七年级数学下册考点精练专题22 完全平方式及其应用

这是一份七年级数学下册考点精练专题22 完全平方式及其应用，共19页。

专题22 完全平方式及其应用
【例题讲解】阅读下列材料：
教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
【知识理解】
(1)若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为（    ）
A．4    B．8    C．    D．
(2)若多项式是一个完全平方式，那么常数m的值为________；
(3)配方：______；______；
【知识运用】
(4)通过配方发现，代数式有最小值，则最小值为______；
(5)利用配方法因式分解：____________；
(6)已知，则______、______；
(7)若，，则M______N（用“<、>”号填空）．
【详解】（1）解：∴k=±2×4=±8，故选：C
（2），∴m=4，故答案为：4；
（3），
，故答案为：19；；
（4），∵，∴，
故答案为：3；
（5）
故答案为：1；
（6），，
，∴且，解得：n=4，m=-4，故答案为：-4；4；
（7）M-N=(a+1)(a−3)-2(a−1)(a−2)=
===∴M 【综合解答】
1．若是一个完全平方式，则常数k的值为　　
A．6 B． C． D．无法确定
2．若多项式是一个完全平方式，则的值为（      ）
A． B． C．24 D．12
3．如果多项式是一个二项式的完全平方式，那么m的值为（    ）
A．6 B． C．10或 D．6或
4．如果是一个完全平方式，那么k的值是（    ）
A．3 B．±6 C．6 D．±3
5．若多项式4a2+ma+1是一个含a的完全平方式，则m等于（    ）
A．4 B．4或﹣4 C．2 D．2或﹣2
6．若能用完全平方公式因式分解，则的值为（    ）
A．±6 B．±12 C．-13或11 D．13或-11
7．若是完全平方式，则______．
8．已知多项式4x2－x＋1，它与某个单项式的和可以写成一个多项式的完全平方，则这个单项式是________．
9．多项式4a2+9加上一个单项式后，可化为一个多项式的平方，则这个单项式是______． （写一个即可）
10．若是完全平方式，则
11．若9x2－kxy＋4y2是一个完全平方式，则k的值是_______．
12．若是一个完全平方式，则_________．
13．多项式是一个完全平方式，则a=_______；
14．若x2﹣ax+16是一个完全平方式，则a＝_____．
15．若多项式是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式Q是_______．
16．把4x2＋1加上一个单项式，使其成为一个完全平方式．请你写出所有符合条件的单项式__________．
17．使得m2+m+7是完全平方数的所有整数m的积是______________．
18．关于x的二次三项式4x²+mx+1是完全平方式，则m=________
19．多项式x2+2mx+64是完全平方式，则m= ________ ．
20．如果多项式9x2＋1加上一个单项式M后能成为一个完全平方式，求这个单项式M.
21．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例1 用配方法因式分解：a2＋6a＋8．
原式＝ a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）．
例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值；
a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1；
∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1．
请根据上述自主学习材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2＋10a＋________；
(2)用配方法因式分解：a2－12a＋35．
(3)若M＝a2－3a+1，则M的最小值为________；
(4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，则a＋b＋c的值为________；
22．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对(a，b)与(c，d)．我们规定：(a，b)⊗(c，d)=a2+d2−bc．例如：(1，2)⊗(3，4)=12+42−2×3=11．

(1)若(2x，kx)⊗(y，−y)是一个完全平方式，求常数k的值；
(2)若2x+y=12，且(3x+y，2x2+3y2)⊗(3，x−3y)=104，求xy的值；
(3)在（2）的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF、EG．若AB=2x，BC=8x，CE=y，CG=4y，求图中阴影部分的面积．
23．教材原题解答:
已知是含字母的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，求．
解:根据完全平方公式，分两种情况:
当为含字母的一次单项式时，

