58完全平方式在几何图形中的应用-2022-2023学年下学期七年级数学期中复习高频考点专题练习【苏科版-江苏省期中真题】

这是一份58完全平方式在几何图形中的应用-2022-2023学年下学期七年级数学期中复习高频考点专题练习【苏科版-江苏省期中真题】，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

58完全平方式在几何图形中的应用-2022-2023学年下学期七年级数学期中复习高频考点专题练习【苏科版-江苏省期中真题】

一、单选题
1．（河北省沧州市2018-2019学年七年级下学期期末数学试题）现有一张边长为的大正方形卡片和三张边长为的小正方形卡片如图，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图，已知图中的阴影部分的面积比图中的阴影部分的面积大，则小正方形卡片的面积是（    ）

A． B． C． D．
2．（江苏省泰州市第二中学附属初中2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，长方形ABCD的周长是12cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为20cm2，那么长方形ABCD的面积是（  ）

A．6cm2 B．7cm2 C．8cm2 D．9cm2

二、填空题
3．（江苏省江阴市青阳片2019-2020学年七年级下学期期中数学试题）如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连结MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝15．则图中阴影部分的面积为_____．


三、解答题
4．（四川省成都市双流区成都双流中学实验学校2020-2021学年八年级上学期第一次月考数学试题）若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．

5．（江苏省镇江市大港中学2020-2021学年七年级下学期第二次月考数学（3月））如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图2)
（1）观察图2请你写出之间的等量关系是______；
（2）根据（1）中的结论，若，，则______；
（3）拓展应用：若，求的值．

6．（江苏省苏州市姑苏区2020-2021学年七年级下学期期中数学试题）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1；型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长和宽分别为，的长方形．
（1）选取1张型卡片，2张型卡片，1张型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式_______；
（2）请用这3种卡片拼出一个面积为的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；
（3）选取1张型卡片，4张型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，．若，则当与满足______时，为定值，且定值为________．（用含或的代数式表示）

7．（江苏省连云港市赣榆区2020-2021学年七年级下学期期中数学试题）阅读思考：
定义：把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法．
用途：配方法是初中数学一种很重要的变形技巧，是初中数学很重要的一种思想方法，应用很广泛，应用它可以简捷地处理一些解方程、因式分解、化简二次根式、证明恒等式、求代数式的最值问题．
方法：下面用拼图的方法来体会配方的过程．
例如：将代数式（即）写成的形式（其中h、k为常数），配方的过程中，可以看成将一个长是、宽是x的矩形割补成一个正方形．



所以，
（1）模仿：用拼图的方法将式子写成的形式（其中h、k为常数）．
（2）总结：在配方过程中，代数式需要先加上_____，再减去这个数或者代数式；
（3）应用：①__________；
②已知，求的值．
8．（江苏省盐城市滨海县2020-2021学年七年级下学期期中数学试题）有两根同样长的铁丝．
（1）将两根铁丝分别围成一个长方形和一个正方形（无剩余）．
①若其中长方形的长为7cm，宽为3cm，则正方形的边长为 cm；
②设其中长方形的长为cm，宽为cm，则正方形的边长为 cm（用含、的代数式表示）；
③若长方形的长比宽多cm，用含的代数式表示正方形面积与长方形面积的差（写出过程）；
（2）若每根铁丝的长为32cm，现将一根铁丝剪成两段，用这两段分别围成两个正方形，拼成如图所示的形状（在同水平线上，两正方形无重叠），两个正方形面积和为，求阴影部分的面积？（单位）

9．（江苏省扬州市邗江区梅岭中学2020-2021学年七年级下学期期中数学试题）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：

（1）根据图2，写出一个代数恒等式：　 　．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，则　 　．
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)长方形，则x+2y+z=　 　．
（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：　 　．

10．（四川省成都市锦江区2020-2021学年七年级下学期期末数学试题）已知有若干张如图1所示的正方形卡片和长方形卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为a，宽为b的长方形．
（1）将1张A型卡片，9张B型卡片，6张C型卡片拼成如图2所示的正方形，请用两种方法表示图2中拼成的正方形的面积，方法一：　 　，方法二：　 　，由此可以得到一个等式：　 　；
（2）选取1张A型卡片，若干张B型卡片，若干张C型卡片无缝无叠合拼成如图3所示的边长为a+nb的正方形，则需要选取B型卡片 　 　张（用含n的式子表示），C型卡片 　 　张（用含n的式子表示）；
（3）将2张C型卡片沿如图4所示虚线剪开后，拼成如图5所示的正方形；将2张A型卡片和2张B型卡片无叠合的置于长为2a+b，宽为a+2b的长方形中（如图6所示）．若图5中阴影部分的面积为4，图6中阴影部分面积为30，记一张A型卡片的面积为SA，一张B型卡片的面积为SB，一张C型卡片的面积为SC，求SA+SB+SC的值．

