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七年级数学下册考点精练专题08 平行与折叠问题
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这是一份七年级数学下册考点精练专题08 平行与折叠问题，共30页。
专题08 平行与折叠问题
【模型讲解】
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E，F分别是边AC，AB上的点，连接EF，将△AEF沿EF折叠，得到，当的边与△ABC的一边平行时，∠AEF的度数是_____．
解：如图1，若时，∴，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴，∵将△AEF沿EF折叠，得到，
∴，∴∠BFE＝180°﹣∠AFE，
∴∠AFE﹣60°＝180°﹣∠AFE，∴∠AFE＝120°，
∴∠AEF＝180°﹣120°﹣30°＝30°；
如图2，设与AB交于点H，
若时，∴∠BCA＝∠FHA＝90°，
∴∠AFH＝180°﹣∠AHF﹣∠A＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵将△AEF沿着EF折叠，∴；
∴∠AEF＝180°﹣∠A﹣∠AFE＝120°；
如图3，
若时，∴，∴，
∵将△AEF沿着EF折叠，∴；
综上所述：30°或75°或120°．
【模型演练】
1．一条两边沿互相平行的围巾按图甲所示折叠并将其绘制成图乙，已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CDBE，∠1=42°，则∠2的度数是（ ）
A．48° B．45° C．96° D．40°
3．如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1=∠2 B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图3，测得∠1=∠2 D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°
4．如图，将一张对边互相平行的纸条沿EF折叠，若∠EFB＝32°，则①；②∠AEC＝148°；③∠BGE＝64°；④∠BFD＝116°，则下列结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．为了检验一条纸带的两条边线是否平行，小明沿折叠后，如图，测量得到：①；②；③；④．其中能够判定两条边线、互相平行的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠．则与的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，且，则的度数是______．
8．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为和．若，，则的度数为______．
9．如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成∠1与∠2．若∠1＝68°，则∠2＝_______°．
10．在“妙折生平——折纸与平行”的拓展课上，小潘老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片ABC，∠B＝32°，∠C＝60°，点D是AB边上的固定点（BD＜AB），请在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，使EF与三角形ABC的一边平行，则∠BDE为____________度．
11．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部的位置，且与点C在直线AB的异侧，折痕为DE，已知∠C＝90°，∠A＝34°.若保持△DE的一边与BC平行，则∠ADE的度数____．
12．如图，将一条两边互相平行的纸带按图折叠，则α的度数等于______．
13．如图，在△ABC中，∠A＝56°，∠C＝46°，D是线段AC上一个动点，连接BD，把△BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于△ABC边时，∠CDB的大小为______．
14．将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图（1），AD∥BC，ED'∥FC'，设∠AED'＝x°
（1）∠EFB＝_____．（用含x的代数式表示）
（2）若将图1继续沿BF折叠成图（2），∠EFC″＝_____．（用含x的代数式表示）．
15．如图所示，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点B落在点B′处，若EB′恰好与BC平行，且∠B＝80°，则∠CDE＝_____°．
16．如图，将一张上、下两边平行（即ABCD）的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕．
(1)试说明∠1＝∠2；
(2)已知∠2＝54°，求∠BEF的度数．
17．如图，把长方形ABCD的两角折叠，折痕分别为EF、HG，点B、D折叠后的对应点分别是、，并且使与在同一直线上，已知长方形的两组对边分别平行，试说明两条折痕EF、GH也相互平行．
18．有一条纸带ABCD，现小强对纸带进行了下列操作：
(1)为了检验纸带的两条边线AB与CD是否平行，小强如图①所示画了直线后，量得∠1=∠2，则，理由为 ;
(2)将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图②所示，设∠1为70°，请求出∠的度数；
(3)如图③，已知这是一条长方形纸带，点E在折线AD→DC上运动，点F是AB上的动点，连接EF将纸带沿着EF折叠，使点A的对应点落在DC上，若，请用含x的代数式来表示的度数为 .（直接写出答案）
