|试卷下载
搜索
    上传资料 赚现金
    初中数学中考复习 专题13 反比例函数(解析版)
    立即下载
    加入资料篮
    初中数学中考复习 专题13 反比例函数(解析版)01
    初中数学中考复习 专题13 反比例函数(解析版)02
    初中数学中考复习 专题13 反比例函数(解析版)03
    还剩15页未读, 继续阅读
    下载需要10学贝 1学贝=0.1元
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    初中数学中考复习 专题13 反比例函数(解析版)

    展开
    这是一份初中数学中考复习 专题13 反比例函数(解析版),共18页。试卷主要包含了反比例函数,图像,性质,反比例函数解析式的确定等内容,欢迎下载使用。

    专题13 反比例函数
    专题知识回顾



    1.反比例函数:形如y=(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数。其他形式xy=k、 。
    2.图像:反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴:直线y=x和 y=-x。对称中心是:原点。它的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。
    3.性质:(1)当k>0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每个象限内y值随x值的增大而减小;
    (2)当k<0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每个象限内y值随x值的增大而增大。
    4.|k|的几何意义:表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
    5.反比例函数解析式的确定
    由于在反比例函数中,只有一个待定系数,因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式。
    专题典型题考法及解析



    【例题1】(2019山东枣庄)如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形ABC的顶点A.B分别在x轴、y轴的正半轴上,∠ABC=90°,CA⊥x轴,点C在函数y=(x>0)的图象上,若AB=1,则k的值为(  )

    A.1 B. C. D.2
    【答案】A
    【解析】根据题意可以求得OA和AC的长,从而可以求得点C的坐标,进而求得k的值,本题得以解决.
    ∵等腰直角三角形ABC的顶点A.B分别在x轴、y轴的正半轴上,∠ABC=90°,CA⊥x轴,AB=1,
    ∴∠BAC=∠BAO=45°,
    ∴OA=OB=,AC=,
    ∴点C的坐标为(,),
    ∵点C在函数y=(x>0)的图象上,
    ∴k==1
    故选:A.
    【例题2】(2019湖南郴州)如图,点A,C分别是正比例函数y=x的图象与反比例函数y=4x的图象的交点,过A点作AD⊥x轴于点D,过C点作CB⊥x轴于点B,则四边形ABCD的面积为   .


    【答案】8
    【解析】∵A、C是两函数图象的交点,
    ∴A、C关于原点对称,
    ∵CD⊥x轴,AB⊥x轴,
    ∴OA=OC,OB=OD,
    ∴S△AOB=S△BOC=S△DOC=S△AOD,
    又∵反比例函数y=4x的图象上,
    ∴S△AOB=S△BOC=S△DOC=S△AOD=12×4=2,
    ∴S四边形ABCD=4S△AOB=4×2=8,
    故答案为:8.
    【例题3】(2019江苏镇江)如图,点A(2,n)和点D是反比例函数y=(m>0,x>0)图像上的两点,一次函数y=kx+3(k≠0)的图像经过点A,与y轴交于点B,与x轴交于点C,过点D作DE⊥x轴,垂足为E,连接OA、OD.已知△OAB与△ODE的面积满足S△OAB﹕S△ODE=3﹕4.
    (1)S△OAB=________,m=________;
    (2)已知点P(6,0)在线段OE上,当∠PDE=∠CBO时,求点D的坐标.


    【答案】见解析。
    【解析】本题考查了反比例函数的性质,反比例函数的比例系数的几何意义以及相似三角形的性质等,解题的关键是利用反比例函数的比例系数的几何意义以及相似三角形的性质.先求出B点纵坐标和A点的横坐标,利用利用三角形面积公式可得△OBA的面积,再根据面积的比较关系求出△ODE的面积,最后根据反比例函数的比例系数的几何意义求出m的值;先由点A在双曲线上,求出A点坐标;再先求出直线AB的解析式;连接DP,通过条件∠PDE=∠CBO,∠PED=∠COB=90°,得PD∥AB,于是可令直线PD的解析式为y=x+t,则0=×6+t,求出PD的解析式;
    最后由解得,.从而锁定D点的坐标.
    (1)∵一次函数y=kx+3(k≠0)的图像经过点A,与y轴交于点B,
    ∴B(0,3),OB=3.
    ∵点A(2,n),
    ∴=2.
    ∴S△AOB=•OB•=×3×2=3.
    ∵S△OAB﹕S△ODE=3﹕4,
    ∴S△DOE=4.
    ∵DE⊥x轴,且点D在双曲线y=上,
    ∴=4.
    ∵m>0,
    ∴m=8.
    (2)如答图,连接PD,