11．（江苏省泰兴市黄桥初级中学2015-2016学年七年级下学期期中考试数学试题）将若干个同样大小的小长方形纸片拼成如图形状的大长方形（小长方形纸片长为，宽为），请你仔细观察图形，解答下列问题：
（1）与有怎样的关系？并简要说明理由.
（2）请你仔细观察图中的一个阴影部分，根据它面积的不同表示方法写出含字母、的一个等式.（等式不需要化简）
图中阴影部分的面积是大长方形面积的几分之几？并简要说明理由.

12．（江苏省海安县白甸镇初级中学2017-2018学年八年级上学期学业质量分析与反馈（期中）数学试题）如图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀将其平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)图②中阴影部分的面积为________；
(2)观察图②，请你写出三个代数式(m＋n)2，(m－n)2，mn之间的等量关系是____________；
(3)若x＋y＝－6，xy＝2.75，利用(2)得出的等量关系计算x－y的值．

13．（江苏省扬州市宝应县2021-2022学年七年级上学期期中数学试题）如图①是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a、b、c，其中a、b是直角边．正方形的边长分别是a、b．

（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：方法一：　 ；方法二：　 ；
（2）观察图②，试写出，，，这四个代数式之间的等量关系；
（3）请利用（2）中等量关系解决问题：已知图①中一个三角形面积是6，图②的大正方形面积是49，求的值；
（4）求的值．
14．（江苏省南京市玄武区2018-2019学年第二学期七年级数学期中检测卷-）若x满足（5-x）（x-2）=2，求（x-5）2+（2-x）2的值；
解：设5-x=a，x-2=b，则（5-x）（x-2）=ab=2，a+b=（5-x）+（x-2）=3，
所以（x-5）2+（2-x）2=（5-x）2+（x-2）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=32-2×2=5，
请仿照上面的方法求解下面的问题
（1）若x满足（9-x）（x-4）=4，求（9-x）2+（x-4）2的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE=2，CF=4，长方形EMFD的面积是63，分别以MF、DF为边作正方形，求阴影部分的面积．

15．（江苏省盐城市建湖县2018-2019学年七年级下学期期末数学试题）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1
所以（a+b）2＝9，2ab＝2
所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2
得a2+b2＝7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若（7﹣x）（x﹣4）＝1，求（7﹣x）2+（x﹣4）2的值；
（2）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝5，两正方形的面积和S1+S2＝17，求图中阴影部分面积．

16．（江苏省泰兴市实验初中教育集团（联盟）2019-2020学年七年级下学期线上调研数学试题）若x满足(x－4) (x－9)＝6，求(x－4)2+(x－9)2的值．
解：设x－4＝a，x－9＝b，则(x－4)(x－9)＝ab＝6，a－b＝(x－4)－(x－9)＝5，
∴(x－4)2+(x－9)2＝a2+b2＝(a－b)2＋2ab＝52＋2×6＝37
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若x满足(x－2)(x－5)＝10，求(x－2)2 + (x－5)2的值
(2)已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是15，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．

17．（江苏省无锡市梁溪区2018-2019学年七年级下学期期中数学试题）如图，将一张长方形大铁皮切割成九块，切痕如下图虚线所示，其中有两块是边长都为mcm的大正方形，两块是边长都为ncm的小正方形，五块是长宽分别是mcm、ncm的完全相同的小长方形，且.若5个小长方形的面积和为，四个正方形的面积和为，试求该矩形大铁皮的周长．

18．（江苏省南京市鼓楼区2019-2020学年七年级下学期期中数学试题）要说明(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc成立，三位同学分别提供了一种思路，请根据他们的思路写出推理过程．
（1）小刚说：可以根据乘方的意义来说明等式成立；
（2）小王说：可以将其转化为两数和的平方来说明等式成立；
（3）小丽说：可以构造图形，通过计算面积来说明等式成立；
19．（江苏省泰州中学附属初中2020学年七年级下数学期中数学试题）(1)如图，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么?(用含有x、y的等式表示) ；