19．综合与实践：折纸中的数学
知识背景
我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学﹣﹣长方形纸条的折叠与平行线．
知识初探
(1)如图1，长方形纸条ABGH中，，∠A＝∠B＝∠G＝∠H＝，将长方形纸条沿直线CD折上，点A落在A'处，点B落在B'处，B'C交AH于点E，若∠ECG＝，则∠CDE＝ ；
类比再探
(2)如图2，在图1的基础上将∠HEC对折，点H落在直线EC上的H'处，点G落在G'处得到折痕EF，则折痕EF与CD有怎样的位置关系？说明理由；
(3)如图3，在图2的基础上，过点G'作BG的平行线MN，请你猜想∠ECF和∠H'G'M的数量关系，并说明理由．
专题08 平行与折叠问题
【模型讲解】
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E，F分别是边AC，AB上的点，连接EF，将△AEF沿EF折叠，得到，当的边与△ABC的一边平行时，∠AEF的度数是_____．
解：如图1，若时，∴，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴，∵将△AEF沿EF折叠，得到，
∴，∴∠BFE＝180°﹣∠AFE，
∴∠AFE﹣60°＝180°﹣∠AFE，∴∠AFE＝120°，
∴∠AEF＝180°﹣120°﹣30°＝30°；
如图2，设与AB交于点H，
若时，∴∠BCA＝∠FHA＝90°，
∴∠AFH＝180°﹣∠AHF﹣∠A＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵将△AEF沿着EF折叠，∴；
∴∠AEF＝180°﹣∠A﹣∠AFE＝120°；
如图3，
若时，∴，∴，
∵将△AEF沿着EF折叠，∴；
综上所述：30°或75°或120°．
【模型演练】
1．一条两边沿互相平行的围巾按图甲所示折叠并将其绘制成图乙，已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将围巾展开，根据折叠的性质得：则∠ADM=∠ADF，∠KCB=∠BCN，设∠ABC=x，根据平行线的性质得：∠FDC=∠KCG=2x，由平角的定义列式：∠FDC+∠FDM=180°，可得x的值，从而得结论．
【详解】解：如图乙，将围巾展开，则∠ADM=∠ADF，∠KCB=∠BCN，
设∠ABC=x，则∠DAB=x+20°，
∵CDAB，
∴∠ADM=∠DAB=x+20°=∠ADF，
∵DFCG，
∴∠FDC=∠KCG=2x，
∵∠FDC+∠FDM=180°，
∴2x+2（x+20°）=180°，
解得：x=35°，
∴3∠DAB+∠ABC=3（x+20°）+x=4x+60°=200°，
故选：D．
【点睛】此题考查了平行线性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
2．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CDBE，∠1=42°，则∠2的度数是（ ）
A．48° B．45° C．96° D．40°
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和折叠性质即可求解．
【详解】解：如图，
∵AGBE，ADBC，
∴∠1=∠5，∠5=∠4
∴∠4=∠1=42°，
∵CDBE，
∴∠4=∠3=42°，
由折叠性质得：∠6=∠3＝42°，又∠6+∠3+∠2=180°，
∴∠2=96°．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的问题，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理．
3．如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1=∠2 B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图3，测得∠1=∠2 D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．
【详解】A、 当∠1=∠2时，内错角相等，两直线平行，所以；
B、由∠1=∠2且∠3=∠4可得∠1=∠2=∠3=∠4=90∘，所以；
C、∠1=∠2不能判定a，b互相平行；
D、∠1+∠2=180°时，同旁内角互补，两直线平行，所以．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
4．如图，将一张对边互相平行的纸条沿EF折叠，若∠EFB＝32°，则①；②∠AEC＝148°；③∠BGE＝64°；④∠BFD＝116°，则下列结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据平行线的性质及翻折变换的性质对各小题进行逐一分析即可．
【详解】解：①∵AEBG，∠EFB=32°，
∴=∠EFB=32°，故本小题正确；
②∵AEBG，∠EFB=32°，
∴∠AEF=180°-∠EFB=180°-32°=148°，
∵∠AEF=∠AEC+∠GEF，
∴∠AEC＜148°，故本小题错误；
③∵=32°，
∴∠GEF==32°，
∴=+∠GEF=32°+32°=64°，
∵AEBG，
∴∠BGE==64°，故本小题正确；
④∵∠BGE=64°，
∴∠CGF=∠BGE=64°，
∵DFCG，
∴∠BFD=180°-∠CGF=180°-64°=116°，故本小题正确．
综上，①③④正确，共3个．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
5．为了检验一条纸带的两条边线是否平行，小明沿折叠后，如图，测量得到：①；②；③；④．其中能够判定两条边线、互相平行的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由内错角相等，两直线平行可判断①，由等腰三角形的性质可得但是不能判定平行，可判断②，由等腰三角形的性质可得再结合轴对称的性质可得可判断③，由轴对称的性质可得但不能判定平行，从而可得答案．
