2022-2023学年湖北省荆门市沙洋县国道片区九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年湖北省荆门市沙洋县国道片区九年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  下列图形既是中心对称又是轴对称的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  某红外线遥控器发出的红外线波长为  ，用科学记数法表示这个数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，直线，，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

5.  已知实数，满足方程组则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则四边形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在矩形中，，若点、分别是线段，上的两个动点，则的最小值为(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，、两点在双曲线的图象上，分别经过、两点向轴作垂线段，已知，则(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  因式分解：______．

10.  在植树节当天，某校一个班同学分成个小组参加植树造林活动，个小组植树的株数见下表：

则这个小组植树株数的方差是______．

11.  如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点，点为的中点，连接，若，则的周长为______．

12.  如图，在平行四边形中，点是上的点，，直线交于点，交的延长线于点，则的值为______．

13.  如图所示，为了测量出某学校教学大楼的高度，数学课外小组同学在处，测得教学大楼顶端处的仰角为；随后沿直线向前走了米后到达处，在处测得处的仰角为，已知测量器高米，则建筑物的高度约为______米．参考数据：，，结果按四舍五入保留整数

14.  已知函数的图象如图所示，若直线与该图象有公共点，则的最大值与最小值的和为______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

15.  计算：

四、解答题（本大题共7小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为，观测点与大桥主架的水平距离为米，且垂直于桥面．点，，，在同一平面内

求大桥主架在桥面以上的高度；结果保留根号
求大桥主架在水面以上的高度结果精确到米
参考数据，，，

17.  本小题分
如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接．
求证：；
若，，求的周长和面积．

18.  本小题分
某校为了了解学生对世博礼仪的知晓程度，从全校名学生中随机抽取了名学生进行测试．根据测试成绩成绩取整数，满分为分作了统计分析，绘制成频数分布直方图如图，其中部分数据缺失又知分以上含分的人数比分含分，不含分的人数的倍还多人．


请你根据上述信息，解答下列问题：

该统计分析的样本是______
A、名学生；
B、被抽取的名学生；
C、被抽取的名学生的问卷成绩；
D、
被测学生中，成绩不低于分的有多少人？
测试成绩的中位数所在的范围是______；
如果把测试成绩不低于分记为优良，试估计该校有多少名学生对世博礼仪的知晓程度达到优良；
学校准备从测试成绩不低于分的学生中随机选人义务宣传世博礼仪，若小杰的得分是分，那么小杰被选上的概率是多少？

19.  本小题分
关于的一元二次方程．
若是该方程的一个根，求该方程的另一个根；
求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
设该方程的两个实数根为，，若，求的值．

20.  本小题分
如图，四边形中，，以为直径的经过点，连接、交于点．
证明：；
若，证明：与相切；
在条件下，连接交于点，连接，若，求的长．
 

21.  本小题分
甲、乙两汽车出租公司均有辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：

说明：汽车数量为整数；月利润月租车费月维护费；两公司月利润差月利润较高公司的利润月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
当每个公司租出的汽车为辆时，甲公司的月利润是______ 元；当每个公司租出的汽车为______ 辆时，两公司的月利润相等；
求两公司月利润差的最大值；
甲公司热心公益事业，每租出辆汽车捐出元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围．

22.  本小题分
如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点点是轴上的一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．
求这个二次函数的表达式；
若点仅在线段上运动，如图，求线段的最大值；
若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，符合题意，
故选：．
原式利用完全平方公式，单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，以及去括号，合并同类项法则计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；
C.是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：  ，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】 

【解析】解：直线，，，
，，
，
．
故选：．
设的对顶角为，在上的同位角为，结合已知条件可推出，，即可得出的度数．
本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质和对顶角的性质，关键在于根据已知条件找到有关相等的角．
 

5.【答案】 

【解析】

【解答】
首先解方程组，求出、的值，然后代入所求代数式求值即可．
此题主要考查了二元一次方程组解的定义，以及解二元一次方程组的基本方法．正确解方程组是关键．
【分析】
解：，
，得，解得，
把代入得，，解得，
．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，，
，，
，
在中，，
，
四边形的面积．
故选：．
根据，，求出，，并利用勾股定理求出，根据垂径定理求出，即可求出四边形的面积．
本题考查了垂径定理，解题的关键是熟练运用定理．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查最短路径问题，关键确定何时路径最短，然后运用勾股定理和相似三角形的性质求得解．
过点作的垂线，使两边的线段相等，到点，过作垂直交于点，就是所求的线段．
【解答】
解：过点作的垂线，使两边的线段相等，到点，过作垂直交于点，和交于点，

则就是所求的线段和的最小值．
根据勾股定理得，
在直角三角形中，边上的高，
所以，
而，
，则．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于，
．
故选：．
欲求，只要求出过、两点向轴、轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线的系数，由此即可求出．
本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查提公因式法与公式法的综合运用，先提公因式，再利用完全平方公式即可进行因式分解．
【解答】
解：原式．  

10.【答案】 

【解析】解：根据表格得出：，
方差计算公式：
，
，
，
．
故答案为：．
首先求出平均数，再利用方差计算公式：求出即可．
本题考查了方差的定义，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用来表示，计算公式是：可简单记忆为“方差等于差方的平均数”
 

11.【答案】 

【解析】解：由作法得平分，
，
，，
，
在中，，
点为的中点，
，
的周长．
故答案为：．
利用基本作图得到平分，则根据等腰三角形的性质得到，，在利用勾股定理计算出，接着根据直角三角形斜边上的中线性质得，所以的周长．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．
 

12.【答案】 

【解析】解：由，可以假设，则，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
故答案为：．
由，可以假设，则，，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：设米，
在中，
，
，
，
，
，
在中，，，
，即，
解得：，
米，
答：建筑物的高度约为米．
故答案为：．
设米，由得，，根据可得关于的方程，解之求出可得答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的思想找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．
 

