初中数学中考复习 专题25:第5章相似三角形之A字型相似-备战2021中考数学解题方法系统训练(全国通用)(解析版)
展开25第5章相似三角形之A字型相似
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.如图,已知若的面积为,则的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相似三角形的性质得出,代入求出即可.
【详解】
解:∵△ADE∽△ABC,AD:AB=1:3,
∴,
∵△ABC的面积为9,
∴,
∴S△ADE=1,
故选:A.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质定理,能熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解此题的关键.
2.如图,△ABO的顶点A在函数y=(x>0)的图象上,∠ABO=90°,过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q.若△ANQ的面积为1,则k的值为( )
A.9 B.12 C.15 D.18
【答案】D
【解析】
【分析】
易证△ANQ∽△AMP∽△AOB,由相似三角形的性质:面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积,进而可求出△AOB的面积,则k的值也可求出.
【详解】
解:∵NQ∥MP∥OB,
∴△ANQ∽△AMP∽△AOB,
∵M、N是OA的三等分点,
∴,,
∴,
∵四边形MNQP的面积为3,
∴,
∴S△ANQ=1,
∵,
∴S△AOB=9,
∴k=2S△AOB=18,
故选:D.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k的几何意义,正确的求出S△ANQ=1是解题的关键.
3.直线l1∥l2∥l3,且l1与l2的距离为1,l2与l3的距离为3,把一块含有45°角的直角三角形如图放置,顶点A,B,C恰好分别落在三条直线上,AC与直线l2交于点D,则线段BD的长度为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别过点A、B、D作AF⊥l3,BE⊥l3,DG⊥l3,先根据全等三角形的判定定理得出△BCE≌△ACF,故可得出CF及CE的长,在Rt△ACF中根据勾股定理求出AC的长,再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF,故可得出CD的长,在Rt△BCD中根据勾股定理即可求出BD的长.
【详解】
如图,分别过点A、B、D作AF⊥l3,BE⊥l3,DG⊥l3,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AC=BC,
∵∠EBC+∠BCE=90°,∠BCE+∠ACF=90°,∠ACF+∠CAF=90°,
∴∠EBC=∠ACF,∠BCE=∠CAF,
在△BCE与△ACF中,
∴△CBE≌△ACF(ASA)
∴CF=BE,CE=AF,
∵l1与l2的距离为1,l2与l3的距离为3,
∴CF=BE=3,CE=AF=3+1=4,
在Rt△ACF中,
∵AF=4,CF=3,
∴AC=5,
∵AF⊥l3,DG⊥l3,
∴△CDG∽△CAF,
,
,
,
在Rt△BCD中,
∵,BC=5,
所以.
故答案为:D.
【点睛】
本题主要考查的是相似三角形的判定与性质,根据题意作出辅助线,构造出相似三角形是解答此题的关键.
4.如图,,,、分别交于点、,则下列结论中错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理得出比例式,再变形,结合相似三角形对应边成比例即可判断各个选项.
【详解】
解:∵AB∥CD
∴
∴A选项正确,不符合题目要求;
∵AE∥DF,
∴△CEG∽△CDH,
∴,
∴,
∵AB∥CD,
∴,
∴,
∴,
∴ ,
∴B选项错误,符合题目要求;
∵AB∥CD,AE∥DF,
∴四边形AEDF是平行四边形,
∴AF=DE,
∵AE∥DF,
∴,
;
∴C选项正确,不符合题目要求;
∵AE∥DF,
∴△BFH∽△BAG,
∴,
∴D选项正确,不符合题目要求.
故选:B.
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理,相似三角形的性质和判定的应用,能根据定理得出比例式是解此题的关键.
5.如图.在△ABC中,DE∥BC,∠B=∠ACD,则图中相似三角形有( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
【答案】C
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理即可得到结论.
