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初中数学中考复习 专题07 反比例函数问题（解析版）
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决胜2020中考数学压轴题全揭秘精品
专题07 反比例函数问题
【典例分析】
【考点1】反比例函数的图象与性质
【例1】（2019·湖北中考真题）反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点(1,-3) B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y=x对称 D．y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】通过反比例图象上的点的坐标特征，可对A选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案．
【详解】解：由点的坐标满足反比例函数，故A是正确的；
由，双曲线位于二、四象限，故B也是正确的；
由反比例函数的对称性，可知反比例函数关于对称是正确的，故C也是正确的，
由反比例函数的性质，，在每个象限内，随的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D是不正确的，
故选：D．
【点睛】考查反比例函数的性质，当时，在每个象限内随的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，和是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的关键.
【变式1-1】（2019·广东中考真题）若点，，在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据点A、B、C分别在反比例函数上，可解得、、的值，然后通过比较大小即可解答.
【详解】解：将A、B、C的横坐标代入反比函数上，
得：y1＝－6，y2＝3，y3＝2，
所以，；
故选C.
【点睛】本题考查了反比例函数的计算，熟练掌握是解题的关键.
【变式1-2】（2019·湖南中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，结合图象，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的的取值范围便是不等式的解集．
【详解】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象上方时，的取值范围是：或，
∴不等式的解集是或.
故选：C．
【点睛】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．
【考点2】反比例函数k的几何意义
【例2】（2019·江苏中考真题）如图，已知A为反比例函数（<0）的图像上一点，过点A作AB⊥轴，垂足为B．若△OAB的面积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
【答案】D
【解析】设A点坐标为(m，n)，则有AB=-m，OB=n，继而根据三角形的面积公式以及反比例函数图象上点的坐标特征即可求得答案.
【详解】设A点坐标为(m，n)，则有AB=-m，OB=n，
∵S△ABO==2，
∴，
∴mn=-4，
又∵点A在反比例函数(<0)的图象上，
∴n=，
∴k=mn=-4，
故选D.
【点睛】本题考查了反比例函数(k≠0)图象上点的坐标特征以及k的几何意义，熟练掌握相关内容是解题的关键.
【变式2-1】（2019·辽宁中考真题）如图，点A在双曲线y＝（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上且BC：CA＝1：2，双曲线y＝（x＞0）经过点C，则k＝_____．
【答案】2
【解析】根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论．
【详解】解：连接OC，
∵点A在双曲线y＝（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，
∴S△OAB＝×6＝3，
∵BC：CA＝1：2，
∴S△OBC＝3×＝1，
∵双曲线y＝（x＞0）经过点C，
∴S△OBC＝|k|＝1，
∴|k|＝2，
∵双曲线y＝（x＞0）在第一象限，
∴k＝2，
故答案为2．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
【变式2-2】（2019·湖南中考真题）如图所示，在直角平面坐标系中，点为反比例函数上不同的三点，连接，过点作轴于点，过点分别作垂直轴于点，与相交于点，记、、四边形的面积分别为、、，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据反比例函数系数的几何意义得到，即可得到结论．
【详解】解：∵点为反比例函数上不同的三点， 轴， 垂直轴于点，
∴，
∵，
∴，（故B正确、故A.C错误）
∵
∴，即D错误.
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的性质，正确的识别图形是解题的关键．
【变式2-3】（2019·湖南中考真题）如图，点A，C分别是正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点，过A点作轴于点D，过C点作轴于点B，则四边形ABCD的面积为___．
【答案】8
【解析】由反比例函数的对称性可知，，则，再根据反比例函数k的几何意义可求得这四个三角形的面积，可求得答案．
【详解】A、C是两函数图象的交点，
A、C关于原点对称，
轴，轴，
，，
，
又反比例函数的图象上，
，
，
故答案为：8.
【点睛】本题主要考查反比例函数的对称性和k的几何意义，根据条件得出，是解题的关键，注意k的几何意义的应用．
【变式2-4】（2019·辽宁中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，点A在第四象限y1＝﹣的图象上，点B在第一象限y2＝的图象上，AB交x轴于点E，点C与点D在y轴上，AD＝，S矩形OCBE＝S矩形ODAE．
（1）求点B的坐标．
（2）若点P在x轴上，S△BPE＝3，求直线BP的解析式．
【答案】（1）B（，2）；（2）直线BP的解析式是y＝x+1或y＝﹣x+3．
【解析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义求得k＝3，得出，由题意可知B的横坐标为，代入即可求得B的坐标；
（2）设P（a，0），根据三角形面积求得P的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线BP的解析式．
【详解】（1）∵S矩形OCBE＝S矩形ODAE，点B在第一象限y2＝的图象上，
∵点A在第四象限y1＝﹣的图象上，
∴S矩形ODEA＝2
∴S矩形OCBE＝×2＝3，
∴k＝3，
∴y2＝，
∵OE＝AD＝，
∴B的横坐标为，
代入y2＝得，y＝＝2，
∴B（，2）；
（2）设P（a，0），
∵S△BPE＝PE•BE＝，
解得a＝﹣或，
∴点P（﹣，0）或（，0），
设直线BP的解析式为y＝mx+n（m≠0），
①若直线过（，2），（﹣，0），
则 ，解得，
∴直线BP的解析式为y＝x+1；
②若直线过（，2），（，0），
则 ，解得，
∴直线BP的解析式为y＝﹣x+3；
综上，直线BP的解析式是y＝x+1或y＝﹣x+3．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，求得B点的坐标是解题的关键．
【考点3】反比例函数的实际应用
【例3】（2019·内蒙古中考真题）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时接通电源，水温（℃）与时间（）的关系如图所示：
（1）分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式；
（2）怡萱同学想喝高于50℃的水，请问她最多需要等待多长时间？
【答案】（1）与的函数关系式为： ，与的函数关系式每分钟重复出现一次；（2）她最多需要等待分钟；
【解析】（1）分情况当，当时，用待定系数法求解；（2）将代入，得，将代入，得，可得结果.
【详解】（1）由题意可得，
，
当时，设关于的函数关系式为：，
，得，
即当时，关于的函数关系式为，
当时，设，
，得，
即当时，关于的函数关系式为，
当时，，
∴与的函数关系式为： ，与的函数关系式每分钟重复出现一次；
（2）将代入，得，
将代入，得，
∵，
∴怡萱同学想喝高于50℃的水，她最多需要等待分钟；
【点睛】考核知识点：一次函数和反比例函数的综合运用.根据实际结合图象分析问题是关键.
【变式3-1】（2019·湖北中考真题）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬根撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）关于动力臂l（单位：）的函数解析式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据所给公式列式，整理即可得答案.
【详解】∵阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，
∴动力(单位：)关于动力臂(单位：)的函数解析式为：，
则，
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键.
【变式3-2】（2018·山东中考真题）春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒.在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过的集中药物喷洒，再封闭宿舍，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示.下面四个选项中错误的是（ ）
A．经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到
B．室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了
C．当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒.此次消毒完全有效
D．当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内
【答案】C
【解析】利用图中信息一一判断即可.
【详解】解: A、正确．不符合题意．
B、由题意x=4时，y=8，∴室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min，正确，不符合题意；
C、y=5时，x=2.5或24，24-2.5=21.5＜35，故本选项错误，符合题意；
D、正确．不符合题意，
故选C.
【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型.
【考点4】反比例函数与一次函数综合
【例4】（2019·辽宁中考真题）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象分别交于C，D两点，点C（2，4），点B是线段AC的中点．
（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出当x取什么值时，k1x+b＜．
【答案】（1）y1＝x+2；y2＝；（2）S△COD＝6；（3）当0＜x＜2或x＜﹣4时，k1x+b＜．
【解析】（1）把点C的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作轴于E，根据题意求得B的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）联立方程求得D的坐标，然后根据即可求得△COD的面积；
（3）根据图象即可求得时，自变量x的取值范围．
【详解】
（1）∵点C（2，4）在反比例函数y＝的图象上，
∴，
∴；
如图，作CE⊥x轴于E，
∵C（2，4），点B是线段AC的中点，
∴B（0，2），
∵B、C在的图象上，
∴ ，
解得，
∴一次函数为；
（2）由 ，
解得或，
∴D（﹣4，﹣2），
∴；
（3）由图可得，当0＜x＜2或x＜﹣4时，．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，方程组的解以及三角形的面积等，求得B点的坐标是解题的关键．
【变式4-1】（2019·广西中考真题）已知，一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据反比例函数图象确定b的符号，结合已知条件求得a的符号，由a,b的符号确定一次函数图象所经过的象限．
【详解】解：若反比例函数 经过第一、三象限，则 ．所以 ．则一次函数 的图象应该经过第一、二、三象限；
若反比例函数经过第二、四象限，则a<0．所以b>0．则一次函数的图象应该经过第二、三、四象限．
故选项A正确；
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
【变式4-2】（2019·四川中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4．
（1）分别求出和的值；
（2）结合图象直接写出的解集；
（3）在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标．
【答案】（1），；（2）或； （3）
【解析】（1）根据题意利用三角形面积公式求得，得到，将A代入反比例函数，求出反比例函数解析式，再把B代入解析式，即可解答
（2）根据函数图象结合解析式即可判断
（3）作点关于轴的对称点，直线与轴交于，得到 ，设直线的关系式为，把将 ，代入得到解析式，即可解答
【详解】（1）∵点，
∴，
∵，即，
∴，
∵点在第二象限，
∴ ，
将代入得：，
∴反比例函数的关系式为：，
把代入得：，
∴
因此，；
（2）由图象可以看出的解集为：或；
（3）如图，作点关于轴的对称点，直线与轴交于，
此时最大，
∵
∴
设直线的关系式为，将 ，代入得：
解得：，，
∴直线的关系式为，
当时，即，解得，
∴
【点睛】此题考查一次函数与反比例函数，解题关键在于把已知点代入解析式
【考点5】反比例函数与几何综合
【例5】（2019·山东中考真题）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，且.