．
当为含字母的四次单项式时，
则
为或或
问题发现:
由上面问题解答过程，我们可以得到下列等式:
．
观察等式的左边多项式的系数发现:．
爱学习的小明又进行了很多运算:等等，
发现同样有．
于是小明猜测:若多项式(是常数，)是某个含的多项式的平方，则系数一定存在某种关系
问题解决:
（1）请用代数式表示之间的关系；
（2）若多项式加上一个含字母y的单项式，就能变形为一个含的多项式的平方，请直接写出所有满足条件的单项式，
24．阅读下列材料
利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．将多项式-变形为的形式，然后由就可求出多项式的最大值．
例题：求的最小值．
解：．
因为不论取何值，总是非负数，即．所以．
所以当时，有最小值，且最小值是．
同理可求的最大值．
解：．
因为不论取何值，≥0，所以．所以．
所以当1时，有最大值，且最大值是4．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：－ ，所以的最小值为 ．
(2)已知是关于x的代数式，求的最大值（用含t的式子表示）．
(3)已知A、B是关于x的代数式，A=(6)(，B=2x（），求A－B的最值（用含a的式子表示）．
专题22 完全平方式及其应用
【例题讲解】阅读下列材料：
教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
【知识理解】
(1)若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为（    ）
A．4    B．8    C．    D．
(2)若多项式是一个完全平方式，那么常数m的值为________；
(3)配方：______；______；
【知识运用】
(4)通过配方发现，代数式有最小值，则最小值为______；
(5)利用配方法因式分解：____________；
(6)已知，则______、______；
(7)若，，则M______N（用“<、>”号填空）．
【详解】（1）解：∴k=±2×4=±8，故选：C
（2），∴m=4，故答案为：4；
（3），
，故答案为：19；；
（4），∵，∴，
故答案为：3；
（5）
故答案为：1；
（6），，
，∴且，解得：n=4，m=-4，故答案为：-4；4；
（7）M-N=(a+1)(a−3)-2(a−1)(a−2)=
===∴M 【综合解答】
1．若是一个完全平方式，则常数k的值为　　
A．6 B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【详解】解：是一个完全平方式，
，
解得：，
故选C．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
2．若多项式是一个完全平方式，则的值为（      ）
A． B． C．24 D．12
【答案】B
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式
∴
∴
∴
∴
故选B．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键．
3．如果多项式是一个二项式的完全平方式，那么m的值为（    ）
A．6 B． C．10或 D．6或
【答案】C
【分析】利用二项式的完全平方式的标准格式可得，系数相等，解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴或．
故选择：C．
【点睛】本题考查二项式的完全平方式，掌握二项式的完全平方式的标准格式，利用完全平方式的标准格式构造方程是解题关键．
4．如果是一个完全平方式，那么k的值是（    ）
A．3 B．±6 C．6 D．±3
【答案】B
【分析】根据完全平方式得出k＝±2×1×3，求出即可．
【详解】∵x2−kxy＋9y2是一个完全平方式，
∴x2−kxy＋9y2＝x2±2•x•3y＋（3y）2，即k＝±6，
故选：B．
【点睛】本题考查了对完全平方式的应用，注意：完全平方式有两个：a2＋2ab＋b2和a2−2ab＋b2．
5．若多项式4a2+ma+1是一个含a的完全平方式，则m等于（    ）
A．4 B．4或﹣4 C．2 D．2或﹣2
【答案】B
【分析】关于含有a、b的完全平方式有两个(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2，记作“首平方、尾平方、两倍首尾放中央”.
【详解】首为2a，尾为1，所以ma=+=+4a，所以m等于4或﹣4.
故选B.
【点睛】理解记忆完全平方式的形式.
6．若能用完全平方公式因式分解，则的值为（    ）
A．±6 B．±12 C．-13或11 D．13或-11
【答案】C
【分析】先找到平方项是与9，由此得到另一项的值，由此计算得到k的值即可.
【详解】∵能用完全平方公式因式分解，
∴平方项是与9，
∴=，
∴,
∴k= -13或11,
故选：C.
【点睛】此题考查完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式的计算方法及特点是解题的关键.
7．若是完全平方式，则______．
【答案】
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到的值．
【详解】解：是完全平方式，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8．已知多项式4x2－x＋1，它与某个单项式的和可以写成一个多项式的完全平方，则这个单项式是________．
【答案】或−3x或5x或．
【分析】根据完全平方公式分这个单项式可能是一次项，二次项或常数项三种情况分类讨论求值即可．
【详解】解：①若此单项式为一次项， 则4x2-x+1+ax=（2x±1）2，
解得a=-3或5，
∴此时这个单项式为-3x或5x；
②若此单项式为二次项， 则4x2-x+1+ax2=，
解得，
∴此时这个单项式为；
③若此单项式为常数项， 则4x2-x+1+a=，
解得， ∴此时这个单项式为；
故答案为：或−3x或5x或．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握全完平方公式是解题的关键．
9．多项式4a2+9加上一个单项式后，可化为一个多项式的平方，则这个单项式是______． （写一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】两个完全平方式：，根据完全平方式的特点可得答案．
【详解】解：