    ∵点A(2,n)在双曲线y=上,
    ∴2n=8,n=4,A(2,4).
    ∵一次函数y=kx+3(k≠0)的图像经过点A,与y轴交于点B,
    ∴4=2k+3.
    ∴k=,直线AB的解析式为y=x+3.
    ∵∠PDE=∠CBO,∠PED=∠COB=90°,
    ∴∠DPE=∠BCO.
    ∴PD∥AB.
    ∴令直线PD的解析式为y=x+t,则0=×6+t.
    ∴t=-3,直线PD的解析式为y=x-3.
    由解得,.
    ∵点D在第一象限,
    ∴D(8,1).







    专题典型训练题



    一、选择题
    1. (2019贵州省毕节市)若点A(﹣4,y1)、B(﹣2,y2)、C(2,y3)都在反比例函数y=﹣的图象上,则y1、y2、y3的大小关系是(  )
    A.y1>y2>y3 B.y3>y2>y1 C.y2>y1>y3 D.y1>y3>y2
    【答案】C.
    【解析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值,比较后即可得出结论.
    ∵点A(﹣4,y1)、B(﹣2,y2)、C(2,y3)都在反比例函数y=﹣的图象上,
    ∴y1=﹣=,y2=﹣=,y3=﹣,又∵﹣<<,∴y3<y1<y2.故选:C.
    2.(2019安徽)已知点A(1,﹣3)关于x轴的对称点A'在反比例函数y=的图象上,则实数k的值为(  )
    A.3 B. C.﹣3 D.﹣
    【答案】A
    【解析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征确定A'的坐标为(1,3),然后把A′的坐标代入y=中即可得到k的值.
    点A(1,﹣3)关于x轴的对称点A'的坐标为(1,3),
    把A′(1,3)代入y=得k=1×3=3.
    故选:A.
    3.(2019黑龙江哈尔滨)点(-1,4)在反比例函数y=的图象上,则下列各点在此函数图象上的是( )。
    A.(4,-1) B.(-,1) C.(-4,-1) D.(,2)
    【答案】A
    【解析】反比例函数的图象及性质
    将点(﹣1,4)代入y=,
    ∴k=﹣4,∴y=,
    ∴点(4,﹣1)在函数图象上。
    4. (2019湖北十堰)如图,平面直角坐标系中,A(﹣8,0),B(﹣8,4),C(0,4),反比例函数y=kx的图象分别与线段AB,BC交于点D,E,连接DE.若点B关于DE的对称点恰好在OA上,则k=(  )

    A.﹣20 B.﹣16 C.﹣12 D.﹣8
    【答案】
    【解析】根据点的坐标可得矩形的长和宽,易知点D的横坐标,E的纵坐标,由反比例函数的关系式,可用含有k的代数式表示另外一个坐标,由三角形相似和对称,可求出AF的长,然后把问题转化到三角形ADF中,由勾股定理建立方程求出k的值.
    解:过点E作EG⊥OA,垂足为G,设点B关于DE的对称点为F,连接DF、EF、BF,如图所示:
    则△BDE≌△FDE,