(2)若，，求的值；
(3)若，求的值．
20．（江苏省镇江市丹阳市2019-2020学年七年级下学期期中数学试题）如图，有一块长米，宽米的长方形广场，园林部门要对阴影区域进行绿化，空白区域进行广场硬化，阴影部分是边长为米的正方形．

（1）计算广场上需要硬化部分的面积；
（2）若，，求硬化部分的面积．
21．（江苏省镇江市丹阳市2019-2020学年七年级下学期期中数学试题）[知识生成]
我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图①可以得到，请解答下列问题：

（1）写出图②中所表示的数学等式 ；

（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知，，求的值；
（3）小明同学用图③中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则 ；

[知识迁移]
（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图④表示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图④中图形的变化关系，写出一个数学等式：


参考答案：
1．D
【分析】根据题意、结合图形分别表示出图2、3中的阴影部分的面积，根据题意列出算式，根据整式是混合运算法则计算即可．
【详解】图中的阴影部分面积为：，
图中的阴影部分面积为：，
由题意得，，
整理得，，
则小正方形卡片的面积是，
故选：D.
【点睛】本题考查的是整式的混合运算，正确表示出两个阴影部分的面积是解题的关键．
2．C
【分析】用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可．
【详解】解：设AB=x，AD=y，
∵长方形ABCD的周长是12cm，正方形ABEF和ADGH的面积之和为20 cm2，
∴x+y=6，x2+y2=20，
∴x2+y2=(x+y)2−2xy=20，
∴62−2xy=20，
∴xy=8，
故选：C．
【点睛】此题考查了图形与公式，解题的关键是熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积的个数，两数和的完全平方公式．
3．45
【分析】依据AP＝a，BP＝b，点M是AB的中点，可得AM＝BM＝，再根据S阴影＝S正方形APCD＋S正方形BEFP﹣S△ADM﹣S△BEM，即可得到图中阴影部分的面积．
【详解】解：∵AP＝a，BP＝b，点M是AB的中点，
∴AM＝BM＝，
∴S阴影＝S正方形APCD＋S正方形BEFP﹣S△ADM﹣S△BEM
＝a2＋b2
＝a2＋b2﹣（a＋b）2
＝（a＋b）2﹣2ab﹣（a＋b）2
＝100﹣30﹣25
＝45，
故答案为：45．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，即运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
4．（1）5；（2）28．
【分析】（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，根据已知等式确定出所求即可；
（2）设正方形ABCD边长为x，进而表示出MF与DF，求出阴影部分面积即可．
【详解】解：（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，
则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，
a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；
（2）

∵正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CF＝3，
∴MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，
∴（x﹣1）∙（x﹣3）＝48，
∴（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．
设（x﹣1）＝a，（x﹣3）＝b，
则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，
a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴a＝8，b＝6，a+b＝14，
∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．
即阴影部分的面积是28．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，主要围绕图形面积展开分析．
5．（1）；（2）±4；（3）
【分析】（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为，根据图1的面积和图2中白色部分的面积相等可得答案；
（2）根据（1）中的结论，可知，将
代入计算即可得出答案；
（3）将等式两边平方，再根据已知条件及完全平方公式变形可得答案．
【详解】（1）解：（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为
∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等，
∴
故答案为：；
（2）根据（1）中的结论，可知（x+y）2-（x-y）2=4xy，
∵，
∴，
∴
∴ ，
故答案为：±4；
（3）

  

【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练运用完全平方公式并数形结合是解题的关键．
6．（1）=；（2）见解析；（3）；．
【分析】（1）从个体和从整体两个方面计算大正方形的面积即可解题；
（2）利用因式分解将化为，结合长方形面积公式画图；
（3）设DG=x，结合图形，计算的值得到S的表达式，根据S为定值，与x的值无关解题．
【详解】解：（1）从个体看：大正方形面积为，从整体看，大正方形面积为，
故得到乘法公式：=，
故答案为：=；
（2）根据长方形面积公式画图如下：
；
（3）设DG=x，由图可知
，