多项式4a2+9加上一个单项式或，可化为一个多项式的平方．
故答案为：或 （答案不唯一）
【点睛】本题考查的是完全平方式的特点，单项式的含义，掌握“完全平方式的特点”是解本题的关键．
10．若是完全平方式，则
【答案】
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【详解】∵是完全平方式，
∴，
∴，
故答案为：12
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数，熟记完全平方公式是解题关键．
11．若9x2－kxy＋4y2是一个完全平方式，则k的值是_______．
【答案】
【分析】根据完全平方式 分类讨论即可．
【详解】根据完全平方式分类讨论有：

∴
故答案为：
【点睛】本题考查完全平方公式，正确理解公式是解题关键．
12．若是一个完全平方式，则_________．
【答案】±4
【分析】将原式化简为：，为完全平方公式，则根据完全平方公式，从而求解出m
【详解】原式=
∵这个式子是完全平方公式
∴
  解得：m=±4
故答案为：±4
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键，注意容易漏掉“负解”．
13．多项式是一个完全平方式，则a=_______；
【答案】16
【分析】根据完全平方式的形式得出a=，再求出即可．
【详解】解：∵多项式是一个完全平方式
∴a==16
故答案为：16.
【点睛】本题主要考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：a2+2ab+b2和a2-2ab+b2．
14．若x2﹣ax+16是一个完全平方式，则a＝_____．
【答案】±8．
【分析】完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4的积的2倍．
【详解】∵x2-ax+16是一个完全平方式，
∴ax=±2•x×4=±8x，
∴a=±8．
【点睛】本题是根据完全平方公式的结构特征进行分析，对此类题要真正理解完全平方公式，并熟记公式，这样才能灵活应用．
本题易错点在于：是加上或减去两数乘积的2倍，在此有正负两种情况，要全面分析，避免漏解．
15．若多项式是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式Q是_______．
【答案】±4x , 4x4
【分析】根据题意可知本题是考查完全平方式，设这个单项式为Q，①如果这里首末两项是2x和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和1积的2倍，故Q = ±4x; ②如果如果这里首末两项是Q和1，则乘积项是4x2=2×2x2，所以Q = 4x4.
【详解】解：∵4x2 +1±4x = (2x±1)2
4x2+1+4x4 = (2x2+1)2;
∴加上的单项式可以是±4x , 4x4,中任意一个,
故答案为：±4x , 4x4.
【点睛】本题主要考查完全公式的有关知识，根据已知两个项分类讨论求出第三项是解题的关键.
16．把4x2＋1加上一个单项式，使其成为一个完全平方式．请你写出所有符合条件的单项式__________．
【答案】-1，4x，-4x，
【详解】试题分析：这个单项式为Q，如果这里首末两项是2x和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和1积的2倍，故；
如果这里首末两项是Q和1，则乘积项是，所以；
如果该式只有项或1，它也是完全平方式，所以．
∵；
；
；
．
∴加上的单项式可以是-1，4x，-4x，中任意一个．
考点：完全平方式
点评：本题比较复杂，需要我们全面考虑问题，首先考虑三个项分别充当中间项的情况，就有三种情况，还有就是第四种情况加上一个数，得到一个单独的单项式，也是可以成为一个完全平方式，这种情况比较容易忽略，要注意．
17．使得m2+m+7是完全平方数的所有整数m的积是______________．
【答案】84
【分析】将m2+m+7表示为k2的形式，然后转化可得出(2m+2k+1)(2m-2k+1)=-27，从而讨论可得出m的值，从而得到所有整数m的积．