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点为x轴上一点，是等腰三角形，求点的坐标.
【答案】（l） ， ；（2）、 ， ，
【解析】（1）根据可计算出A点的纵坐标，进而利用勾股定理计算出A点的横坐标，代入可得一次函数和反比例函数的解析式.
（2）根据题意可得有三种情况，一种是AB为底，一种是AB为腰，以A为顶点，一种是AB为腰，以B为顶点.
【详解】（l）过点作轴于点
∵
∴
∴
∵∴
在中，
∴∴
∵经过点 ∴ ∴
∴反比例函数表达式为
∵经过点，点
∴解得
∴一次函数表达式为
（2）本题分三种情况
①当以为腰，且点为顶角顶点时，可得点的坐标为、
②当以为腰，且以点为顶角顶点时，点关于的对称点即为所求的点
③当以为底时，作线段的中垂线交轴于点，交于点，则点即为所求
由（1）得，
在中，
∵
∴∴∴∴
∴
【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的综合性问题，关键在于第二问中的等腰三角形，要分AB为腰和底，为腰又要分顶点是A还是B.
【变式5-1】（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点在的延长线上，轴，垂足为，与反比例函数的图象相交于点，连接，．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若，设点的坐标为，求线段的长．
【答案】（1）；（2）3
【解析】（1）把点A（3，2）代入反比例函数y=，即可求出函数解析式；
（2）直线OA的关系式可求，由于点C（a，0），可以表示点B、D的坐标，根据
S△ACD=，建立方程可以解出a的值，进而求出BD的长．
【详解】解：
（1）∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数；
答：反比例函数的关系式为：；
（2）过点作，垂足为，连接，
设直线的关系式为，将代入得，，
∴直线的关系式为，
∵点，把代入，得：，把代入，得：，
∴），即，
，即
∵，
∴，即，解得：，
∴；
答：线段的长为3．
【点睛】考查正比例函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质，将点的坐标转化为线段的长，利用方程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法．
【变式5-2】（2019·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，顶点落在轴的正半轴上，对角线、交于点，点、恰好都在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】利用菱形的性质, 根据正切定义即可得到答案.
【详解】解：设，，
∵点为菱形对角线的交点，
∴，，，
∴，
把代入得，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，解得，
∴，
在中，，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于运用菱形的性质．
【达标训练】
1．（2019·山东中考真题）如图，直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，若S△AOB＝S△BOC＝1，则k＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】作CD⊥x轴于D，设OB=a（a＞0）．由S△AOB=S△BOC，根据三角形的面积公式得出AB=BC．根据相似三角形性质即可表示出点C的坐标，把点C坐标代入反比例函数即可求得k．
【详解】如图，作CD⊥x轴于D，设OB＝a（a＞0）．
∵S△AOB＝S△BOC，
∴AB＝BC．
∵△AOB的面积为1，
∴OA•OB＝1，
∴OA＝，
∵CD∥OB，AB＝BC，
∴OD＝OA＝，CD＝2OB＝2a，
∴C（，2a），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，
∴k＝×2a＝4．
故选D．
【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，会运用相似求线段长度是解题的关键．
2．（2019·辽宁中考真题）如图，点A在反比例函数y=(x＞0)的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C在y轴上，则△ABC的面积为( )
A．3 B．2 C． D．1
【答案】C
【解析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB=S△CAB，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAB=|k|，便可求得结果．
【详解】解：连结OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB=S△CAB，
而S△OAB=|k|=，
∴S△CAB=，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
3．（2019·四川中考真题）如图，一次函数和反比例函数的图象相交于，两点，则使成立的取值范围是( )
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【解析】根据图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可.
【详解】观察函数图象可发现：或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴使成立的取值范围是或，
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，函数与不等式，利用数形结合思想是解题的关键.
4．（2019·山东中考真题）函数与（）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可．
【详解】时，，在一、二、四象限，在一、三象限，无选项符合．
时，，在一、三、四象限，（）在二、四象限，只有D符合；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．
5．（2019·湖北中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，反比例函数（）的图象与线段相交于点，且是线段的中点，点关于直线的对称点的坐标为，若的面积为3，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】根据对称性求出C点坐标，进而得OA与AB的长度，再根据已知三角形的面积列出n的方程求得n，进而用待定系数法求得k．
【详解】∵点C关于直线y=x的对称点C'的坐标为（1，n）（n≠1），
∴C（n，1），
∴OA=n，AC=1，
∴AB=2AC=2，
∵△OAB的面积为3，
∴n×2＝3，
解得，n=3，
∴C（3，1），
∴k=3×1=3．
故选：D．
【点睛】本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，对称性质，关键是根据对称求得C点坐标及由三角形的面积列出方程．
6．（2019·贵州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为4，2，可得出横坐标，即可求得AE，BE的长，根据菱形的面积为2，求得AE的长，在Rt△AEB中，即可得出k的值．
【详解】过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，
∵A，B两点在反比例函数y（x＞0）的图象，且纵坐标分别为4，2，
∴A（，4），B（，2），
∴AE＝2，BEkkk，
∵菱形ABCD的面积为2，
∴BC×AE＝2，即BC，
∴AB＝BC，
在Rt△AEB中，BE1
∴k＝1，
∴k＝4．
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．
7．（2019·湖北中考真题）如图，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别与线段交于点，连接．若点关于的对称点恰好在上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据，可得矩形的长和宽，易知点的横坐标，的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有的代数式表示另外一个坐标，由三角形相似和对称，可用求出的长，然后把问题转化到三角形中，由勾股定理建立方程求出的值．
【详解】过点作，垂足为，设点关于的对称点为，连接，如图所示：
则，
易证
，
，
，
在反比例函数的图象上，
，
在中，由勾股定理：
即：
解得：
故选C．
【点睛】此题综合利用轴对称的性质，相似三角形的性质，勾股定理以及反比例函数的图象和性质等知识，发现与的比是是解题的关键．
8．（2019·吉林中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、的坐标分别是，，，则函数的图象经过点，则的值为（ ）
A． B．9 C． D．
【答案】D
【解析】根据、的坐标分别是可知，进而可求出，由，又可求，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点的坐标，再求出的值．
【详解】
解：过点作轴，垂足为，
∵的坐标分别是，
∴，
在中，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
∴代入得：，
故选：D．
【点睛】考核知识点：反比例函数与几何.数形结合分析是关键.
9．（2019·湖南中考真题）如图，⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为和，则阴影部分的面积是( )
A．4π B．3π C．2π D．π
【答案】C
【解析】根据反比例函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积，进而求出即可．
【详解】双曲线和的图象关于x轴对称，
根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，
并且扇形的圆心角为，半径为2，
所以：．
故选C．
【点睛】本题考查的是反比例函数，题目中的两条双曲线关于x轴对称，圆也是一个对称图形，可以得到图中阴影部分的面积等于圆心角为180°，半径为2的扇形的面积，用扇形面积公式计算可以求出阴影部分的面积．
10．（2019·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点，．若反比例函数经过点C，则k的值等于（ ）
A．10 B．24 C．48 D．50
【答案】C
【解析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点，将点C坐标代入解析式可求k的值．
【详解】解：如图，过点C作于点E，
∵菱形OABC的边OA在x轴上，点，
∴，
∵．
∴，
∴
∴点C坐标
∵若反比例函数经过点C，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关键是求出点C坐标．
11．（2019·湖北中考真题）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点恰好分别落在函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】点落在函数，的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案．
【详解】过点分别作轴，轴，垂足为，
点在反比例函数上，点在上，
又
，
设则
在
故选
【点睛】考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角边与斜边的比，求出sin∠ABO的值．
12．（2019·山东中考真题）如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y=（k＞0）经过A、E两点，若平行四边形AOBC的面积为24，则k的值是（ ）
A．8 B．7.5 C．6 D．9
【答案】A
【解析】设出点A的横坐标为x，根据点A在双曲线y=（k＞0）上，表示出点A的纵坐标，从而表示出点A的坐标，再根据点B在x轴上设出点B的坐标为（a，0），然后过A作AD⊥OB于D，EF⊥OB于F，如图，根据平行四边形的性质对角线互相平分得到点E为AB的中点，又EF∥AD，得到EF为△ABD的中位线，可得EF为AD的一半，而AD为A的纵坐标，可得出EF的长，由OB-OD可得BD的长，根据F为BD的中点，得到FB的长，由OB-FB可得出OF的长，由E在第一象限，由EF和OF的长表示出E的坐标，代入反比例解析式中，得到a=3x，再由BO与AD的积为平行四边形的面积，表示出平行四边形的面积，根据平行四边形AOBC的面积为24，列出等式，将a=3x代入可得出k的值．
【详解】设A（x，），B（a，0），过A作AD⊥OB于D，EF⊥OB于F，如图，
由平行四边形的性质可知AE=EB，
再EF为△ABD的中位线，
由三角形的中位线定理得：
则E
∵E在双曲线上，
∴
∴a=3x，
∵平行四边形的面积是24，
∴
解得：k=8．
故选：A
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及的知识有：平行线的性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行四边形及三角形的面积公式，以及点坐标与线段的关系，是一道综合性较强的题，本题的突破点是作出如图的辅助线，建立点坐标与线段长度的联系．
13．（2019·山东中考真题）如图，点A的坐标是(-2,0)，点B的坐标是(0,6)，C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到．若反比例函数的图象恰好经过的中点D，则k的值是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】C
【解析】作轴于证明≌，推出，，求出点坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题．
【详解】解：作轴于．
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵点的坐标是，点的坐标是，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
14．（2019·辽宁中考真题）如图，将一个含30°角的三角尺ABC放在直角坐标系中，使直角顶点C与原点O重合，顶点A，B分别在反比例函数y＝﹣和y＝的图象上，则k的值为___．
【答案】12．
【解析】过A作AE⊥y轴于E过B作BF⊥y轴于F，通过△AOE∽△BOF，得到，设，于是得到AE=-m，，从而得到，，于是求得结果．
【详解】解：过作轴于过作轴于，
，，
，
，
，
，
，
设，
，，
，，
，
．
故答案为：12．
【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于作辅助线和利用三角函数进行解答.