若为定值，则S将不随x的变化而变化，
即，
，
此时
故答案为：；．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
7．（1）见解析；（2）一次项系数一半的平方；（3）①9，；②9
【分析】（1）模仿例题中拼图的方法配方的过程，即可得到答案；
（2）根据完全平方式的特点，即可得到答案；
（3）①利用完全平方式的特点，即可得到答案；②把等号左边化为两个完全平方式的和，即可求解．
【详解】解：（1）如图所示：

   
∴
（2）由题意得：在配方过程中，代数式需要先加上一次项系数一半的平方，再减去这个数或者代数式，
故答案是：一次项系数一半的平方；                    
（3）① ∵32()2，
∴9()2，
故答案是： 9，；                              
②解：，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查完全平方公式以及配方法，掌握完全平方公式：，是解题的关键．
8．（1）①5；②；③；（2）
【分析】（1）①根据周长相等，可求出正方形的边长；②根据长方形的周长与正方形的周长相等，得出结果，③设出长方形的长，表示宽和周长，进而表示正方形的边长，
（2）设两个正方形的边长为a、b，利用面积和，周长和，列方程组求出边长，进而计算出阴影部分的面积．
【详解】（1）解：（1）①长方形的周长为：（7+3）×2=20，因此正方形的边长为：20÷4=5cm，
故答案为：5；
②由题意得，2（x+y）÷4=
故答案为：
③设长方形的长为cm，则宽为cm，则正方形的边长为：cm，
∴；
（2）设大正方形的边长为cm，小正方形的边长为cm，
由题意得，，
∴，
∵，
∴由得：


∴．
【点睛】本题考查完全平方公式的意义和应用，通过图形直观得出面积和周长的关系是解决问题的关键．
9．（1）；（2）30；（3）11；（4）
【分析】（1）依据正方形的面积=(a+b+c)2；正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；
（2）依据a2+b2+c2=(a+b+c)2-2ab-2ac-2bc，进行计算即可；
（3）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而(2a+b)(a+2b)=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5b2+2ab，即可得到x，y，z的值．
（4）根据原几何体的体积=新几何体的体积，列式可得结论．
【详解】解：（1）由图2得：正方形的面积可表示为(a+b+c)2，
正方形的面积也可表示为a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案为：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∵a+b+c=10，ab+ac+bc=35，
∴102=a2+b2+c2+2×35，
∴a2+b2+c2=100-70=30，
故答案为：30；
（3）由题意得：(2a+b)(a+2b)=xa2+yb2+zab，
∴2a2+5ab+2b2=xa2+yb2+zab，
∴x=2，y=2，z=5，
∴x+2y+z=11，
故答案为：11；
（4）∵原几何体的体积=x3-1×1•x=x3-x，
新几何体的体积=(x+1)(x-1)x，
∴x3-x= x (x+1)(x-1)．
故答案为：x3-x= x (x+1)(x-1)．
【点睛】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．
10．（1）（a+3b）²，a²+6ab+9b²，（a+3b）²＝a²+6ab+9b²；（2）n²，2n；（3）22
【分析】（1）利用整体法和分割法：将正方形看成整体，面积是边长的平方；将正方形分成A、B、C三种图形面积的和，建立等量关系求解；
（2）正方形的边长为a+nb时，则有一个A型，横方向和纵方向分别有B型图形n个，C型为n×n；
（3）利用三种图形的面积分别表示图5和图6的阴影部分的面积，利用整体代入法，进而求得答案．
【详解】解：（1）图2，正方形边长（a+3b），面积（a+3b）²，正方形中有一个A，六个B，九个C，面积（a²+6ab+9b²）．所得等式（a+3b）²＝a²+6ab+9b²，
故答案为：（a+3b）²，a²+6ab+9b²，（a+3b）²＝a²+6ab+9b²；
（2）正方形边长为（a+nb），横、纵各有n个C型，故C型数量2n，B型数量为n×n＝n²，
故答案为：n²，2n；
（3）∵图5中阴影部分的面积为4，
∴，
∴，
∵图6中阴影部分面积为30，
∴，
化简得，
将代入，
得：，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查：利用面积相等建立等量关系，解决本题的关键是能够分割图形，了解各个部分组成，便可表示各个类型的数量．善用整体代入法，表示出相应部分面积，利用整体代入法求解．
11．
【详解】试题分析：（1）根据小长方形的4个长等于小长方形的3个长和3个宽，列出算式，得出a，b的关系；
（2）根据图形分别表示出阴影部分的面积和大长方形面积，再把（1）的结果代入化简即可；
试题解析：
（1）根据图形可得：4a=3a+3b，
解得：a=3b；
（2）阴影部分的面积是3（a-b）2=3（3b-b）2=12b2，
大长方形的面积是4a（a+3b）=4a2+12ab=4×（3b）2+12×3b×b=72b2，
则阴影部分的面积是大长方形面积的=.
12．(1) (m－n)2；(2) (m＋n)2－(m－n)2＝4mn；(3).
【详解】试题分析：
试题解析：（1）利用矩形面积公式计算.(2)根据矩形面积公式可得到m,n关系.(3)利用（2）的公式计算.(4)根据矩形面积公式分别用整体方法和部分的和的方法列等式.
试题解析：
(1)图2中阴影部分的边长是m-n,面积为(m－n)2；
(2)观察图2，请你写出式子(m＋n)2，(m－n)2，mn之间的等量关系：大正方形面积是(m＋n)2 ，阴影部分面积是(m－n)2 ，四个矩形面积是4mn ，所以(m＋n)2－(m－n)2＝4mn；
(3)因为x＋y＝－6，xy＝2.75，利用公式(m＋n)2－(m－n)2＝4mn，
则-,
解得x－y＝±5.
13．（1）；；（2）；（3）25；（4）100
【分析】（1）利用两种方法表示出大正方形面积，第一种用组成正方形的两个小正方形+4个三角形面积，第二种用正方形面积公式边长的平方即可；
（2）根据各自表示的面积写出四个代数式之间的等量关系即可；
（3）利用面积求出，（a+b）2=49，把原式变形a2+b2=（a+b）2-2ab，整体代入计算即可得到结果．
（4）将算式适当变形，利用完全平方公式进行解答即可．
【详解】解：（1）方法一：；    
方法二：（a+b）2；        
故答案为：；（a+b）2；
（2）a2+2ab+b2=（a+b）2；
（3），（a+b）2=49，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab ，
=（a+b）2-4×，
=49-4×6，
=25；                                               
（4），
=，
，
，
=100．
【点睛】此题考查了完全平方公式的几何应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（1）17；（2）32.
【分析】（1）设（9-x）=a，（x-4）=b，根据已知等式确定出所求即可；
（2）设正方形ABCD边长为x，进而表示出MF与DF，求出阴影部分面积即可．
【详解】解：（1）设9-x=a，x-4=b，则（9-x）（x-4）=ab=4，a+b=（9-x）+（x-4）=5，
∴（9-x）2+（x-4）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2×4=17；
（2）∵正方形ABCD的边长为x，

