EOF，问题得以解决．
【解答】（1）①在OB下方取一点K，
②以P为圆心，PK长为半径画弧，与OB交于C、D两点，
③分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于E点，
④作直线PE，分别与OA、OB交于点M、N，
故△OMN就是所求作的三角形；
（2）∵CM∥OB，
∴∠C＝∠PON，
在△PCM和△PON中，
，
∴△PCM≌△PON（ASA），
∴PM＝PN，
∴OP平分△MON的面积；
（3）过点P作另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，与MC交于于G，
∵CM∥OB，
∴∠GMP＝∠FNP，
在△PGM和△PFM中，
，
∴△PGM≌△PFN（ASA），
∴S△PGM＝S△PFN
∴S四边形MOFG＝S△MON．
∵S四边形MOFG＜S△EOF，
∴S△MON＜S△EOF，
∴当点P是MN的中点时S△MON最小．
【点评】本题主要考查了图形的旋转性质，全等三角形的性质与判定，三角形的中线性质，关键证明三角形全等．
17．如图，已知，是线段上的两点，，，，以为中心顺时针旋转点，以为中心逆时针旋转点，使，两点重合成一点，构成，设．
（1）求的取值范围；
（2）求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由旋转可得到AC=MA=x，BC=BN=3-x，利用三角形三边关系可求得x的取值范围；
（2）过点C作CD⊥AB于D，设CD=h，利用勾股定理表示出AD、BD，再根据BD=AB-AD列方程求出h2，然后求出△ABC的面积的平方，再根据二次函数的最值问题解答．
【解答】解：（1）∵，，，
∴．
由旋转的性质，得，，
由三角形的三边关系，得
解不等式①得，
解不等式②得，
∴的取值范围是．
（2）如图，过点作于点，
设，由勾股定理，得，，
∵，
∴，两边平方并整理，得，两边平方整理，得．
∵的面积为，
∴，
∴当时，面积最大值的平方为，
∴面积的最大值为．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形的三边关系，勾股定理，二次函数的最值问题，（1）难点在于考虑利用三角形的三边关系列出不等式组，（2）难点在于求解利用勾股定理列出的无理方程．
18．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．
【答案】（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S△PMN最大＝．
【分析】（1）由已知易得，利用三角形的中位线得出，，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出位置关系；
（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法由，即可得出结论；
（3）方法1：先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论．
【解答】解：（1）点，是，的中点，
，，
点，是，的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）是等腰直角三角形．
由旋转知，，
，，
，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
同（1）的方法得，，
，
同（1）的方法得，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，
最大时，的面积最大，
且在顶点上面，
最大，
连接，，
在中，，，
，
在中，，，
，
．
方法2：由（2）知，是等腰直角三角形，，
最大时，面积最大，
点在的延长线上，
，
，
．
【点评】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出，，解（2）的关键是判断出，解（3）的关键是判断出最大时，的面积最大．
19．问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝16，则AC＝ ；
问题探究
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，点D是AC边上一点，且满足DA＝DB，则CD＝ ；
问题解决
（3）如图③，在Rt△ABC中，过点B作射线BP，将∠C折叠，折痕为EF，其中E为BC中点，点F在AC边上，点C的对应点落在BP上的点D处，连接ED、FD，若BC＝8，求△BCD面积的最大值，及面积最大时∠BCD的度数．
【答案】（1）20；（2）5；（3）S△BCD＝16；∠BCD＝45°
【分析】（1）由勾股定理可求解；
（2）由等腰三角形的性质可得∠A＝∠DBA，由余角的性质可得∠DBC＝∠C，可得DB＝DC＝AD＝AC＝5；
（3）由中点的性质和折叠的性质可得DE＝EC＝4，则当DE⊥BC时，S△BCD有最大值，由三角形面积公式和等腰直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝16，
∴，
故答案为：20；
（2）∵DA＝DB，
∴∠A＝∠DBA，
∵∠ABC＝90°
∴∠A+∠C＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°，
∴∠DBC＝∠C，
∴DB＝DC，
∴DB＝DC＝AD＝AC＝5，
故答案为：5；
（3）∵E为BC中点，BC＝8，
∴BE＝EC＝4，
∵将∠C折叠，折痕为EF，
∴DE＝EC＝4，
当DE⊥BC时，S△BCD有最大值，S△BCD＝×BC×DE＝×8×4＝16，
此时∵DE⊥BC，DE＝EC，
∴∠BCD＝45°．
故答案为：S△BCD＝16；∠BCD＝45°．
【点评】本题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边中线问题以及三角形中的折叠问题；题目较为综合，其中熟练掌握定义定理是解题的关键．
20．如图，已知边长为6的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别为AB，AD边上的动点，满足，连接EF交AC于点G，CE、CF分别交BD于点M，N，给出下列结论：①△CEF是等边三角形；②∠DFC＝∠EGC； ③若BE＝3，则BM＝MN＝DN；④； ⑤△ECF面积的最小值为．其中所有正确结论的序号是______
【答案】①②③⑤
