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2022-2023学年湖北省荆门市九年级（上）期末数学试卷(解析版)
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这是一份2022-2023学年湖北省荆门市九年级（上）期末数学试卷(解析版)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省荆门市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑．）
1．（3分）一元二次方程x2＝9的根是（ ）
A．3 B．±3 C．9 D．±9
2．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．食用油滴入水中，油会浮在水面上
B．圆内接四边形的对角互补
C．抛物线y＝﹣3x2关于y轴成轴对称
D．两个相等的圆心角所对的弧相等
4．（3分）对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．点（﹣7，﹣289）在这个函数的图象上
B．这个函数的图象分布在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
5．（3分）一元二次方程2x2﹣x﹣2＝0的近似根可以看做是下列哪两个函数图象交点的横坐标（ ）
A．y＝2x2和y＝x+2 B．y＝2x2和y＝﹣x﹣2
C．y＝﹣2x2和y＝x+2 D．y＝﹣2x2和y＝﹣x+2
6．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+4先向左平移两个单位，再向下平移两个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x﹣2）2﹣2 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣2
7．（3分）如图所示，已知点P是二次函数y＝ax2+bx图象的顶点，若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1+m＝0有实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．m的最大值为﹣6 B．m的最小值为﹣6
C．m的最大值为8 D．m的最小值为8
8．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为弧上一点，则∠APC的为度数为（ ）
A．36° B．45.5° C．67.5° D．72°
9．（3分）已知△ABC的内切圆⊙O的半径为，且∠BOC＝120°，△ABC的周长为16，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（3分）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ABC，P为BD上一个动点，E为AB中点．设x＝PD，y＝PA+PE，得图2所示y关于x的函数图象，其中Q（m，n）是图象的最低点，则m+n的值为（ ）
A．7 B．7 C．9 D．9
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将结果直接填写在答题卡对应的横线上．）
11．（3分）已知a、b是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根，则代数式（a﹣b）（a+b+2）﹣2ab的值等于 ．
12．（3分）如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，则球的直径为 cm（容器厚度忽略不计）．
13．（3分）从一块直径为4m的圆形铁皮上剪出一个如图所示圆心角为90°的最大扇形，则阴影部分的面积为 m2（结果保留π）．
14．（3分）如图，抛物线y＝ax2﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC＝BC，则a的值等于 ．
15．（3分）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的图象上，若BD∥y轴，点D的横坐标为4，则k1+k2＝ ．
16．（3分）已知二次函数y＝a（x+1）2+c﹣a（a，c为常数，a＜0）经过（1，m），且mc＜0，下列结论：
①c＞0；
②；
③若关于x的方程ax2+2ax＝p﹣c（p＞0）有整数解，则符合条件的p的值有3个；
④当a≤x≤a+2时，二次函数的最大值为c，则a＝﹣4．
其中一定正确的是 ．（填序号）
三、解答题（本大题共8小题，共72分．请在答题卡对应的区域写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）解方程：
（1）x2+10x+16＝0；
（2）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2．
18．（8分）如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，且BF＝DE．
（1）求证：AF＝AE；
（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，求四边形AFCE的面积．
19．（8分）2022年卡塔尔世界杯小组比赛中，C组有4个队：C1﹣波兰队，C2﹣阿根廷队，C3﹣沙特阿拉伯队，C4﹣墨西哥队．
（1）为了保证比赛的公平性，同一小组内每个队的最后一轮小组赛必须同时进行．那么，C组最后一轮比赛中，4个队两两对阵，同时有 场比赛，若小明随机从中选择一场观看，则小明选中观看阿根廷队比赛的概率是 ．
（2）已知每个小组将有两个队出线参加后面的比赛，假定比赛中每个队的出线概率相同，求阿根廷队出线的概率．
20．（8分）关于x的一元二次方程ax2﹣2（a+1）x+a﹣1＝0有两个实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使此方程两个实数根的平方和等于2？若存在求出a的值；若不存在，说明理由．
21．（8分）如图，已知一次函数y1＝kx+b的图象与x轴相交于点A，与反比例函数y2＝的图象相交于B（﹣1，5）、C（，d）两点．
（1）求k、b的值，并直接写出当y1≤y2时x的取值范围；
（2）点P（m，n）是线段AB上的一个动点，过点P作x轴的平行线与函数y2＝的图象相交于点D．求△PAD的面积S关于n的函数解析式．
22．（10分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上．AE与过点C的切线垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，过B作BF∥AE交⊙O于点F，连接CF．
（1）求证：∠B＝2∠F；
（2）已知AE＝6，DE＝2，求CD和CF的长．
23．（10分）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示：
时间（天）
1≤x＜9
9≤x＜15
x≥15
售价（元/斤）
第1次降价后的价格
8.1
销量（斤）
80﹣3x
120﹣x
储存和损耗费用（元）
40+3x
3x2﹣64x+400
已知该种水果的进价为4.1元/斤，当1≤x＜15时，设销售该水果第x天的利润为y元，求y与x之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？最大利润是多少？
24．（12分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（2m﹣1，0）和点B（m+2，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC上一动点，过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，PQ为半径作⊙P，当⊙P与坐标轴相切时，求⊙P的半径；
（3）直线y＝kx+3k+4（k≠0）与抛物线交于M，N两点，求△AMN面积的最小值．
2022-2023学年湖北省荆门市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑．）