∴DE=x-2，DF=x-4，
设x-2=a，x-4=b，
则S正方形EMFD=ab=63，a-b=（x-2）-（x-4）=2，
那么（a+b）2=（a-b）2+4ab=256，得a+b=16，
∴（x-2）2-（x-4）2=a2-b2=（a+b）（a-b）=32．
即阴影部分的面积是32．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
15．（1）7；（2）S阴影＝2．
【分析】（1）把7－x与x－4分别看作ab，则a+b=3，ab=1，再按题中的思路求解即可；
（2）先根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab求出ab的值，然后根据三角形面积公式可得结论．
【详解】解：（1）∵（7﹣x）（x﹣4）＝1，（7﹣x）+（x﹣4）＝7﹣x+x﹣4＝3
由例题的解法可得:
（7﹣x）2+（x﹣4）2＝[（7﹣x）+（x﹣4）]2－2（7﹣x）（x﹣4）＝32－2＝7；
（2）设AC＝a，BC＝CF＝b，
则a+b＝5，a2+b2＝17，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
17＝25﹣2ab，
ab＝4，
∴S阴影＝ab＝2．
【点睛】本题是以完全平方公式为载体的阅读理解问题，解题的关键是通过阅读读懂题目所蕴含的整体代入的数学思想，并能有意识的运用整体代入的思想方法去解决问题.
16．(1)29 ；(2)16
【分析】（1）设，，根据已知等式确定出所求即可；
（2）根据题意可知正方形ABCD的边长为x，进而表示出MF、DF，根据题意求出阴影部分面积即可．
【详解】（1）设，，则，
∴