【详解】
∵∠B=∠ACD,∠A=∠A,
∴△ACD∽△ABC,
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴△ACD∽△ADE,
∵DE∥BC,
∴∠EDC=∠DCB,
∵∠B=∠DCE,
∴△CDE∽△BCD,
故共4对,
故选:C.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定.注意掌握数形结合思想的应用,注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.
二、填空题
6.如图,小明在打网球时,使球恰好能打过网,而且落在离网4米的位置上,则球拍击球的高度h为 .
【答案】1.5米.
【解析】
如图,∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ACB.∴.
∴, 解得h=1.5(米).
7.在矩形ABCD中,,,点E 是AD上一动点,过点E作EF∥BD交AB于F,将△AEF沿EF折叠,点A的对应点落在△BCD的边上时,AE的长为_____________.
【答案】2或
【解析】
【分析】
分落在BD上或BC上两种情况,分别画出示意图,根据矩形的性质以及折叠的性质求解即可.
【详解】
解:当落在BD上时,如下图:
∵在矩形ABCD中,,,
∴
根据折叠的性质可知,
∵EF∥BD
∴
∴
∴;
当落在BC上时,如下图:
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为:2或.
【点睛】
本题考查的知识点是矩形的性质、平行线的性质、折叠的性质、相似三角形的判定及性质,考查的范围较广,但难度不大,根据题意画出示意图是解此题的关键.
8.如图,小杨将一个三角板放在上,使三角板的一直角边经过圆心,测得,,则的半径长为______cm.
【答案】3.4
【解析】
【分析】
作OH⊥BC于H,如图,则CH=BH,先利用勾股定理计算出BC=,则CH=,再证明Rt△COH∽Rt△CBA,然后利用相似比计算OC即可.
【详解】
连接BC,作OH⊥BC于H,
则CH=BH,
在Rt△ACB中,BC=,
∴CH=,
∵∠OCH=∠BCA,
∴Rt△COH∽Rt△CBA,
∴,即,
解得,OC=3.4.
故答案为:3.4.
【点睛】
本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质.
9.如图,王华晚上由路灯下的处走到处时,测得影子的长为1米,继续往前走2米到达处时,测得影子的长为2米,已知王华的身高是1.5米,那么路灯的高度等于_________.
【答案】4.5
【解析】
【分析】
设之间的距离为x米,根据题意可得,,即,,代入数值解得x=2,进而求得AB,即可求得路灯的高度.
【详解】
如图,设之间的距离为x米,
根据题意可得,,
∴
∴,,
∴,,
即,,
∴,
解得,经检验是所列方程的解,
∴,解得,
经检验是所列方程的解,
故路灯的高为4.5米.
故答案为:4.5.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的应用,涉及相似三角形的判定与性质、解分式方程等知识,会利用相似三角形的性质列出方程是解答的关键.
10.平行于BC的直线DE把△ABC的面积平分,且交边AB、AC分别于点D、E,则的值为__________.
【答案】.
【解析】
【分析】
利用相似三角形的性质即可求解.
【详解】
∵平行于BC的直线DE把△ABC的面积平分,
∴,
∵DE∥BC,
∴△ADE△ABC,
∴,即,
解得:.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质,熟练掌握“相似三角形面积的比等于相似比的平方”是解题的关键.
三、解答题
11.(教材呈现)下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容.
(定理证明)请根据教材内容,结合图①,写出证明过程.
(定理应用)如图②,在矩形ABCD中,AC为矩形ABCD的对角线,点E在边AB上,且AE = 2BE,点F在边CB上,CF= 2BF.O为AC的中点,连结EF、OE、OF.
(1)EF与AC的数量关系为__________.
(2)与的面积比为___________.
【答案】【定理证明】证明见解析;【定理应用】(1)EF与AC的数量关系为;(2)与的面积比为.
【解析】
【分析】
定理证明:先根据相似三角形的判定与性质可得,再根据平行线的判定即可得证;
定理应用:(1)先根据线段的比例关系可得,再根据相似三角形的判定与性质即可得;
(2)如图(见解析),先根据三角形中位线定理可得,设,再根据三角形的面积公式分别求出与的面积,由此即可得出答案.
