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备战2023年中考数学一轮复习专项训练 专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用(解析版)
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这是一份备战2023年中考数学一轮复习专项训练 专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用(解析版)，共20页。试卷主要包含了阅读下面材料，阅读材料等内容，欢迎下载使用。
专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（专项训练）
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BD＝4cm，CD＝2cm，
（1）求D点到直线AB的距离．
（2）求AC．
【解答】解：（1）作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝2cm；
（2）在Rt△ADC和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE，
∴AC＝AE，
∵BD＝4cm，CD＝2cm，
∴BE＝2cm，
则AC2+62＝（AC+2）2，
解得，AC＝2cm．
2．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，∠BPC＝40°．
（1）求∠BAC；
（2）证明：点P到△ABC三边所在直线的距离相等；
（3）求∠CAP．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACD＝∠BAC+∠ABC，
在△PBC中，∠PCD＝∠BPC+∠PBC，
∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线，
∴∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC，
∴∠APC+∠PCB＝（∠BAC+∠ABC）＝∠BAC+∠ABC＝∠BAC+∠PCB，
∴∠PCD＝∠BAC，
∴∠BPC＝40°，
∴∠BAC＝2×40°＝80°，
即∠BAC＝80°；
（2）作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，
∵CP是∠ACD的平分线，PF⊥AC，PG⊥BC，
∴PF＝PG，
同理，PE＝PF，
∴PE＝PF＝PG，即点P到△ABC三边所在直线的距离相等；
（3）∵PE⊥BA，PF⊥AC，PE＝PF，
∴∠CAP＝∠CAE＝50°．
3．（1）如图①在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6cm，BD＝4cm，那么点D到AB的距离是 cm
（2）如图②，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC．
【解答】解：（1）如图①，作DE⊥AB于E，
∵BC＝6cm，BD＝4cm，
∴CD＝2cm，
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝2cm，即点D到AB的距离是2cm，
故答案为：2；
（2）证明：如图②，作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
∵∠1＝∠2，PD⊥AB，PE⊥BC，
∴PD＝PE，
同理，PF＝PE，
∴PD＝PF，又PD⊥AB，PF⊥AC，
∴AP平分∠BAC．
4．四边形ABCD中，DA＝DC，连接BD，∠ABD＝∠DBC．
（1）如图1，求证：∠BAD+∠BCD＝180°；
（2）如图2，连接AC，当∠DAC＝45°时，BC＝3AB，S△DBC＝27，求AB的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，把△ADC沿AC翻折，点D的对应点是点E，AE交BC于点K，F是线段BC上一点，连接EF，∠BFE＝45°，求△EFC的面积．
【解答】（1）证明：如图1，过点D作DM⊥BA交BA的延长线于M，DN⊥BC于N，
则∠DMA＝∠DNC＝90°，
∵∠ABD＝∠DBC，DM⊥BA，DN⊥BC，
∴DM＝DN，
在Rt△DMA和Rt△DNC中，
，
∴Rt△DMA≌Rt△DNC（HL），
∴∠DAM＝∠BCD，
∵∠DAM+∠DAB＝180°，
∴∠DAB+∠BCD＝180°；
（2）如图2，过点D作DM⊥BA交BA的延长线于M，DN⊥BC于N，
由（1）得，△DNC≌△DMA，CN＝MA，
∵DA＝DC，∠DAC＝45°，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，即∠DAC+∠DCA＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBM＝∠DBN＝45°，
∵∠M＝∠DNB＝90°，
∴∠MDB＝∠BDN＝∠DBM＝∠DBN＝45°，
∴DN＝BN，DM＝BM，
∵DM＝DN，
∴MB＝BN＝DN，
设AB＝a，则BC＝3AB＝3a，设CN＝b，则MA＝CN＝b，
∴MB＝a+b，BN＝3a﹣b，
∴a+b＝3a﹣b，
∴b＝a，
∴BN＝DN＝3a﹣b＝2a，
∴S△BCD＝BC•DN＝•3a•2a＝27，
解得，a＝b＝3，
∴AB＝3；
（3）如图3，过点E作EG⊥AB交AB的延长线于G，EH⊥BC于H，
由翻折可知，AE＝AD＝CD＝CE，∠AEC＝∠ADC＝90°．
∵∠AKB＝∠CKE，
∴∠BAE＝∠BCE，
在△AGE和△CHE中，
，
∴△AGE≌△CHE（AAS），
∴AG＝CH，EG＝EH，