1．（3分）一元二次方程x2＝9的根是（ ）
A．3 B．±3 C．9 D．±9
【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：∵x2＝9，
∴x＝±3，
故选：B．
2．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
3．（3分）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．食用油滴入水中，油会浮在水面上
B．圆内接四边形的对角互补
C．抛物线y＝﹣3x2关于y轴成轴对称
D．两个相等的圆心角所对的弧相等
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，即可解答，
【解答】解：A、食用油滴入水中，油会浮在水面上，是必然事件，不符合题意；
B、圆内接四边形的对角互补，是必然事件，不符合题意；
C、抛物线y＝﹣3x2关于y轴成轴对称，是必然事件，不符合题意；
D、两个相等的圆心角所对的弧相等，是随机事件，符合题意．
故选：D．
4．（3分）对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．点（﹣7，﹣289）在这个函数的图象上
B．这个函数的图象分布在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
【分析】直接利用反比例函数的性质分别判断得出答案．
【解答】解：A．点（﹣7，﹣289）在这个函数的图象上，故此选项不合题意；
B．这个函数的图象分布在第一、三象限，故此选项不合题意；
C．当x＞0时，y随x的增大而减小，故此选项符合题意；
D．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．
故选：C．
5．（3分）一元二次方程2x2﹣x﹣2＝0的近似根可以看做是下列哪两个函数图象交点的横坐标（ ）
A．y＝2x2和y＝x+2 B．y＝2x2和y＝﹣x﹣2
C．y＝﹣2x2和y＝x+2 D．y＝﹣2x2和y＝﹣x+2
【分析】根据函数与方程的关系即可判断．
【解答】解：∵2x2﹣x﹣2＝0，
∴2x2＝x+2，
∴一元二次方程2x2﹣x﹣2＝0的近似根可以看做是函数y＝2x2和y＝x+2图象交点的横坐标，
故选：A．
6．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+4先向左平移两个单位，再向下平移两个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x﹣2）2﹣2 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣2
【分析】根据二次函数“上加下减”的性质分析即可．
【解答】解：根据题意得，平移后的解析式为：
y＝（x+2）2+4﹣2＝（x+2）2+2．
故选：A．
7．（3分）如图所示，已知点P是二次函数y＝ax2+bx图象的顶点，若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1+m＝0有实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．m的最大值为﹣6 B．m的最小值为﹣6
C．m的最大值为8 D．m的最小值为8
【分析】由ax2+bx﹣1+m＝0有实数根可得ax2+bx＝m﹣1有实数根，即m﹣1≥﹣7，进而求解．
【解答】解：由图象可得函数最小值为﹣7，
∴ax2+bx≥﹣7，
由ax2+bx﹣1+m＝0有实数根可得ax2+bx＝m﹣1有实数根，
∴m﹣1≥﹣7，
∴m≥﹣6，
故选：B．
8．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为弧上一点，则∠APC的为度数为（ ）
A．36° B．45.5° C．67.5° D．72°
【分析】由正五边形ABCDE内接于⊙O，可求出，的度数，由圆周角定理即可解决问题．
【解答】解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴的度数＝的度数＝×360°＝72°，
∴的度数＝72°×2＝144°，
∴∠APC＝×144°＝72°．
故选：D．
9．（3分）已知△ABC的内切圆⊙O的半径为，且∠BOC＝120°，△ABC的周长为16，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】设△ABC的三边AB，BC，AC与⊙O相切于E，F，D，连接OA，OE，OD，OF，根据切线的性质得到AE＝AD，BE＝BF，CF＝CD，∠AEO＝∠ADO＝90，根据直角三角形的性质和三角形周长公式即可得到结论．
【解答】解：设△ABC的三边AB，BC，AC与⊙O相切于E，F，D，
连接OA，OE，OD，OF，
∴AE＝AD，BE＝BF，CF＝CD，∠AEO＝∠ADO＝90°，∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2（180°﹣∠BOC）＝120°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠EAO＝∠DAO＝BAC＝30°，
∵OE＝OD＝，
∴AO＝2，
∴AE＝AD＝＝3，
∴BE+CD＝BF+CF＝BC＝AB+BC+AC﹣AE﹣AD＝10，
∴BC＝5．
故选：C．
10．（3分）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ABC，P为BD上一个动点，E为AB中点．设x＝PD，y＝PA+PE，得图2所示y关于x的函数图象，其中Q（m，n）是图象的最低点，则m+n的值为（ ）
A．7 B．7 C．9 D．9
【分析】由图2即点P的运动可知，当点P和点B重合时，y＝9；过点A作AA′⊥BD于点M，交BC于点A′，连接A′E交BD于点P，连接AP，通过计算可得此时的点P对应图2中的点Q；结合∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，分别求解即可．
【解答】解：∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD；
如图，过点A作AA′⊥BD于点M，交BC于点A′，连接A′E交BD于点P，连接AP，
∴∠AMB＝∠A′MB＝90°，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴△AMB≌△A′MB（ASA），
∴AM＝A′M，AB＝A′B，
∴点A与点A′关于BD对称，即此时的点P对应图2中的点Q，
∴n＝A′E，
由图2即点P的运动可知，当点P和点B重合时，y＝9；
∴AB+BE＝9，
∵点E是AB的中点，
∴AB＝2BE，A′E⊥AB，
∴2BE+BE＝9，
∴BE＝3，AB＝6，
∴BD＝6，
在Rt△A′BE中，∠A′EB＝90°，∠ABC＝60°，
∴A′E＝BE＝3，即n＝3；
同理可得，BP＝BE＝2，
∴DP＝4，即m＝4；
∴n+m＝7．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将结果直接填写在答题卡对应的横线上．）
11．（3分）已知a、b是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根，则代数式（a﹣b）（a+b+2）﹣2ab的值等于 2 ．
【分析】欲求（a﹣b）（a+b﹣2）﹣2ab的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣2，ab＝﹣1，
∴（a﹣b）（a+b+2）﹣2ab
＝（a﹣b）（﹣2+2）﹣2ab
＝0﹣2ab
＝2．
故答案为：2．
12．（3分）如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，则球的直径为 10 cm（容器厚度忽略不计）．
【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R＝5，即可求出直径．
【解答】解：根据几何意义得出：边长为8的正方形，球的截面圆为正方形的内切圆，
∴圆的半径为：4cm，
∵球面恰好接触水面时测得水深为6cm，
∴d＝8﹣6＝2（cm），
∴球的半径为：R＝，
解得R＝5，
∴球的直径为10cm．
故答案为：10．
