七年级数学下册考点精练专题32 配方法因式分解及其应用

这是一份七年级数学下册考点精练专题32 配方法因式分解及其应用，共27页。

专题32 配方法因式分解及其应用
【例题讲解】阅读材料利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解
例如
根据以上材料，解答下列问题．
(1)分解因式（利用公式法）：；
(2)已知的三边长a，b，c，且满足，求的最大边c的取值范围．
(3)已知，，试比较P，Q的大小．
（1）解：；
（2）解：∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∵c是最大边，∴；
（3）解：∵，，
∴，
，∵，∴，
∴，∴．
【综合解答】
1．阅读材料：利用完全平方公式可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，利用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如：．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)分解因式（利用配方法）：；
(2)求多项式的最小值；
(3)比较与的大小，并说明理由．
2．阅读材料：将多项式因式分解．
原式＝
＝
＝
＝．
这种因式分解的方法叫做配方法，它在代数求值、解方程、求代数极值等方面都有广泛的运用。比如在上述解题过程中，
∵≥0
∴≥-1
即的最小值是-1
请根据对上述阅读材料的理解解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：________；
(2)用配方法因式分解：，并直接写出它的最小值；
(3)解分式方程：．
3．对于形如可用“配方法”将它分解成的形式，如在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，它不会改变整个式子的值，其变化过程如下：
像这种“因式分解”的方法称为“配方法”请完成下列问题：
(1)利用“配方法”分解因式：；
(2)已知是的三边长，且满足，求的周长；
(3)在实数范围内，请比较多项式与的大小，并说明理由．
4．教材中这样写道：“我们把多项式a2＋2ab＋b2及a2﹣2ab＋b2叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2＋2x﹣3
原式＝（x2＋2x＋1）﹣4＝（x＋1）2﹣4＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1）；
例如：求代数式x2＋4x＋6的最小值
原式＝x2＋4x＋4＋2＝（x＋2）2＋2，∵（x＋2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，x2＋4x＋6有最小值是2
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：m2﹣4m﹣5＝　 　；
(2)求代数式x2﹣6x＋12的最小值；
(3)若y＝﹣x2＋2x﹣3，当x＝　 　．时，y有最   值（填“大”或“小”）， 这个值是　 　；
(4)当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2＋b2＋c2﹣6a﹣10b﹣8c＋50＝0时，判断△ABC的形状并说明理由．
5．阅读与思考
配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．
例如：
（1）解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解
①；
②
（2）深入研究：说明多项式的值总是一个正数?
（3）拓展运用：已知a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由．
6．老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：
∵
即当时，的值最小，最小值是0，
∴
当时，的值最小，最小值是1，
∴的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）当______时，代数式的最小值是______；
（2）若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______；
（3）若，求的最小值．
7．【阅读材料】
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
原式＝a2+6a+9－1＝(a+3) 2－1＝(a+3－1)( a+3+1)＝(a+2)(a+4)
②求x2+6x+11的最小值．
解：x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝(x+3) 2+2；
由于(x+3) 2≥0，
所以(x+3) 2+2≥2，
即x2+6x+11的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　 　；
(2)用配方法因式分解：a2－12a+35；
(3)用配方法因式分解：x4+4；
(4)求4x2+4x+3的最小值．
8．阅读并解答：
在分解因式 x2+2x-3 时，岳老师讲了如下方法




（1）仿照上例分解因式：
观察发现：



按照这个规律可以推导出：
（2）得到结论：若为常数，，，则 =
问题解决：
（3）利用（2）的结论，将下列多项式分解因式：①；②．
9．阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：



根据以上材料，解答下列问题：
（1）用多项式的配方法将化成的形式；
（2）利用上面阅读材料的方法，把多项式进行因式分解；
（3）求证：，取任何实数时，多项式的值总为正数．
10．阅读材料：
把代数式通过配凑等手段得到局部完全平方式，再进行有关计算和解题，这种解题方法叫做配方法
如（1）用配方法分解因式：
解：原式=


=
（2）M=，利用配方法求M的最小值
解：M=

=

当时，M有最小值1
请根据上述材料，解决下列问题：
（1）在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：
（2）用配方法分解因式：
（3）若M=，求M的最小值．
专题32 配方法因式分解及其应用
【例题讲解】阅读材料利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解
例如
根据以上材料，解答下列问题．
(1)分解因式（利用公式法）：；
(2)已知的三边长a，b，c，且满足，求的最大边c的取值范围．
(3)已知，，试比较P，Q的大小．
（1）解：；
（2）解：∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∵c是最大边，∴；
（3）解：∵，，
∴，
，∵，∴，
∴，∴．
【综合解答】

1．阅读材料：利用完全平方公式可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，利用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如：．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)分解因式（利用配方法）：；
(2)求多项式的最小值；
(3)比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)多项式的最小值为；
(3)，理由见解析．

