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初中数学中考复习 专题16 角平分线四大模型（解析版）
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这是一份初中数学中考复习 专题16 角平分线四大模型（解析版），共24页。试卷主要包含了角平分线上的点向两边作垂线，截取构造对称全等， 角平分线+垂线构造等腰三角形，角平分线+平行线等内容，欢迎下载使用。
1、角平分线上的点向两边作垂线
如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B。
结论：PB=PA。
2、截取构造对称全等
如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点 A 是射线 OM 上任意一点，在 ON上截取 OB=OA，连接 PB。
结论：△OPB≌△OPA。
3、 角平分线+垂线构造等腰三角形
如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP⊥OP 于 P 点，延长 AP 于点 B。
结论：△AOB 是等腰三角形。
4、角平分线+平行线
如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点 P 作 PQ∥ON，交 OM 于点 Q。结论：△POQ 是等腰三角形。
模型精练：
1．（2019•东平县二模）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【点睛】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案
【解析】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD＝x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∵∠BPC＝40°，
∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，
∴∠CAF＝100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
PA=PAPM=PF，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP＝∠PAC＝50°．
故选：C．
2．（2019•桂平市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，BD＝8cm，那么点D到直线AB的距离是（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．10cm
【点睛】先求出CD的长，过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得DE＝CD，从而得解．
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵BC＝12cm，BD＝8cm，
∴CD＝BC﹣BD＝12﹣8＝4cm，
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，
∴DE＝CD＝4cm，
即点D到直线AB的距离是4cm．
故选：B．
3．（2020•浙江自主招生）如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（ ）
A．m+n＞b+cB．m+n＜b+cC．m+n＝b+cD．无法确定
【点睛】在BA的延长线上取点E，使AE＝AC，连接EP，证明△ACP和△AEP全等，推出PE＝PC，根据三角形任意两边之和大于第三边即可得到m+n＞b+c．
【解析】解：在BA的延长线上取点E，使AE＝AC，连接EP，
∵AD是∠A的外角平分线，
∴∠CAD＝∠EAD，
在△ACP和△AEP中，AE=AC∠CAD=∠EADAP=AP，
∴△ACP≌△AEP（SAS），
∴PE＝PC，
在△PBE中，PB+PE＞AB+AE，
∵PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，
∴m+n＞b+c．
故选：A．
4．（2019•兰山区一模）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝11，则线段MN的长为 11 ．
【点睛】根据平行线的性质得出∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，根据角平分线定义得出∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB，求出∠MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE，推出ME＝BM，EN＝CN即可．
【解析】解：∵MN∥BC，
∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，
∴∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB，
∴∠MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE，
∴ME＝BM，EN＝CN，
∵BM+CN＝11，
∴EM+EN＝11，
即MN＝11，
故答案为：11．
5．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．
【点睛】作BE的中点E，连接AE、AD，根据直角三角形得到性质就可以得出AE＝BE＝EF，由BD平分∠ABC就可以得出∠ABE＝∠DBC＝22.5°，从而可以得出∠BAE＝∠BAE＝∠ACD＝22.5°，∠AEF＝45°，由∠BAC＝90°，∠BDC＝90°就可以得出A、B、C、D四点共圆，求出AD＝DC，证△ADC≌△AEB推出BE＝CD，从而得到结论．