    ∴BD=FD,BE=FE,∠DFE=∠DBE=90°
    易证△ADF∽△GFE
    ∴AFEG=DFFE,
    ∵A(﹣8,0),B(﹣8,4),C(0,4),
    ∴AB=OC=EG=4,OA=BC=8,
    ∵D、E在反比例函数y=kx的图象上,
    ∴E(k4,4)、D(﹣8,-k8)
    ∴OG=EC=-k4,AD=-k8,
    ∴BD=4+k8,BE=8+k4
    ∴BDBE=4+k88+k4=12=DFFE=AFEG,
    ∴AF=12EG=2,
    在Rt△ADF中,由勾股定理:AD2+AF2=DF2
    即:(-k8)2+22=(4+k8)2
    解得:k=﹣12
    5.(2019湖北仙桃)反比例函数y=-3x,下列说法不正确的是(  )
    A.图象经过点(1,﹣3) B.图象位于第二、四象限
    C.图象关于直线y=x对称 D.y随x的增大而增大
    【答案】D
    【解析】由点(1,﹣3)的坐标满足反比例函数y=-3x,故A是正确的;
    由k=﹣3<0,双曲线位于二、四象限,故B也是正确的;
    由反比例函数的对称性,可知反比例函数y=-3x关于y=x对称是正确的,故C也是正确的,
    由反比例函数的性质,k<0,在每个象限内,y随x的增大而增大,不在同一象限,不具有此性质,故D是不正确的。
    6. (2019黑龙江省龙东地区)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,平行四边形OABC的顶点A在反比例函数的图象上,顶点B在反比例函数 的图象上,点C在x轴的正半轴上,则平行四边形OABC的面积是( )
    A. B. C.4 D.6

    【答案】C
    【解析】反比例函数的图象和性质;平行四边形的面积。
    设A(a,b),B(a+m,b),依题意得,,
    ∴,化简得m=4a.∵,∴ab=1,
    ∴S平行四边形OABC=mb=4ab=4×1=4,故选C.
    7.(2019广西贺州)已知,一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象
    可能  

    【答案】A
    【解析】若反比例函数经过第一、三象限,则.所以.则一次函数的图象应该经过第一、二、三象限;
    若反比例函数经过第二、四象限,则.所以.则一次函数的图象应该经过第二、三、四象限.故选项正确。
    8.(2019•湖南衡阳)如图,一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2=(m为常数且m≠0)的图象都经过A(﹣1,2),B(2,﹣1),结合图象,则不等式kx+b>的解集是(  )

    A.x<﹣1 B.﹣1<x<0
    C.x<﹣1或0<x<2 D.﹣1<x<0或x>2
    【答案】C.
    【解析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围便是不等式kx+b>的解集.
    由函数图象可知,当一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象在反比例函数y2=(m为常数且m≠0)的图象上方时,x的取值范围是:x<﹣1或0<x<2,
    ∴不等式kx+b>的解集是x<﹣1或0<x<2
    9.(2019▪湖北黄石)如图,在平面直角坐标系中,点B在第一象限,BA⊥x轴于点A,反比例函数y=(x>0)的图象与线段AB相交于点C,且C是线段AB的中点,点C关于直线y=x的对称点C'的坐标为(1,n)(n≠1),若△OAB的面积为3,则k的值为(  )

    A. B.1 C.2 D.3
    【答案】D.
    【解析】根据对称性求出C点坐标,进而得OA与AB的长度,再根据已知三角形的面积列出n的方程求得n,进而用待定系数法求得k.
    ∵点C关于直线y=x的对称点C'的坐标为(1,n)(n≠1),
    ∴C(n,1),
    ∴OA=n,AC=1,
    ∴AB=2AC=2,
    ∵△OAB的面积为3,
    ∴,
    解得,n=3,
    ∴C(3,1),
    ∴k=3×1=3.
    10.(2019内蒙古赤峰)如图,点P是反比例函数y=kx(k≠0)的图象上任意一点,过点P作PM⊥x轴,垂足为M.若△POM的面积等于2,则k的值等于(  )

    A.﹣4 B.4 C.﹣2 D.2
    【答案】A
    【解析】∵△POM的面积等于2,
    ∴12|k|=2,
    而k<0,
    ∴k=﹣4.
    11.(2019四川泸州)如图,一次函数y1=ax+b和反比例函数y2=kx的图象相交于A,B两点,则使y1>y2成立的x取值范围是(  )