13．（3分）从一块直径为4m的圆形铁皮上剪出一个如图所示圆心角为90°的最大扇形，则阴影部分的面积为 2π m2（结果保留π）．
【分析】根据圆周角定理由∠ABC＝90°得AC为⊙O的直径，即AC＝4，根据等腰直角三角形的性质得AB＝2，然后用圆的面积减去扇形的面积即可求解．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴AC为⊙O的直径，即AC＝4m，
∴AB＝AC＝2m；
∴S阴影＝S圆﹣S扇形＝π×22﹣＝2π；
故答案为2π．
14．（3分）如图，抛物线y＝ax2﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC＝BC，则a的值等于 ﹣ ．
【分析】由二次函数解析式可得抛物线的对称轴及点C坐标，从而可得BC，AC及OC的长度，根据勾股定理可得点A坐标，进而求解．
【解答】解：∵y＝ax2﹣5ax+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，
∵BC∥x轴，
∴BC＝2×＝5，
∵AC＝BC，
∴AC＝5，
将x＝0代入y＝ax2﹣5ax+4得y＝4，
∴点C坐标为（0，4），
∴OC＝4，
在Rt△AOC中，由勾股定理得OA＝＝3，
∴点A坐标为（﹣3，0），
将（﹣3，0）代入y＝ax2﹣5ax+4得0＝9a+15a+4，
解得a＝﹣，
故答案为：﹣．
15．（3分）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的图象上，若BD∥y轴，点D的横坐标为4，则k1+k2＝ 32 ．
【分析】连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，由四边形ABCD是正方形，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（4，a），由BD∥y轴，可以表示点A，B的坐标，可求得m，a的关系，再由B（4，8﹣a）在反比例函数（k1＞0）的图象上，D（4，a）在（k2＞0）的图象上，即可解答本题．
【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE＝BE＝CE＝DE．
设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（4，a），
∵BD∥y轴，
∴B（4，a+2m），A（4+m，a+m）．
∵A，B都在反比例函数（k1＞0）的图象上，
∴k1＝4（a+2m）＝（4+m）（a+m）．
∵m≠0，
∴m＝4﹣a，
∴B（4，8﹣a）．
∵B（4，8﹣a）在反比例函数（k1＞0）的图象上，D（4，a）在（k2＞0）的图象上，
∴k1＝4（8﹣a）＝32﹣4a，k2＝4a，
∴k1+k2＝32﹣4a+4a＝32，
故答案为：32．
16．（3分）已知二次函数y＝a（x+1）2+c﹣a（a，c为常数，a＜0）经过（1，m），且mc＜0，下列结论：
①c＞0；
②；
③若关于x的方程ax2+2ax＝p﹣c（p＞0）有整数解，则符合条件的p的值有3个；
④当a≤x≤a+2时，二次函数的最大值为c，则a＝﹣4．
其中一定正确的是 ①②④ ．（填序号）
【分析】根据题目中的二次函数的图象和性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+1）2+c﹣a＝ax2+2ax+c（a，c为常数且a＜0）经过（1，m），
∴a+2a+c＝m，即3a+c＝m，
∴3ac+c2＝cm，
∵mc＜0，
∴3ac+c2＜0，
∴0≤c2＜﹣3ac，
∵a＜0，
∴c＞0，故①正确；
∴c＜﹣3a，
∴a＜﹣，故②正确；
∵c＞0，mc＜0，
∴m＜0，
∴点（1，m）在x轴的下方，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，a＜0，c＞0，
∴抛物线与直线y＝p（p＞0）交点的横坐标为整数的有﹣2，﹣1，0三个，
∴若关于x的方程ax2+2ax＝p﹣c（p＞0）有整数解，则符合条件的p的值有2个，故③错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，与y轴的交点为（0，c），
∴抛物线过（﹣2，c），
∵a≤x≤a+2时，二次函数的最大值为c，
∴a+2＝﹣2，
∴a＝﹣4，
故④正确；
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．请在答题卡对应的区域写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）解方程：
（1）x2+10x+16＝0；
（2）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2．
【分析】（1）先把原式分解成两整式积的形式，再求出x的值即可；
（2）先根据平方差公式把原式进行因式分解，求出x的值即可．
【解答】解：（1）∵原式可化为：（x+2）（x+8）＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣8；
（2）∵原式可化为：[（2x﹣1）+（3﹣x）][（2x﹣1）﹣（3﹣x）]＝0，即（x+2）（3x﹣4）＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝．
18．（8分）如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，且BF＝DE．
（1）求证：AF＝AE；
（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，求四边形AFCE的面积．
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，求得∠ABF＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据旋转得到 S四边形AFCE＝S正方形ABCD，然后利用正方形的面积公式即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，
∴∠ABF＝90°，
在△ABF与△ADE中，
，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴AF＝AE；
（2）解：由（1）知，△ABF≌△ADE，
∴S四边形AFCE＝S正方形ABCD，
在Rt△ADE中，∠D＝90°，∠DAE＝30°，DE＝2，
∴AD＝DE＝2，
∴四边形AFCE的面积＝AD2＝12．
19．（8分）2022年卡塔尔世界杯小组比赛中，C组有4个队：C1﹣波兰队，C2﹣阿根廷队，C3﹣沙特阿拉伯队，C4﹣墨西哥队．
（1）为了保证比赛的公平性，同一小组内每个队的最后一轮小组赛必须同时进行．那么，C组最后一轮比赛中，4个队两两对阵，同时有 2 场比赛，若小明随机从中选择一场观看，则小明选中观看阿根廷队比赛的概率是 ．
（2）已知每个小组将有两个队出线参加后面的比赛，假定比赛中每个队的出线概率相同，求阿根廷队出线的概率．
【分析】（1）最后一轮比赛中，4个队两两对阵，共有2场比赛，选中观看阿根廷队有1场计算可得；
（2）列树状图，根据概率公式计算即可．
【解答】解：（1）最后一轮比赛4支球队两两对阵，共有2场，
小明选中观看阿根廷队比赛的概率是．
故答案为：2，；
（2）画树状图如下：
∵两个队出线共有6种等可能结果，其中阿根廷队出线的结果有3种，
∴阿根廷队出线的概率为＝．
20．（8分）关于x的一元二次方程ax2﹣2（a+1）x+a﹣1＝0有两个实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使此方程两个实数根的平方和等于2？若存在求出a的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式Δ＝0，建立关于a的等式，由此求出a的取值．
（2）利用根与系数的关系，化简x12+x22＝2，即（x1+x2）2﹣2x1x2＝2，根据根与系数的关系即可得到关于a的方程，解得a的值，再判断a是否符合满足方程根的判别式．
【解答】解（1）∵关于x的一元二次方程ax2﹣2（a+1）x+a﹣1＝0有两个实数根，
∴△≥0且a≠0，
∴Δ＝4（a+1）2﹣4a（a﹣1）＝12a+4≥0，
∴a≥﹣且a≠0；