∴BE平分∠CBG，即∠GBE＝∠CBE＝45°＝∠HEB＝∠BEG，
∴BH＝EH＝BG＝EG，
设BH＝k，则AG＝3+k，CH＝9﹣k，
∵AG＝CH，
∴3+k＝9﹣k，
解得，k＝3，
∴EH＝BH＝3，
∵∠BFE＝45°，∠EHF＝90°，
∴∠HEF＝∠HFE＝45°，
∴HE＝FH＝3，
∴CF＝CB﹣BF＝9﹣3﹣3＝3，
∴△EFC的面积＝×CF×EH＝×3×3＝．
5．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
（1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质
是
（2）问题解决：如图2，求证AD＝CD；
（3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，
∴DA＝DC（角平分线上的点到角的两边距离相等），
故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等；
（2）如图2，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，
∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，
∴DE＝DF，
∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠C，
在△DEA和△DFC中，
∴△DEA≌△DFC（AAS），
∴DA＝DC；
（3）如图，在BC时截取BK＝BD，连接DK，
∵AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBK＝∠ABC＝20°，
∵BD＝BK，
∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°，
由（2）的结论得AD＝DK，
∵∠BKD＝∠C+∠KDC，
∴∠KDC＝∠C＝40°，
∴DK＝CK，
∴AD＝DK＝CK，
∴BD+AD＝BK+CK＝BC．
6．如图，△ABC中，∠B＝2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC＝16，BC＝9，则BD的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：如图，在AC上截取CE＝CB，连接DE，
∵∠ACB的平分线CD交AB于点D，
∴∠BCD＝∠ECD．
在△CBD与△CED中，
．
∴△CBD≌△CED（SAS），
∴BD＝ED，∠B＝∠CED，
∵∠B＝2∠C，∠CED＝∠A+∠ADE，
∴∠CED＝2∠A，
∴∠A＝∠EDA，
∴AE＝ED，
∴AE＝BD，
∴BD＝AC﹣CE＝AC﹣BC＝16﹣9＝7．
故选：B．
7．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P．
（1）求∠APC的度数；
（2）若AE＝3，CD＝4，求线段AC的长．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC+∠BCA＝120°，
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，
∴∠PAC+∠PCA＝（∠BAC+∠BCA）＝60°，
∴∠APC＝120°．
（2）如图，在AC上截取AF＝AE，连接PF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△APE和△APF中，
，
∴△APE≌△APF（SAS），
∴∠APE＝∠APF，
∵∠APC＝120°，
∴∠APE＝60°，
∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACP＝∠BCP，
在△CPF和△CPD中，
，
∴△CPF≌△CPD（ASA），
∴CF＝CD，
∴AC＝AF+CF＝AE+CD＝3+4＝7．
8．阅读下面材料：
小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，AC＝3，求BC的长．
小聪思考：因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．
请完成：（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）求BC的长为多少？
【解答】（1）证明：如图2，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE，
在△ACD与△ECD中，
∵，
∴△ACD≌△ECD，
∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，
∵∠A＝2∠B，
∴∠DEC＝2∠B，
∵∠DEC＝∠B+∠EDB
∴∠B＝∠EDB，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）解：∵AD＝DE＝BE＝2，EC＝AC＝3，
∴BC＝BE+CE＝2+3＝5．
9．阅读材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在△AC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长．
小明的想法：因为CD平分∠ACB，所以可利用“翻折”来解决该问题．即在BC边上取点E，使EC＝AC，并连接DE（如图2）．
（1）如图2，根据小明的想法，回答下面问题：
①△DEC和△DAC的关系是 ，判断的依据是 ；
②△BDE是 三角形；
③BC的长为 ．
（2）参考小明的想法，解决下面问题：
已知：如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2，求AD的长．
