2024年中考数学专题训练 专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（能力提升）（原卷版+解析）

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1．如图：在四边形ABCD中，BC＞DA，AD＝DC，BD平分∠ABC，DH⊥BC于H，求证：
（1）∠DAB+∠C＝180°
（2）BH＝（AB+BC）
2．如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上．
（1）求∠PAD的度数；
（2）求证：P是线段CD的中点．
3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，AE平分∠BAD，AE⊥BE．
（1）求证：BE平分∠ABC；
（2）求证：AD+BC＝AB；
（3）若S△ABE＝4，求梯形ABCD的面积．
4．【问题提出】在△ABC中，∠ACB＝2∠B，AD为∠BAC的角平分线，探究线段AB，AC，CD的数量关系．
【问题解决】如图1，当∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AB，垂足为E，易得AB＝AC+CD；由此，如图2，当∠ACB≠90°时，猜想线段AB，AC，CD有怎样的数量关系？给出证明．
【方法迁移】如图3，当∠ACB≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，探究线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？直接写出结论，不证明．
5．已知：如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D在BC上，点E与点A在BC的同侧，且∠CED＝90°，∠B＝2∠EDC．
（1）求证：∠FDC＝∠ECF；
（2）若CE＝1，求DF的长．
6．如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E．
求证：CE＝BD．
7．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，D是斜边BC上的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）若AB＝AC，BE+CF＝4，求四边形AEDF的面积．
（2）求证：BE2+CF2＝EF2．
【解答】（1）解：连接AD，如图1，
8．（2023春•南岸区期末）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．
（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；
（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
9.（2020秋•渑池县期末）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD平分∠BAC，交BC于点D．如果作辅助线DE⊥AB于点E，则可以得到AC、CD、AB三条线段之间的数量关系为 ；
（2）如图，△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠BAC，交BC于点D．（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，试说明理由；若成立，请证明．
10.（百色期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
11.（广州期中）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点D．
（1）求证：点D到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等；
（2）连接AD，若∠BDC＝40°，求∠DAC的度数．
12．（2023秋•雨花区期末）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P．
（1）求∠APC的度数；
（2）若AE＝3，CD＝4，求线段AC的长．
13．（2023秋•南开区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．直线BD平分∠OBA，交x轴于D点．
（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD；
（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt△BPF，其中∠BPF＝90°，连接FA并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．
专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（能力提升）
1．如图：在四边形ABCD中，BC＞DA，AD＝DC，BD平分∠ABC，DH⊥BC于H，求证：
（1）∠DAB+∠C＝180°
（2）BH＝（AB+BC）

【解答】证明：（1）过D作DE⊥AB，交BA延长线于E，如图所示：
∵BD平分∠ABC，DH⊥BC，
∴DH＝DE，
在Rt△ADE和Rt△CDH中，，
∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL），
∴∠C＝∠DAE，
∵∠DAB+∠DAE＝180°，
∴∠DAB+∠C＝180°；
（2）在Rt△BDE和Rt△BDH中，，
∴Rt△BDE≌Rt△BDH（HL），
∴BE＝BH，