（2）∵此方程两个实数根的平方和等于2，设方程两根分别为x1+x2，
∴x12+x22＝2，
∵x1+x2＝，x1x2＝，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝2，
∴（）2﹣＝2，
∴解得a＝﹣，
∵a≥﹣且a≠0，
∴不存在实数a使此方程两个实数根的平方和等于2．
21．（8分）如图，已知一次函数y1＝kx+b的图象与x轴相交于点A，与反比例函数y2＝的图象相交于B（﹣1，5）、C（，d）两点．
（1）求k、b的值，并直接写出当y1≤y2时x的取值范围；
（2）点P（m，n）是线段AB上的一个动点，过点P作x轴的平行线与函数y2＝的图象相交于点D．求△PAD的面积S关于n的函数解析式．
【分析】（1）根据点的坐标满足函数解析式，可得C点坐标，根据待定系数法求函数解析式，可得答案；
（2）根据三角形的面积公式，可得S关于n的二次函数．
【解答】解：（1）将点B 的坐标代入y2＝，得5＝，解得c＝﹣5．
∴反比例函数解析式为y2＝﹣，
将点C（，d）的坐标代入y2＝﹣，得d＝﹣＝﹣2，
∴C（，﹣2），
∵一次函数y1＝kx+b的图象经过B（﹣1，5）、C（，﹣2）两点，
∴，
解得，
由图象可知，当y1≤y2时x的取值范围是﹣1≤x＜0或x≥；
（2）令y1＝0，即﹣2x+3＝0，解得x＝，
∴A（，0），
∵点P（m，n）是线段AB上的一个动点，
∴点P（m，n）是一次函数y1＝﹣2x+3的图象上的动点，且﹣1＜m＜，
设P（，n）
∴DP∥x轴，且点D在y2＝﹣的图象上，
∴yD＝yP＝n，xD＝﹣，即D（﹣，n）．
∴△PAD的面积为S＝PD•OP＝•（+）•n＝﹣（n﹣）2+．
又∵n＝﹣2m+3，﹣1＜m＜，得0＜n＜5，
∴S＝﹣（n﹣）2+（0＜n＜5）．
22．（10分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上．AE与过点C的切线垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，过B作BF∥AE交⊙O于点F，连接CF．
（1）求证：∠B＝2∠F；
（2）已知AE＝6，DE＝2，求CD和CF的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得出OC⊥CD，即可证得OC∥AD，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得出∠DAB＝2∠F，进而即可证得结论；
（2）连接AF、AC，延长CO交⊙O于H，过O作OG⊥AE于G，首先根据平行线的性质证得∠ACH＝∠HCF然后根据垂径定理证得AH＝FH，根据垂直平分线的性质得出AC＝FC，进而通过证得四边形OCDG是矩形求得半径，然后根据勾股定理求得OG．得出CD，最后根据勾股定理求得AC，从而求得FC．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠BOC＝∠DAB，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠F，
∴∠DAB＝2∠F，
∵AD∥BF，
∴∠B＝∠DAB，
∴∠B＝2∠F；
（2）解：连接AF、AC，延长CO交⊙O于H，过O作OG⊥AE于G，
∵OC∥AD，AE∥BF，
∴OC∥BF，
∴∠BFC＝∠HCF，
∵∠B＝2∠F，
∴∠B＝2∠HCF，
∵∠ACF＝∠B，
∴∠ACF＝2∠HCF，
∴∠ACH＝∠HCF，
∴＝，
∴CH垂直平分AF，
∴CF＝AC，
∵OG⊥AE，
∴AG＝EG＝3，
∴GD＝GE+ED＝3+2＝5，
∵∠OGD＝∠D＝∠OCD＝90°，
∴四边形OCDG是矩形，
∴OC＝GD＝5，OG＝CD，
∵OA＝OC＝5，AG＝3，
∴OG＝＝4，
∴DC＝4，
在Rt△ADC中，AC＝＝＝4，
∴CF＝AC＝4．
23．（10分）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示：
时间（天）
1≤x＜9
9≤x＜15
x≥15
售价（元/斤）
第1次降价后的价格
8.1
销量（斤）
80﹣3x
120﹣x
储存和损耗费用（元）
40+3x
3x2﹣64x+400
已知该种水果的进价为4.1元/斤，当1≤x＜15时，设销售该水果第x天的利润为y元，求y与x之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设该种水果每次降价的百分率为x，根据“经过两次降价后价格为8.1元/斤”得关于x的一元二次方程，解方程并根据题意作出取舍即可；
（2）写出当1≤x＜9时的一次函数关系式，根据一次函数的性质得出此时y的最大值；写出当9≤x＜15时的二次函数关系式，根据二次函数的性质得出此时y的最大值，两者比较即可得出答案．
【解答】解：（1）设该种水果每次降价的百分率为x，由题意得：
10（1﹣x）2＝8.1，
解得：x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意，舍去），
∴x＝0.1＝10%，
∴该种水果每次降价的百分率为10%；
（2）当1≤x＜9时，第一次降价后的价格是：10×（1﹣10%）＝9（元），
∴y＝（9﹣4.1）×（80﹣3x）﹣（40+3x）
＝﹣17.7x+352，
∵﹣17.7＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，y最大，最大值为：y＝﹣17.7×1+352＝334.3；
当9≤x＜15时，
y＝（8.1﹣4.1）×（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）
＝﹣3x2+60x+80
＝﹣3（x﹣10）2+380，
∵﹣3＜0，
∴当x＝10时，y有最大值，最大值为380．
综上所述，y＝，第10天时的销售利润最大．
24．（12分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（2m﹣1，0）和点B（m+2，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC上一动点，过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，PQ为半径作⊙P，当⊙P与坐标轴相切时，求⊙P的半径；
（3）直线y＝kx+3k+4（k≠0）与抛物线交于M，N两点，求△AMN面积的最小值．
【分析】（1）由题意得：x＝﹣1＝（2m﹣1+m+2），解得：m＝﹣1，进而求解；
（2）当圆P和y轴相切时，则PQ＝|xP|，即﹣t﹣3﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t，即可求解；当圆P和x轴相切时，则PQ＝|yP|，即可求解；
（3）由△AMN面积＝S△AHM+S△AHN＝×AH×（xN﹣xM）＝2（xN﹣xM），即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：x＝﹣1＝（2m﹣1+m+2），解得：m＝﹣1，
故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0），
则抛物线的表达式为：y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3①；
（2）设直线AC的表达式为：y＝kx﹣3，
将点A的坐标代入上式得：0＝﹣3k﹣3，解得：k＝﹣1，
就直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
设点P（t，﹣t﹣3），则点Q（t，t2+2t﹣3），
当圆P和y轴相切时，则PQ＝|xP|，即﹣t﹣3﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t，
解得：t＝0（舍去）或﹣2，
则圆P的半径为2；
当圆P和x轴相切时，则PQ＝|yP|，即﹣t﹣3﹣（t2+2t﹣3）＝t+3，
解得：t＝﹣3（舍去）或﹣1，
则点P（﹣1，﹣2），
则圆P的半径为2；
综上，圆P的半径为2；
（3）y＝kx+3k+4＝k（x+3）+4②，则该直线过点（﹣3，4），设该点为点H（﹣3，4），如图：
点A、H的横坐标相同，连接AH，则AH⊥x轴，且AH＝yH＝4，
联立①②并整理得：x2+（2﹣k）x﹣（3k+7）＝0，
则xM+xN＝k﹣2，xM•xN＝﹣3k﹣7，