【解答】解：（1）如答图1，
①在△ACD与△ECD中，
，
∴△ACD≌△ECD（SAS）；
②由①知，△ACD≌△ECD，
∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，
∵∠A＝2∠B，
∴∠DEC＝2∠B，
∴∠B＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴△BDE是等腰三角形；
③由①知，△ACD≌△ECD，则EC＝AC＝3.6，DE＝AD＝2.2．
又∵BE＝DE，
∴BE＝AD＝2.2．
∴BC＝BE+EC＝2.2+3.6＝5.8．
故答案是：①△ACD≌△ECD；SAS；
②等腰；
③5.8；
（2）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，
∴∠ABC＝∠C＝80°，
∵BD平分∠B，
∴∠1＝∠2＝40°∠BDC＝60°，
如答图2，在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，
则△DEB≌△DBC，∴∠BED＝∠C＝80°，
∴∠4＝60°，
∴∠3＝60°，
在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，
则△BDE≌△FDE，
∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝2，
∵∠A＝20°，
∴∠6＝20°，
∴AF＝EF＝2，
∵BD＝DF＝2.3，
∴AD＝BD+BC＝4.3．
10．如图1，在△ABC中，∠A的外角平分线交BC的延长线于点D．
（1）线段BC的垂直平分线交DA的延长线于点P，连接PB，PC．
①利用尺规作图补全图形1，不写作法，保留痕迹；
②求证：∠BPC＝∠BAC；
（2）如图2，若Q是线段AD上异于A，D的任意一点，判断QB+QC与AB+AC的大小，并予以证明．
【解答】（1）①解：如图1所示，
②证明：在AE上截取AF＝AC．设PC交AB于G．
∵AD平分∠CAF，
∴∠DAC＝∠DAF，
∴∠CAP＝∠FAP，
∵AP＝AP，AC＝AF，
∴△APC≌△APF，
∴∠PCA＝∠PFA，PC＝PF，
∵点P在线段BC的垂直平分线上，
∴PB＝PC＝PF，
∴∠PBF＝∠PFA，
∴∠PBG＝∠ACG，
∵∠PGB＝∠AGC，
∴∠BPC＝∠BAC；
（2）如图2中，在AE上截取AF＝AC．
同法可证△QAF≌△QAC，
∴QC＝QF，
∵QB+QC＝QB+QF＞BF，BF＝AB+AF＝AB+AC，
∴QB+QC＞AB+AC．
11．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，求证：BE＝（AC﹣AB）．（提示：延长BE交AC于点F）．
【解答】证明：如图：延长BE交AC于点F，
∵BF⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEF．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠FAE
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（ASA）
∴∠ABF＝∠AFB，AB＝AF，BE＝EF．
∵∠C+∠CBF＝∠AFB＝∠ABF，
∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝3∠C，
∴∠C+2∠CBF＝3∠C，
∴∠CBF＝∠C．
∴BF＝CF，
∴BE＝BF＝CF．
∵CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB，
∴BE＝（AC﹣AB）．
12．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BP⊥AD，垂足为P．已知AB＝5，BP＝2，AC＝9．试说明∠ABC＝3∠ACB．
【解答】证明：延长BP，交AC于E，
∵AD平分∠BAC，BP⊥AD，
∴∠BAP＝∠EAP，∠APB＝∠APE，
又∵AP＝AP，
∴△ABP≌△AEP，
∴BP＝PE，AE＝AB，∠AEB＝∠ABE，
∴BE＝BP+PE＝4，AE＝AB＝5，
∴CE＝AC﹣AE＝9﹣5＝4，
∴CE＝BE，
∴△BCE是等腰三角形，
∴∠EBC＝∠C，
又∵∠ABE＝∠AEB＝∠C+∠EBC，
∴∠ABE＝2∠C，
∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝3∠C．
13．如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断△BEG的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）如图，BE＝AD，
理由如下：延长BE、AC交于点H，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在△BAE和△HAE中，
，
∴△BAE≌△HAE（ASA），
∴BE＝HE＝BH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，
在△BCH和△ACD中，
，
∴△BCH≌△ACD（ASA），
∴BH＝AD，
∴BE＝AD．
（2）△BEG是等腰直角三角形，
理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF，
∴CF⊥AB，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，
∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，
∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，
∵∠BEG＝90°，
∴∠EBG＝∠EGB＝45°，
∴EG＝EB，
∴△BEG是等腰直角三角形．
14．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线BD、CD交于点D．过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，则△AEF的周长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【解答】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，
∴EB＝ED，FD＝FC，
∵AB＝6，AC＝8，
∴△AEF的周长＝AE+EF+AF
＝AE+ED+DF+AF
＝AE+EB+AF+FC
＝AB+AC
＝14，
∴△AEF的周长为：14，
故选：C．
15．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点E，过点E作EF∥BC，交AB于点M，交AC于点N．求证：MN＝MB+NC．
【解答】证明：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，
∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，
∴BM＝ME，EN＝CN，
∵MN＝ME+EN，
∴MN＝BM+CN．
16．如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证：AB＝AC+BD．
【解答】证明：在AB上取一点F，使AF＝AC，连接EF．
∵EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，
∴∠CAE＝∠FAE，∠EBF＝∠EBD．
∵AC∥BD，
∴∠C+∠D＝180°．
在△ACE和△AFE中，
，
∴△ACE≌△AFE（SAS），
∴∠C＝∠AFE．
∵∠AFE+∠EFB＝180°，
∴∠EFB＝∠D．
在△BEF和△BED中，
，
∴△BEF≌△BED（AAS），
∴BF＝BD．
∵AB＝AF+BF，
∴AB＝AC+BD．
17．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边CD上一点，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC．
求证：
（1）AE⊥BE；
（2）E是线段CD的中点．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABC，∠BAE＝∠BAD，
∵∠AEB＝180°﹣（∠ABE+∠BAE）＝180°﹣（∠ABC+∠BAD）＝90°，
∴AE⊥BE；
（2）过点E作EF∥AD，如图所示：
∴∠DAE＝∠AEF，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∵AD∥BC，
∴EF∥BC，
同理可证得：BF＝EF，
∴AF＝BF，
∴点F是AB的中点，
∴点E是CD的中点.
专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（专项训练）
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BD＝4cm，CD＝2cm，
（1）求D点到直线AB的距离．
（2）求AC．
【解答】解：（1）作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝2cm；
（2）在Rt△ADC和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE，
∴AC＝AE，
∵BD＝4cm，CD＝2cm，
∴BE＝2cm，
则AC2+62＝（AC+2）2，
解得，AC＝2cm．
2．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，∠BPC＝40°．
（1）求∠BAC；
（2）证明：点P到△ABC三边所在直线的距离相等；
（3）求∠CAP．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACD＝∠BAC+∠ABC，
在△PBC中，∠PCD＝∠BPC+∠PBC，
∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线，
∴∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC，
∴∠APC+∠PCB＝（∠BAC+∠ABC）＝∠BAC+∠ABC＝∠BAC+∠PCB，
∴∠PCD＝∠BAC，
∴∠BPC＝40°，
∴∠BAC＝2×40°＝80°，
即∠BAC＝80°；
（2）作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，
∵CP是∠ACD的平分线，PF⊥AC，PG⊥BC，
∴PF＝PG，
同理，PE＝PF，
∴PE＝PF＝PG，即点P到△ABC三边所在直线的距离相等；
（3）∵PE⊥BA，PF⊥AC，PE＝PF，
∴∠CAP＝∠CAE＝50°．
3．（1）如图①在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6cm，BD＝4cm，那么点D到AB的距离是 cm
（2）如图②，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC．
【解答】解：（1）如图①，作DE⊥AB于E，
∵BC＝6cm，BD＝4cm，
∴CD＝2cm，