【解析】解：取BF的中点E，连接AE，AD，
∵∠BAC＝90°，
∴AE＝BE＝EF，
∴∠ABD＝∠BAE，
∵CD⊥BD，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠DAC＝∠DBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴∠EAD＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝∠DBC＝22.5°，
∴∠AED＝45°，
∴AE＝AD，
在△ABE与△ADC中，
∠ABE=∠DAC∠BAE=∠ACDAE=AD，
∴△ABE≌△ADC，
∴BE＝CD，
∴BF＝2CD．
6．如图，在△ABC中，∠ABE＝2∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD，垂足为E
（1）若∠C＝30°，求证：AB＝2BE．
（2）若∠C≠30°，求证：BE=12（AC﹣AB）．
【点睛】（1）由BE⊥AD，得到∠AEB＝90°，根据已知条件得到∠ABE＝60°，根据三角形的内角和得到∠BAE＝30°，根据直角三角形的性质即刻得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到AB＝AF，根据等腰三角形的性质得到∠AFE＝∠ABE＝2∠C，根据三角形外角的性质得到∠C＝∠CBF，得到BF＝CF，于是得到结论．
【解析】解：（1）∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABE＝2∠C，∠C＝30°，
∴∠ABE＝60°，
∴∠BAE＝30°，
∴AB＝2BE；
（2）∵AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD，
∴AB＝AF，
∴∠AFE＝∠ABE＝2∠C，
∵∠AFE＝∠C+∠CBF，
∴∠C＝∠CBF，
∴BF＝CF，
∵BF＝2BE，
∴CF＝AC﹣AB＝BE＝2BE，
∴BE=12（AC﹣AB）．
7．（2019•沂源县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD，求证：∠ECA＝40°．
【点睛】在BC上截取BF＝AB，连DF，根据SAS可证明△ABD≌△FBD，得出DF＝DA＝DE，证明△DCE≌△DCF，故∠ECA＝∠DCB＝40°．
【解析】证明：在BC上截取BF＝AB，连DF，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠FBD，
∴△ABD≌△FBD（SAS），
∴DF＝DA＝DE，
又∵∠ACB＝∠ABC＝40°，∠DFC＝180°﹣∠A＝80°，
∴∠FDC＝60°，
∴∠EDC＝∠ADB＝180°﹣∠ABD﹣∠A＝180°﹣20°﹣100°＝60°，
∴△DCE≌△DCF（SAS），
故∠ECA＝∠DCB＝40°．
8．（2019•临洮县期末）已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AC+CD．
【点睛】在线段BC上截取BE＝BA，连接DE．则只需证明CD＝CE即可．结合角度证明∠CDE＝∠CED．
【解析】证明：在线段BC上截取BE＝BA，连接DE．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD=12∠ABC．
在△ABD和△EBD中，
BE=BA∠ABD=∠EBDBD=BD，
∴△ABD≌△EBD．（SAS）
∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB．
又∵AB＝AC，∠A＝108°，∠ACB＝∠ABC=12×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠ABD＝∠EBD＝18°．
∴∠ADB＝∠EDB＝180°﹣18°﹣108°＝54°．
∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠EDB＝180°﹣54°﹣54°＝72°．
∴∠DEC＝180°﹣∠DEB＝180°﹣108°＝72°．
∴∠CDE＝∠DEC．
∴CD＝CE．
∴BC＝BE+EC＝AB+CD．
9．（2019•自贡期中）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝DC，
（1）若BD⊥CD，∠C＝60°，BC＝10，求AD的长；
（2）若BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．
【点睛】（1）由含30°角的直角三角形的性质求出DC，即可得出答案；
（2）在BC上截取BE＝BA，连接DE，推出△ABD≌△EBD，推出∠A＝∠BED，AD＝DE＝DC，推出∠BED+∠C＝180°，即可得出答案．
【解析】（1）解：∵BD⊥CD，∠C＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴DC=12BC＝5，
∵AD＝DC＝5；
（2）证明：在BC上截取BE＝BA，连接DE，如图所示：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD，
在△ABD和△EBD中，AB=BE∠ABD=∠EBDBD=BD，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴∠A＝∠BED，AD＝DE，
∵AD＝DC，
∴DE＝DC，
∴∠C＝∠DEC，
∵∠BED+∠DEC＝∠A+∠DEC＝∠A+∠C＝180°，