15．（2019·青海中考真题）如图，是反比例函数图象上的一点，过点向轴作垂线交于点，连接．若图中阴影部分的面积是，则此反比例函数的解析式为_____．
【答案】．
【解析】根据反比例函数系数的几何意义可知，的面积，再根据图象所在象限求出的值即可．
【详解】解：依据比例系数的几何意义可得，
面积等于，
即，
，
由于函数图象位于第一、三象限，则，
反比例函数的解析式为；
故答案为．
【点睛】本题考查反比例系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．
16．（2019·湖北中考真题）如图，一直线经过原点，且与反比例函数相交于点、点，过点作轴，垂足为，连接．若面积为，则_____．
【答案】8
【解析】首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于4，然后由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于，从而求出k的值．
【详解】解：反比例函数与正比例函数的图象相交于、两点，
两点关于原点对称，
，
的面积的面积，
又是反比例函数图象上的点，且轴于点，
的面积，
，
，
．
故答案为．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的比例系数k的几何意义，解题关键在于得出O为线段AB的中点．
17．（2019·湖北中考真题）如图，双曲线经过矩形OABC的顶点，双曲线交，于点，，且与矩形的对角线交于点，连接.若，则的面积为__________.
【答案】.
【解析】设，根据题意，，，即可得出，，解得，由，，求得、，然后根据三角形面积公式得到进行求解即可.
【详解】设，
∵，
∴，，
∴，
∵双曲线经过矩形的顶点，
∴，
∴，
∵双曲线经过点，
∴
∴双曲线，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题考查了反比例系数 的几何意义和反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面积等，表示出各个点的坐标是解题的关键．
18．（2019·四川中考真题）如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点，分别交，于点、．若四边形的面积为12，则的值为______．
【答案】4
【解析】本题可从反比例函数图象上的点、、入手，分别找出、、的面积与的关系，列出等式求出值．
【详解】∵、、位于反比例函数图象上，
∴，，
过点作轴于点，作轴于点，
∴四边形ONMG是矩形，
∴，
∵为矩形对角线的交点，
∴，
∵函数图象在第一象限，
∴，
∴++S四边形ODBE=，
解得：．
故答案为：4
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．
19．（2019·贵州中考真题）如图，直线轴于点，且与反比例函数（）及（）的图象分别交于、两点，连接、，已知的面积为4，则________．
【答案】8．
【解析】根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为，然后两个三角形面积作差即可求出结果．
【详解】解：根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为，
∴的面积为，∴，∴.
故答案为8．
【点睛】本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是正确理解的几何意义，本题属于基础题型．
20．（2019·湖北中考真题）如图，矩形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，为的中点，反比例函数的图象经过点，且与交于点，连接，，，若的面积为3，则的值为______．
【答案】
【解析】设点的坐标为，则的坐标为，，由点D在反比例函数的图象上，可得，继而根据进行求解即可得.
【详解】∵四边形是矩形，
∴，，
设点的坐标为，则的坐标为，
∵为的中点，
∴，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
21．（2019·四川中考真题）如图，A、B两点在反比例函数的图象上，C、D两点在反比例函数的图象上，轴于点E，轴于点F，，则_____．
【答案】4
【解析】设出由坐标转化线段长，从而可求出结果等于4．
【详解】解：设，则
，
得
同理：，得
又
解得：
【点睛】考查反比例函数上点的坐标关系，根据坐标转化线段长是解题关键．
22．（2019·浙江中考真题）如图，已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点和点，分别交反比例函数，的图象于点和点，过点作轴于点，连结. 若的面积与的面积相等，则的值是_____.
【答案】2.
【解析】过点作轴于.根据k的几何意义，结合三角形面积之间的关系，求出交点D的坐标，代入即可求得k的值．
【详解】如图，过点作轴于.
把y=0代入得：x=2，故OA=2
由反比例函数比例系数的几何意义，
可得，.
∵，
∴，
∴.
易证，从而，即的横坐标为，而在直线上，
∴
∴.
故答案为：2
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，反比例函数“k“的几何意义，一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，关键是根据两个三角形的面积相等列出k的方程．
23．（2019·浙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，将沿轴翻折，使点落在轴上的点处，点恰好为的中点，与交于点.若图象经过点，且，则的值为____.
【答案】24.
【解析】作，作，设，，由翻折的性质得：，根据全等三角形性质得，结合题意可得，，由平行四边形性质得，，，，，根据相似三角形判定和性质得，从而得，由三角形面积公式得，即，将点坐标代入反比例函数解析式即可求得k值.
【详解】作，作，如图，设，，
依题可得：，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴即，
∴，
∵在反比例函数上，
∴.
故答案为：24.
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，折叠的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与y轴交于点C，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A，B两点，点A在第一象限，纵坐标为4，点B在第三象限，BM⊥x轴，垂足为点M，BM＝OM＝2．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）连接OB，MC，求四边形MBOC的面积．
【答案】（1）y＝，y＝2x+2；（2）四边形MBOC的面积是4．
【解析】（1）根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得反比例函数的解析式，进而求得点A的坐标，从而可以求得一次函数的解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式可以求得点C，从而可以求得四边形MBOC是平行四边形，根据面积公式即可求得．
【详解】解：（1）∵BM＝OM＝2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B，
则﹣2＝，得k＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点A的纵坐标是4，
∴4＝，得x＝1，
∴点A的坐标为（1，4），
∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象过点A（1，4）、点B（﹣2，﹣2），
∴，解得，
即一次函数的解析式为y＝2x+2；
（2）∵y＝2x+2与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
∵点B（﹣2，﹣2），点M（﹣2，0），
∴OC＝MB＝2，
∵BM⊥x轴，
∴MB∥OC，
∴四边形MBOC是平行四边形，
∴四边形MBOC的面积是：OM•OC＝4．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和反比例函数的性质解答．
25．（2019·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过等边三角形的顶点，，点在反比例函数图象上，连接.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若四边形的面积是，求点的坐标.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）先求出B的坐标，根据系数k的几何意义即可求得k=，从而求得反比例函数的表达式；
（2）根据题意可，求出，再设，求出t，即可解答
【详解】（1），
反比例函数的表达式为
（2）
设
【点睛】此题考查了反比例函数解析式，不规则图形面积.，解题关键在于求出B的坐标
26．（2019·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像在第二象限交于点，与轴交于点，点在轴上，满足条件：，且，点的坐标为，。
（1）求反比例函数的表达式；
（2）直接写出当时，的解集。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）过点B作BH⊥x轴于点H，证明≌得到BH与CH的长度，便可求得B点的坐标，进而求得反比例函数解析式；
（2）观察函数图象，当一次函数图象在反比例函数图象下方时的自变量x的取值范围便是结果．
【详解】解：（1）如图作轴于点
则
∴
∵点的坐标为
∴
∵
∴，
在和中
有
∴≌
∴，
∴，即
∴
∴反比例函数解析式为
（2）因为在第二象限中，点右侧一次函数的图像在反比例函数图像的下方,
所以当时，的解集为.
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握函数解析式的求法以及利用数形结合根据函数图象的上下位置关系得出不等式的解集是重点．
27．（2019·湖南中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且的面积为5，求点P的坐标．
【答案】（1） （2）P的坐标为或
【解析】（1）利用点A在上求a，进而代入反比例函数求k即可；
（2）设，求得C点的坐标，则，然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可．
【详解】（1）把点代入，得，
∴
把代入反比例函数，
∴；
∴反比例函数的表达式为；
（2）∵一次函数的图象与x轴交于点C，
∴，
设，
∴，
∴，
∴或，
∴P的坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键．
28．（2019·贵州中考真题）如图，一次函数y＝kx+b(k，b为常数，k≠0)的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3.
(1)求一次函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)写出不等式kx+b＞﹣的解集.
【答案】(1) y＝﹣x﹣1；(2)△AOB的面积为；(3) x＜﹣4或0＜x＜3.
【解析】（1）先根据A点的横坐标与B点的纵坐标都是3，求出A,B，再把A,B的值代入解析式即可解答
（2）先求出C的坐标，利用三角形的面积公式即可解答
（3）一次函数大于反比例函数即一次函数的图象在反比例函数的图象的上边时，对应的x的取值范围；
【详解】(1)∵一次函数y＝kx+b(k，b为常数，k≠0)的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，
且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3，
∴，
解得：x＝﹣4，
y＝﹣＝﹣4，
故B(﹣4，3)，A(3，﹣4)，
把A，B点代入y＝kx+b得：
，
解得：，
故直线解析式为：y＝﹣x﹣1；
(2)y＝﹣x﹣1，当y＝0时，x＝﹣1，
故C点坐标为：(﹣1，0)，
则△AOB的面积为：×1×3+×1×4＝；
(3)不等式kx+b＞﹣的解集为：x＜﹣4或0＜x＜3.
【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于把已知点代入解析式
29．（2019·江苏中考真题）如图，点和点是反比例函数图象上的两点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接．已知与的面积满足．
（1）＝ _____，＝ _____；
（2）已知点在线段上，当时，求点的坐标．
【答案】（1）3，8；（2）.