∵Rt△ADE≌Rt△CDH，
∴AE＝CH，
∴AB+BC＝AB+BH+CH＝BE+BH＝2BH，
∴BH＝（AB+BC）．
2．如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上．
（1）求∠PAD的度数；
（2）求证：P是线段CD的中点．
【解答】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠C＝180°﹣∠D＝180°﹣90°＝90°，
∵∠CPB＝30°，
∴∠PBC＝90°﹣∠B＝60°，
∵PB平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠PBC＝120°，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴∠DAB＝180°﹣120°＝60°，
∵AP平分∠DAB，
∴∠PAD＝∠DAB＝30°；
（2）证明：过P点作PE⊥AB于E点，如图，
∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，
∴PE＝PD，
∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，
∴PE＝PC，
∴PD＝PC，
∴P是线段CD的中点．
3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，AE平分∠BAD，AE⊥BE．
（1）求证：BE平分∠ABC；
（2）求证：AD+BC＝AB；
（3）若S△ABE＝4，求梯形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：延长AE交BC的延长线于M，如图所示：
∵AD∥BC，
∴∠M＝∠DAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠M，
∴AB＝MB，
∵AE⊥BE，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴BE平分∠ABC；
（2）证明：∵AB＝MB，BE⊥AE，
∴AE＝ME，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△MCE中，，
∴△ADE≌△MCE（SAS），
∴AD＝MC，
∴AD+BC＝MC+BC＝MB＝AB；
（3）解：∵AB＝MB，AE＝ME，
∴△MBE的面积＝△ABE的面积＝4，
∴△ABM的面积＝2×4＝8，
∵△ADE≌△MCE，
∴△ADE的面积＝△MCE的面积，
∴梯形ABCD的面积＝△ABM的面积＝8．
4．【问题提出】在△ABC中，∠ACB＝2∠B，AD为∠BAC的角平分线，探究线段AB，AC，CD的数量关系．
【问题解决】如图1，当∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AB，垂足为E，易得AB＝AC+CD；由此，如图2，当∠ACB≠90°时，猜想线段AB，AC，CD有怎样的数量关系？给出证明．
【方法迁移】如图3，当∠ACB≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，探究线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？直接写出结论，不证明．
【解答】解：【问题解决】：如图1中，当∠ACB＝90°时，
∵AD为∠BAC的角平分线，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE，
∵∠ACB＝2∠B，∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°，
∵DE⊥AB，
∴DE＝BE，
在△AED和△ACD中，
，
∴△AED≌△ACD（AAS），
∴AE＝AC，
∴AB＝AE+BE＝AC+CD；
当∠ACB≠90°时，结论：AB＝CD+AC，
理由：如图2，在AB上截取AG＝AC，连接DG，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠GAD＝∠CAD，
在△ADG和△ADC中，
，
∴△ADG≌△ADC（SAS），
∴CD＝DG，∠AGD＝∠ACB，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠AGD＝2∠B，
∵∠AGD＝∠B+∠GDB，
∴∠B＝∠GDB，
∴BG＝DG＝DC
∴AB＝BG+AG＝CD+AC；
【方法迁移】结论：AB＝CD﹣AC，
理由：如图3．在AF上截取AH＝AC，连接DH，
∵AD为∠FAC的平分线，
∴∠HAD＝∠CAD，
在△ADH和△ACD中，
，
∴△ADH≌△ACD（SAS），
∴CD＝HD，∠AHD＝∠ACD，即∠ACB＝∠FHD，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠FHD＝2∠B，
∵∠FHD＝∠B+∠HDB，
∴∠B＝∠HDB，
∴BH＝DH＝DC，
∴AB＝BH﹣AH＝CD﹣AC．
5．已知：如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D在BC上，点E与点A在BC的同侧，且∠CED＝90°，∠B＝2∠EDC．
（1）求证：∠FDC＝∠ECF；
（2）若CE＝1，求DF的长．
【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠B＝2∠EDC，
∴∠FDC＝45°×＝22.5°，
∵∠CED＝90°，
∴∠∠DCE＝90°﹣∠FDC＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠FDC＝∠ECF；