即∠A+∠C＝180°．
10．（2019•宜昌期中）（1）已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D．求证：BD＝AB+AC；
（2）对于任意三角形ABC，∠ABC＝2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图2，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系并加以证明．
【点睛】（1）在CA的延长线上截取AE＝AB，连接DE，由角平分线的性质就可以得出△EAD≌△BAD，得出∠AED＝∠ABD＝90°，DB＝DE，就可以得出DB＝AB+AC；
（2）在CA的延长线上取一点E，使AE＝AB，连接DE，由角平分线的性质就可以得出△AED≌△ABD，就可以得出DE＝DB，∠AED＝∠ABD，就可以得出∠DEF＝∠ABC，就可以得出∠EDC＝∠C，进而得出结论．
【解析】证明：（1）在CA的延长线上截取AE＝AB，连接DE．
∵AD平分∠EAB，
∴∠EAD＝∠BAD，
在△EAD和△BAD中，
EA=BA∠EAD=∠BADAD=AD，
△EAD≌△BAD（SAS）．
∴∠AED＝∠ABD，DB＝DE，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°
∴∠C＝45°，∠ABD＝90°，
∴∠AED＝90°，
∴∠EDC＝45°，
∴∠EDC＝∠C，
∴DE＝EC．
∴BD＝EC．
∵EC＝AE+AC，
∴BD＝AE+AC
∴DB＝AE+AC＝AB+AC；
（2）BD＝AB+AC，理由如下：
在CA的延长线上取一点E，使AE＝AB，连接DE，
∵AD平分∠EAB，
∴∠EAD＝∠BAD，
在△EAD和△BAD中，
EA=BA∠EAD=∠BADAD=AD，
∴△EAD≌△BAD（SAS）．
∴∠AED＝∠ABD，DB＝DE．
∵∠AED+∠FED＝180°，∠ABD+ABC＝180°，
∴∠FED＝∠ABC．
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠FED＝2∠C．
∵∠FED＝∠EDC+∠C，
∴2∠C＝∠EDC+∠C，
∴∠C＝∠EDC，
∴DE＝CE．
∴BD＝EC．
∵EC＝AE+AC，
∴BD＝AE+AC
∴DB＝AE+AC＝AB+AC．
11．（2019•潮南区期中）在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足是D．
（1）求证：∠2＝∠1+∠C；
（2）若ED∥BC，∠ABD＝28°，求∠ADE的度数．
【点睛】（1）如图延长AD交BC于H．证明△BDA≌△BDH（ASA）即可解决问题．
（2）求出∠AHC，再利用平行线的性质即可解决问题．
【解析】解：（1）如图延长AD交BC于H．
∵BD⊥AH，
∴∠BDA＝∠BDH＝90°，
∵∠ABD＝∠HBD，BD＝BD，
∴△BDA≌△BDH（ASA），
∴BA＝BH，∠2＝∠BHA，
∵∠BHA＝∠1+∠C，
∴∠2＝∠1+∠C．
（2）∵∠ABD＝28°，∠BDA＝90°，
∴∠2＝62°，
∴∠AHB＝∠2＝62°，
∴∠AHC＝180°﹣62°＝118°，
∵DE∥EC，
∴∠ADE＝∠AHC＝118°．
12．（2019•蔡甸区校级月考）如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∥AB．
【点睛】过E作AC的平行线于AD延长线交于G点，可证明△DEG≌△DCA，可得EG＝EF，可证明EF∥AB．
【解析】解：过E作AC的平行线于AD延长线交于G点，
∵EG∥AC
在△DEG和△DCA中，
∠ADC=∠GDECD=ED∠DEG=∠DCA，
∴△DEG≌△DCA（ASA），
∴EG＝EF，∠G＝∠CAD，又EF＝AC
故EG＝AC
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EG＝EF，
∴∠G＝∠EFD，
∴∠EFD＝∠BAD，
∴EF∥AB．
13．（2019•崇安区校级月考）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．
【点睛】在AB上找到F使得AF＝AD，易证△AEF≌△AED，可得AF＝AD，∠AFE＝∠D，根据平行线性质可证∠C＝∠BFE，即可证明△BEC≌△BEF，可得BF＝BC，即可解题．
【解析】证明：在AB上找到F使得AF＝AD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD＝∠EAF，
∵在△AEF和△AED中，AD=AF∠EAD=∠EAFAE=AE，
∴△AEF≌△AED，（SAS）
∴AF＝AD，∠AFE＝∠D，
∵AD∥BC，
∴∠D+∠C＝180°，
∵∠AFE+∠BFE＝180°
∴∠C＝∠BFE，
∵BE平分∠BAD，
∴∠FBE＝∠C，
∵在△BEC和△BEF中，∠BFE=∠C∠FBE=∠CBEBE=BE，
∴△BEC≌△BEF，（AAS）
∴BF＝BC，
∵AB＝AF+BF，
∴AB＝AD+BC，即AD＝AB﹣BC．
14．（2019•江夏区校级月考）如图1，AB∥CD，P为AB、CD之间一点
（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求证：AP⊥CP；
（2）如图（2），若∠BAP=25∠BAC，∠DCP=25∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的结果并且证明你的结论；
（3）在（1）的条件下，当∠BAQ=13∠BAP，∠DCQ=13∠DCP，H为AB上一动点，连HQ并延长至K，使∠QKA＝∠QAK，再过点Q作∠CQH的平分线交直线AK于M，问当点H在射线AB上移动时，∠QMK的大小是否变化？若不变，求其值；若变化，求其取值范围．