【解析】（1）由一次函数解析式求得点B的坐标，易得OB的长度，结合点A的坐标和三角形面积公式求得S△OAB=3，所以S△ODE=4，由反比例函数系数k的几何意义求得m的值；
（2）利用待定系数法确定直线AC函数关系式，易得点C的坐标；利用∠PDE=∠CBO，∠COB=∠PED=90°判定△CBO∽△PDE，根据该相似三角形的对应边成比例求得PE、DE的长度，易得点D的坐标．
【详解】（1）由一次函数知，．
又点A的坐标是，
．
．
．
∵点是反比例函数图象上的点，
，则．
（2）由（1）知，反比例函数解析式是．
，即．
故，将其代入得到：．
解得．
∴直线的解析式是：．
令，则，
，
．
．
由（1）知，．
设，则，．
，，
，
，即①，
又②．
联立①②，得（舍去）或．
故．
【点睛】考查了反比例函数综合题，需要掌握待定系数法确定函数关系式，函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式，相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，但是难度不是很大．
30．（2019·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点，与反比例函数在第二象限内的图象相交于点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求的面积；
（3）设直线CD的解析式为，根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】（1））；（2）的面积为18；（3）或．
【解析】（1）将点A（-1，a）代入反比例函数求出a的值，确定出A的坐标，再根据待定系数法确定出一次函数的解析式；
（2）根据直线的平移规律得出直线CD的解析式为y=-x-2，从而求得D的坐标，联立方程求得交点C、E的坐标，根据三角形面积公式求得△CDB的面积，然后由同底等高的两三角形面积相等可得△ACD与△CDB面积相等；
（3）根据图象即可求得．
【详解】（1））∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵点，
∴设直线AB的解析式为，
∵直线AB过点，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为；
（2）∵将直线AB向下平移9个单位后得到直线CD的解析式为，
∴，
∴，
联立，解得或，
∴，，
连接AC，则的面积，
由平行线间的距离处处相等可得与面积相等，
∴的面积为18．
（3）∵，，
∴不等式的解集是：或．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
31．（2019·四川中考真题）一次函数的图象经过点，．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)若该一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，且，求的值．
【答案】(1)一次函数解析式为： ；(2)．
【解析】(1)利用待定系数法进行求解即可；
(2)联立一次函数解析式与反比例函数解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系可得，x1x2=-，再由求得x1、x2的值即可求得答案.
【详解】(1)由题意得： ，
解得： ，
一次函数解析式为： ；
(2)联立，消去得： ，
则，x1x2=-，
又∵，
∴，
∴2×(-3)=-，
∴m=12.
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合题，涉及了待定系数法，一元二次方程根与系数的关系等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
32．（2019·山东中考真题）如图，中，顶点的坐标是，轴，交轴于点，顶点的纵坐标是-4，的面积是24．反比例函数的图象经过点和，求：
（1）反比例函数的表达式；（2）所在直线的函数表达式．
【答案】（1）；（2）
【解析】(1)根据题意得出，结合平行四边形的面积得出，继而知点坐标，从而得出反比例函数解析式；
(2)先根据反比例函数解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解可得．
【详解】(1)∵顶点的坐标是，顶点的纵坐标是-4，
∴，
又的面积是24，
∴，
则，
∴，
∴反比例函数解析式为；
(2)由题意知的纵坐标为-4，
∴其横坐标为-2，
则，
设所在直线解析式为，
将、代入，得：，
解得：，
所以所在直线解析式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式及待定系数法求反比例函数和一次函数解析式的方法．
33．（2019·甘肃中考真题）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于两点
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)已知点，过点作平行于轴的直线，在第一象限内交一次函数的图象于点，交反比例函数上的图象于点．若，结合函数图象直接写出的取值范围．
【答案】(1) ；(2)
【解析】(1)利用待定系数法即可求得；
(2)根据图象可解．
【详解】解：(1)∵反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于两点，
∴，
∴，
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为；
(2)由图象可得：当时，．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．
34．（2019·河北中考真题）长为的春游队伍，以的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置开始行进的时间为，排头与的距离为
（1）当时，解答：
①求与的函数关系式（不写的取值范围）；
②当甲赶到排头位置时，求的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置的距离为，求与的函数关系式（不写的取值范围）
（2）设甲这次往返队伍的总时间为，求与的函数关系式（不写的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．
【答案】（1）①；②；（2）与的函数关系式为：，此时队伍在此过程中行进的路程为．
【解析】（1）①排头与O的距离为S头（m）．等于排头行走的路程+队伍的长300，而排头行进的时间也是t（s），速度是2m/s，可以求出S头与t的函数关系式；
②甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出，代入求S即可；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m）是在S的基础上减少甲返回的路程，而甲返回的时间=总时间t－甲从排尾赶到排头的时间，于是可以求S甲与t的函数关系式；
（2）甲这次往返队伍的总时间为T（s），是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排尾用时的和，可以根据追及问题和相遇问题的数量关系得出结果；在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程=队伍速度×返回时间．
【详解】（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），∴S头=2t+300；
②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v﹣v）=300÷v=300÷2=150 s，此时S头=2t+300=600 m，甲返回时间为：（t﹣150）s，∴S甲=S头﹣S甲回=2×150+300﹣4（t﹣150）=﹣4t+1200；
因此，S头与t的函数关系式为S头=2t+300，当甲赶到排头位置时，S的值为600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲=﹣4t+1200．
（2）T=t追及+t返回，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v400；
因此T与v的函数关系式为：T，此时队伍在此过程中行进的路程为400m．
【点睛】本题考查了行程问题中相遇、追及问题，同时还考查了函数思想方法的应用，切实理解变量之间的变化关系，由于时间有重合的部分，容易出现错误．
35．（2019·四川中考真题）如图，直线与双曲线相交于点A，且，将直线向左平移一个单位后与双曲线相交于点B，与x轴、y轴分别交于C、D两点．
（1）求直线的解析式及k的值；
（2）连结、，求的面积．
【答案】（1）直线的解析式为，k=1；（2）2.
【解析】（1）根据平移的性质即可求得直线的解析式，由直线和即可求得A的坐标，然后代入双曲线求得k的值；
（2）作轴于E，轴于F，联立方程求得B点的坐标，然后根据，求得即可．
【详解】解：（1）根据平移的性质，将直线向左平移一个单位后得到，
∴直线的解析式为，
∵直线与双曲线相交于点A，
∴A点的横坐标和纵坐标相等，
∵，
∴，
；
（2）作轴于E，轴于F，
解得或
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，属于中考常考题型．
36．（2019·四川中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A与点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接，且过点P作y轴的平行线交直线于点C，连接，若的面积为3，求出点P的坐标．
【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）点P的坐标为或或．
【解析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）设点P的坐标为，利用三角形面积公式进行求解.
【详解】解：（1）将代入一次函数中得：
∴
将代入反比例函数中得：
∴反比例函数的表达式为；
（2）如图：
设点P的坐标为，则
∴，点O到直线的距离为m
∴的面积
解得：或或1或2
∵点P不与点A重合，且
∴
又∵
∴或1或2
∴点P的坐标为或或．
【点睛】本题考查反比例函数，解题的关键是熟练掌握反比例函数.
37．（2019·浙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上．已知．
（1）点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由．
（2）若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标．
（3）平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．
【答案】（1）点A在该反比例函数的图像上，见解析；（2）Q的横坐标是；（3）见解析.
【解析】（1）连接PC，过点P作轴于点H，由此可求得点P的坐标为（2，）；即可求得反比例函数的解析式为，连接AC，过点B作于点C，求得点A的坐标，由此即可判定点A是否在该反比例函数的图象上；（2）过点Q作轴于点M，设，则，由此可得点Q的坐标为，根据反比例函数图象上点的性质可得，解方程球队的b值，即可求得点Q的横坐标；（3）连接AP， ，，结合（1）中的条件，将正六边形ABCDEF先向右平移1个单位，再向上平移个单位（平移后的点B、C在反比例函数的图象上）或将正六边形ABCDEF向左平移2个单位（平移后的点E、F在反比例函数的图象上）.
【详解】解：（1）连接PC，过点P作轴于点H，
在正六边形ABCDEF中，点B在y轴上
和都是含有角的直角三角形，
，
点P的坐标为
反比例函数的表达式为
连接AC，过点B作于点C
，
，
点A的坐标为
当时，
所以点A在该反比例函数的图像上
（2）过点Q作轴于点M
六边形ABCDEF是正六边形，
设，则
点Q的坐标为
解得，
点Q的横坐标是
（3）连接AP，
，
平移过程：将正六边形ABCDEF先向右平移1个单位，再向上平移个单位，或将正六边形ABCDEF向左平移2个单位
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标相结合是解决问题的关系．
38．（2019·江苏中考真题）如图，为反比例函数(x>0)图象上的一点，在轴正半轴上有一点，.连接，，且.
(1)求的值；
(2)过点作，交反比例函数(x>0)的图象于点，连接交于点，求的值.
【答案】(1)k=12；(2).
【解析】(1)过点作交轴于点，交于点，易知OH长度，在直角三角形OHA中得到AH长度，从而得到A点坐标，进而算出k值；（2）先求出D点坐标，得到BC长度，从而得到AM长度，由平行线得到，所以
【详解】解：
(1)过点作交轴于点，交于点.
(2)
【点睛】本题主要考查反比例函数与相似三角形的综合问题，难度不大，解题关键在于求出k
39．（2019·广西中考真题）如图，菱形的边在轴上，点的坐标为，点在反比例函数（）的图象上，直线经过点，与轴交于点，连接，.
（1）求，的值；（2）求的面积.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）由菱形的性质可知，，点代入反比例函数，求出；将点代入，求出；
（2）求出直线与轴和轴的交点，即可求的面积；
【详解】解：（1）由已知可得，
∵菱形，
∴，，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
将点代入，
∴；
（2），
直线与轴交点为，
∴；
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数的图象及性质，菱形的性质；能够将借助菱形的边长和菱形边的平行求点的坐标是解题的关键.