14.【答案】 

【解析】解：当直线经过点时，，解得；
当直线与抛物线只有一个交点时，，
整理得，
，解得或舍去，
的最大值是，最小值是，
的最大值与最小值的和为．
故答案为：．
根据题意可知，当直线经过点时，直线与该图象有公共点；当直线与抛物线只有一个交点时，，可得出的最大值是，最小值是，即可得它们的和为．
本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，结合图象求出的最大值和最小值是解题的关键．
 

15.【答案】解：原式分

分 

【解析】根据二次根式、负整数指数幂、指数幂、特殊角的三角函数值及有理数的混合运算法则计算．
此题考查了二次根式、负整数指数幂、指数幂、特殊角的三角函数值及有理数的混合运算法则，在学习中要加强对基本概念和运算法则的理解．
 

16.【答案】解：垂直于桥面，
，
在中，，，
，
米，
答：大桥主架在桥面以上的高度为米；
在中，，，
，
，
米
答：大桥主架在水面以上的高度约为米． 

【解析】根据正切的定义求出；
根据正切的定义求出，结合图形计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

17.【答案】解：证明：，
，
在和中：
，
≌，
；
在中，，
，，
，，
在中，，
，
． 

【解析】通过求证≌即可证明；
利用勾股定理分别计算出和即可求出的周长和面积．
本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积的计算等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及勾股定理的应用是解题的关键．
 

18.【答案】解：；
设分含分，不含分的人数为人，
则分以上含分的人数为人，
可得，

；
；
；
． 

【解析】

解：根据题意，
故答案为：；
见答案；
根据题意，

故答案为：；
见答案；
见答案．
【分析】
样本就是研究中实际观测或调查的一部分个体称为样本．依据定义即可解答；
设分含分，不含分的人数为人，则分以上含分的人数为人，根据分含分，不含分的人数与分以上含分的人数的和是人，即可求得的值，进而求解；
中位数就是把各个数按从小到大的顺序排列排列，中间即第与第两个数的平均数，依据定义即可求解；
求出优良的学生所占的比例，即可求得人数；
求出成绩不低于分的学生的总人数，根据概率公式，即可求解．
本题考查的知识点较多，有样本的概念，中位数的确定方法，频数与频率的关系，对于每个概念的正确理解是解题关键．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．一组数据按顺序排列后，中间的那两个数的平均数或中间的那个数叫做中位数．

19.【答案】解：由题意，，
解得，
方程为，
解得或，
方程的另一个根为．

证明：，
无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．

由根与系数的关系得，，由若，
则有，
，
整理得，
解得或． 

【解析】利用待定系数法解决问题即可．
证明判别式大于即可．
利用根与系数的关系，把问题转化为一元二次方程解决问题．
本题考查根与系数的关系，根的判别式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：连接，

在和中，
，
≌，
，
又，
，
为的直径，
，即，
；
，
设、则，
，
，且，
，，，
在中，，
在中，，
，
，
，
则与相切；
连接，
是的直径，
，
，
∽，
，即  ，
又，，
∽，
，即，
由可得，
即，
又，
∽，
，
、、、、，
，即，
解得：． 

【解析】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点．
连接，证≌得，由知，再由为直径知，从而得；
根据可设、则、，证为中位线知、、，进一步求得，再在中利用勾股定理逆定理证即可得；
先证∽得 ，再证∽得，由得，即，结合知∽，据此可得，结合可得相关线段的长，代入计算可得．
 

21.【答案】；
设两公司的月利润分别为，，月利润差为，
则，
，
当甲公司的利润大于乙公司时，，

，
当时，利润差最大，且为元；
当乙公司的利润大于甲公司时，，

，
对称轴为直线，
当时，利润差最大，且为元；
综上：两公司月利润差的最大值为元；
捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则利润差为，
对称轴为直线，
只能取整数，且当两公司租出的汽车均为辆时，月利润之差最大，
，
解得：． 

【解析】解：元，
当每个公司租出的汽车为辆时，甲公司的月利润是元；
设每个公司租出的汽车为辆，
由题意可得：，
解得：或舍，
当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等；

用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以，减去维护费用可得甲公司的月利润；设每个公司租出的汽车为辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；
设两公司的月利润分别为，，月利润差为，同可得和的表达式，再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出关于的表达式，根据二次函数的性质，结合的范围求出最值，再比较即可；
根据题意得到利润差为，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为辆，结合为整数可得关于的不等式，即可求出的范围．
本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图像和性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关系式，尤其中要根据为整数得到的不等式．
 

22.【答案】解：把，代入中，
得，
解得，
这个二次函数的表达式为；
，
当时，，
点坐标为，
设直线的表达式为，
把，代入，
得，
解得，
，
点是轴上的一动点，且轴，
点坐标为，点坐标为，
，
，
此函数有最大值，
又点在线段上运动，则，
，
当时，有最大值；
点的坐标为或或． 

【解析】把，代入中，构建方程组解决问题即可；
构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可；
分三种情形：如图中，当点在线段上，，四边形是菱形时，如图中，当是菱形的边时，四边形是正方形，如图中，当点在延长线上时，，四边形是菱形时，分别求解即可．
本题考查二次函数综合．
解：见答案；
见答案；
存在，理由如下：
如图中，当点在线段上，时，

，，
，
解得或舍，
，
四边形是菱形，
，
，
点坐标为，
如图中，当是菱形的边时，四边形是正方形，此时，
可得点坐标为，

如图中，当点在延长线上时，，四边形是菱形时，

则有，
解得或舍弃，
，
，
点坐标为，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或．