则xN﹣xM＝＝＝≥4，
即xN﹣xM的最小值为4，
△AMN面积＝S△AHM+S△AHN＝×AH×（xN﹣xM）＝2（xN﹣xM），
则△AMN面积最小值为2×4＝8．
2022-2023学年湖北省荆门市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑．）
1．（3分）一元二次方程x2＝9的根是（ ）
A．3 B．±3 C．9 D．±9
2．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．食用油滴入水中，油会浮在水面上
B．圆内接四边形的对角互补
C．抛物线y＝﹣3x2关于y轴成轴对称
D．两个相等的圆心角所对的弧相等
4．（3分）对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．点（﹣7，﹣289）在这个函数的图象上
B．这个函数的图象分布在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
5．（3分）一元二次方程2x2﹣x﹣2＝0的近似根可以看做是下列哪两个函数图象交点的横坐标（ ）
A．y＝2x2和y＝x+2 B．y＝2x2和y＝﹣x﹣2
C．y＝﹣2x2和y＝x+2 D．y＝﹣2x2和y＝﹣x+2
6．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+4先向左平移两个单位，再向下平移两个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x﹣2）2﹣2 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣2
7．（3分）如图所示，已知点P是二次函数y＝ax2+bx图象的顶点，若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1+m＝0有实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．m的最大值为﹣6 B．m的最小值为﹣6
C．m的最大值为8 D．m的最小值为8
8．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为弧上一点，则∠APC的为度数为（ ）
A．36° B．45.5° C．67.5° D．72°
9．（3分）已知△ABC的内切圆⊙O的半径为，且∠BOC＝120°，△ABC的周长为16，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（3分）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ABC，P为BD上一个动点，E为AB中点．设x＝PD，y＝PA+PE，得图2所示y关于x的函数图象，其中Q（m，n）是图象的最低点，则m+n的值为（ ）
A．7 B．7 C．9 D．9
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将结果直接填写在答题卡对应的横线上．）
11．（3分）已知a、b是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根，则代数式（a﹣b）（a+b+2）﹣2ab的值等于 ．
12．（3分）如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，则球的直径为 cm（容器厚度忽略不计）．
13．（3分）从一块直径为4m的圆形铁皮上剪出一个如图所示圆心角为90°的最大扇形，则阴影部分的面积为 m2（结果保留π）．
14．（3分）如图，抛物线y＝ax2﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC＝BC，则a的值等于 ．
15．（3分）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的图象上，若BD∥y轴，点D的横坐标为4，则k1+k2＝ ．
16．（3分）已知二次函数y＝a（x+1）2+c﹣a（a，c为常数，a＜0）经过（1，m），且mc＜0，下列结论：
①c＞0；
②；
③若关于x的方程ax2+2ax＝p﹣c（p＞0）有整数解，则符合条件的p的值有3个；
④当a≤x≤a+2时，二次函数的最大值为c，则a＝﹣4．
其中一定正确的是 ．（填序号）
三、解答题（本大题共8小题，共72分．请在答题卡对应的区域写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）解方程：
（1）x2+10x+16＝0；
（2）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2．
18．（8分）如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，且BF＝DE．
（1）求证：AF＝AE；
（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，求四边形AFCE的面积．
19．（8分）2022年卡塔尔世界杯小组比赛中，C组有4个队：C1﹣波兰队，C2﹣阿根廷队，C3﹣沙特阿拉伯队，C4﹣墨西哥队．
（1）为了保证比赛的公平性，同一小组内每个队的最后一轮小组赛必须同时进行．那么，C组最后一轮比赛中，4个队两两对阵，同时有 场比赛，若小明随机从中选择一场观看，则小明选中观看阿根廷队比赛的概率是 ．
（2）已知每个小组将有两个队出线参加后面的比赛，假定比赛中每个队的出线概率相同，求阿根廷队出线的概率．
20．（8分）关于x的一元二次方程ax2﹣2（a+1）x+a﹣1＝0有两个实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使此方程两个实数根的平方和等于2？若存在求出a的值；若不存在，说明理由．
21．（8分）如图，已知一次函数y1＝kx+b的图象与x轴相交于点A，与反比例函数y2＝的图象相交于B（﹣1，5）、C（，d）两点．
（1）求k、b的值，并直接写出当y1≤y2时x的取值范围；
（2）点P（m，n）是线段AB上的一个动点，过点P作x轴的平行线与函数y2＝的图象相交于点D．求△PAD的面积S关于n的函数解析式．
22．（10分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上．AE与过点C的切线垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，过B作BF∥AE交⊙O于点F，连接CF．
（1）求证：∠B＝2∠F；
（2）已知AE＝6，DE＝2，求CD和CF的长．
23．（10分）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示：
时间（天）
1≤x＜9
9≤x＜15
x≥15
售价（元/斤）
第1次降价后的价格
8.1
销量（斤）
80﹣3x
120﹣x
储存和损耗费用（元）
40+3x
3x2﹣64x+400
已知该种水果的进价为4.1元/斤，当1≤x＜15时，设销售该水果第x天的利润为y元，求y与x之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？最大利润是多少？
24．（12分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（2m﹣1，0）和点B（m+2，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC上一动点，过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，PQ为半径作⊙P，当⊙P与坐标轴相切时，求⊙P的半径；
（3）直线y＝kx+3k+4（k≠0）与抛物线交于M，N两点，求△AMN面积的最小值．
2022-2023学年湖北省荆门市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑．）
1．（3分）一元二次方程x2＝9的根是（ ）
A．3 B．±3 C．9 D．±9
【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：∵x2＝9，
∴x＝±3，
故选：B．
2．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