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专题07 反比例函数问题
【典例分析】
【考点1】反比例函数的图象与性质
【例1】（2019·湖北中考真题）反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点(1,-3) B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y=x对称 D．y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】通过反比例图象上的点的坐标特征，可对A选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案．
【详解】解：由点的坐标满足反比例函数，故A是正确的；
由，双曲线位于二、四象限，故B也是正确的；
由反比例函数的对称性，可知反比例函数关于对称是正确的，故C也是正确的，
由反比例函数的性质，，在每个象限内，随的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D是不正确的，
故选：D．
【点睛】考查反比例函数的性质，当时，在每个象限内随的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，和是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的关键.
【变式1-1】（2019·广东中考真题）若点，，在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据点A、B、C分别在反比例函数上，可解得、、的值，然后通过比较大小即可解答.
【详解】解：将A、B、C的横坐标代入反比函数上，
得：y1＝－6，y2＝3，y3＝2，
所以，；
故选C.
【点睛】本题考查了反比例函数的计算，熟练掌握是解题的关键.
【变式1-2】（2019·湖南中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，结合图象，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的的取值范围便是不等式的解集．
【详解】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象上方时，的取值范围是：或，
∴不等式的解集是或.
故选：C．
【点睛】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．
【考点2】反比例函数k的几何意义
【例2】（2019·江苏中考真题）如图，已知A为反比例函数（<0）的图像上一点，过点A作AB⊥轴，垂足为B．若△OAB的面积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
【答案】D
【解析】设A点坐标为(m，n)，则有AB=-m，OB=n，继而根据三角形的面积公式以及反比例函数图象上点的坐标特征即可求得答案.
【详解】设A点坐标为(m，n)，则有AB=-m，OB=n，
∵S△ABO==2，
∴，
∴mn=-4，
又∵点A在反比例函数(<0)的图象上，
∴n=，
∴k=mn=-4，
故选D.
【点睛】本题考查了反比例函数(k≠0)图象上点的坐标特征以及k的几何意义，熟练掌握相关内容是解题的关键.
【变式2-1】（2019·辽宁中考真题）如图，点A在双曲线y＝（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上且BC：CA＝1：2，双曲线y＝（x＞0）经过点C，则k＝_____．
【答案】2
【解析】根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论．
【详解】解：连接OC，
∵点A在双曲线y＝（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，
∴S△OAB＝×6＝3，
∵BC：CA＝1：2，
∴S△OBC＝3×＝1，
∵双曲线y＝（x＞0）经过点C，
∴S△OBC＝|k|＝1，
∴|k|＝2，
∵双曲线y＝（x＞0）在第一象限，
∴k＝2，
故答案为2．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
【变式2-2】（2019·湖南中考真题）如图所示，在直角平面坐标系中，点为反比例函数上不同的三点，连接，过点作轴于点，过点分别作垂直轴于点，与相交于点，记、、四边形的面积分别为、、，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据反比例函数系数的几何意义得到，即可得到结论．
【详解】解：∵点为反比例函数上不同的三点， 轴， 垂直轴于点，
∴，
∵，
∴，（故B正确、故A.C错误）
∵
∴，即D错误.
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的性质，正确的识别图形是解题的关键．
【变式2-3】（2019·湖南中考真题）如图，点A，C分别是正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点，过A点作轴于点D，过C点作轴于点B，则四边形ABCD的面积为___．
【答案】8
【解析】由反比例函数的对称性可知，，则，再根据反比例函数k的几何意义可求得这四个三角形的面积，可求得答案．
【详解】A、C是两函数图象的交点，
A、C关于原点对称，
轴，轴，
，，
，
又反比例函数的图象上，
，
，
故答案为：8.
【点睛】本题主要考查反比例函数的对称性和k的几何意义，根据条件得出，是解题的关键，注意k的几何意义的应用．
【变式2-4】（2019·辽宁中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，点A在第四象限y1＝﹣的图象上，点B在第一象限y2＝的图象上，AB交x轴于点E，点C与点D在y轴上，AD＝，S矩形OCBE＝S矩形ODAE．
（1）求点B的坐标．
（2）若点P在x轴上，S△BPE＝3，求直线BP的解析式．
【答案】（1）B（，2）；（2）直线BP的解析式是y＝x+1或y＝﹣x+3．
【解析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义求得k＝3，得出，由题意可知B的横坐标为，代入即可求得B的坐标；
（2）设P（a，0），根据三角形面积求得P的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线BP的解析式．
【详解】（1）∵S矩形OCBE＝S矩形ODAE，点B在第一象限y2＝的图象上，
∵点A在第四象限y1＝﹣的图象上，
∴S矩形ODEA＝2
∴S矩形OCBE＝×2＝3，
∴k＝3，
∴y2＝，
∵OE＝AD＝，
∴B的横坐标为，
代入y2＝得，y＝＝2，
∴B（，2）；
（2）设P（a，0），
∵S△BPE＝PE•BE＝，
解得a＝﹣或，
∴点P（﹣，0）或（，0），
设直线BP的解析式为y＝mx+n（m≠0），
①若直线过（，2），（﹣，0），
则 ，解得，
∴直线BP的解析式为y＝x+1；
②若直线过（，2），（，0），
则 ，解得，
∴直线BP的解析式为y＝﹣x+3；
综上，直线BP的解析式是y＝x+1或y＝﹣x+3．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，求得B点的坐标是解题的关键．
【考点3】反比例函数的实际应用
【例3】（2019·内蒙古中考真题）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时接通电源，水温（℃）与时间（）的关系如图所示：
（1）分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式；
（2）怡萱同学想喝高于50℃的水，请问她最多需要等待多长时间？
【答案】（1）与的函数关系式为： ，与的函数关系式每分钟重复出现一次；（2）她最多需要等待分钟；
【解析】（1）分情况当，当时，用待定系数法求解；（2）将代入，得，将代入，得，可得结果.
【详解】（1）由题意可得，
，
当时，设关于的函数关系式为：，
，得，
即当时，关于的函数关系式为，
当时，设，
，得，
即当时，关于的函数关系式为，
当时，，
∴与的函数关系式为： ，与的函数关系式每分钟重复出现一次；
（2）将代入，得，
将代入，得，
∵，
∴怡萱同学想喝高于50℃的水，她最多需要等待分钟；
【点睛】考核知识点：一次函数和反比例函数的综合运用.根据实际结合图象分析问题是关键.
【变式3-1】（2019·湖北中考真题）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬根撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）关于动力臂l（单位：）的函数解析式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据所给公式列式，整理即可得答案.
【详解】∵阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，
∴动力(单位：)关于动力臂(单位：)的函数解析式为：，
则，
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键.
【变式3-2】（2018·山东中考真题）春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒.在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过的集中药物喷洒，再封闭宿舍，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示.下面四个选项中错误的是（ ）
A．经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到
B．室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了
C．当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒.此次消毒完全有效
D．当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内
【答案】C
【解析】利用图中信息一一判断即可.
【详解】解: A、正确．不符合题意．
B、由题意x=4时，y=8，∴室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min，正确，不符合题意；
C、y=5时，x=2.5或24，24-2.5=21.5＜35，故本选项错误，符合题意；
D、正确．不符合题意，
故选C.
【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型.
【考点4】反比例函数与一次函数综合
【例4】（2019·辽宁中考真题）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象分别交于C，D两点，点C（2，4），点B是线段AC的中点．
（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出当x取什么值时，k1x+b＜．
【答案】（1）y1＝x+2；y2＝；（2）S△COD＝6；（3）当0＜x＜2或x＜﹣4时，k1x+b＜．
【解析】（1）把点C的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作轴于E，根据题意求得B的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）联立方程求得D的坐标，然后根据即可求得△COD的面积；
（3）根据图象即可求得时，自变量x的取值范围．
【详解】
（1）∵点C（2，4）在反比例函数y＝的图象上，
∴，
∴；
如图，作CE⊥x轴于E，
∵C（2，4），点B是线段AC的中点，
∴B（0，2），
∵B、C在的图象上，
∴ ，
解得，
∴一次函数为；
（2）由 ，
解得或，
∴D（﹣4，﹣2），
∴；
（3）由图可得，当0＜x＜2或x＜﹣4时，．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，方程组的解以及三角形的面积等，求得B点的坐标是解题的关键．
【变式4-1】（2019·广西中考真题）已知，一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据反比例函数图象确定b的符号，结合已知条件求得a的符号，由a,b的符号确定一次函数图象所经过的象限．
【详解】解：若反比例函数 经过第一、三象限，则 ．所以 ．则一次函数 的图象应该经过第一、二、三象限；
若反比例函数经过第二、四象限，则a<0．所以b>0．则一次函数的图象应该经过第二、三、四象限．
故选项A正确；
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
【变式4-2】（2019·四川中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4．
（1）分别求出和的值；
（2）结合图象直接写出的解集；
（3）在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标．
【答案】（1），；（2）或； （3）
【解析】（1）根据题意利用三角形面积公式求得，得到，将A代入反比例函数，求出反比例函数解析式，再把B代入解析式，即可解答
（2）根据函数图象结合解析式即可判断
（3）作点关于轴的对称点，直线与轴交于，得到 ，设直线的关系式为，把将 ，代入得到解析式，即可解答
【详解】（1）∵点，
∴，
∵，即，
∴，
∵点在第二象限，
∴ ，
将代入得：，
∴反比例函数的关系式为：，
把代入得：，
∴
因此，；
（2）由图象可以看出的解集为：或；
（3）如图，作点关于轴的对称点，直线与轴交于，
此时最大，
∵
∴
设直线的关系式为，将 ，代入得：
解得：，，
∴直线的关系式为，
当时，即，解得，
∴
【点睛】此题考查一次函数与反比例函数，解题关键在于把已知点代入解析式
【考点5】反比例函数与几何综合
【例5】（2019·山东中考真题）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，且.