【详解】解：
∴ 故①符合题意；
∵
∴ 不能得到 故②不符合题意；
∵
∴
由折叠可得：
∴
∴，故③符合题意；
∴ 不能得到 故④不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握“轴对称的性质与等腰三角形的性质及平行线的判定方法”是解本题的关键．
6．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠．则与的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据折叠性质，先得出，根据，得出，，得出，根据，得出，即可得出结论．
【详解】解：根据折叠可知，，
∵，
，，
∴，
∵，
，即，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，根据题意得出，是解题的关键．
7．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，且，则的度数是______．
【答案】57°##57度
【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到，再根据同旁内角互补可得，进而得出．
【详解】解：如图，延长到点，
纸带对边互相平行，
，
由折叠得，，
∵，
，
，
，
，即，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，图形的折叠，熟练掌握平行线的性质，图形的折叠的性质是解题的关键．
8．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为和．若，，则的度数为______．
【答案】68°##68度
【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到，进而得出，再由折叠的性质得．
【详解】解：如图，延长到点，
由折叠可得， ，
∵，
∴，
纸带对边互相平行，
∴，
∴，
由折叠可得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．
9．如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成∠1与∠2．若∠1＝68°，则∠2＝_______°．
【答案】22°##22度
【分析】延长CE，交AD与点F，根据平行的性质有∠2=∠DFE，再根据∠1+∠DFE=90°，即可求出∠DFE，则问题得解．
【详解】延长CE，交AD与点F，如图，
根据题意有：，∠DEC=90°，
∴∠2=∠DFE，∠DEF=∠DEC=90°，
∴△DEF是直角三角形，即∠1+∠DFE=90°，
∵∠1=68°，
∴∠DFE=90°-∠1=22°，
∴∠2=22°，
故答案为：22°．
【点睛】本题考查了由平行线的性质探究角的关系；掌握两直线平行内错角相等是解题关键．
10．在“妙折生平——折纸与平行”的拓展课上，小潘老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片ABC，∠B＝32°，∠C＝60°，点D是AB边上的固定点（BD＜AB），请在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，使EF与三角形ABC的一边平行，则∠BDE为____________度．
【答案】28°或74°或118°
【分析】分三种情况，分别画出图形，结合平行线的性质和三角形内角和定理，三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：当时，
由折叠得，∠B=∠F=32°，∠BED=∠DEF，
∵，
∴∠B=∠CEF=32°，
∴∠BEF=180°-32°=148°，
∴；
当时，
∵，
∴∠BEF=∠C=60°，
∴，
∴；
当时，
∴∠CEF=∠C=60°，
∴∠BGD=∠CEF+∠F=92°，
∴∠BDG=180°-∠B-∠BGD=56°，
∴；
综上所述，∠BDE为28°或74°或118°．
故答案为：28°或74°或118°
【点睛】本题主要考查了图形的折叠，平行线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
11．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部的位置，且与点C在直线AB的异侧，折痕为DE，已知∠C＝90°，∠A＝34°.若保持△DE的一边与BC平行，则∠ADE的度数____．
【答案】45°或28°
【分析】根据题意，分，两种情况分析，根据平行线的性质与三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：∵将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部A'的位置，
∴当时，经过折叠在上，不符题意，
依题意，，
①当，
②当时，
故答案为：45°或28°
【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握三角形的外角的性质，内角和定理，平行线的性质是解题的关键．
12．如图，将一条两边互相平行的纸带按图折叠，则α的度数等于______．
【答案】75°##75度
【分析】由平行线的性质可知∠2=∠1，由折叠的性质可知2α+30=180，列方程求解．
【详解】解：∵ADBC，
∴∠2=∠1=30°，
∴2α+30=180，
∴α=75，
故答案为：75°．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质．根据折叠性质及互补关系列出方程是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，∠A＝56°，∠C＝46°，D是线段AC上一个动点，连接BD，把△BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于△ABC边时，∠CDB的大小为______．