【分析】（1）根据题意，先利用完全平方公式进行配方，再利用平方差公式进行因式分解即可得到答案；
（2）利用完全平方公式进行配方，根据平方的非负性即可得出答案；
（3）先将两个多项式相减，再利用平方的非负性即可得到答案．
【详解】（1）解： ；
（2）解：
，
，
当时，即时，多项式有最小值，
多项式的最小值为；
（3）解：，理由如下：
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了完全平方公式，平方差公式，平方的非负性，熟练掌握两个公式及其特点是解题关键．
2．阅读材料：将多项式因式分解．
原式＝
＝
＝
＝．
这种因式分解的方法叫做配方法，它在代数求值、解方程、求代数极值等方面都有广泛的运用。比如在上述解题过程中，
∵≥0
∴≥-1
即的最小值是-1
请根据对上述阅读材料的理解解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：________；
(2)用配方法因式分解：，并直接写出它的最小值；
(3)解分式方程：．
【答案】(1)25
(2)，最小值为
(3)或

【分析】（1）加一次项系数10的一半的平方25即可；
（2）仿照例题进行配方，分解因式并求最小值；
（3）先去分母，再解整式方程，最后检验．
【详解】（1）∵
∴常数项为25，
故答案为：25；
（2）
=
=
=
=，
∵，
∴的最小值为；
（3）
去分母得：，
解这个整式方程得：或，
经检验：或都是原分式方程的解．
【点睛】本题考查了因式分解的应用及解方程，配方法是解题的关键．
3．对于形如可用“配方法”将它分解成的形式，如在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，它不会改变整个式子的值，其变化过程如下：
像这种“因式分解”的方法称为“配方法”请完成下列问题：
(1)利用“配方法”分解因式：；
(2)已知是的三边长，且满足，求的周长；
(3)在实数范围内，请比较多项式与的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)12
(3)；见解析

【分析】（1）在原式中先加一项，再减去，用完全平方公式对式子进行因式分解，最后利用平方差公式再进行一次因式分解即可；
（2）根据题目中的式子，利用配方法进行因式分解，再利用非负数的性质求出的值，算出的周长即可；
（3）将两式作差，和比较大小即可得到结论．
【详解】（1）解：原式



（2）解：，
，
则，
是的三边长，
，
；
（3）解：




∵，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查配方法，掌握因式分解，熟记完全平方公式是解题关键．
4．教材中这样写道：“我们把多项式a2＋2ab＋b2及a2﹣2ab＋b2叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2＋2x﹣3
原式＝（x2＋2x＋1）﹣4＝（x＋1）2﹣4＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1）；
例如：求代数式x2＋4x＋6的最小值
原式＝x2＋4x＋4＋2＝（x＋2）2＋2，∵（x＋2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，x2＋4x＋6有最小值是2
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：m2﹣4m﹣5＝　 　；
(2)求代数式x2﹣6x＋12的最小值；
(3)若y＝﹣x2＋2x﹣3，当x＝　 　．时，y有最   值（填“大”或“小”）， 这个值是　 　；
(4)当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2＋b2＋c2﹣6a﹣10b﹣8c＋50＝0时，判断△ABC的形状并说明理由．
【答案】(1)（m+1）（m-5）
(2)3
(3)1,-2
(4)△ABC是直角三角形．

【分析】（1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解．
（2）凑成完全平方加一个数值的形式．
（3）与（2）类似，凑成完全平方加以一个数值的形式．
（4）先因式分解，判断字母a、b、c三边的关系，再判定三角形的形状．
(1)
m2-4m-5=m2-4m+4-4-5
=（m-2）2-9
=（m-2+3）（m-2-3）
=（m+1）（m-5）．
故答案为：（m+1）（m-5）．
(2)
x2-6x+12
=x2-6x+9+3
=（x-3）2+3；
∵（x-3）2≥0
∴x2-6x+12的最小值是3．
故答案为；3．
(3)
y=-x2+2x-3，
=-x2+2x-1-2，
=-（x-1）2-2，
∵（x-1）2
∴当x=1的时候，y有最大值-2．
故答案为：若y=-x2+2x-3，当x=1时，y有最大值，这个值是-2．
(4)
a2+b2+c2-6a-10b-8c+50=0，
a2-6a+9+b2-10b+25+c2-8c+16=0，
（a-3）2+（b-5）2+（c-4）2=0，
三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0．
a-3=0，b-5=0，c-4=0，
得，a=3，b=5，c=4．
∴
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：△ABC是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，将多项式配方，再利用非负数的性质解答是解题的关键．要熟练根据三角形三边关系判断三角形得形状．
5．阅读与思考
配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．
例如：
（1）解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解
①；
②
（2）深入研究：说明多项式的值总是一个正数?
（3）拓展运用：已知a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）等边三角形，理由见解析
【分析】（1）仿照例子运用配方法进行因式分解即可；
（2）利用配方法和非负数的性质进行说明即可；
（3）展开后利用分组分解法因式分解后利用非负数的性质确定三角形的三边的关系即可．
【详解】解：（1）①
．
②