【点睛】（1）依据平行线的性质，以及角平分线的定义，即可得到∠P＝180°﹣90°＝90°，进而得到AP⊥CP；
（2）过E作EG∥AB，过F作FH∥CD，依据平行线的性质即可得到∠AEC＝∠BAE+∠DCE，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，再根据∠BAP=25∠BAC，∠DCP=25∠ACD，AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，即可得到∠E+∠F＝108°；
（3）过Q作QE∥AB，依据平行线的性质可得∠AQC＝∠AQE+∠CQE＝∠BAQ+∠DCQ，依据∠BAQ=13∠BAP，∠DCQ=13∠DCP，即可得出∠AQC＝30°，再根据∠M＝∠MQH﹣∠K进行计算，即可得出∠QMK的大小不变，是定值15°．
【解析】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
又∵AP平分∠CAB，CP平分∠ACD，
∴∠CAP=12∠CAB，∠ACP=12∠ACD，
∴∠CAP+∠ACP=12（∠BAC+∠ACD）=12×180°＝90°，
∴△ACP中，∠P＝180°﹣90°＝90°，
即AP⊥CP；
（2）∠E+∠F＝108°．
证明：如图2，过E作EG∥AB，过F作FH∥CD，
∵AB∥CD，
∴EG∥AB∥FH∥CD，∠BAC+∠DCA＝180°，
∴∠BAE＝∠AEG，∠DCE＝∠CEG，∠BAF＝∠AFH，∠DCF＝∠CFH，
∴∠AEC＝∠BAE+∠DCE，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
∵∠BAP=25∠BAC，∠DCP=25∠ACD，AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，
∴∠BAE=15∠BAC，∠DCF=15∠DCA，
∴∠AEC=15∠BAC+25∠ACD，∠AFC=25∠BAC+15∠DCA，
∴∠AEC+∠AFC=15∠BAC+25∠ACD+25∠BAC+15∠DCA=35∠ACD+35∠BAC=35（∠BAC+∠DCA）=35×180°＝108°；
（3）如图，过Q作QE∥AB，
∵AB∥CD，
QE∥CD，
∴∠BAQ＝∠AQE，∠DCQ＝∠CQE，
∴∠AQC＝∠AQE+∠CQE＝∠BAQ+∠DCQ，
由（1）可得∠BAP+∠DCP＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠BAQ=13∠BAP，∠DCQ=13∠DCP，
∴∠AQC＝∠BAQ+∠DCQ=13∠BAP+13∠DCP=13（∠BAP+∠DCP）＝30°，
∵∠AQH是△AQK的外角，QA＝QK，
∴∠K=12∠AQH，
∵QM是∠CQH的平分线，
∴∠MQH=12∠CQH，
∵∠MQH是△MQK的外角，
∴∠M＝∠MQH﹣∠K=12∠CQH-12∠AQH=12（∠CQH﹣∠AQH）=12∠AQC=12×30°＝15°，
即∠QMK的大小不变，是定值15°．
15．（2019•东湖区校级月考）（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有 5 个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是 BE+CF＝EF ，△AEF的周长是 20
（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改为“若△ABC为不等边三角形，AB＝8，AC＝10”其余条件不变，则图中共有 2 个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长
（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明．
【点睛】（1）根据角平分线的定义可得∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，然后求出∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，再根据等角对等边可得BE＝DE，CF＝DF，然后解答即可；
（2）根据角平分线的定义可得∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，然后求出∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，再根据等角对等边可得BE＝DE，CF＝DF，然后解答即可；
（3）由（2）知BE＝ED，CF＝DF，然后利用等量代换即可证明BE、CF、EF有怎样的数量关系．
【解析】解：（1）BE+CF＝EF．
理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴DB＝DC
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，
∴BE＝DE，CF＝DF，AE＝AF，
∴等腰三角形有△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC共5个，
∴BE+CF＝DE+DF＝EF，
即BE+CF＝EF，
△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+BE+AF+FC＝AB+AC＝20．
故答案为：5；BE+CF＝EF；20；
（2）BE+CF＝EF，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，
∴BE＝DE，CF＝DF，
∴等腰三角形有△BDE，△CFD，
∴BE+CF＝DE+DF＝EF，即BE+CF＝EF．
可得△AEF的周长为18．
（3）BE﹣CF＝EF，
由（1）知BE＝ED，