【详解】设m2+m+7=k2，
∴m2+m+=k2，
∴(m+)2+=k2，
∴(m+)2-k2=-，
∴(m++k)(m+-k)=-，
∴(2m+2k+1)(2m-2k+1)=-27
∵k≥0（因为k2为完全平方数），且m与k都为整数，
∴①2m+2k+1=27，2m-2k+1=-1，解得：m=6，k=7；
②2m+2k+1=9，2m-2k+1=-3，解得：m=1，k=3；
③2m+2k+1=3，2m-2k+1=-9，解得：m=-2，k=3；
④2m+2k+1=1，2m-2k+1=-27，解得：m=-7，k=7．
所以所有m的积为6×1×（-2）×（-7）=84．
【点睛】本题考查完全平方数的知识，难度较大，关键是将m2+m+7表示为k2的形式，得到(2m+2k+1)(2m-2k+1)=-27，同时也要掌握讨论法的运用．
18．关于x的二次三项式4x²+mx+1是完全平方式，则m=________
【答案】±4
【详解】试题分析：根据完全平方式的特点，两个数的平方和加减两数积的2倍，因此可知这两个数为2x和1，因此积的2倍为4x，因此m=±4.
点睛：此题主要考查了完全平方式，解题时主要是根据完全平方式的特点，两个数的平方和加减两数积的2倍，先判断出两个数，然后确定积的2倍即可,
19．多项式x2+2mx+64是完全平方式，则m= ________ ．
【答案】±8
【详解】根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，中间是加减首尾积的2倍，
因此可知2mx=2×（±8）x，
所以m=±8．
故答案为±8．
【点睛】此题主要考查了完全平方式，解题时，要明确完全平方式的特点：首平方，尾平方，中间是加减首尾积的2倍，关键是确定两个数的平方．
20．如果多项式9x2＋1加上一个单项式M后能成为一个完全平方式，求这个单项式M.
【答案】M＝－1或M＝－9x2或M＝±6x或M＝x4.
【分析】先分完全平方式是单项式还是多项式，再分9x2是平方项与乘积二倍项分情况讨论，根据完全平方公式解答即可．
【详解】解：①当这个完全平方式是一个单项式的平方时，
则9x2＋1＋M是一个单项式，所以M＝－1或M＝－9x2.
②当这个完全平方式是一个二项式的平方时,
a.    当这个完全平方式形如M＋9x2＋1时，即9x2为两数乘积为2倍，因为9x2＝2·x2·1，所以M＝＝x4,
b.    当这个完全平方式形如9x2＋M＋1时，即M为两数乘积的2倍，因为9x2＝(3x)2，所以M＝±2·3x·1＝±6x,
c.    当这个完全平方式形如9x2＋1＋M时，即1为两数乘积的2倍，此时M不是一个整式，所以这种情况不存在．
综上所述，M＝－1或M＝－9x2或M＝±6x或M＝x4.
【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是要分情况讨论求解．
21．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例1 用配方法因式分解：a2＋6a＋8．
原式＝ a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）．
例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值；
a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1；
∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1．
请根据上述自主学习材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2＋10a＋________；
(2)用配方法因式分解：a2－12a＋35．
(3)若M＝a2－3a+1，则M的最小值为________；
(4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，则a＋b＋c的值为________；
【答案】(1)25；
(2)；
(3)；
(4)．