【答案】或
【分析】先根据折叠的性质可得，设，再分①和两种情况，画出相应的图形，利用平行线的性质、平角的定义建立方程，解方程即可得．
【详解】解：由折叠的性质得：，
设，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当时，
，
，
，
，
解得，
即；
②如图，当时，
，
，
，
解得，
即；
综上，的大小为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、一元一次方程的应用，正确分两种情况，并画出图形是解题关键．
14．将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图（1），AD∥BC，ED'∥FC'，设∠AED'＝x°
（1）∠EFB＝_____．（用含x的代数式表示）
（2）若将图1继续沿BF折叠成图（2），∠EFC″＝_____．（用含x的代数式表示）．
【答案】 90°- x° x°-90°
【分析】（1）由平行线的性质得∠DEF=∠EFB，∠AEH+∠EHB=180°，折叠和三角形的外角得∠D'EF=∠EFB，∠EFB=∠EHB，最后计算出∠EFB=90°- x°；
（2）由折叠和平角的定义求出∠EFC'=90°+ x°，再次折叠经计算求出∠EFC"= x°-90°．
【详解】解：（1）如图1所示，
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB，∠AEH+∠EHB=180°，
又∵∠DEF=∠D'EF，
∴∠D'EF=∠EFB，
又∵∠EHB=∠D'EF+∠EFB，
∴∠EFB=∠EHB，
又∵∠AED'=x°，
∴∠EHB=180°-x°
∴∠EFB=（180°-2）=90°- x°
故答案为：90°- x°；
(2)如图2所示，
∵∠EFB+∠EFC'=180°，
∴∠EFC=∠EFC'=180°-（90°- x°）=90°+ x°，
又∵∠EFC'=2∠EFB+∠EFC"，
∴∠EFC"=∠EFC'-2∠EFB=90°+ x°-2（90°- x°）
= x°-90°，
故答案为： x°-90°．
【点睛】本题综合考查了平行线的性质，折叠问题，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，平角的定义以及角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是折叠前后的变及不变的问题，二次折叠角的前后大小等量关系．
15．如图所示，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点B落在点B′处，若EB′恰好与BC平行，且∠B＝80°，则∠CDE＝_____°．
【答案】130
【分析】先求出∠B=∠B′=80°，∠BDE=∠B′DE，根据平行线的性质得到∠B′DC=80°，进而得到∠BD B′=100°，∠BDE=50°，即可求出∠CDE＝130°．
【详解】解：由折叠的定义得∠B=∠B′=80°，∠BDE=∠B′DE，
∵EB′∥BC，
∴∠B′=∠B′DC=80°，
∴∠BD B′=180°-∠B′DC=100°，
∴∠BDE=∠B′DE=50°，
∴∠CDE＝180°-∠BDE=130°．
故答案为：130
【点睛】本题考查了折叠的定义，平行线的性质，邻补角的定义等知识，熟知相关知识并根据图形灵活应用是解题关键．
16．如图，将一张上、下两边平行（即ABCD）的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕．
(1)试说明∠1＝∠2；
(2)已知∠2＝54°，求∠BEF的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连续两次利用定理“两直线平行，内错角相等”即可求证；
（2）先利用求出，再利用求出，最后利用关系式求解即可．
（1）
解：证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）
∵，∠2＝54°
∴．
根据折叠的性质知：，
∴．
又∵，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行的性质，折叠的性质，掌握平行的性质和折叠前后对应的角相等是解题的关键．
17．如图，把长方形ABCD的两角折叠，折痕分别为EF、HG，点B、D折叠后的对应点分别是、，并且使与在同一直线上，已知长方形的两组对边分别平行，试说明两条折痕EF、GH也相互平行．
【答案】见解析
【分析】先根据折叠得出，，再根据平行线的性质得出，即可得出，最后根据平行线的判定得出结论．
【详解】证明：根据折叠可知，，，
∵长方形的两组对边分别平行，即
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，折叠的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等和内错角相等两直线平行，是解题的关键．
18．有一条纸带ABCD，现小强对纸带进行了下列操作：
(1)为了检验纸带的两条边线AB与CD是否平行，小强如图①所示画了直线后，量得∠1=∠2，则，理由为 ;
(2)将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图②所示，设∠1为70°，请求出∠的度数；
(3)如图③，已知这是一条长方形纸带，点E在折线AD→DC上运动，点F是AB上的动点，连接EF将纸带沿着EF折叠，使点A的对应点落在DC上，若，请用含x的代数式来表示的度数为 .（直接写出答案）
【答案】(1)同位角相等，两直线平行
(2)
(3)或
【分析】(1)根据平行线的判定方法即可解决问题；
(2)如图②−1中，证明∠α=∠4即可解决问题；
(3)分两种情形：如图③−1中，证明∠DEA′=2∠EAA′，∠DEA′=∠CA′F即可；如图③−2中，证明∠EA′F=2∠EAA′即可解决问题．