∵EF∥BC，
∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD，
∴CF＝DF，
又∵ED﹣DF＝EF，
∴BE﹣CF＝EF．
1、角平分线上的点向两边作垂线
如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B。
结论：PB=PA。
2、截取构造对称全等
如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点 A 是射线 OM 上任意一点，在 ON上截取 OB=OA，连接 PB。
结论：△OPB≌△OPA。
3、 角平分线+垂线构造等腰三角形
如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP⊥OP 于 P 点，延长 AP 于点 B。
结论：△AOB 是等腰三角形。
4、角平分线+平行线
如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点 P 作 PQ∥ON，交 OM 于点 Q。结论：△POQ 是等腰三角形。
模型精练：
1．（2019•东平县二模）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【点睛】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案
【解析】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD＝x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∵∠BPC＝40°，
∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，
∴∠CAF＝100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
PA=PAPM=PF，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP＝∠PAC＝50°．
故选：C．
2．（2019•桂平市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，BD＝8cm，那么点D到直线AB的距离是（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．10cm
【点睛】先求出CD的长，过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得DE＝CD，从而得解．
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵BC＝12cm，BD＝8cm，
∴CD＝BC﹣BD＝12﹣8＝4cm，
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，
∴DE＝CD＝4cm，
即点D到直线AB的距离是4cm．
故选：B．
3．（2020•浙江自主招生）如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（ ）
A．m+n＞b+cB．m+n＜b+cC．m+n＝b+cD．无法确定
【点睛】在BA的延长线上取点E，使AE＝AC，连接EP，证明△ACP和△AEP全等，推出PE＝PC，根据三角形任意两边之和大于第三边即可得到m+n＞b+c．
【解析】解：在BA的延长线上取点E，使AE＝AC，连接EP，
∵AD是∠A的外角平分线，
∴∠CAD＝∠EAD，
在△ACP和△AEP中，AE=AC∠CAD=∠EADAP=AP，
∴△ACP≌△AEP（SAS），
∴PE＝PC，
在△PBE中，PB+PE＞AB+AE，
∵PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，
∴m+n＞b+c．
故选：A．
4．（2019•兰山区一模）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝11，则线段MN的长为 11 ．
【点睛】根据平行线的性质得出∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，根据角平分线定义得出∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB，求出∠MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE，推出ME＝BM，EN＝CN即可．
【解析】解：∵MN∥BC，
∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，
∴∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB，
∴∠MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE，
∴ME＝BM，EN＝CN，
∵BM+CN＝11，
∴EM+EN＝11，
即MN＝11，
故答案为：11．
5．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．
【点睛】作BE的中点E，连接AE、AD，根据直角三角形得到性质就可以得出AE＝BE＝EF，由BD平分∠ABC就可以得出∠ABE＝∠DBC＝22.5°，从而可以得出∠BAE＝∠BAE＝∠ACD＝22.5°，∠AEF＝45°，由∠BAC＝90°，∠BDC＝90°就可以得出A、B、C、D四点共圆，求出AD＝DC，证△ADC≌△AEB推出BE＝CD，从而得到结论．
【解析】解：取BF的中点E，连接AE，AD，
∵∠BAC＝90°，
∴AE＝BE＝EF，
∴∠ABD＝∠BAE，