（2）如图，延长CE到G，使EG＝CE，连接DG交AC于H，
∵∠CED＝90°，
∴∠GED＝90°，
∴∠CED＝∠GED，
在△GED和△CED中，
，
∴△GED≌△CED（SAS），
∴GFDE＝∠CDE，
∵∠DFH＝∠CFE，
∴∠DHF＝∠CEF＝90°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠HDC＝45°，
∴∠HDC＝∠HCD，
∴DH＝CH，
在△DHF和△CHG中，
，
∴△DHF≌△CHG（ASA），
∴DF＝CG，
∵EG＝CE，
∴CG＝2CE，
∴DF＝2CE，
∵CE＝1，
∴DF＝2．
6．如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E．
求证：CE＝BD．
【解答】证明：如图，延长CE，BA交于点F．
∵CE⊥BD，∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF＝∠BEC＝90°．
又∵∠ADB＝∠EDC，
∴∠ABD＝∠ACF．
在△ABD与△ACF中，
∴△ABD≌△ACF（ASA）．
∴BD＝CF．
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠FBE．
在△BCE与△BFE中，
∴△BCE≌△BFE（ASA）．
∴CE＝FE，即CE＝CF．
∴CE＝BD．
7．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，D是斜边BC上的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）若AB＝AC，BE+CF＝4，求四边形AEDF的面积．
（2）求证：BE2+CF2＝EF2．
【解答】（1）解：连接AD，如图1，
∵在Rt△ABC中，AB＝AC，AD为BC边的中线，
∴∠DAC＝∠BAD＝∠C＝45°，AD⊥BC，AD＝DC，
又∵DE⊥DF，AD⊥DC，
∴∠EDA+∠ADF＝∠CDF+∠FDA＝90°，
∴∠EDA＝∠CDF，
在△AED与△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（ASA）．
∴AE＝CF，
∵BE+CF＝4，
∴AB＝BE+AE＝4．
所以S四边形AFDE＝S△AFD+S△AED
＝S△AFD+S△CFD
＝S△ADC
＝S△ABC
＝×AB2
＝×42
＝4．
（2）证明：延长ED至点G，使得DG＝DE，连接FG，CG，如图2，
∵DE＝DG，DF⊥DE，
∴DF垂直平分DE，
∴EF＝FG，
∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDG中，
，
∴△BDE≌△CDG（SAS），
∴BE＝CG，∠DCG＝∠DBE，
∵∠ACB+∠DBE＝90°，
∴∠ACB+∠DCG＝90°，即∠FCG＝90°，
∵CG2+CF2＝FG2，
∴BE2+CF2＝EF2．
8．（2023春•南岸区期末）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．
（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；
（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
【答案】（1）略 （2）略
【解答】解：（1）∵DB⊥AM，DC⊥AN，
∴∠DBE＝∠DCF＝90°，
在△BDE和△CDF中，
∵
∴△BDE≌△CDF（AAS）．
∴DE＝DF；
（2）EF＝FC+BE，
理由：过点D作∠CDG＝∠BDE，交AN于点G，
在△BDE和△CDG中，
，
∴△BDE≌△CDG（ASA），
∴DE＝DG，BE＝CG．
∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，
∴∠BDE+∠CDF＝60°．
∴∠FDG＝∠CDG+∠CDF＝60°，
∴∠EDF＝∠GDF．
在△EDF和△GDF中，
，
∴△EDF≌△GDF（SAS）．
∴EF＝GF，
∴EF＝FC+CG＝FC+BE．
9.（2020秋•渑池县期末）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD平分∠BAC，交BC于点D．如果作辅助线DE⊥AB于点E，则可以得到AC、CD、AB三条线段之间的数量关系为 ；
（2）如图，△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠BAC，交BC于点D．（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，试说明理由；若成立，请证明．
【答案】（1） AB＝AC+CD （2）略
【解答】解：（1）如图1，∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD，
在△CAD和△EAD中
，
∴△CAD≌△EAD（AAS），
∴CD＝DE，AC＝AE，
∵∠B＝45°，∠DEB＝90°，
∴DE＝EB，
∴DC＝BE，
∴AE+BE＝AC+DC＝AB；
故答案为：AB＝AC+CD．
（2）成立．
证明：如图2，在AB上截取AE＝AC，连接DE．
∵在△ACD和△AED中
，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴CD＝ED，∠C＝∠AED，
又∵∠C＝2∠B，
∴∠AED＝2∠B，
又∵∠AED＝∠B+∠EDB，
∴2∠B＝∠B+∠EDB，
∴∠B＝∠EDB，
∴ED＝EB
∵AB＝AE+EB，ED＝EB＝CD，AE＝AC，
∴AB＝AC+CD．