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝2cm，即点D到AB的距离是2cm，
故答案为：2；
（2）证明：如图②，作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
∵∠1＝∠2，PD⊥AB，PE⊥BC，
∴PD＝PE，
同理，PF＝PE，
∴PD＝PF，又PD⊥AB，PF⊥AC，
∴AP平分∠BAC．
4．四边形ABCD中，DA＝DC，连接BD，∠ABD＝∠DBC．
（1）如图1，求证：∠BAD+∠BCD＝180°；
（2）如图2，连接AC，当∠DAC＝45°时，BC＝3AB，S△DBC＝27，求AB的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，把△ADC沿AC翻折，点D的对应点是点E，AE交BC于点K，F是线段BC上一点，连接EF，∠BFE＝45°，求△EFC的面积．
【解答】（1）证明：如图1，过点D作DM⊥BA交BA的延长线于M，DN⊥BC于N，
则∠DMA＝∠DNC＝90°，
∵∠ABD＝∠DBC，DM⊥BA，DN⊥BC，
∴DM＝DN，
在Rt△DMA和Rt△DNC中，
，
∴Rt△DMA≌Rt△DNC（HL），
∴∠DAM＝∠BCD，
∵∠DAM+∠DAB＝180°，
∴∠DAB+∠BCD＝180°；
（2）如图2，过点D作DM⊥BA交BA的延长线于M，DN⊥BC于N，
由（1）得，△DNC≌△DMA，CN＝MA，
∵DA＝DC，∠DAC＝45°，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，即∠DAC+∠DCA＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBM＝∠DBN＝45°，
∵∠M＝∠DNB＝90°，
∴∠MDB＝∠BDN＝∠DBM＝∠DBN＝45°，
∴DN＝BN，DM＝BM，
∵DM＝DN，
∴MB＝BN＝DN，
设AB＝a，则BC＝3AB＝3a，设CN＝b，则MA＝CN＝b，
∴MB＝a+b，BN＝3a﹣b，
∴a+b＝3a﹣b，
∴b＝a，
∴BN＝DN＝3a﹣b＝2a，
∴S△BCD＝BC•DN＝•3a•2a＝27，
解得，a＝b＝3，
∴AB＝3；
（3）如图3，过点E作EG⊥AB交AB的延长线于G，EH⊥BC于H，
由翻折可知，AE＝AD＝CD＝CE，∠AEC＝∠ADC＝90°．
∵∠AKB＝∠CKE，
∴∠BAE＝∠BCE，
在△AGE和△CHE中，
，
∴△AGE≌△CHE（AAS），
∴AG＝CH，EG＝EH，
∴BE平分∠CBG，即∠GBE＝∠CBE＝45°＝∠HEB＝∠BEG，
∴BH＝EH＝BG＝EG，
设BH＝k，则AG＝3+k，CH＝9﹣k，
∵AG＝CH，
∴3+k＝9﹣k，
解得，k＝3，
∴EH＝BH＝3，
∵∠BFE＝45°，∠EHF＝90°，
∴∠HEF＝∠HFE＝45°，
∴HE＝FH＝3，
∴CF＝CB﹣BF＝9﹣3﹣3＝3，
∴△EFC的面积＝×CF×EH＝×3×3＝．
5．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
（1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质
是
（2）问题解决：如图2，求证AD＝CD；
（3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，
∴DA＝DC（角平分线上的点到角的两边距离相等），
故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等；
（2）如图2，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，
∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，
∴DE＝DF，
∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠C，
在△DEA和△DFC中，
∴△DEA≌△DFC（AAS），
∴DA＝DC；
（3）如图，在BC时截取BK＝BD，连接DK，
∵AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBK＝∠ABC＝20°，
∵BD＝BK，
∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°，
由（2）的结论得AD＝DK，
∵∠BKD＝∠C+∠KDC，
∴∠KDC＝∠C＝40°，
∴DK＝CK，
∴AD＝DK＝CK，
∴BD+AD＝BK+CK＝BC．
6．如图，△ABC中，∠B＝2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC＝16，BC＝9，则BD的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：如图，在AC上截取CE＝CB，连接DE，
∵∠ACB的平分线CD交AB于点D，
∴∠BCD＝∠ECD．
在△CBD与△CED中，
．
∴△CBD≌△CED（SAS），
∴BD＝ED，∠B＝∠CED，
∵∠B＝2∠C，∠CED＝∠A+∠ADE，
∴∠CED＝2∠A，
∴∠A＝∠EDA，
∴AE＝ED，
∴AE＝BD，
∴BD＝AC﹣CE＝AC﹣BC＝16﹣9＝7．
故选：B．
7．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P．
（1）求∠APC的度数；
（2）若AE＝3，CD＝4，求线段AC的长．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC+∠BCA＝120°，
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，