3．（3分）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．食用油滴入水中，油会浮在水面上
B．圆内接四边形的对角互补
C．抛物线y＝﹣3x2关于y轴成轴对称
D．两个相等的圆心角所对的弧相等
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，即可解答，
【解答】解：A、食用油滴入水中，油会浮在水面上，是必然事件，不符合题意；
B、圆内接四边形的对角互补，是必然事件，不符合题意；
C、抛物线y＝﹣3x2关于y轴成轴对称，是必然事件，不符合题意；
D、两个相等的圆心角所对的弧相等，是随机事件，符合题意．
故选：D．
4．（3分）对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．点（﹣7，﹣289）在这个函数的图象上
B．这个函数的图象分布在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
【分析】直接利用反比例函数的性质分别判断得出答案．
【解答】解：A．点（﹣7，﹣289）在这个函数的图象上，故此选项不合题意；
B．这个函数的图象分布在第一、三象限，故此选项不合题意；
C．当x＞0时，y随x的增大而减小，故此选项符合题意；
D．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．
故选：C．
5．（3分）一元二次方程2x2﹣x﹣2＝0的近似根可以看做是下列哪两个函数图象交点的横坐标（ ）
A．y＝2x2和y＝x+2 B．y＝2x2和y＝﹣x﹣2
C．y＝﹣2x2和y＝x+2 D．y＝﹣2x2和y＝﹣x+2
【分析】根据函数与方程的关系即可判断．
【解答】解：∵2x2﹣x﹣2＝0，
∴2x2＝x+2，
∴一元二次方程2x2﹣x﹣2＝0的近似根可以看做是函数y＝2x2和y＝x+2图象交点的横坐标，
故选：A．
6．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+4先向左平移两个单位，再向下平移两个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x﹣2）2﹣2 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣2
【分析】根据二次函数“上加下减”的性质分析即可．
【解答】解：根据题意得，平移后的解析式为：
y＝（x+2）2+4﹣2＝（x+2）2+2．
故选：A．
7．（3分）如图所示，已知点P是二次函数y＝ax2+bx图象的顶点，若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1+m＝0有实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．m的最大值为﹣6 B．m的最小值为﹣6
C．m的最大值为8 D．m的最小值为8
【分析】由ax2+bx﹣1+m＝0有实数根可得ax2+bx＝m﹣1有实数根，即m﹣1≥﹣7，进而求解．
【解答】解：由图象可得函数最小值为﹣7，
∴ax2+bx≥﹣7，
由ax2+bx﹣1+m＝0有实数根可得ax2+bx＝m﹣1有实数根，
∴m﹣1≥﹣7，
∴m≥﹣6，
故选：B．
8．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为弧上一点，则∠APC的为度数为（ ）
A．36° B．45.5° C．67.5° D．72°
【分析】由正五边形ABCDE内接于⊙O，可求出，的度数，由圆周角定理即可解决问题．
【解答】解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴的度数＝的度数＝×360°＝72°，
∴的度数＝72°×2＝144°，
∴∠APC＝×144°＝72°．
故选：D．
9．（3分）已知△ABC的内切圆⊙O的半径为，且∠BOC＝120°，△ABC的周长为16，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】设△ABC的三边AB，BC，AC与⊙O相切于E，F，D，连接OA，OE，OD，OF，根据切线的性质得到AE＝AD，BE＝BF，CF＝CD，∠AEO＝∠ADO＝90，根据直角三角形的性质和三角形周长公式即可得到结论．
【解答】解：设△ABC的三边AB，BC，AC与⊙O相切于E，F，D，
连接OA，OE，OD，OF，
∴AE＝AD，BE＝BF，CF＝CD，∠AEO＝∠ADO＝90°，∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2（180°﹣∠BOC）＝120°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠EAO＝∠DAO＝BAC＝30°，
∵OE＝OD＝，
∴AO＝2，
∴AE＝AD＝＝3，
∴BE+CD＝BF+CF＝BC＝AB+BC+AC﹣AE﹣AD＝10，
∴BC＝5．
故选：C．
10．（3分）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ABC，P为BD上一个动点，E为AB中点．设x＝PD，y＝PA+PE，得图2所示y关于x的函数图象，其中Q（m，n）是图象的最低点，则m+n的值为（ ）
A．7 B．7 C．9 D．9
【分析】由图2即点P的运动可知，当点P和点B重合时，y＝9；过点A作AA′⊥BD于点M，交BC于点A′，连接A′E交BD于点P，连接AP，通过计算可得此时的点P对应图2中的点Q；结合∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，分别求解即可．
【解答】解：∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD；
如图，过点A作AA′⊥BD于点M，交BC于点A′，连接A′E交BD于点P，连接AP，
∴∠AMB＝∠A′MB＝90°，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴△AMB≌△A′MB（ASA），
∴AM＝A′M，AB＝A′B，
∴点A与点A′关于BD对称，即此时的点P对应图2中的点Q，
∴n＝A′E，
由图2即点P的运动可知，当点P和点B重合时，y＝9；
∴AB+BE＝9，
∵点E是AB的中点，
∴AB＝2BE，A′E⊥AB，
∴2BE+BE＝9，
∴BE＝3，AB＝6，
∴BD＝6，
在Rt△A′BE中，∠A′EB＝90°，∠ABC＝60°，
∴A′E＝BE＝3，即n＝3；
同理可得，BP＝BE＝2，
∴DP＝4，即m＝4；
∴n+m＝7．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将结果直接填写在答题卡对应的横线上．）
11．（3分）已知a、b是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根，则代数式（a﹣b）（a+b+2）﹣2ab的值等于 2 ．
【分析】欲求（a﹣b）（a+b﹣2）﹣2ab的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣2，ab＝﹣1，
∴（a﹣b）（a+b+2）﹣2ab
＝（a﹣b）（﹣2+2）﹣2ab
＝0﹣2ab
＝2．
故答案为：2．
12．（3分）如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，则球的直径为 10 cm（容器厚度忽略不计）．
【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R＝5，即可求出直径．
【解答】解：根据几何意义得出：边长为8的正方形，球的截面圆为正方形的内切圆，
∴圆的半径为：4cm，
∵球面恰好接触水面时测得水深为6cm，
∴d＝8﹣6＝2（cm），
∴球的半径为：R＝，
解得R＝5，
∴球的直径为10cm．
故答案为：10．
13．（3分）从一块直径为4m的圆形铁皮上剪出一个如图所示圆心角为90°的最大扇形，则阴影部分的面积为 2π m2（结果保留π）．
【分析】根据圆周角定理由∠ABC＝90°得AC为⊙O的直径，即AC＝4，根据等腰直角三角形的性质得AB＝2，然后用圆的面积减去扇形的面积即可求解．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴AC为⊙O的直径，即AC＝4m，