（1）
解：如图①中，∵∠1=∠2，
∴(同位角相等两直线平行)，
故答案为：同位角相等，两直线平行；
（2）
解：如图②−1中，
由翻折的性质可知，∠3=∠4，
∵，
∴∠α=∠3，
∴∠α=∠4，
∵∠1=∠2=70°，
∴；
（3）
解：如图③−1中，
由翻折可知，EA=EA′，∠EA′F=∠DAB=90°，
∴∠EAA′=∠EA′A，
∴∠DEA′=∠EAA′+∠EA′A=2∠EAA′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵∠DEA′+∠DA′E=90°，∠DA′E+∠CA′F=90°，
∴∠DEA′=∠CA′F，
∴∠CA′F=2∠DAA′，
∴；
如图③−2中，
由翻折可知，EA=EA′，FA=FA′，
∴∠EAA′=∠EA′A，∠FAA′=∠FA′A，
∵，
∴∠EA′A=∠FAA′，
∴∠EAA′=∠AA′F，
∴∠EA′F=2∠EAA′，
∵∠CA′F+∠EA′F=180°，
∴2∠EAA′=180°−x，
∴，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了平行线的性质，矩形的性质，三角形内角和定理及外角的性质，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
19．综合与实践：折纸中的数学
知识背景
我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学﹣﹣长方形纸条的折叠与平行线．
知识初探
(1)如图1，长方形纸条ABGH中，，∠A＝∠B＝∠G＝∠H＝，将长方形纸条沿直线CD折上，点A落在A'处，点B落在B'处，B'C交AH于点E，若∠ECG＝，则∠CDE＝ ；
类比再探
(2)如图2，在图1的基础上将∠HEC对折，点H落在直线EC上的H'处，点G落在G'处得到折痕EF，则折痕EF与CD有怎样的位置关系？说明理由；
(3)如图3，在图2的基础上，过点G'作BG的平行线MN，请你猜想∠ECF和∠H'G'M的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）先根据折叠的性质可得，再根据平角的定义可得，然后根据平行线的性质即可得；
（2）先根据折叠的性质可得，，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得出结论；
（3）过点作于，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据折叠的性质可得，从而可得，最后根据等量代换即可得出结论．
（1）
解：由折叠的性质得：，
，，
，
，
，
故答案为：．
（2）
解：，理由如下：
由折叠的性质得：，，
，
，
，
．
（3）
解：，理由如下：
如图，过点作于，
，
又，
，
，
由折叠的性质得：，
，
．
【点睛】本题考查了折叠的性质、平行线的判定与性质、平行公理推论等知识点，熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题关键．
专题08 平行与折叠问题
【模型讲解】
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E，F分别是边AC，AB上的点，连接EF，将△AEF沿EF折叠，得到，当的边与△ABC的一边平行时，∠AEF的度数是_____．
解：如图1，若时，∴，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴，∵将△AEF沿EF折叠，得到，
∴，∴∠BFE＝180°﹣∠AFE，
∴∠AFE﹣60°＝180°﹣∠AFE，∴∠AFE＝120°，
∴∠AEF＝180°﹣120°﹣30°＝30°；
如图2，设与AB交于点H，
若时，∴∠BCA＝∠FHA＝90°，
∴∠AFH＝180°﹣∠AHF﹣∠A＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵将△AEF沿着EF折叠，∴；
∴∠AEF＝180°﹣∠A﹣∠AFE＝120°；
如图3，
若时，∴，∴，
∵将△AEF沿着EF折叠，∴；
综上所述：30°或75°或120°．
【模型演练】
1．一条两边沿互相平行的围巾按图甲所示折叠并将其绘制成图乙，已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CDBE，∠1=42°，则∠2的度数是（ ）
A．48° B．45° C．96° D．40°
3．如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1=∠2 B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图3，测得∠1=∠2 D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°
4．如图，将一张对边互相平行的纸条沿EF折叠，若∠EFB＝32°，则①；②∠AEC＝148°；③∠BGE＝64°；④∠BFD＝116°，则下列结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．为了检验一条纸带的两条边线是否平行，小明沿折叠后，如图，测量得到：①；②；③；④．其中能够判定两条边线、互相平行的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠．则与的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，且，则的度数是______．
8．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为和．若，，则的度数为______．
9．如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成∠1与∠2．若∠1＝68°，则∠2＝_______°．