    A.﹣2<x<0或0<x<4 B.x<﹣2或0<x<4
    C.x<﹣2或x>4 D.﹣2<x<0或x>4
    【答案】B
    【解析】观察函数图象可发现:当x<﹣2或0<x<4时,一次函数图象在反比例函数图象上方,∴使y1>y2成立的x取值范围是x<﹣2或0<x<4.故选:B.
    二、填空题
    12.(2019贵州省毕节市) 如图,在平面直角坐标中,一次函数y=﹣4x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点.正方形ABCD的顶点C、D在第一象限,顶点D在反比例函数y=(k≠0)的图象上.若正方形ABCD向左平移n个单位后,顶点C恰好落在反比例函数的图象上,则n的值是   .

    【答案】3.
    【解析】过点D作DE⊥x轴过点C作CF⊥y轴,可证△ABO≌△DAE(AAS),△CBF≌△BAO(AAS),则可求D(5,1),C(4,5),确定函数解析式y=,C向左移动n个单位后为(4﹣n,5),进而求n的值;
    过点D作DE⊥x轴,过点C作CF⊥y轴,
    ∵AB⊥AD,
    ∴∠BAO=∠DAE,
    ∵AB=AD,∠BOA=∠DEA,
    ∴△ABO≌△DAE(AAS),
    ∴AE=BO,DE=OA,
    易求A(1,0),B(0,4),
    ∴D(5,1),
    ∵顶点D在反比例函数y=上,
    ∴k=5,
    ∴y=,
    易证△CBF≌△BAO(AAS),
    ∴CF=4,BF=1,
    ∴C(4,5),
    ∵C向左移动n个单位后为(4﹣n,5),
    ∴5(4﹣n)=5,
    ∴n=3,
    故答案为3;

    13.(2019湖北孝感)如图,双曲线y=9x(x>0)经过矩形OABC的顶点B,双曲线y=kx(x>0)交AB,BC于点E、F,且与矩形的对角线OB交于点D,连接EF.若OD:OB=2:3,则△BEF的面积为   .


    【答案】2518
    【解析】设D(2m,2n),
    ∵OD:OB=2:3,
    ∴A(3m,0),C(0,3n),
    ∴B(3m,3n),
    ∵双曲线y=9x(x>0)经过矩形OABC的顶点B,
    ∴9=3m•3n,
    ∴mn=1,
    ∵双曲线y=kx(x>0)经过点D,
    ∴k=4mn
    ∴双曲线y=4mnx(x>0),
    ∴E(3m,43n),F(43m,3n),
    ∴BE=3n-43n=53n,BF=3m-43m=53m,
    ∴S△BEF=12BE•BF=2518mn=2518
    故答案为2518.
    14.(2019北京市)在平面直角坐标系中,点在双曲线上.点关于轴的对称点在双曲线上,则的值为_______.

    【答案】0
    【解析】关于x轴对称的点的坐标特点、双曲线上点的坐标与k的关系.
    ∵A、B两点关于x轴对称,
    ∴B点的坐标为.
    又∵A、B两点分别在又曲线和上;
    ∴.
    ∴;故填0.
    15.(2019贵州省安顺市) 如图,直线l⊥x轴于点P,且与反比例函数y1=k1/x(x>0)及y2=k2/x(x>0)的图象分别交于A,B两点,连接OA,OB,已知△OAB的面积为4,则k1﹣k2=   .
    第15题图

    【答案】8
    【解析】∵反比例函数y1=(x>0)及y2=(x>0)的图象
    均在第一象限内,
    ∴k1>0,k2>0.
    ∵AP⊥x轴,
    ∴S△OAP=k1,S△OBP=k2.
    ∴S△OAB=S△OAP﹣S△OBP=(k1﹣k2)=4,
    解得:k1﹣k2=8.
    故答案为:8.
    16.(2019辽宁本溪)如图,在平面直角坐标系中,等边△OAB和菱形OCDE的边OA,OE都在x轴上,点C在OB边上,S△ABD=,反比例函数(x>0)的图象经过点B,则k的值为