∴AB＝AC＝2m；
∴S阴影＝S圆﹣S扇形＝π×22﹣＝2π；
故答案为2π．
14．（3分）如图，抛物线y＝ax2﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC＝BC，则a的值等于 ﹣ ．
【分析】由二次函数解析式可得抛物线的对称轴及点C坐标，从而可得BC，AC及OC的长度，根据勾股定理可得点A坐标，进而求解．
【解答】解：∵y＝ax2﹣5ax+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，
∵BC∥x轴，
∴BC＝2×＝5，
∵AC＝BC，
∴AC＝5，
将x＝0代入y＝ax2﹣5ax+4得y＝4，
∴点C坐标为（0，4），
∴OC＝4，
在Rt△AOC中，由勾股定理得OA＝＝3，
∴点A坐标为（﹣3，0），
将（﹣3，0）代入y＝ax2﹣5ax+4得0＝9a+15a+4，
解得a＝﹣，
故答案为：﹣．
15．（3分）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的图象上，若BD∥y轴，点D的横坐标为4，则k1+k2＝ 32 ．
【分析】连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，由四边形ABCD是正方形，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（4，a），由BD∥y轴，可以表示点A，B的坐标，可求得m，a的关系，再由B（4，8﹣a）在反比例函数（k1＞0）的图象上，D（4，a）在（k2＞0）的图象上，即可解答本题．
【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE＝BE＝CE＝DE．
设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（4，a），
∵BD∥y轴，
∴B（4，a+2m），A（4+m，a+m）．
∵A，B都在反比例函数（k1＞0）的图象上，
∴k1＝4（a+2m）＝（4+m）（a+m）．
∵m≠0，
∴m＝4﹣a，
∴B（4，8﹣a）．
∵B（4，8﹣a）在反比例函数（k1＞0）的图象上，D（4，a）在（k2＞0）的图象上，
∴k1＝4（8﹣a）＝32﹣4a，k2＝4a，
∴k1+k2＝32﹣4a+4a＝32，
故答案为：32．
16．（3分）已知二次函数y＝a（x+1）2+c﹣a（a，c为常数，a＜0）经过（1，m），且mc＜0，下列结论：
①c＞0；
②；
③若关于x的方程ax2+2ax＝p﹣c（p＞0）有整数解，则符合条件的p的值有3个；
④当a≤x≤a+2时，二次函数的最大值为c，则a＝﹣4．
其中一定正确的是 ①②④ ．（填序号）
【分析】根据题目中的二次函数的图象和性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+1）2+c﹣a＝ax2+2ax+c（a，c为常数且a＜0）经过（1，m），
∴a+2a+c＝m，即3a+c＝m，
∴3ac+c2＝cm，
∵mc＜0，
∴3ac+c2＜0，
∴0≤c2＜﹣3ac，
∵a＜0，
∴c＞0，故①正确；
∴c＜﹣3a，
∴a＜﹣，故②正确；
∵c＞0，mc＜0，
∴m＜0，
∴点（1，m）在x轴的下方，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，a＜0，c＞0，
∴抛物线与直线y＝p（p＞0）交点的横坐标为整数的有﹣2，﹣1，0三个，
∴若关于x的方程ax2+2ax＝p﹣c（p＞0）有整数解，则符合条件的p的值有2个，故③错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，与y轴的交点为（0，c），
∴抛物线过（﹣2，c），
∵a≤x≤a+2时，二次函数的最大值为c，
∴a+2＝﹣2，
∴a＝﹣4，
故④正确；
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．请在答题卡对应的区域写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）解方程：
（1）x2+10x+16＝0；
（2）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2．
【分析】（1）先把原式分解成两整式积的形式，再求出x的值即可；
（2）先根据平方差公式把原式进行因式分解，求出x的值即可．
【解答】解：（1）∵原式可化为：（x+2）（x+8）＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣8；
（2）∵原式可化为：[（2x﹣1）+（3﹣x）][（2x﹣1）﹣（3﹣x）]＝0，即（x+2）（3x﹣4）＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝．
18．（8分）如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，且BF＝DE．
（1）求证：AF＝AE；
（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，求四边形AFCE的面积．
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，求得∠ABF＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据旋转得到 S四边形AFCE＝S正方形ABCD，然后利用正方形的面积公式即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，
∴∠ABF＝90°，
在△ABF与△ADE中，
，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴AF＝AE；
（2）解：由（1）知，△ABF≌△ADE，
∴S四边形AFCE＝S正方形ABCD，
在Rt△ADE中，∠D＝90°，∠DAE＝30°，DE＝2，
∴AD＝DE＝2，
∴四边形AFCE的面积＝AD2＝12．
19．（8分）2022年卡塔尔世界杯小组比赛中，C组有4个队：C1﹣波兰队，C2﹣阿根廷队，C3﹣沙特阿拉伯队，C4﹣墨西哥队．
（1）为了保证比赛的公平性，同一小组内每个队的最后一轮小组赛必须同时进行．那么，C组最后一轮比赛中，4个队两两对阵，同时有 2 场比赛，若小明随机从中选择一场观看，则小明选中观看阿根廷队比赛的概率是 ．
（2）已知每个小组将有两个队出线参加后面的比赛，假定比赛中每个队的出线概率相同，求阿根廷队出线的概率．
【分析】（1）最后一轮比赛中，4个队两两对阵，共有2场比赛，选中观看阿根廷队有1场计算可得；
（2）列树状图，根据概率公式计算即可．
【解答】解：（1）最后一轮比赛4支球队两两对阵，共有2场，
小明选中观看阿根廷队比赛的概率是．
故答案为：2，；
（2）画树状图如下：
∵两个队出线共有6种等可能结果，其中阿根廷队出线的结果有3种，
∴阿根廷队出线的概率为＝．
20．（8分）关于x的一元二次方程ax2﹣2（a+1）x+a﹣1＝0有两个实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使此方程两个实数根的平方和等于2？若存在求出a的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式Δ＝0，建立关于a的等式，由此求出a的取值．
（2）利用根与系数的关系，化简x12+x22＝2，即（x1+x2）2﹣2x1x2＝2，根据根与系数的关系即可得到关于a的方程，解得a的值，再判断a是否符合满足方程根的判别式．
【解答】解（1）∵关于x的一元二次方程ax2﹣2（a+1）x+a﹣1＝0有两个实数根，
∴△≥0且a≠0，
∴Δ＝4（a+1）2﹣4a（a﹣1）＝12a+4≥0，
∴a≥﹣且a≠0；
（2）∵此方程两个实数根的平方和等于2，设方程两根分别为x1+x2，
∴x12+x22＝2，
∵x1+x2＝，x1x2＝，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝2，
∴（）2﹣＝2，
∴解得a＝﹣，
∵a≥﹣且a≠0，