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点为x轴上一点，是等腰三角形，求点的坐标.
【答案】（l） ， ；（2）、 ， ，
【解析】（1）根据可计算出A点的纵坐标，进而利用勾股定理计算出A点的横坐标，代入可得一次函数和反比例函数的解析式.
（2）根据题意可得有三种情况，一种是AB为底，一种是AB为腰，以A为顶点，一种是AB为腰，以B为顶点.
【详解】（l）过点作轴于点
∵
∴
∴
∵∴
在中，
∴∴
∵经过点 ∴ ∴
∴反比例函数表达式为
∵经过点，点
∴解得
∴一次函数表达式为
（2）本题分三种情况
①当以为腰，且点为顶角顶点时，可得点的坐标为、
②当以为腰，且以点为顶角顶点时，点关于的对称点即为所求的点
③当以为底时，作线段的中垂线交轴于点，交于点，则点即为所求
由（1）得，
在中，
∵
∴∴∴∴
∴
【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的综合性问题，关键在于第二问中的等腰三角形，要分AB为腰和底，为腰又要分顶点是A还是B.
【变式5-1】（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点在的延长线上，轴，垂足为，与反比例函数的图象相交于点，连接，．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若，设点的坐标为，求线段的长．
【答案】（1）；（2）3
【解析】（1）把点A（3，2）代入反比例函数y=，即可求出函数解析式；
（2）直线OA的关系式可求，由于点C（a，0），可以表示点B、D的坐标，根据
S△ACD=，建立方程可以解出a的值，进而求出BD的长．
【详解】解：
（1）∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数；
答：反比例函数的关系式为：；
（2）过点作，垂足为，连接，
设直线的关系式为，将代入得，，
∴直线的关系式为，
∵点，把代入，得：，把代入，得：，
∴），即，
，即
∵，
∴，即，解得：，
∴；
答：线段的长为3．
【点睛】考查正比例函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质，将点的坐标转化为线段的长，利用方程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法．
【变式5-2】（2019·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，顶点落在轴的正半轴上，对角线、交于点，点、恰好都在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】利用菱形的性质, 根据正切定义即可得到答案.
【详解】解：设，，
∵点为菱形对角线的交点，
∴，，，
∴，
把代入得，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，解得，
∴，
在中，，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于运用菱形的性质．
【达标训练】
1．（2019·山东中考真题）如图，直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，若S△AOB＝S△BOC＝1，则k＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】作CD⊥x轴于D，设OB=a（a＞0）．由S△AOB=S△BOC，根据三角形的面积公式得出AB=BC．根据相似三角形性质即可表示出点C的坐标，把点C坐标代入反比例函数即可求得k．
【详解】如图，作CD⊥x轴于D，设OB＝a（a＞0）．
∵S△AOB＝S△BOC，
∴AB＝BC．
∵△AOB的面积为1，
∴OA•OB＝1，
∴OA＝，
∵CD∥OB，AB＝BC，
∴OD＝OA＝，CD＝2OB＝2a，
∴C（，2a），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，
∴k＝×2a＝4．
故选D．
【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，会运用相似求线段长度是解题的关键．
2．（2019·辽宁中考真题）如图，点A在反比例函数y=(x＞0)的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C在y轴上，则△ABC的面积为( )
A．3 B．2 C． D．1
【答案】C
【解析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB=S△CAB，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAB=|k|，便可求得结果．
【详解】解：连结OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB=S△CAB，
而S△OAB=|k|=，
∴S△CAB=，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
3．（2019·四川中考真题）如图，一次函数和反比例函数的图象相交于，两点，则使成立的取值范围是( )
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【解析】根据图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可.
【详解】观察函数图象可发现：或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴使成立的取值范围是或，
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，函数与不等式，利用数形结合思想是解题的关键.
4．（2019·山东中考真题）函数与（）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可．
【详解】时，，在一、二、四象限，在一、三象限，无选项符合．
时，，在一、三、四象限，（）在二、四象限，只有D符合；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．
5．（2019·湖北中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，反比例函数（）的图象与线段相交于点，且是线段的中点，点关于直线的对称点的坐标为，若的面积为3，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】根据对称性求出C点坐标，进而得OA与AB的长度，再根据已知三角形的面积列出n的方程求得n，进而用待定系数法求得k．
【详解】∵点C关于直线y=x的对称点C'的坐标为（1，n）（n≠1），
∴C（n，1），
∴OA=n，AC=1，
∴AB=2AC=2，
∵△OAB的面积为3，
∴n×2＝3，
解得，n=3，
∴C（3，1），
∴k=3×1=3．
故选：D．
【点睛】本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，对称性质，关键是根据对称求得C点坐标及由三角形的面积列出方程．
6．（2019·贵州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为4，2，可得出横坐标，即可求得AE，BE的长，根据菱形的面积为2，求得AE的长，在Rt△AEB中，即可得出k的值．
【详解】过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，
∵A，B两点在反比例函数y（x＞0）的图象，且纵坐标分别为4，2，
∴A（，4），B（，2），
∴AE＝2，BEkkk，
∵菱形ABCD的面积为2，
∴BC×AE＝2，即BC，
∴AB＝BC，
在Rt△AEB中，BE1
∴k＝1，
∴k＝4．
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．
7．（2019·湖北中考真题）如图，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别与线段交于点，连接．若点关于的对称点恰好在上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据，可得矩形的长和宽，易知点的横坐标，的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有的代数式表示另外一个坐标，由三角形相似和对称，可用求出的长，然后把问题转化到三角形中，由勾股定理建立方程求出的值．
【详解】过点作，垂足为，设点关于的对称点为，连接，如图所示：
则，
易证
，
，
，
在反比例函数的图象上，
，
在中，由勾股定理：
即：
解得：
故选C．
【点睛】此题综合利用轴对称的性质，相似三角形的性质，勾股定理以及反比例函数的图象和性质等知识，发现与的比是是解题的关键．
8．（2019·吉林中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、的坐标分别是，，，则函数的图象经过点，则的值为（ ）
A． B．9 C． D．
【答案】D
【解析】根据、的坐标分别是可知，进而可求出，由，又可求，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点的坐标，再求出的值．
【详解】
解：过点作轴，垂足为，
∵的坐标分别是，
∴，
在中，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
∴代入得：，
故选：D．
【点睛】考核知识点：反比例函数与几何.数形结合分析是关键.
9．（2019·湖南中考真题）如图，⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为和，则阴影部分的面积是( )
A．4π B．3π C．2π D．π
【答案】C
【解析】根据反比例函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积，进而求出即可．
【详解】双曲线和的图象关于x轴对称，
根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，
并且扇形的圆心角为，半径为2，
所以：．
故选C．
【点睛】本题考查的是反比例函数，题目中的两条双曲线关于x轴对称，圆也是一个对称图形，可以得到图中阴影部分的面积等于圆心角为180°，半径为2的扇形的面积，用扇形面积公式计算可以求出阴影部分的面积．
10．（2019·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点，．若反比例函数经过点C，则k的值等于（ ）
A．10 B．24 C．48 D．50
【答案】C
【解析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点，将点C坐标代入解析式可求k的值．
【详解】解：如图，过点C作于点E，
∵菱形OABC的边OA在x轴上，点，
∴，
∵．
∴，
∴
∴点C坐标
∵若反比例函数经过点C，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关键是求出点C坐标．
11．（2019·湖北中考真题）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点恰好分别落在函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】点落在函数，的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案．
【详解】过点分别作轴，轴，垂足为，
点在反比例函数上，点在上，
又
，
设则
在
故选
【点睛】考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角边与斜边的比，求出sin∠ABO的值．
12．（2019·山东中考真题）如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y=（k＞0）经过A、E两点，若平行四边形AOBC的面积为24，则k的值是（ ）
A．8 B．7.5 C．6 D．9
【答案】A
【解析】设出点A的横坐标为x，根据点A在双曲线y=（k＞0）上，表示出点A的纵坐标，从而表示出点A的坐标，再根据点B在x轴上设出点B的坐标为（a，0），然后过A作AD⊥OB于D，EF⊥OB于F，如图，根据平行四边形的性质对角线互相平分得到点E为AB的中点，又EF∥AD，得到EF为△ABD的中位线，可得EF为AD的一半，而AD为A的纵坐标，可得出EF的长，由OB-OD可得BD的长，根据F为BD的中点，得到FB的长，由OB-FB可得出OF的长，由E在第一象限，由EF和OF的长表示出E的坐标，代入反比例解析式中，得到a=3x，再由BO与AD的积为平行四边形的面积，表示出平行四边形的面积，根据平行四边形AOBC的面积为24，列出等式，将a=3x代入可得出k的值．
【详解】设A（x，），B（a，0），过A作AD⊥OB于D，EF⊥OB于F，如图，
由平行四边形的性质可知AE=EB，
再EF为△ABD的中位线，
由三角形的中位线定理得：
则E
∵E在双曲线上，
∴
∴a=3x，
∵平行四边形的面积是24，
∴
解得：k=8．
故选：A
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及的知识有：平行线的性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行四边形及三角形的面积公式，以及点坐标与线段的关系，是一道综合性较强的题，本题的突破点是作出如图的辅助线，建立点坐标与线段长度的联系．
13．（2019·山东中考真题）如图，点A的坐标是(-2,0)，点B的坐标是(0,6)，C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到．若反比例函数的图象恰好经过的中点D，则k的值是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】C
【解析】作轴于证明≌，推出，，求出点坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题．
【详解】解：作轴于．
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵点的坐标是，点的坐标是，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
14．（2019·辽宁中考真题）如图，将一个含30°角的三角尺ABC放在直角坐标系中，使直角顶点C与原点O重合，顶点A，B分别在反比例函数y＝﹣和y＝的图象上，则k的值为___．
【答案】12．
【解析】过A作AE⊥y轴于E过B作BF⊥y轴于F，通过△AOE∽△BOF，得到，设，于是得到AE=-m，，从而得到，，于是求得结果．
【详解】解：过作轴于过作轴于，
，，
，
，
，
，
，
设，
，，
，，
，
．
故答案为：12．
【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于作辅助线和利用三角函数进行解答.