∴∠PAC+∠PCA＝（∠BAC+∠BCA）＝60°，
∴∠APC＝120°．
（2）如图，在AC上截取AF＝AE，连接PF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△APE和△APF中，
，
∴△APE≌△APF（SAS），
∴∠APE＝∠APF，
∵∠APC＝120°，
∴∠APE＝60°，
∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACP＝∠BCP，
在△CPF和△CPD中，
，
∴△CPF≌△CPD（ASA），
∴CF＝CD，
∴AC＝AF+CF＝AE+CD＝3+4＝7．
8．阅读下面材料：
小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，AC＝3，求BC的长．
小聪思考：因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．
请完成：（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）求BC的长为多少？
【解答】（1）证明：如图2，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE，
在△ACD与△ECD中，
∵，
∴△ACD≌△ECD，
∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，
∵∠A＝2∠B，
∴∠DEC＝2∠B，
∵∠DEC＝∠B+∠EDB
∴∠B＝∠EDB，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）解：∵AD＝DE＝BE＝2，EC＝AC＝3，
∴BC＝BE+CE＝2+3＝5．
9．阅读材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在△AC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长．
小明的想法：因为CD平分∠ACB，所以可利用“翻折”来解决该问题．即在BC边上取点E，使EC＝AC，并连接DE（如图2）．
（1）如图2，根据小明的想法，回答下面问题：
①△DEC和△DAC的关系是 ，判断的依据是 ；
②△BDE是 三角形；
③BC的长为 ．
（2）参考小明的想法，解决下面问题：
已知：如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2，求AD的长．
【解答】解：（1）如答图1，
①在△ACD与△ECD中，
，
∴△ACD≌△ECD（SAS）；
②由①知，△ACD≌△ECD，
∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，
∵∠A＝2∠B，
∴∠DEC＝2∠B，
∴∠B＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴△BDE是等腰三角形；
③由①知，△ACD≌△ECD，则EC＝AC＝3.6，DE＝AD＝2.2．
又∵BE＝DE，
∴BE＝AD＝2.2．
∴BC＝BE+EC＝2.2+3.6＝5.8．
故答案是：①△ACD≌△ECD；SAS；
②等腰；
③5.8；
（2）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，
∴∠ABC＝∠C＝80°，
∵BD平分∠B，
∴∠1＝∠2＝40°∠BDC＝60°，
如答图2，在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，
则△DEB≌△DBC，∴∠BED＝∠C＝80°，
∴∠4＝60°，
∴∠3＝60°，
在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，
则△BDE≌△FDE，
∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝2，
∵∠A＝20°，
∴∠6＝20°，
∴AF＝EF＝2，
∵BD＝DF＝2.3，
∴AD＝BD+BC＝4.3．
10．如图1，在△ABC中，∠A的外角平分线交BC的延长线于点D．
（1）线段BC的垂直平分线交DA的延长线于点P，连接PB，PC．
①利用尺规作图补全图形1，不写作法，保留痕迹；
②求证：∠BPC＝∠BAC；
（2）如图2，若Q是线段AD上异于A，D的任意一点，判断QB+QC与AB+AC的大小，并予以证明．
【解答】（1）①解：如图1所示，
②证明：在AE上截取AF＝AC．设PC交AB于G．
∵AD平分∠CAF，
∴∠DAC＝∠DAF，
∴∠CAP＝∠FAP，
∵AP＝AP，AC＝AF，
∴△APC≌△APF，
∴∠PCA＝∠PFA，PC＝PF，
∵点P在线段BC的垂直平分线上，
∴PB＝PC＝PF，
∴∠PBF＝∠PFA，
∴∠PBG＝∠ACG，
∵∠PGB＝∠AGC，
∴∠BPC＝∠BAC；
（2）如图2中，在AE上截取AF＝AC．
同法可证△QAF≌△QAC，
∴QC＝QF，
∵QB+QC＝QB+QF＞BF，BF＝AB+AF＝AB+AC，
∴QB+QC＞AB+AC．
11．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，求证：BE＝（AC﹣AB）．（提示：延长BE交AC于点F）．
【解答】证明：如图：延长BE交AC于点F，
∵BF⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEF．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠FAE
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（ASA）
∴∠ABF＝∠AFB，AB＝AF，BE＝EF．