∵CD⊥BD，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠DAC＝∠DBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴∠EAD＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝∠DBC＝22.5°，
∴∠AED＝45°，
∴AE＝AD，
在△ABE与△ADC中，
∠ABE=∠DAC∠BAE=∠ACDAE=AD，
∴△ABE≌△ADC，
∴BE＝CD，
∴BF＝2CD．
6．如图，在△ABC中，∠ABE＝2∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD，垂足为E
（1）若∠C＝30°，求证：AB＝2BE．
（2）若∠C≠30°，求证：BE=12（AC﹣AB）．
【点睛】（1）由BE⊥AD，得到∠AEB＝90°，根据已知条件得到∠ABE＝60°，根据三角形的内角和得到∠BAE＝30°，根据直角三角形的性质即刻得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到AB＝AF，根据等腰三角形的性质得到∠AFE＝∠ABE＝2∠C，根据三角形外角的性质得到∠C＝∠CBF，得到BF＝CF，于是得到结论．
【解析】解：（1）∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABE＝2∠C，∠C＝30°，
∴∠ABE＝60°，
∴∠BAE＝30°，
∴AB＝2BE；
（2）∵AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD，
∴AB＝AF，
∴∠AFE＝∠ABE＝2∠C，
∵∠AFE＝∠C+∠CBF，
∴∠C＝∠CBF，
∴BF＝CF，
∵BF＝2BE，
∴CF＝AC﹣AB＝BE＝2BE，
∴BE=12（AC﹣AB）．
7．（2019•沂源县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD，求证：∠ECA＝40°．
【点睛】在BC上截取BF＝AB，连DF，根据SAS可证明△ABD≌△FBD，得出DF＝DA＝DE，证明△DCE≌△DCF，故∠ECA＝∠DCB＝40°．
【解析】证明：在BC上截取BF＝AB，连DF，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠FBD，
∴△ABD≌△FBD（SAS），
∴DF＝DA＝DE，
又∵∠ACB＝∠ABC＝40°，∠DFC＝180°﹣∠A＝80°，
∴∠FDC＝60°，
∴∠EDC＝∠ADB＝180°﹣∠ABD﹣∠A＝180°﹣20°﹣100°＝60°，
∴△DCE≌△DCF（SAS），
故∠ECA＝∠DCB＝40°．
8．（2019•临洮县期末）已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AC+CD．
【点睛】在线段BC上截取BE＝BA，连接DE．则只需证明CD＝CE即可．结合角度证明∠CDE＝∠CED．
【解析】证明：在线段BC上截取BE＝BA，连接DE．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD=12∠ABC．
在△ABD和△EBD中，
BE=BA∠ABD=∠EBDBD=BD，
∴△ABD≌△EBD．（SAS）
∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB．
又∵AB＝AC，∠A＝108°，∠ACB＝∠ABC=12×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠ABD＝∠EBD＝18°．
∴∠ADB＝∠EDB＝180°﹣18°﹣108°＝54°．
∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠EDB＝180°﹣54°﹣54°＝72°．
∴∠DEC＝180°﹣∠DEB＝180°﹣108°＝72°．
∴∠CDE＝∠DEC．
∴CD＝CE．
∴BC＝BE+EC＝AB+CD．
9．（2019•自贡期中）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝DC，
（1）若BD⊥CD，∠C＝60°，BC＝10，求AD的长；
（2）若BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．
【点睛】（1）由含30°角的直角三角形的性质求出DC，即可得出答案；
（2）在BC上截取BE＝BA，连接DE，推出△ABD≌△EBD，推出∠A＝∠BED，AD＝DE＝DC，推出∠BED+∠C＝180°，即可得出答案．
【解析】（1）解：∵BD⊥CD，∠C＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴DC=12BC＝5，
∵AD＝DC＝5；
（2）证明：在BC上截取BE＝BA，连接DE，如图所示：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD，
在△ABD和△EBD中，AB=BE∠ABD=∠EBDBD=BD，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴∠A＝∠BED，AD＝DE，
∵AD＝DC，
∴DE＝DC，
∴∠C＝∠DEC，
∵∠BED+∠DEC＝∠A+∠DEC＝∠A+∠C＝180°，
即∠A+∠C＝180°．
10．（2019•宜昌期中）（1）已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D．求证：BD＝AB+AC；