15．（2019·青海中考真题）如图，是反比例函数图象上的一点，过点向轴作垂线交于点，连接．若图中阴影部分的面积是，则此反比例函数的解析式为_____．
【答案】．
【解析】根据反比例函数系数的几何意义可知，的面积，再根据图象所在象限求出的值即可．
【详解】解：依据比例系数的几何意义可得，
面积等于，
即，
，
由于函数图象位于第一、三象限，则，
反比例函数的解析式为；
故答案为．
【点睛】本题考查反比例系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．
16．（2019·湖北中考真题）如图，一直线经过原点，且与反比例函数相交于点、点，过点作轴，垂足为，连接．若面积为，则_____．
【答案】8
【解析】首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于4，然后由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于，从而求出k的值．
【详解】解：反比例函数与正比例函数的图象相交于、两点，
两点关于原点对称，
，
的面积的面积，
又是反比例函数图象上的点，且轴于点，
的面积，
，
，
．
故答案为．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的比例系数k的几何意义，解题关键在于得出O为线段AB的中点．
17．（2019·湖北中考真题）如图，双曲线经过矩形OABC的顶点，双曲线交，于点，，且与矩形的对角线交于点，连接.若，则的面积为__________.
【答案】.
【解析】设，根据题意，，，即可得出，，解得，由，，求得、，然后根据三角形面积公式得到进行求解即可.
【详解】设，
∵，
∴，，
∴，
∵双曲线经过矩形的顶点，
∴，
∴，
∵双曲线经过点，
∴
∴双曲线，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题考查了反比例系数 的几何意义和反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面积等，表示出各个点的坐标是解题的关键．
18．（2019·四川中考真题）如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点，分别交，于点、．若四边形的面积为12，则的值为______．
【答案】4
【解析】本题可从反比例函数图象上的点、、入手，分别找出、、的面积与的关系，列出等式求出值．
【详解】∵、、位于反比例函数图象上，
∴，，
过点作轴于点，作轴于点，
∴四边形ONMG是矩形，
∴，
∵为矩形对角线的交点，
∴，
∵函数图象在第一象限，
∴，
∴++S四边形ODBE=，
解得：．
故答案为：4
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．
19．（2019·贵州中考真题）如图，直线轴于点，且与反比例函数（）及（）的图象分别交于、两点，连接、，已知的面积为4，则________．
【答案】8．
【解析】根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为，然后两个三角形面积作差即可求出结果．
【详解】解：根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为，
∴的面积为，∴，∴.
故答案为8．
【点睛】本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是正确理解的几何意义，本题属于基础题型．
20．（2019·湖北中考真题）如图，矩形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，为的中点，反比例函数的图象经过点，且与交于点，连接，，，若的面积为3，则的值为______．
【答案】
【解析】设点的坐标为，则的坐标为，，由点D在反比例函数的图象上，可得，继而根据进行求解即可得.
【详解】∵四边形是矩形，
∴，，
设点的坐标为，则的坐标为，
∵为的中点，
∴，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
21．（2019·四川中考真题）如图，A、B两点在反比例函数的图象上，C、D两点在反比例函数的图象上，轴于点E，轴于点F，，则_____．
【答案】4
【解析】设出由坐标转化线段长，从而可求出结果等于4．
【详解】解：设，则
，
得
同理：，得
又
解得：
【点睛】考查反比例函数上点的坐标关系，根据坐标转化线段长是解题关键．
22．（2019·浙江中考真题）如图，已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点和点，分别交反比例函数，的图象于点和点，过点作轴于点，连结. 若的面积与的面积相等，则的值是_____.
【答案】2.
【解析】过点作轴于.根据k的几何意义，结合三角形面积之间的关系，求出交点D的坐标，代入即可求得k的值．
【详解】如图，过点作轴于.
把y=0代入得：x=2，故OA=2
由反比例函数比例系数的几何意义，
可得，.
∵，
∴，
∴.
易证，从而，即的横坐标为，而在直线上，
∴
∴.
故答案为：2
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，反比例函数“k“的几何意义，一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，关键是根据两个三角形的面积相等列出k的方程．
23．（2019·浙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，将沿轴翻折，使点落在轴上的点处，点恰好为的中点，与交于点.若图象经过点，且，则的值为____.
【答案】24.
【解析】作，作，设，，由翻折的性质得：，根据全等三角形性质得，结合题意可得，，由平行四边形性质得，，，，，根据相似三角形判定和性质得，从而得，由三角形面积公式得，即，将点坐标代入反比例函数解析式即可求得k值.
【详解】作，作，如图，设，，
依题可得：，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴即，
∴，
∵在反比例函数上，
∴.
故答案为：24.
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，折叠的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与y轴交于点C，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A，B两点，点A在第一象限，纵坐标为4，点B在第三象限，BM⊥x轴，垂足为点M，BM＝OM＝2．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）连接OB，MC，求四边形MBOC的面积．
【答案】（1）y＝，y＝2x+2；（2）四边形MBOC的面积是4．
【解析】（1）根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得反比例函数的解析式，进而求得点A的坐标，从而可以求得一次函数的解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式可以求得点C，从而可以求得四边形MBOC是平行四边形，根据面积公式即可求得．
【详解】解：（1）∵BM＝OM＝2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B，
则﹣2＝，得k＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点A的纵坐标是4，
∴4＝，得x＝1，
∴点A的坐标为（1，4），
∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象过点A（1，4）、点B（﹣2，﹣2），
∴，解得，
即一次函数的解析式为y＝2x+2；
（2）∵y＝2x+2与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
∵点B（﹣2，﹣2），点M（﹣2，0），
∴OC＝MB＝2，
∵BM⊥x轴，
∴MB∥OC，
∴四边形MBOC是平行四边形，
∴四边形MBOC的面积是：OM•OC＝4．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和反比例函数的性质解答．
25．（2019·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过等边三角形的顶点，，点在反比例函数图象上，连接.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若四边形的面积是，求点的坐标.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）先求出B的坐标，根据系数k的几何意义即可求得k=，从而求得反比例函数的表达式；
（2）根据题意可，求出，再设，求出t，即可解答
【详解】（1），
反比例函数的表达式为
（2）
设
【点睛】此题考查了反比例函数解析式，不规则图形面积.，解题关键在于求出B的坐标
26．（2019·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像在第二象限交于点，与轴交于点，点在轴上，满足条件：，且，点的坐标为，。
（1）求反比例函数的表达式；
（2）直接写出当时，的解集。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）过点B作BH⊥x轴于点H，证明≌得到BH与CH的长度，便可求得B点的坐标，进而求得反比例函数解析式；
（2）观察函数图象，当一次函数图象在反比例函数图象下方时的自变量x的取值范围便是结果．
【详解】解：（1）如图作轴于点
则
∴
∵点的坐标为
∴
∵
∴，
在和中
有
∴≌
∴，
∴，即
∴
∴反比例函数解析式为
（2）因为在第二象限中，点右侧一次函数的图像在反比例函数图像的下方,
所以当时，的解集为.
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握函数解析式的求法以及利用数形结合根据函数图象的上下位置关系得出不等式的解集是重点．
27．（2019·湖南中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且的面积为5，求点P的坐标．
【答案】（1） （2）P的坐标为或
【解析】（1）利用点A在上求a，进而代入反比例函数求k即可；
（2）设，求得C点的坐标，则，然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可．
【详解】（1）把点代入，得，
∴
把代入反比例函数，
∴；
∴反比例函数的表达式为；
（2）∵一次函数的图象与x轴交于点C，
∴，
设，
∴，
∴，
∴或，
∴P的坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键．
28．（2019·贵州中考真题）如图，一次函数y＝kx+b(k，b为常数，k≠0)的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3.
(1)求一次函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)写出不等式kx+b＞﹣的解集.
【答案】(1) y＝﹣x﹣1；(2)△AOB的面积为；(3) x＜﹣4或0＜x＜3.
【解析】（1）先根据A点的横坐标与B点的纵坐标都是3，求出A,B，再把A,B的值代入解析式即可解答
（2）先求出C的坐标，利用三角形的面积公式即可解答
（3）一次函数大于反比例函数即一次函数的图象在反比例函数的图象的上边时，对应的x的取值范围；
【详解】(1)∵一次函数y＝kx+b(k，b为常数，k≠0)的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，
且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3，
∴，
解得：x＝﹣4，
y＝﹣＝﹣4，
故B(﹣4，3)，A(3，﹣4)，
把A，B点代入y＝kx+b得：
，
解得：，
故直线解析式为：y＝﹣x﹣1；
(2)y＝﹣x﹣1，当y＝0时，x＝﹣1，
故C点坐标为：(﹣1，0)，
则△AOB的面积为：×1×3+×1×4＝；
(3)不等式kx+b＞﹣的解集为：x＜﹣4或0＜x＜3.
【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于把已知点代入解析式
29．（2019·江苏中考真题）如图，点和点是反比例函数图象上的两点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接．已知与的面积满足．
（1）＝ _____，＝ _____；
（2）已知点在线段上，当时，求点的坐标．
【答案】（1）3，8；（2）.