【详解】
定理证明:点D、E分别是AB、AC的中点,
,
在和中,,
,
,
,且;
定理应用:(1),
,
在和中,,
,
,
即;
(2)如图,过点O作于点M,作于点N,
四边形ABCD是矩形,
,即,
,
点O是AC的中点,
、是的两条中位线,
,
设,则,
,
,
,
,
,
,
即与的面积比.
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识点,较难的是题(2),通过作辅助线,运用到三角形中位线定理是解题关键.
12.如图,在中,,的平分线交于点,过点作的垂线交于点,圆是的外接圆.
(1)求证:为圆的切线;
(2)若,,求圆的半径.
【答案】(1)证明见详解;(2)圆的半径为3.
【解析】
【分析】
(1)连接,根据半径所形成的等腰三角形和平分可以得到,从而证出,即可得证;
(2)根据角度的转化,结合得到,可以证明,结合相似三角形的性质可以得到,同时,利用角度相等则三角函数值相等可以得到,从而分别求出,即可求出半径;
【详解】
(1)连接
圆是的外接圆
平分
即
为圆的切线
(2)
由(1)证得:
在和中:
,且
,
圆是的外接圆,且
是圆的直径
圆的半径为3
【点睛】
本题主要借助平行线进行圆切线的判定,同时考查了圆和三角形的相似,综合度比较高,准确的作出辅助线并找到相似三角形是求解本题的关键.
13.如图,BD为的直径,交BC于.
(1)求AB的长.
(2)延长DB到F,使得,求证:直线FA与相切.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)先证明△ABE∽△ADB,利用相似三角形的性质可求得AB的长;
(2)连接OA,在Rt△ABD中可求得BD,可证明△AOB为等腰三角形,结合BF=BO可证明∠OAF=90°,证得结论.
【详解】
解:,
,
∽,
,
,
,
,解得;
证明:如图,连接OA,
为直径,
为直角三角形,
在中,,
,
,
,
,
,
,
,
又,
直线FA与相切.
【点睛】
本题主要考查切线的判定及相似三角形的判定和性质的应用,掌握切线的判定方法是解题的关键,即有切点时连接圆心和切点,然后证明垂直,没有切点时,过圆心作垂直,证明圆心到直线的距离等于半径.
14.如图,四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,点R为DE的中点,BR分别交AC、CD于点P、Q.
(1)求证:△PCQ∽△RDQ;
(2)求BP:PQ:QR的值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
【分析】
(1)根据平行线的性质可得,再根据,即可证明;
(2)根据平行四边形的性质可得,,再根据相似三角形的性质可得,从而可得,再根据,即可求解.
【详解】
解:(1)∵,
∴.
又∵.
∴.
(2)∵四边形和四边形都是平行四边形,
∴,.
∴,.
又∵点是中点,
∴.
由(1)知,
∴,
∴.
又∵,
∴.
【点睛】
本题考查了相似三角形的问题,掌握平行四边形的性质、相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键.
15.有这样一道题:已知:如图(1),点在内部,连,,,点,,分别在,,上,且,,.
(1)求证: ∽;
(2)若将这题图(1)中的点移到外,如图(2),其他条件不变,试 问:与有何关系?请你完成图(2),写出你的结论(不需证明).
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
【分析】
根据平行线的性质,得出对应边成比例,证明三角形相似.
【详解】
(1)证明:∵
∴
∴
∴
∴
(2)
如图,
∵
∴,
∴
∴
∴,
∴
∴
【点睛】
本题图形复杂,主要考查了相似三角形的判定以及平行线成比例定理,正确掌握平行线分线段成比例定理是解题关键.
16.如图,,,求证:.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
由推出,由推出,再由相似三角形的性质证得,并证出,然后容易证明.
【详解】
解:∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定定理,灵活使用性质定理和判定定理是解题关键.
17.(1)如图,在中,点、、分别在、、上,且,交于点,求证:.