（2）对于任意三角形ABC，∠ABC＝2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图2，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系并加以证明．
【点睛】（1）在CA的延长线上截取AE＝AB，连接DE，由角平分线的性质就可以得出△EAD≌△BAD，得出∠AED＝∠ABD＝90°，DB＝DE，就可以得出DB＝AB+AC；
（2）在CA的延长线上取一点E，使AE＝AB，连接DE，由角平分线的性质就可以得出△AED≌△ABD，就可以得出DE＝DB，∠AED＝∠ABD，就可以得出∠DEF＝∠ABC，就可以得出∠EDC＝∠C，进而得出结论．
【解析】证明：（1）在CA的延长线上截取AE＝AB，连接DE．
∵AD平分∠EAB，
∴∠EAD＝∠BAD，
在△EAD和△BAD中，
EA=BA∠EAD=∠BADAD=AD，
△EAD≌△BAD（SAS）．
∴∠AED＝∠ABD，DB＝DE，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°
∴∠C＝45°，∠ABD＝90°，
∴∠AED＝90°，
∴∠EDC＝45°，
∴∠EDC＝∠C，
∴DE＝EC．
∴BD＝EC．
∵EC＝AE+AC，
∴BD＝AE+AC
∴DB＝AE+AC＝AB+AC；
（2）BD＝AB+AC，理由如下：
在CA的延长线上取一点E，使AE＝AB，连接DE，
∵AD平分∠EAB，
∴∠EAD＝∠BAD，
在△EAD和△BAD中，
EA=BA∠EAD=∠BADAD=AD，
∴△EAD≌△BAD（SAS）．
∴∠AED＝∠ABD，DB＝DE．
∵∠AED+∠FED＝180°，∠ABD+ABC＝180°，
∴∠FED＝∠ABC．
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠FED＝2∠C．
∵∠FED＝∠EDC+∠C，
∴2∠C＝∠EDC+∠C，
∴∠C＝∠EDC，
∴DE＝CE．
∴BD＝EC．
∵EC＝AE+AC，
∴BD＝AE+AC
∴DB＝AE+AC＝AB+AC．
11．（2019•潮南区期中）在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足是D．
（1）求证：∠2＝∠1+∠C；
（2）若ED∥BC，∠ABD＝28°，求∠ADE的度数．
【点睛】（1）如图延长AD交BC于H．证明△BDA≌△BDH（ASA）即可解决问题．
（2）求出∠AHC，再利用平行线的性质即可解决问题．
【解析】解：（1）如图延长AD交BC于H．
∵BD⊥AH，
∴∠BDA＝∠BDH＝90°，
∵∠ABD＝∠HBD，BD＝BD，
∴△BDA≌△BDH（ASA），
∴BA＝BH，∠2＝∠BHA，
∵∠BHA＝∠1+∠C，
∴∠2＝∠1+∠C．
（2）∵∠ABD＝28°，∠BDA＝90°，
∴∠2＝62°，
∴∠AHB＝∠2＝62°，
∴∠AHC＝180°﹣62°＝118°，
∵DE∥EC，
∴∠ADE＝∠AHC＝118°．
12．（2019•蔡甸区校级月考）如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∥AB．
【点睛】过E作AC的平行线于AD延长线交于G点，可证明△DEG≌△DCA，可得EG＝EF，可证明EF∥AB．
【解析】解：过E作AC的平行线于AD延长线交于G点，
∵EG∥AC
在△DEG和△DCA中，
∠ADC=∠GDECD=ED∠DEG=∠DCA，
∴△DEG≌△DCA（ASA），
∴EG＝EF，∠G＝∠CAD，又EF＝AC
故EG＝AC
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EG＝EF，
∴∠G＝∠EFD，
∴∠EFD＝∠BAD，
∴EF∥AB．
13．（2019•崇安区校级月考）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．
【点睛】在AB上找到F使得AF＝AD，易证△AEF≌△AED，可得AF＝AD，∠AFE＝∠D，根据平行线性质可证∠C＝∠BFE，即可证明△BEC≌△BEF，可得BF＝BC，即可解题．
【解析】证明：在AB上找到F使得AF＝AD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD＝∠EAF，
∵在△AEF和△AED中，AD=AF∠EAD=∠EAFAE=AE，
∴△AEF≌△AED，（SAS）
∴AF＝AD，∠AFE＝∠D，
∵AD∥BC，
∴∠D+∠C＝180°，
∵∠AFE+∠BFE＝180°
∴∠C＝∠BFE，
∵BE平分∠BAD，
∴∠FBE＝∠C，
∵在△BEC和△BEF中，∠BFE=∠C∠FBE=∠CBEBE=BE，
∴△BEC≌△BEF，（AAS）
∴BF＝BC，
∵AB＝AF+BF，
∴AB＝AD+BC，即AD＝AB﹣BC．
14．（2019•江夏区校级月考）如图1，AB∥CD，P为AB、CD之间一点
（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求证：AP⊥CP；
（2）如图（2），若∠BAP=25∠BAC，∠DCP=25∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的结果并且证明你的结论；
（3）在（1）的条件下，当∠BAQ=13∠BAP，∠DCQ=13∠DCP，H为AB上一动点，连HQ并延长至K，使∠QKA＝∠QAK，再过点Q作∠CQH的平分线交直线AK于M，问当点H在射线AB上移动时，∠QMK的大小是否变化？若不变，求其值；若变化，求其取值范围．
【点睛】（1）依据平行线的性质，以及角平分线的定义，即可得到∠P＝180°﹣90°＝90°，进而得到AP⊥CP；