∵∠C+∠CBF＝∠AFB＝∠ABF，
∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝3∠C，
∴∠C+2∠CBF＝3∠C，
∴∠CBF＝∠C．
∴BF＝CF，
∴BE＝BF＝CF．
∵CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB，
∴BE＝（AC﹣AB）．
12．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BP⊥AD，垂足为P．已知AB＝5，BP＝2，AC＝9．试说明∠ABC＝3∠ACB．
【解答】证明：延长BP，交AC于E，
∵AD平分∠BAC，BP⊥AD，
∴∠BAP＝∠EAP，∠APB＝∠APE，
又∵AP＝AP，
∴△ABP≌△AEP，
∴BP＝PE，AE＝AB，∠AEB＝∠ABE，
∴BE＝BP+PE＝4，AE＝AB＝5，
∴CE＝AC﹣AE＝9﹣5＝4，
∴CE＝BE，
∴△BCE是等腰三角形，
∴∠EBC＝∠C，
又∵∠ABE＝∠AEB＝∠C+∠EBC，
∴∠ABE＝2∠C，
∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝3∠C．
13．如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断△BEG的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）如图，BE＝AD，
理由如下：延长BE、AC交于点H，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在△BAE和△HAE中，
，
∴△BAE≌△HAE（ASA），
∴BE＝HE＝BH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，
在△BCH和△ACD中，
，
∴△BCH≌△ACD（ASA），
∴BH＝AD，
∴BE＝AD．
（2）△BEG是等腰直角三角形，
理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF，
∴CF⊥AB，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，
∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，
∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，
∵∠BEG＝90°，
∴∠EBG＝∠EGB＝45°，
∴EG＝EB，
∴△BEG是等腰直角三角形．
14．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线BD、CD交于点D．过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，则△AEF的周长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【解答】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，
∴EB＝ED，FD＝FC，
∵AB＝6，AC＝8，
∴△AEF的周长＝AE+EF+AF
＝AE+ED+DF+AF
＝AE+EB+AF+FC
＝AB+AC
＝14，
∴△AEF的周长为：14，
故选：C．
15．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点E，过点E作EF∥BC，交AB于点M，交AC于点N．求证：MN＝MB+NC．
【解答】证明：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，
∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，
∴BM＝ME，EN＝CN，
∵MN＝ME+EN，
∴MN＝BM+CN．
16．如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证：AB＝AC+BD．
【解答】证明：在AB上取一点F，使AF＝AC，连接EF．
∵EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，
∴∠CAE＝∠FAE，∠EBF＝∠EBD．
∵AC∥BD，
∴∠C+∠D＝180°．
在△ACE和△AFE中，
，
∴△ACE≌△AFE（SAS），
∴∠C＝∠AFE．
∵∠AFE+∠EFB＝180°，
∴∠EFB＝∠D．
在△BEF和△BED中，
，
∴△BEF≌△BED（AAS），
∴BF＝BD．
∵AB＝AF+BF，
∴AB＝AC+BD．
17．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边CD上一点，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC．
求证：
（1）AE⊥BE；
（2）E是线段CD的中点．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABC，∠BAE＝∠BAD，
∵∠AEB＝180°﹣（∠ABE+∠BAE）＝180°﹣（∠ABC+∠BAD）＝90°，
∴AE⊥BE；
（2）过点E作EF∥AD，如图所示：
∴∠DAE＝∠AEF，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∵AD∥BC，
∴EF∥BC，
同理可证得：BF＝EF，
∴AF＝BF，
∴点F是AB的中点，
∴点E是CD的中点.
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