（2）根据题意可知正方形ABCD的边长为x，
∵EMFD是长方形，
∴MF＝ED，
∴ ， ,
设，，
则S长方形EMFD＝，，
，得
∵S阴影部分＝MF2－DF2，
即S阴影部分＝
故阴影部分的面积是16.
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，主要围绕图形面积展开分析．
17．72
【分析】先根据题意求出mn＝22，m2+n2＝100，根据完全平方公式求出m+n，再求出答案即可．
【详解】解：∵5个小长方形的面积和为110cm2，四个正方形的面积和为200cm2，
∴5mn＝110，2m2+2n2＝200，
∴mn＝22，m2+n2＝100，
∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝100+2×22＝144，
∵m、n为正数，
∴m+n＝12，
∴该矩形的周长为2（m+2n+2m+n）＝6（m+n）＝6×12＝72（cm），
【点睛】本题考查了长方形的性质，完全平方公式和列代数式等知识点，能正确列出代数式是解此题的关键．
18．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析
【分析】（1）利用乘方的意义求解，即可；
（2）将式子变形，利用完全平方公式计算，即可；
（3）化成边长为a+b+c的正方形，即可得出答案．
【详解】（1）小刚：(a+b+c)2=(a+b+c)(a+b+c)
=a2+ab+ac+ba+b2+bc+ca+cb+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
（2）小王：(a+b+c)2=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+b2+2ab+2ac+2bc+c2
（3）小丽：如图

【点睛】本题考查了整式的运算法则的应用，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，也培养了学生的动手操作能力．
19．（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）阴影部分的面积可以由边长为x+y的大正方形的面积减去边长为x-y的小正方形面积求出，也可以由4个长为x，宽为y的矩形面积之和求出，表示出即可；
（2）先利用完全平方公式展开，然后两个式子相减，即可求出答案；
（3）利用完全平方变形求值，即可得到答案．
【详解】解：（1）图中阴影部分的面积为：
；
故答案为：；
（2）∵，
∴①，
∵，
∴②，
∴由②①，得
，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
∴；
∴；
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，以及完全平方公式变形求值，根据阴影部分的面积的两种不同表示方法得到的代数式的值相等列式是解题的关键．
20．（1）平方米；（2）平方米
【分析】（1）由题意可知空白部分的面积=长方形的面积-阴影部分的面积；
（2）将a，b的数值代入（1）题中的代数式求值即可．
【详解】（1）根据题意，广场上需要硬化部分的面积是
(2a+b)(3a+b)-(a+b)2
=6a2+2ab+3ab+b2-(a2+2ab+b2)
=6a2+5ab+b2-a2-2ab-b2
=5a2+3ab (平方米)，
答：广场上需要硬化部分的面积是（5a2+3ab）平方米．
（2）把a=20，b=5代入得：
5a2+3ab=5×202+3×20×5=2300 (平方米)，
答：广场上需要硬化部分的面积是2300平方米．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式以及完全平方公式的应用，能正确根据运算法则进行计算是解此题的关键．
21．（1）；（2）29；（3）12；（4）
【分析】（1）依据大正方形的面积=(a+b+c)2，各部分面积之和=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，从而可得答案；
（2）依据(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，进行计算即可；
（3）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而(3a+b)(a+2b)=3a2+2b2+7ab，比较系数可得答案．
（4）根据原几何体的体积=新几何体的体积，列式可得结论．
【详解】（1）最外层正方形的面积为：(a+b+c)2，
分部分来看，有三个正方形和六个长方形，
其和为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
总体看的面积和分部分求和的面积相等，
故答案为：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵a+b+c=9，ab+bc+ac=26，
∴92=a2+b2+c2+2×26，
∴a2+b2+c2=81-52=29，
∴a2+b2+c2的值为29；
（3）∵张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为的长方形纸片的面积为：xa2+yb2+zab，
又∵(3a+b)(a+2b)=3a2+2b2+7ab，
∴xa2+yb2+zab=3a2+2b2+7ab，
∴x=3，y=2，z=7，
∴x+y+z=12，
故答案为：12；
（4）大立方体的体积等于a3，挖去的长方体的体积为4a，从而剩余部分的体积为a3-4a；
重新拼成的新长方体体积为：a(a-2)(a+2)，
两者体积相等，
故答案为：a3-4a=a(a-2)(a+2)．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景以及多项式乘多项式的几何背景，明确相关图形的面积或体积计算公式，数形结合，正确列式是解题的关键．