（2）
∵
∴
∴多项式的值总是一个正数．
（3）为等边三角形．
理由如下：∵
∴
∴
∴，
∴
∴为等边三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细阅读材料理解配方的方法．
6．老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：
∵
即当时，的值最小，最小值是0，
∴
当时，的值最小，最小值是1，
∴的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）当______时，代数式的最小值是______；
（2）若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______；
（3）若，求的最小值．
【答案】（1）3，3；  （2）1，大，；  （3）当时，的最小值为．
【分析】（1）利用配方法把原式变形，可确定最小值；
（2）将函数解析式配方后即可确定当x取何值时能取到最小值；
（3）首先得到有关x+y的函数关系式，然后配方确定最小值即可．
【详解】（1）∵，
∴当时，有最小值3；
故答案为3，3．
（2）∵，
∴当时最大值；
故答案为1，大，．
（3）∵
∴，
∵，
∴，
∴当时，的最小值为．
【点睛】本题考查了配方法的应用及非负数的性质，解题的关键是能够对二次三项式进行配方．
7．【阅读材料】
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
原式＝a2+6a+9－1＝(a+3) 2－1＝(a+3－1)( a+3+1)＝(a+2)(a+4)
②求x2+6x+11的最小值．
解：x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝(x+3) 2+2；
由于(x+3) 2≥0，
所以(x+3) 2+2≥2，
即x2+6x+11的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　 　；
(2)用配方法因式分解：a2－12a+35；
(3)用配方法因式分解：x4+4；
(4)求4x2+4x+3的最小值．
【答案】(1)；(2) ；(3) ；(4)
【分析】(1)由 从而可得答案；
(2)由化为两数的平方差，再利用平方差公式分解，从而可得答案；
(3)由化为两数的平方差，再利用平方差公式分解即可；
(4)由 化为一个非负数与一个常数的和，再利用非负数的性质求解最小值即可．
【详解】解：(1)
故答案为：
(2)



(3)


(4)



的最小值是
【点睛】本题考查的是配方法的应用，同时考查了完全平方公式与平方差公式，掌握用配方法分解因式，求最值是解题的关键．
8．阅读并解答：
在分解因式 x2+2x-3 时，岳老师讲了如下方法




（1）仿照上例分解因式：
观察发现：



按照这个规律可以推导出：
（2）得到结论：若为常数，，，则 =
问题解决：
（3）利用（2）的结论，将下列多项式分解因式：①；②．
【答案】（1）；（2），；（3）①；②
【分析】（1）仿照材料中的方法，运用配方法和平方差公式可解决问题；
（2）把、值带入因式，再结合（1）推导出的公式即可解决问题；
（3）仿照（2）的分解因式的方法即可解决问题．
【详解】解：（1）


．
（2）；
（3）①

．
②

．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，涉及到的知识有配方法、平方差公式及十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
9．阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：



根据以上材料，解答下列问题：
（1）用多项式的配方法将化成的形式；
（2）利用上面阅读材料的方法，把多项式进行因式分解；
（3）求证：，取任何实数时，多项式的值总为正数．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【分析】（1）根据题意，利用配方法进行解答，即可得到答案；
（2）根据题意，根据材料的方法进行解答，即可得到答案；
（3）利用配方法把代数式进行化简，然后由完全平方的非负性，即可得到结论成立.
【详解】解：（1）
=
；
（2）



；
（3）证明：

；
∵，，
∴的值总是正数．
即的值总是正数．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，配方法的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握配方法、因式分解的方法是解本题的关键．
10．阅读材料：
把代数式通过配凑等手段得到局部完全平方式，再进行有关计算和解题，这种解题方法叫做配方法
如（1）用配方法分解因式：
解：原式=


=
（2）M=，利用配方法求M的最小值
解：M=

=

当时，M有最小值1
请根据上述材料，解决下列问题：
（1）在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：
（2）用配方法分解因式：
（3）若M=，求M的最小值．
【答案】(1)；(2) ；(3) 当x=-2时，M有最小值-2
【分析】(1)根据阅读材料，可知只要二次项系数为1，只需加上一次项系数一半的平方即可配成完全平方公式，由此即可得答案；
(2)根据材料中的方法进行分解因式即可；
(3)根据阅读材料中的方法通过配方进行求解即可．
【详解】(1)x2-x+=，
故答案为；
(2) x2-6xy-7y2
=x2-6xy+9y2-16y2
=（x-3y）2-16y2
=（x-3y+4y）（x-3y-4y）
=（x+y）（x-7y）；
(3)M


，
当x=-2时，M有最小值-2．
【点睛】本题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．