    【答案】.
    【解析】过点D、B分别作x轴的垂线,垂足分别为M、N,设OE=2a,OA=2b,根据四边形OCDE是菱形和△OAB为等边三角形可得DM=a和BN=b进而得出S△ABD=S梯形BDMN+S△ABN-S△ADM,进而求出b2的值,然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k的值.
    过点D、B分别作x轴的垂线,垂足分别为M、N.
    设OE=2a,OA=2b.
    ∵四边形OCDE是菱形,
    ∴DM=a.
    ∵△OAB为等边三角形,
    ∴BN=b,
    ∴S△ABD=S梯形BDMN+S△ABN-S△ADM=,
    解得b2=1.
    ∵点B的坐标为(b,b),且点B在反比例函数的图象上,
    ∴k=b2=

    17.(2019广西桂林)如图,在平面直角坐标系中,反比例的图象和都在第一象限内,,轴,且,点的坐标为.若将向下平移个单位长度,,两点同时落在反比例函数图象上,则的值为    .

    【答案】
    【解析】,,点.
    ,,
    将向下平移个单位长度,
    ,,
    ,两点同时落在反比例函数图象上,


    三、解答题
    18.(2019年广西柳州市)如图,直线AB与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,2),将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC,反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象经过点C.
    (1)求直线AB和反比例函数y=(k≠0,x>0)的解析式;
    (2)已知点P是反比例函数y=(k≠0,x>0)图象上的一个动点,求点P到直线AB距离最短时的坐标.

    【答案】见解析。
    【解析】将点A(1,0),点B(0,2),代入y=mx+b,可求直线解析式;过点C作CD⊥x轴,根据三角形全等可求C(3,1),进而确定k;设与AB平行的直线y=﹣2x+h,联立﹣2x+b=,当△=b2﹣24=0时,点P到直线AB距离最短;
    (1)将点A(1,0),点B(0,2),代入y=mx+b,
    ∴b=2,m=﹣2,
    ∴y=﹣2x+2;
    ∵过点C作CD⊥x轴,
    ∵线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC,
    ∴△ABO≌△CAD(AAS),
    ∴AD=AB=2,CD=OA=1,
    ∴C(3,1),
    ∴k=3,
    ∴y=;
    (2)设与AB平行的直线y=﹣2x+h,
    联立﹣2x+b=,
    ∴﹣2x2+bx﹣3=0,
    当△=b2﹣24=0时,b=,此时点P到直线AB距离最短;
    ∴P(,);

    19. (2019黑龙江大庆)如图,反比例函数和一次函数y=kx-1的图象相交于A(m,2m),B两点.
    (1)求一次函数的表达式;
    (2)求出点B的坐标,并根据图象直接写出满足不等式
    【答案】见解析。
    【解析】(1)因为点A(m,2m)在反比例函数图象上,所以,所以m=1,所以点A(1,2)反比例函数,将点A代入一次函数可得,2=k-1,k=3,所以一次函数表达式为:y=3x-1;
    (2)令=3x-1,解之,得,x1=1,x2=,所以B(,-3),根据图象可得不等式1.
    20.(2019吉林省)已知y是x的反比例函数,并且当x=2时,y=6,
    (1) 求y关于x的函数解析式;
    (2) 当x=4时,求y的值
    【答案】见解析。
    【解析】将x=2时,y=6代入解析式即可求出待定系数,即可求出解析式;
    当x=4时,代入解析式,可求出y的值
    (1)∵y是x的反比例函数,
    ∴设y=(k≠0),
    ∵当x=2时,y=6,
    ∴k=xy=12,
    ∴y=
    (2)当x=4时,
    代入y=得,
    y=

    相关试卷

    初中数学中考复习 专题38 反比例函数问题(解析版): 这是一份初中数学中考复习 专题38 反比例函数问题(解析版),共28页。试卷主要包含了反比例函数,图像,性质,反比例函数解析式的确定,故选等内容,欢迎下载使用。