(2)如图,中,,正方形的四个顶点在的边上,连结,分别交于,两点.
①如图,若,直接写出的长;
②如图,求证:.
【答案】(1)见解析;(2)①;②见解析.
【解析】
【分析】
(1)可证明△ADP∽△ABQ,△ACQ∽△ADP,从而得出;
(2)①根据三角形的面积公式求出BC边上的高,根据△ADE∽△ABC,求出正方形DEFG的边长,根据等于高之比即可求出MN;
②由,得.又为正方形,得出,同理,有,又因为∽,所以,所以.
【详解】
(1)证明:如图1
在中,由于,
∴∽,
∴.
同理在△ACQ和△AEP中,,
∴.
(2)①如图2, 作AQ⊥BC于点Q.
∵BC边上的高
∵DE=DG=GF=EF=BG=CF
∴DE:BC=1:3
又∵DE∥BC,
∴AD:AB=1:3,
∵DE边上的高为,
故答案为
②证明:如图3
∵,
∴.
又∵为正方形,
∴,
∴,
∴.
同理,在中有,
∴,
∴.
又因为∽,
∴,
∴.
∴.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质,是一道综合题目,注意利用相似三角形的对应边成比例解决问题.
18.如图,在中,,,.若动点从点出发,沿射线运动,运动速度为每秒2个单位长度.过点作交于点,设动点运动的时间为秒,的长为.
(1)求出关于的函数关系式;
(2)当为何值时,的面积有最大值或最小值,最大值或最小值为多少?
【答案】(1) ;(2)x=2时,s有最大值,且最大值为6.
【解析】
【分析】
(1)分两种情况讨论:①当点在线段上时,∽,然后利用相似三角形的对应边成比例求得,用x、y表示该比例式中的线段的长度整理后即可;②当在延长线上时,,用x、y表示该比例式中的线段的长度整理后即可;
(2)①当在线段上时,求得,化成顶点式,可求最值;②当在延长线上时,,化成顶点式,可求最值.
【详解】
(1)①如图,当点在线段上时,
∴∽,
∴
又,,,,
∴,
∴.
②如图,当在延长线上时,
∵,
∴,
∴,
∴.
(2)①如图,当在线段上时,
.
∴当时, .
∴当时,有最小值,且最小值为.不符合题意舍去.
②如图,当在延长线上时,
.
综上所述:当时,有最大值,且最大值为6.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定、平行线截线段成比例定理、三角形的面积及二次函数的最值问题,找到等量比是解题的关键.
19.矩形ABCD中,AB=8,AD=12.将矩形折叠,使点A落在点P处,折痕为DE.
(1)如图①,若点P恰好在边BC上,连接AP,求的值;
(2)如图②,若E是AB的中点,EP的延长线交BC于点F,求BF的长.
【答案】(1);(2)BF=3.
【解析】
【分析】
(1)如图①中,取DE的中点M,连接PM.证明△POM∽△DCP,利用相似三角形的性质求解即可.
(2)如图②中,过点P作GH∥BC交AB于G,交CD于H.设EG=x,则BG=4-x.证明△EGP∽△PHD,推出,推出PG=2EG=3x,DH=AG=4+x,在Rt△PHD中,由PH2+DH2=PD2,可得(3x)2+(4+x)2=122,求出x,再证明△EGP∽△EBF,利用相似三角形的性质求解即可.
【详解】
解:(1)如图①中,取DE的中点M,连接PM.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠C=90°,
由翻折可知,AO=OP,AP⊥DE,∠2=∠3,∠DAE=∠DPE=90°,
在Rt△EPD中,∵EM=MD,
∴PM=EM=DM,
∴∠3=∠MPD,
∴∠1=∠3+∠MPD=2∠3,
∵∠ADP=2∠3,
∴∠1=∠ADP,
∵AD∥BC,
∴∠ADP=∠DPC,
∴∠1=∠DPC,
∵∠MOP=∠C=90°,
∴△POM∽△DCP,
∴,
∴.