（2）过E作EG∥AB，过F作FH∥CD，依据平行线的性质即可得到∠AEC＝∠BAE+∠DCE，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，再根据∠BAP=25∠BAC，∠DCP=25∠ACD，AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，即可得到∠E+∠F＝108°；
（3）过Q作QE∥AB，依据平行线的性质可得∠AQC＝∠AQE+∠CQE＝∠BAQ+∠DCQ，依据∠BAQ=13∠BAP，∠DCQ=13∠DCP，即可得出∠AQC＝30°，再根据∠M＝∠MQH﹣∠K进行计算，即可得出∠QMK的大小不变，是定值15°．
【解析】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
又∵AP平分∠CAB，CP平分∠ACD，
∴∠CAP=12∠CAB，∠ACP=12∠ACD，
∴∠CAP+∠ACP=12（∠BAC+∠ACD）=12×180°＝90°，
∴△ACP中，∠P＝180°﹣90°＝90°，
即AP⊥CP；
（2）∠E+∠F＝108°．
证明：如图2，过E作EG∥AB，过F作FH∥CD，
∵AB∥CD，
∴EG∥AB∥FH∥CD，∠BAC+∠DCA＝180°，
∴∠BAE＝∠AEG，∠DCE＝∠CEG，∠BAF＝∠AFH，∠DCF＝∠CFH，
∴∠AEC＝∠BAE+∠DCE，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
∵∠BAP=25∠BAC，∠DCP=25∠ACD，AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，
∴∠BAE=15∠BAC，∠DCF=15∠DCA，
∴∠AEC=15∠BAC+25∠ACD，∠AFC=25∠BAC+15∠DCA，
∴∠AEC+∠AFC=15∠BAC+25∠ACD+25∠BAC+15∠DCA=35∠ACD+35∠BAC=35（∠BAC+∠DCA）=35×180°＝108°；
（3）如图，过Q作QE∥AB，
∵AB∥CD，
QE∥CD，
∴∠BAQ＝∠AQE，∠DCQ＝∠CQE，
∴∠AQC＝∠AQE+∠CQE＝∠BAQ+∠DCQ，
由（1）可得∠BAP+∠DCP＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠BAQ=13∠BAP，∠DCQ=13∠DCP，
∴∠AQC＝∠BAQ+∠DCQ=13∠BAP+13∠DCP=13（∠BAP+∠DCP）＝30°，
∵∠AQH是△AQK的外角，QA＝QK，
∴∠K=12∠AQH，
∵QM是∠CQH的平分线，
∴∠MQH=12∠CQH，
∵∠MQH是△MQK的外角，
∴∠M＝∠MQH﹣∠K=12∠CQH-12∠AQH=12（∠CQH﹣∠AQH）=12∠AQC=12×30°＝15°，
即∠QMK的大小不变，是定值15°．
15．（2019•东湖区校级月考）（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有 5 个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是 BE+CF＝EF ，△AEF的周长是 20
（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改为“若△ABC为不等边三角形，AB＝8，AC＝10”其余条件不变，则图中共有 2 个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长
（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明．
【点睛】（1）根据角平分线的定义可得∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，然后求出∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，再根据等角对等边可得BE＝DE，CF＝DF，然后解答即可；
（2）根据角平分线的定义可得∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，然后求出∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，再根据等角对等边可得BE＝DE，CF＝DF，然后解答即可；
（3）由（2）知BE＝ED，CF＝DF，然后利用等量代换即可证明BE、CF、EF有怎样的数量关系．
【解析】解：（1）BE+CF＝EF．
理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴DB＝DC
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，
∴BE＝DE，CF＝DF，AE＝AF，
∴等腰三角形有△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC共5个，
∴BE+CF＝DE+DF＝EF，
即BE+CF＝EF，
△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+BE+AF+FC＝AB+AC＝20．
故答案为：5；BE+CF＝EF；20；
（2）BE+CF＝EF，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，
∴BE＝DE，CF＝DF，
∴等腰三角形有△BDE，△CFD，
∴BE+CF＝DE+DF＝EF，即BE+CF＝EF．
可得△AEF的周长为18．
（3）BE﹣CF＝EF，
由（1）知BE＝ED，
∵EF∥BC，
∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD，
∴CF＝DF，
又∵ED﹣DF＝EF，
∴BE﹣CF＝EF．
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