【解析】（1）由一次函数解析式求得点B的坐标，易得OB的长度，结合点A的坐标和三角形面积公式求得S△OAB=3，所以S△ODE=4，由反比例函数系数k的几何意义求得m的值；
（2）利用待定系数法确定直线AC函数关系式，易得点C的坐标；利用∠PDE=∠CBO，∠COB=∠PED=90°判定△CBO∽△PDE，根据该相似三角形的对应边成比例求得PE、DE的长度，易得点D的坐标．
【详解】（1）由一次函数知，．
又点A的坐标是，
．
．
．
∵点是反比例函数图象上的点，
，则．
（2）由（1）知，反比例函数解析式是．
，即．
故，将其代入得到：．
解得．
∴直线的解析式是：．
令，则，
，
．
．
由（1）知，．
设，则，．
，，
，
，即①，
又②．
联立①②，得（舍去）或．
故．
【点睛】考查了反比例函数综合题，需要掌握待定系数法确定函数关系式，函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式，相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，但是难度不是很大．
30．（2019·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点，与反比例函数在第二象限内的图象相交于点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求的面积；
（3）设直线CD的解析式为，根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】（1））；（2）的面积为18；（3）或．
【解析】（1）将点A（-1，a）代入反比例函数求出a的值，确定出A的坐标，再根据待定系数法确定出一次函数的解析式；
（2）根据直线的平移规律得出直线CD的解析式为y=-x-2，从而求得D的坐标，联立方程求得交点C、E的坐标，根据三角形面积公式求得△CDB的面积，然后由同底等高的两三角形面积相等可得△ACD与△CDB面积相等；
（3）根据图象即可求得．
【详解】（1））∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵点，
∴设直线AB的解析式为，
∵直线AB过点，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为；
（2）∵将直线AB向下平移9个单位后得到直线CD的解析式为，
∴，
∴，
联立，解得或，
∴，，
连接AC，则的面积，
由平行线间的距离处处相等可得与面积相等，
∴的面积为18．
（3）∵，，
∴不等式的解集是：或．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
31．（2019·四川中考真题）一次函数的图象经过点，．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)若该一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，且，求的值．
【答案】(1)一次函数解析式为： ；(2)．
【解析】(1)利用待定系数法进行求解即可；
(2)联立一次函数解析式与反比例函数解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系可得，x1x2=-，再由求得x1、x2的值即可求得答案.
【详解】(1)由题意得： ，
解得： ，
一次函数解析式为： ；
(2)联立，消去得： ，
则，x1x2=-，
又∵，
∴，
∴2×(-3)=-，
∴m=12.
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合题，涉及了待定系数法，一元二次方程根与系数的关系等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
32．（2019·山东中考真题）如图，中，顶点的坐标是，轴，交轴于点，顶点的纵坐标是-4，的面积是24．反比例函数的图象经过点和，求：
（1）反比例函数的表达式；（2）所在直线的函数表达式．
【答案】（1）；（2）
【解析】(1)根据题意得出，结合平行四边形的面积得出，继而知点坐标，从而得出反比例函数解析式；
(2)先根据反比例函数解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解可得．
【详解】(1)∵顶点的坐标是，顶点的纵坐标是-4，
∴，
又的面积是24，
∴，
则，
∴，
∴反比例函数解析式为；
(2)由题意知的纵坐标为-4，
∴其横坐标为-2，
则，
设所在直线解析式为，
将、代入，得：，
解得：，
所以所在直线解析式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式及待定系数法求反比例函数和一次函数解析式的方法．
33．（2019·甘肃中考真题）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于两点
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)已知点，过点作平行于轴的直线，在第一象限内交一次函数的图象于点，交反比例函数上的图象于点．若，结合函数图象直接写出的取值范围．
【答案】(1) ；(2)
【解析】(1)利用待定系数法即可求得；
(2)根据图象可解．
【详解】解：(1)∵反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于两点，
∴，
∴，
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为；
(2)由图象可得：当时，．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．
34．（2019·河北中考真题）长为的春游队伍，以的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置开始行进的时间为，排头与的距离为
（1）当时，解答：
①求与的函数关系式（不写的取值范围）；
②当甲赶到排头位置时，求的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置的距离为，求与的函数关系式（不写的取值范围）
（2）设甲这次往返队伍的总时间为，求与的函数关系式（不写的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．
【答案】（1）①；②；（2）与的函数关系式为：，此时队伍在此过程中行进的路程为．
【解析】（1）①排头与O的距离为S头（m）．等于排头行走的路程+队伍的长300，而排头行进的时间也是t（s），速度是2m/s，可以求出S头与t的函数关系式；
②甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出，代入求S即可；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m）是在S的基础上减少甲返回的路程，而甲返回的时间=总时间t－甲从排尾赶到排头的时间，于是可以求S甲与t的函数关系式；
（2）甲这次往返队伍的总时间为T（s），是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排尾用时的和，可以根据追及问题和相遇问题的数量关系得出结果；在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程=队伍速度×返回时间．
【详解】（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），∴S头=2t+300；
②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v﹣v）=300÷v=300÷2=150 s，此时S头=2t+300=600 m，甲返回时间为：（t﹣150）s，∴S甲=S头﹣S甲回=2×150+300﹣4（t﹣150）=﹣4t+1200；
因此，S头与t的函数关系式为S头=2t+300，当甲赶到排头位置时，S的值为600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲=﹣4t+1200．
（2）T=t追及+t返回，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v400；
因此T与v的函数关系式为：T，此时队伍在此过程中行进的路程为400m．
【点睛】本题考查了行程问题中相遇、追及问题，同时还考查了函数思想方法的应用，切实理解变量之间的变化关系，由于时间有重合的部分，容易出现错误．
35．（2019·四川中考真题）如图，直线与双曲线相交于点A，且，将直线向左平移一个单位后与双曲线相交于点B，与x轴、y轴分别交于C、D两点．
（1）求直线的解析式及k的值；
（2）连结、，求的面积．
【答案】（1）直线的解析式为，k=1；（2）2.
【解析】（1）根据平移的性质即可求得直线的解析式，由直线和即可求得A的坐标，然后代入双曲线求得k的值；
（2）作轴于E，轴于F，联立方程求得B点的坐标，然后根据，求得即可．
【详解】解：（1）根据平移的性质，将直线向左平移一个单位后得到，
∴直线的解析式为，
∵直线与双曲线相交于点A，
∴A点的横坐标和纵坐标相等，
∵，
∴，
；
（2）作轴于E，轴于F，
解得或
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，属于中考常考题型．
36．（2019·四川中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A与点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接，且过点P作y轴的平行线交直线于点C，连接，若的面积为3，求出点P的坐标．
【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）点P的坐标为或或．
【解析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）设点P的坐标为，利用三角形面积公式进行求解.
【详解】解：（1）将代入一次函数中得：
∴
将代入反比例函数中得：
∴反比例函数的表达式为；
（2）如图：
设点P的坐标为，则
∴，点O到直线的距离为m
∴的面积
解得：或或1或2
∵点P不与点A重合，且
∴
又∵
∴或1或2
∴点P的坐标为或或．
【点睛】本题考查反比例函数，解题的关键是熟练掌握反比例函数.
37．（2019·浙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上．已知．
（1）点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由．
（2）若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标．
（3）平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．
【答案】（1）点A在该反比例函数的图像上，见解析；（2）Q的横坐标是；（3）见解析.
【解析】（1）连接PC，过点P作轴于点H，由此可求得点P的坐标为（2，）；即可求得反比例函数的解析式为，连接AC，过点B作于点C，求得点A的坐标，由此即可判定点A是否在该反比例函数的图象上；（2）过点Q作轴于点M，设，则，由此可得点Q的坐标为，根据反比例函数图象上点的性质可得，解方程球队的b值，即可求得点Q的横坐标；（3）连接AP， ，，结合（1）中的条件，将正六边形ABCDEF先向右平移1个单位，再向上平移个单位（平移后的点B、C在反比例函数的图象上）或将正六边形ABCDEF向左平移2个单位（平移后的点E、F在反比例函数的图象上）.
【详解】解：（1）连接PC，过点P作轴于点H，
在正六边形ABCDEF中，点B在y轴上
和都是含有角的直角三角形，
，
点P的坐标为
反比例函数的表达式为
连接AC，过点B作于点C
，
，
点A的坐标为
当时，
所以点A在该反比例函数的图像上
（2）过点Q作轴于点M
六边形ABCDEF是正六边形，
设，则
点Q的坐标为
解得，
点Q的横坐标是
（3）连接AP，
，
平移过程：将正六边形ABCDEF先向右平移1个单位，再向上平移个单位，或将正六边形ABCDEF向左平移2个单位
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标相结合是解决问题的关系．
38．（2019·江苏中考真题）如图，为反比例函数(x>0)图象上的一点，在轴正半轴上有一点，.连接，，且.
(1)求的值；
(2)过点作，交反比例函数(x>0)的图象于点，连接交于点，求的值.
【答案】(1)k=12；(2).
【解析】(1)过点作交轴于点，交于点，易知OH长度，在直角三角形OHA中得到AH长度，从而得到A点坐标，进而算出k值；（2）先求出D点坐标，得到BC长度，从而得到AM长度，由平行线得到，所以
【详解】解：
(1)过点作交轴于点，交于点.
(2)
【点睛】本题主要考查反比例函数与相似三角形的综合问题，难度不大，解题关键在于求出k
39．（2019·广西中考真题）如图，菱形的边在轴上，点的坐标为，点在反比例函数（）的图象上，直线经过点，与轴交于点，连接，.
（1）求，的值；（2）求的面积.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）由菱形的性质可知，，点代入反比例函数，求出；将点代入，求出；
（2）求出直线与轴和轴的交点，即可求的面积；
【详解】解：（1）由已知可得，
∵菱形，
∴，，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
将点代入，
∴；
（2），
直线与轴交点为，
∴；
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数的图象及性质，菱形的性质；能够将借助菱形的边长和菱形边的平行求点的坐标是解题的关键.
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