    初中数学中考复习 专题26 反比例函数(解析版): 这是一份初中数学中考复习 专题26 反比例函数(解析版),共27页。试卷主要包含了图像,性质,在光学中运用;,在排水方面的运用;,在解决经济预算问题中的应用;,其他方面的应用,若点A.等内容,欢迎下载使用。

    初中数学中考复习 专题13 反比例函数(原卷版): 这是一份初中数学中考复习 专题13 反比例函数(原卷版),共7页。试卷主要包含了反比例函数,图像,性质,反比例函数解析式的确定等内容,欢迎下载使用。

    免费资料下载额度不足,请先充值

    每充值一元即可获得5份免费资料下载额度

    今日免费资料下载份数已用完,请明天再来。

    充值学贝或者加入云校通,全网资料任意下。

    提示

    您所在的“深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载 10 份资料 (今日还可下载 0 份),请取消部分资料后重试或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载10份资料,您的当日额度已用完,请明天再来,或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深圳市第一中学”云校通余额已不足,请提醒校管理员续费或选择从个人账户扣费下载。

    重新选择
    明天再来
    个人账户下载
    下载确认
    您当前为教习网VIP用户,下载已享8.5折优惠
    您当前为云校通用户,下载免费
    下载需要:
    本次下载:免费
    账户余额:0 学贝
    首次下载后60天内可免费重复下载
    立即下载
    即将下载:资料
    资料售价:学贝 账户剩余:学贝
    选择教习网的4大理由
    • 更专业
      地区版本全覆盖, 同步最新教材, 公开课⾸选;1200+名校合作, 5600+⼀线名师供稿
    • 更丰富
      涵盖课件/教案/试卷/素材等各种教学资源;900万+优选资源 ⽇更新5000+
    • 更便捷
      课件/教案/试卷配套, 打包下载;手机/电脑随时随地浏览;⽆⽔印, 下载即可⽤
    • 真低价
      超⾼性价⽐, 让优质资源普惠更多师⽣
    VIP权益介绍
    • 充值学贝下载 本单免费 90%的用户选择
    • 扫码直接下载
    元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
    您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      充值到账1学贝=0.1元
      0学贝
      本次充值学贝
      0学贝
      VIP充值赠送
      0学贝
      下载消耗
      0学贝
      资料原价
      100学贝
      VIP下载优惠
      0学贝
      0学贝
      下载后剩余学贝永久有效
      0学贝
      • 微信
      • 支付宝
      支付:¥
      元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
      您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      扫码支付0直接下载
      • 微信
      • 支付宝
      微信扫码支付
      充值学贝下载,立省60% 充值学贝下载,本次下载免费
        下载成功

        Ctrl + Shift + J 查看文件保存位置

        若下载不成功,可重新下载,或查看 资料下载帮助

        本资源来自成套资源

        更多精品资料

        正在打包资料,请稍候…

        预计需要约10秒钟,请勿关闭页面

        服务器繁忙,打包失败

        请联系右侧的在线客服解决

        单次下载文件已超2GB,请分批下载

        请单份下载或分批下载

        支付后60天内可免费重复下载

        我知道了
        正在提交订单

        欢迎来到教习网

        • 900万优选资源,让备课更轻松
        • 600万优选试题,支持自由组卷
        • 高质量可编辑,日均更新2000+
        • 百万教师选择,专业更值得信赖
        微信扫码注册
        qrcode
        二维码已过期
        刷新

        微信扫码,快速注册

        还可免费领教师专享福利「樊登读书VIP」

        手机号注册
        手机号码

        手机号格式错误

        手机验证码 获取验证码

        手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

        设置密码

        6-20个字符,数字、字母或符号

        注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
        QQ注册
        手机号注册
        微信注册

        注册成功

        下载确认

        下载需要:0 张下载券

        账户可用:0 张下载券

        立即下载
        账户可用下载券不足,请取消部分资料或者使用学贝继续下载 学贝支付

        如何免费获得下载券?

        加入教习网教师福利群,群内会不定期免费赠送下载券及各种教学资源, 立即入群

        返回
        顶部
        Baidu
        map