(2)如图②中,过点P作GH∥BC交AB于G,交CD于H.则四边形AGHD是矩形,设EG=x,则BG=4﹣x
∵∠A=∠EPD=90°,∠EGP=∠DHP=90°,
∴∠EPG+∠DPH=90°,∠DPH+∠PDH=90°,
∴∠EPG=∠PDH,
∴△EGP∽△PHD,
∴,
∴PG=2EG=3x,DH=AG=4+x,
在Rt△PHD中,∵PH2+DH2=PD2,
∴(3x)2+(4+x)2=122,
解得:x=(负值已经舍弃),
∴BG=4﹣=,
在Rt△EGP中,GP=,
∵GH∥BC,
∴△EGP∽△EBF,
∴,
∴,
∴BF=3.
【点睛】
本题考查翻折变换,相似三角形的判定和性质,矩形的性质等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题,学会利用参数构建方程解决问题.
20.如图,点O是△ABC边BC上一点,过点O的直线分别交AB,AC所在直线于点M,N,且=m,=n.
(1)若点O是线段BC中点.
①求证:m+n=2;
②求mn的最大值;
(2)若=k(k≠0)求m,n之间的关系(用含k的代数式表示).
【答案】(1)①证明见解析;②mn有最大值1;(2)n=k﹣km+1.
【解析】
【分析】
设AM=a,AN=b.由=m,=n可得AB=am,AC=bn,那么MB=MA﹣AB=a﹣am=(1﹣m)a,CN=AC﹣AN=bn﹣b=(n﹣1)b.
(1)①若点O是线段BC中点,如图1,过点B作BH∥AC交MN于H,利用ASA证明△OBH≌△OCN,得出BH=CN=(n﹣1)b.由BH∥AN列出比例式=,求解即可;
②由①的结论m+n=2得出m=2﹣n,那么mn=(2﹣n)n=﹣n2+2n=﹣(n﹣1)2+1,根据二次函数的性质即可得出当n=1时,mn有最大值1;
(2)若=k(k≠0),如图2,过点B作BG∥AC交MN于G,证明△OBG∽△OCN,根据相似三角形对应边成比例得出=,那么BG=b.由BG∥AN列出比例式=,整理即可得出m,n之间的关系.
【详解】
解:设AM=a,AN=b.
∵=m,=n,
∴AB=am,AC=bn,
∴MB=MA﹣AB=a﹣am=(1﹣m)a,CN=AC﹣AN=bn﹣b=(n﹣1)b.
(1)①若点O是线段BC中点,
如图1,过点B作BH∥AC交MN于H,
∴∠OBH=∠OCN.
在△OBH与△OCN中,
,
∴△OBH≌△OCN(ASA),
∴BH=CN=(n﹣1)b.
∵BH∥AN,
∴=,即=,
∴1﹣m=n﹣1,
∴m+n=2;
②由①知,m+n=2,
∴m=2﹣n,
∴mn=(2﹣n)n=﹣n2+2n=﹣(n﹣1)2+1,
∴当n=1时,mn有最大值1;
(2)若=k(k≠0),
如图2,过点B作BG∥AC交MN于G,
∴∠OBG=∠OCN.
在△OBG与△OCN中,
,
∴△OBG∽△OCN,
∴=,即=k,
∴BG=b.
∵BG∥AN,
∴=,即=,
∴1﹣m=,
∴n=k﹣km+1.
【点睛】
此题考查平行线的性质,三角形全等的判定及性质,平行线分线段成比例是性质,相似三角形的判定及性质,二次函数最值问题,正确掌握各知识点并综合运用解题是关键.
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初中数学中考复习 专题28第5章相似三角形之旋转相似备战2021中考数学解题方法系统训练(全国通用)(解析版): 这是一份初中数学中考复习 专题28第5章相似三角形之旋转相似备战2021中考数学解题方法系统训练(全国通用)(解析版),共56页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。