∴不存在实数a使此方程两个实数根的平方和等于2．
21．（8分）如图，已知一次函数y1＝kx+b的图象与x轴相交于点A，与反比例函数y2＝的图象相交于B（﹣1，5）、C（，d）两点．
（1）求k、b的值，并直接写出当y1≤y2时x的取值范围；
（2）点P（m，n）是线段AB上的一个动点，过点P作x轴的平行线与函数y2＝的图象相交于点D．求△PAD的面积S关于n的函数解析式．
【分析】（1）根据点的坐标满足函数解析式，可得C点坐标，根据待定系数法求函数解析式，可得答案；
（2）根据三角形的面积公式，可得S关于n的二次函数．
【解答】解：（1）将点B 的坐标代入y2＝，得5＝，解得c＝﹣5．
∴反比例函数解析式为y2＝﹣，
将点C（，d）的坐标代入y2＝﹣，得d＝﹣＝﹣2，
∴C（，﹣2），
∵一次函数y1＝kx+b的图象经过B（﹣1，5）、C（，﹣2）两点，
∴，
解得，
由图象可知，当y1≤y2时x的取值范围是﹣1≤x＜0或x≥；
（2）令y1＝0，即﹣2x+3＝0，解得x＝，
∴A（，0），
∵点P（m，n）是线段AB上的一个动点，
∴点P（m，n）是一次函数y1＝﹣2x+3的图象上的动点，且﹣1＜m＜，
设P（，n）
∴DP∥x轴，且点D在y2＝﹣的图象上，
∴yD＝yP＝n，xD＝﹣，即D（﹣，n）．
∴△PAD的面积为S＝PD•OP＝•（+）•n＝﹣（n﹣）2+．
又∵n＝﹣2m+3，﹣1＜m＜，得0＜n＜5，
∴S＝﹣（n﹣）2+（0＜n＜5）．
22．（10分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上．AE与过点C的切线垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，过B作BF∥AE交⊙O于点F，连接CF．
（1）求证：∠B＝2∠F；
（2）已知AE＝6，DE＝2，求CD和CF的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得出OC⊥CD，即可证得OC∥AD，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得出∠DAB＝2∠F，进而即可证得结论；
（2）连接AF、AC，延长CO交⊙O于H，过O作OG⊥AE于G，首先根据平行线的性质证得∠ACH＝∠HCF然后根据垂径定理证得AH＝FH，根据垂直平分线的性质得出AC＝FC，进而通过证得四边形OCDG是矩形求得半径，然后根据勾股定理求得OG．得出CD，最后根据勾股定理求得AC，从而求得FC．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠BOC＝∠DAB，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠F，
∴∠DAB＝2∠F，
∵AD∥BF，
∴∠B＝∠DAB，
∴∠B＝2∠F；
（2）解：连接AF、AC，延长CO交⊙O于H，过O作OG⊥AE于G，
∵OC∥AD，AE∥BF，
∴OC∥BF，
∴∠BFC＝∠HCF，
∵∠B＝2∠F，
∴∠B＝2∠HCF，
∵∠ACF＝∠B，
∴∠ACF＝2∠HCF，
∴∠ACH＝∠HCF，
∴＝，
∴CH垂直平分AF，
∴CF＝AC，
∵OG⊥AE，
∴AG＝EG＝3，
∴GD＝GE+ED＝3+2＝5，
∵∠OGD＝∠D＝∠OCD＝90°，
∴四边形OCDG是矩形，
∴OC＝GD＝5，OG＝CD，
∵OA＝OC＝5，AG＝3，
∴OG＝＝4，
∴DC＝4，
在Rt△ADC中，AC＝＝＝4，
∴CF＝AC＝4．
23．（10分）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示：
时间（天）
1≤x＜9
9≤x＜15
x≥15
售价（元/斤）
第1次降价后的价格
8.1
销量（斤）
80﹣3x
120﹣x
储存和损耗费用（元）
40+3x
3x2﹣64x+400
已知该种水果的进价为4.1元/斤，当1≤x＜15时，设销售该水果第x天的利润为y元，求y与x之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设该种水果每次降价的百分率为x，根据“经过两次降价后价格为8.1元/斤”得关于x的一元二次方程，解方程并根据题意作出取舍即可；
（2）写出当1≤x＜9时的一次函数关系式，根据一次函数的性质得出此时y的最大值；写出当9≤x＜15时的二次函数关系式，根据二次函数的性质得出此时y的最大值，两者比较即可得出答案．
【解答】解：（1）设该种水果每次降价的百分率为x，由题意得：
10（1﹣x）2＝8.1，
解得：x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意，舍去），
∴x＝0.1＝10%，
∴该种水果每次降价的百分率为10%；
（2）当1≤x＜9时，第一次降价后的价格是：10×（1﹣10%）＝9（元），
∴y＝（9﹣4.1）×（80﹣3x）﹣（40+3x）
＝﹣17.7x+352，
∵﹣17.7＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，y最大，最大值为：y＝﹣17.7×1+352＝334.3；
当9≤x＜15时，
y＝（8.1﹣4.1）×（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）
＝﹣3x2+60x+80
＝﹣3（x﹣10）2+380，
∵﹣3＜0，
∴当x＝10时，y有最大值，最大值为380．
综上所述，y＝，第10天时的销售利润最大．
24．（12分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（2m﹣1，0）和点B（m+2，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC上一动点，过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，PQ为半径作⊙P，当⊙P与坐标轴相切时，求⊙P的半径；
（3）直线y＝kx+3k+4（k≠0）与抛物线交于M，N两点，求△AMN面积的最小值．
【分析】（1）由题意得：x＝﹣1＝（2m﹣1+m+2），解得：m＝﹣1，进而求解；
（2）当圆P和y轴相切时，则PQ＝|xP|，即﹣t﹣3﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t，即可求解；当圆P和x轴相切时，则PQ＝|yP|，即可求解；
（3）由△AMN面积＝S△AHM+S△AHN＝×AH×（xN﹣xM）＝2（xN﹣xM），即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：x＝﹣1＝（2m﹣1+m+2），解得：m＝﹣1，
故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0），
则抛物线的表达式为：y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3①；
（2）设直线AC的表达式为：y＝kx﹣3，
将点A的坐标代入上式得：0＝﹣3k﹣3，解得：k＝﹣1，
就直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
设点P（t，﹣t﹣3），则点Q（t，t2+2t﹣3），
当圆P和y轴相切时，则PQ＝|xP|，即﹣t﹣3﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t，
解得：t＝0（舍去）或﹣2，
则圆P的半径为2；
当圆P和x轴相切时，则PQ＝|yP|，即﹣t﹣3﹣（t2+2t﹣3）＝t+3，
解得：t＝﹣3（舍去）或﹣1，
则点P（﹣1，﹣2），
则圆P的半径为2；
综上，圆P的半径为2；
（3）y＝kx+3k+4＝k（x+3）+4②，则该直线过点（﹣3，4），设该点为点H（﹣3，4），如图：
点A、H的横坐标相同，连接AH，则AH⊥x轴，且AH＝yH＝4，
联立①②并整理得：x2+（2﹣k）x﹣（3k+7）＝0，
则xM+xN＝k﹣2，xM•xN＝﹣3k﹣7，
则xN﹣xM＝＝＝≥4，
即xN﹣xM的最小值为4，
△AMN面积＝S△AHM+S△AHN＝×AH×（xN﹣xM）＝2（xN﹣xM），
则△AMN面积最小值为2×4＝8．
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