【分析】由“SAS”可证△BEC≌△AFC，可得CF＝CE，∠BCE＝∠ACF，可证△EFC是等边三角形，由三角形内角和定理可证∠DFC＝∠EGC；由等边三角形的性质和菱形的性质可求MN＝DN＝BM＝；由勾股定理即可求解EF2＝BE2＋DF2不成立；由等边三角形的性质可得△ECF面积的EC2，则当EC⊥AB时，△ECF的最小值为．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，
∵AC＝BC，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC，
∴△ABC，△ACD是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝∠DAC＝60°，
∵AC＝BC，∠ABC＝∠DAC，AF＝BE，
∴△BEC≌△AFC（SAS）
∴CF＝CE，∠BCE＝∠ACF，
∴∠ECF＝∠BCA＝60°，
∴△EFC是等边三角形，故①正确；
∵∠ECF＝∠ACD＝60°，
∴∠ECG＝∠FCD，
∵∠FEC＝∠ADC＝60°，
∴∠DFC＝∠EGC，故②正确；
若BE＝3，菱形ABCD的边长为6，
∴点E为AB中点，点F为AD中点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∠ABO＝∠ABC＝30°，
∴AO＝AB＝3，BO＝AO＝，
∴BD＝，
∵△ABC是等边三角形，BE＝AE＝3，
∴CE⊥AB，且∠ABO＝30°，
∴BE＝EM＝3，BM＝2EM，
∴BM＝，
同理可得DN＝，
∴MN＝BD−BM−DN＝，
∴BM＝MN＝DN，故③正确；
∵△BEC≌△AFC，
∴AF＝BE，
同理△ACE≌△DCF，
∴AE＝DF，
∵∠BAD≠90°，
∴EF2＝AE2＋AF2不成立，
∴EF2＝BE2＋DF2不成立，故④错误，
∵△ECF是等边三角形，
∴△ECF面积的EC2，
∴当EC⊥AB时，△ECF面积有最小值，
此时，EC＝，△ECF面积的最小值为，故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
【点评】本题是四边形综合题，考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键．
21．如图，抛物线与坐标轴交于点,点为抛物线上动点,设点的横坐标为．
（1）若点与点关于抛物线的对称轴对称,求点的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点在第四象限,连接及,当为何值时,的面积最大?最大面积是多少?
（3）是否存在点,使为以为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）当时，有最大值；（3）
【分析】（1）根据抛物线上的对称点B和E，求出对称轴从而可求出C点坐标．然后设出抛物线的交点式，再把点A代入求出a值即可求出抛物线的解析式；
（2）过点P作y轴的平行线交AE于点H，分别根据抛物线和直线AE的解析式表示出点P和点H的坐标，从而求出线段PH的长，最后用含t的式子表示APE的面积，利用二次函数的性质求解；
（3）根据两直线垂直时，它们的斜率之积为-1，可求得与直线AE垂直的直线方程，最后联立方程组可求点P的坐标．
【解答】解：（1）抛物线经过点
抛物线的对称轴为
点点
抛物线表达式为
,解得
抛物线的表达式为
如图,过点作轴的平行线交于点
由点的坐标得直线的表达式为
设点，则
当时，有最大值
直线表达式中的值为,则与之垂直的直线表达式中的值为
① 当时，
直线的表达式为将点的坐标代人并解得,直线的表达式为
联立得
解得或（不合题意，舍去）
故点的坐标为
② 当时，
直线PA的表达式为将点A的坐标代人并解得,直线的表达式为
联立得
解得或0（不合题意，舍去）
故点
综上，点的坐标为或（1,-4)
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；会解一元二次方程；理解坐标与图形性质，记住两直线垂直时它们的斜率之积为-1；会利用分类讨论的思想解决数学问题．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，当以点A、D、P、Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）(﹣1，0)，y＝ax+a；（2）﹣；（3）(1，﹣)或(1，﹣4)
【分析】（1）当y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3）=0，解得x1=-1，x2=3，可得A（﹣1，0），B（3，0），由于直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0）可得k＝b，即得直线l：y＝kx+k，联立抛物线与直线I的解析式为方程组，可得ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，由于CD＝4AC，可得点D的横坐标为4，利用根与系数关系可得﹣3﹣＝﹣1×4，求出k＝a，即得直线l的函数表达式为y＝ax+a；
（2）如图1，过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），可得F（x，ax+a），从而得出EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，由S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF，利用三角形面积公式，可得S△ACE的关系式，利用二次函数的性质即可求出结论．
（3）分两种情况讨论，①如图2，若AD是矩形ADPQ的一条边，②如图3，若AD是矩形APDQ的对角线，据此分别解答即可．
【解答】解：（1）当y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3），得A（﹣1，0），B（3，0），
∵直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0），
∴0＝﹣k+b，
即k＝b，
∴直线l：y＝kx+k，
∵抛物线与直线l交于点A，D，
∴ax2﹣2ax﹣3a＝kx+k，
即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，
∵CD＝4AC，
∴点D的横坐标为4，
∴﹣3﹣＝﹣1×4，
∴k＝a，