10.（百色期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
【答案】（1）略 （2）BE＝1，AE＝4．
【解答】（1）证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴5﹣x＝3+x，
解得：x＝1，
∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．
11.（广州期中）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点D．
（1）求证：点D到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等；
（2）连接AD，若∠BDC＝40°，求∠DAC的度数．
【答案】（1）略 （2）∠DAC＝50°
【解答】（1）证明：如图，
过点D作三边AB、BC、CA所在直线的垂线，垂足分别是Q、M、N．
则垂线段DQ、DM、DN，即为D点到三边AB、BC、CA所在直线的距离．
∵D是∠ABC的平分线BD上的一点，
∴DM＝DQ．
∵D是∠ACM的平分线CD上的一点，
∴DM＝DN．
∴DQ＝DM＝DN．
∴D点到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等．
（2）解：连接AD，
∵∠DCG是△BCD的外角，
∴∠DCG＝∠DBC+∠BDC，
∵∠ACG△ABC的外角
∴∠ACG＝∠ABC+∠BAC，
∴2∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝40°，
∴∠BAC＝80°，∠EAC＝100°，
由（1）可得DQ＝DN，
∴AD平分∠EAC，
∴∠DAC＝EAC＝50°．
12．（2023秋•雨花区期末）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P．
（1）求∠APC的度数；
（2）若AE＝3，CD＝4，求线段AC的长．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC+∠BCA＝120°，
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，
∴∠PAC+∠PCA＝（∠BAC+∠BCA）＝60°，
∴∠APC＝120°．
（2）如图，在AC上截取AF＝AE，连接PF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△APE和△APF中，
，
∴△APE≌△APF（SAS），
∴∠APE＝∠APF，
∵∠APC＝120°，
∴∠APE＝60°，
∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACP＝∠BCP，
在△CPF和△CPD中，
，
∴△CPF≌△CPD（ASA），
∴CF＝CD，
∴AC＝AF+CF＝AE+CD＝3+4＝7．
13．（2023秋•南开区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．直线BD平分∠OBA，交x轴于D点．
（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD；
（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt△BPF，其中∠BPF＝90°，连接FA并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．
【解答】（1）证明：∵直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，
∴a＝b＝4t，
∴点A、B的坐标是A（4t，0），B（0，4t），
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵点M是AB的中点，
∴OM⊥AB，
∴∠MOA＝45°，
∵直线BD平分∠OBA，
∴∠ABD＝∠ABO＝22.5°，
∴∠OND＝∠BNM＝90°﹣∠ABD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∠ODB＝∠ABD+∠BAD＝22.5°+45°＝67.5°，
∴∠OND＝∠ODB，
∴ON＝OD（等角对等边）；
（2）答：BD＝2AE．
理由如下：延长AE交BO于C，
∵BD平分∠OBA，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AE⊥BD于点E，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在△ABE≌△CBE中，，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AE＝CE，
∴AC＝2AE，
∵AE⊥BD，
∴∠OAC+∠ADE＝90°，
又∠OBD+∠BDO＝90°，∠ADE＝∠BDO（对顶角相等），
∴∠OAC＝∠OBD，
在△OAC与△OBD中，，
∴△OAC≌△OBD（ASA），
∴BD＝AC，
∴BD＝2AE；
（3）OG的长不变，且OG＝4t．
过F作FH⊥OP，垂足为H，
∴∠FPH+∠PFH＝90°，
∵∠BPF＝90°，
∴∠BPO+∠FPH＝90°，
∴∠FPH＝∠BPO，
∵△BPF是等腰直角三角形，
∴BP＝FP，
在△OBP与△HPF中，，
∴△OBP≌△HPF（AAS），
∴FH＝OP，PH＝OB＝4t，
∵AH＝PH+AP＝OB+AP，OA＝OB，
∴AH＝OA+AP＝OP，
∴FH＝AH，
∴∠GAO＝∠FAH＝45°，
∴△AOG是等腰直角三角形，
∴OG＝OA＝4t．