【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征判断即可；
（2）原式常数项35分为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式分求解即可；
（3）配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可；
（4）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出，，的值，代入原式计算即可．
（1）
解：；
故答案为：25；
（2）
解：



；
（3）
解：
，
当，即时，取最小值，最小值为；
故答案为：；
（4）
解：，
，
即，
，，，
，，，
解得：，，
则．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解分组分解法，解题的关键是熟练掌握各自的运算法则及公式．
22．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对(a，b)与(c，d)．我们规定：(a，b)⊗(c，d)=a2+d2−bc．例如：(1，2)⊗(3，4)=12+42−2×3=11．

(1)若(2x，kx)⊗(y，−y)是一个完全平方式，求常数k的值；
(2)若2x+y=12，且(3x+y，2x2+3y2)⊗(3，x−3y)=104，求xy的值；
(3)在（2）的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF、EG．若AB=2x，BC=8x，CE=y，CG=4y，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)k=±4；
(2)xy=10；
(3)S阴=128．

【分析】（1）根据新定义，求出(2x，kx)⊗(y，−y)，再根据完全平方式的特征，即可求出k；
（2）根据新定义，求出(3x+y，2x2+3y2)⊗(3，x−3y)=104的左边，从而得出方程，再配方将2x+y=12整体代入，即可求出xy；
（3）根据阴影部分的面积等于三角形BCD的面积-三角形BGF的面积-三角形CGE的面积-三角形DFE的面积，代入相关数据求解即可．
（1）
解：(2x，kx)⊗(y，−y)
=（2x）2+（-y）2-kx• y
=4x2-kxy+y2，
∵4x2-kxy+y2是一个完全平方式，
∴k=±4；
（2）
解：(3x+y，2x2+3y2)⊗(3，x−3y)
=（3x+y）2+（x-3y）2-3（2x2+3y2）
=9x2+6xy+y2+x2-6xy+9y2-6x2-9y2
=4x2+y2
=（2x+y）2-4xy=104，
∵2x+y=12，
∴122-4xy=104，
∴xy=10；
（3）
解：S△BDC=•2x•8x=8x2，
S△BGF= (8x−4y)•y=4xy−2y2，
S△DEF=•4y•(2x−y)=4xy−2y2，
S△GEC=•4y⋅y=2y2，
∴S阴=8x2−(4xy−2y2)−( 4xy−2y2)−2y2
=8x2−4xy+2y2−4xy+2y2−2y2
=2(4x2+y2−4xy)
=2[(2x+y) 2−8xy]，
∵2x+y=12，xy=10，
∴S阴=2(122−8×10)=128．
【点睛】本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的特征是本题的关键．
23．教材原题解答:
已知是含字母的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，求．
解:根据完全平方公式，分两种情况:
当为含字母的一次单项式时，

．
当为含字母的四次单项式时，
则
为或或
问题发现:
由上面问题解答过程，我们可以得到下列等式:
．
观察等式的左边多项式的系数发现:．
爱学习的小明又进行了很多运算:等等，
发现同样有．
于是小明猜测:若多项式(是常数，)是某个含的多项式的平方，则系数一定存在某种关系
问题解决:
（1）请用代数式表示之间的关系；
（2）若多项式加上一个含字母y的单项式，就能变形为一个含的多项式的平方，请直接写出所有满足条件的单项式，
【答案】（1）；（2）或或
【分析】（1）根据已知等式的规律得出b2＝4ac；
（2）利用题意和（1）所得的规律即可解答．
【详解】（1）根据题中所给等式，可得a、b、c的关系为：；
（2）解: 设这个含字母y的单项式是P，
根据完全平方公式，分两种情况:
当P为含字母y的一次单项式时，
∴9y2＋P＋4＝（3y）2＋P＋22，
∴P＝±2×3y·2＝±12y，
当P为含字母y的四次单项式时，
设P＝ay4，则多项式为P＋9y2＋4＝ay4＋9y2＋4＝a（y2）2＋9y2＋4
∴92＝4×a×4
∴a＝
即P＝
∴P为或或.
【点睛】本题考查了对完全平方公式的理解和应用，能根据完全平方公式得出b2＝4ac是解题的关键．
24．阅读下列材料
利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．将多项式-变形为的形式，然后由就可求出多项式的最大值．
例题：求的最小值．
解：．
因为不论取何值，总是非负数，即．所以．
所以当时，有最小值，且最小值是．
同理可求的最大值．
解：．
因为不论取何值，≥0，所以．所以．
所以当1时，有最大值，且最大值是4．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：－ ，所以的最小值为 ．
(2)已知是关于x的代数式，求的最大值（用含t的式子表示）．
(3)已知A、B是关于x的代数式，A=(6)(，B=2x（），求A－B的最值（用含a的式子表示）．
【答案】(1)5； -5
(2)t+16
(3)当＞0，有最大值6+ ；当=0，=6；当a＜0，有最小值6+

【分析】（1）原式配方后确定出所求，进而求出最小值即可；
（2）原式前两项提取−4变形后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质确定出最大值即可；
（3）把A与B代入A−B中化简，配方后确定出最值即可．
(1)
x2＋4x−1＝（x＋2）2−5，所以x2＋4x−1的最小值为−5．
故答案为：5；−5．
(2)
=．
∵不论取何值，总是非负数，
∴，
∴0，
∴+16，
∴当2时，有最大值，最大值是t+16．
(3)
，
，
=+6+，
当＞0，有最大值6+；
当=0，=6；
当a＜0，有最小值6+．
【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．