∴直线l的函数表达式为y＝ax+a
（2）解：如图1，过E作EF∥y轴交直线l于F，
设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），
则F（x，ax+a），EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，
∴S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF＝（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x＝（ax2﹣3ax﹣4a）＝a（x﹣）2﹣a，
∴△ACE的面积的最大值═a，
∵△ACE的面积的最大值为，
∴﹣a＝，
解得a＝﹣；
（3）解：以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，
令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴D（4，5a），
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
设P（1，m），
①如图2，若AD是矩形ADPQ的一条边，
则易得Q（﹣4，21a），
∴m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ是矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴AD2+PD2＝AP2，
∴52+（5a）2+32+（26a﹣5a）2＝22+（26a）2，
即a2＝，
∵a＜0，
∴a＝﹣
∴P（1，﹣）；
②如图3，若AD是矩形APDQ的对角线，
则易得Q（2，﹣3a），
∴m＝5a﹣（﹣3a）＝18a，则P（1，8a），
∵四边形APDQ是矩形，
∴∠APD＝90°，
∴AP2+PD2＝AD2，
∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2，
即a2＝，
∵a＜0，
∴a＝﹣，
∴P（1，﹣4），
综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣）或（1，﹣4）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，需要掌握待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为，点坐标为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点为直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标；
（3）如图2，点为该抛物线的顶点，直线轴于点，在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于点到点的距离？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，或
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，先求出直线的解析式，再用m表示，得出，配方即可得出结论
（3）先根据抛物线的解析式得出顶点M的坐标, 设点坐标为，得出，从而确定NG的长，再根据得到关于n的方程，解方程即可
【解答】解：（1）由题意得：，
解得，
抛物线的解析式为
（2）设点的坐标为，过点作轴于点，交于点，
点，，
直线的解析式为：，
点为，
．
，
当时，最大，此时点坐标为．
（3）存在点满足要求．
，
顶点为，
直线的表达式为：．设直线与轴交于点，则点为，
，．
设满足要求的点坐标为，则．
过点作于点，则，
，，而，
，
整理得，
解得．
存在点满足要求，点坐标为或．
【点评】本题是二次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握待定系数法可求抛物线的解析式，三角形面积公式，二次函数的最值，抛物线的顶点坐标，两点间的距离公式，以及方程思想的应用，综合性较强．
24．如图，已知边长为10的正方形是边上一动点（与不重合），连结是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若．
（1）求证：；
（2）若，求的面积；
（3）请直接写出为何值时，的面积最大．
【答案】（1）见解析；（2）8；（3）5
【分析】（1）先判断出CG=FG，再利用同角的余角相等，判断出∠BAE=∠FEG，进而得出△ABE∽△EGF，即可得出结论；
（2）先求出BE=8，进而表示出EG=2+FG，由△BAE∽△GEF，得出，求出FG，最后用三角形面积公式即可得出结论；
（3）同（2）的方法，即可得出S△ECF=，即可得出结论.
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCG=90°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCG=∠DCG=45°，
∵∠G=90°，
∴∠GCF=∠CFG=45°，
∴FG=CG，
∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，
∴∠B=∠G=∠AEF=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEG=90°，
∴∠BAE=∠FEG，
∵∠B=∠G=90°，
∴△BAE∽△GEF；
（2）∵AB=BC=10，CE=2，
∴BE=8，
∴FG=CG，
∴EG=CE+CG=2+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，
∴，
∴，
∴FG=8，
∴S△ECF=CE•FG=×2×8=8；
（3）设CE=x，则BE=10-x，
∴EG=CE+CG=x+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，
∴，
∴，
∴FG=10-x，
∴S△ECF=×CE×FG=×x•（10-x）=，
当x=5时，S△ECF最大=，
∴当EC=5时，的面积最大.
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，判断出△BAE∽△GEF是解本题的关键．
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