10．在“妙折生平——折纸与平行”的拓展课上，小潘老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片ABC，∠B＝32°，∠C＝60°，点D是AB边上的固定点（BD＜AB），请在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，使EF与三角形ABC的一边平行，则∠BDE为____________度．
11．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部的位置，且与点C在直线AB的异侧，折痕为DE，已知∠C＝90°，∠A＝34°.若保持△DE的一边与BC平行，则∠ADE的度数____．
12．如图，将一条两边互相平行的纸带按图折叠，则α的度数等于______．
13．如图，在△ABC中，∠A＝56°，∠C＝46°，D是线段AC上一个动点，连接BD，把△BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于△ABC边时，∠CDB的大小为______．
14．将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图（1），AD∥BC，ED'∥FC'，设∠AED'＝x°
（1）∠EFB＝_____．（用含x的代数式表示）
（2）若将图1继续沿BF折叠成图（2），∠EFC″＝_____．（用含x的代数式表示）．
15．如图所示，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点B落在点B′处，若EB′恰好与BC平行，且∠B＝80°，则∠CDE＝_____°．
16．如图，将一张上、下两边平行（即ABCD）的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕．
(1)试说明∠1＝∠2；
(2)已知∠2＝54°，求∠BEF的度数．
17．如图，把长方形ABCD的两角折叠，折痕分别为EF、HG，点B、D折叠后的对应点分别是、，并且使与在同一直线上，已知长方形的两组对边分别平行，试说明两条折痕EF、GH也相互平行．
18．有一条纸带ABCD，现小强对纸带进行了下列操作：
(1)为了检验纸带的两条边线AB与CD是否平行，小强如图①所示画了直线后，量得∠1=∠2，则，理由为 ;
(2)将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图②所示，设∠1为70°，请求出∠的度数；
(3)如图③，已知这是一条长方形纸带，点E在折线AD→DC上运动，点F是AB上的动点，连接EF将纸带沿着EF折叠，使点A的对应点落在DC上，若，请用含x的代数式来表示的度数为 .（直接写出答案）
19．综合与实践：折纸中的数学
知识背景
我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学﹣﹣长方形纸条的折叠与平行线．
知识初探
(1)如图1，长方形纸条ABGH中，，∠A＝∠B＝∠G＝∠H＝，将长方形纸条沿直线CD折上，点A落在A'处，点B落在B'处，B'C交AH于点E，若∠ECG＝，则∠CDE＝ ；
类比再探
(2)如图2，在图1的基础上将∠HEC对折，点H落在直线EC上的H'处，点G落在G'处得到折痕EF，则折痕EF与CD有怎样的位置关系？说明理由；
(3)如图3，在图2的基础上，过点G'作BG的平行线MN，请你猜想∠ECF和∠H'G'M的数量关系，并说明理由．
专题08 平行与折叠问题
【模型讲解】
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E，F分别是边AC，AB上的点，连接EF，将△AEF沿EF折叠，得到，当的边与△ABC的一边平行时，∠AEF的度数是_____．
解：如图1，若时，∴，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴，∵将△AEF沿EF折叠，得到，
∴，∴∠BFE＝180°﹣∠AFE，
∴∠AFE﹣60°＝180°﹣∠AFE，∴∠AFE＝120°，
∴∠AEF＝180°﹣120°﹣30°＝30°；
如图2，设与AB交于点H，
若时，∴∠BCA＝∠FHA＝90°，
∴∠AFH＝180°﹣∠AHF﹣∠A＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵将△AEF沿着EF折叠，∴；
∴∠AEF＝180°﹣∠A﹣∠AFE＝120°；
如图3，
若时，∴，∴，
∵将△AEF沿着EF折叠，∴；
综上所述：30°或75°或120°．
【模型演练】
1．一条两边沿互相平行的围巾按图甲所示折叠并将其绘制成图乙，已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将围巾展开，根据折叠的性质得：则∠ADM=∠ADF，∠KCB=∠BCN，设∠ABC=x，根据平行线的性质得：∠FDC=∠KCG=2x，由平角的定义列式：∠FDC+∠FDM=180°，可得x的值，从而得结论．
【详解】解：如图乙，将围巾展开，则∠ADM=∠ADF，∠KCB=∠BCN，
设∠ABC=x，则∠DAB=x+20°，
∵CDAB，
∴∠ADM=∠DAB=x+20°=∠ADF，
∵DFCG，
∴∠FDC=∠KCG=2x，
∵∠FDC+∠FDM=180°，
∴2x+2（x+20°）=180°，
解得：x=35°，
∴3∠DAB+∠ABC=3（x+20°）+x=4x+60°=200°，
故选：D．
【点睛】此题考查了平行线性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
2．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CDBE，∠1=42°，则∠2的度数是（ ）
A．48° B．45° C．96° D．40°
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和折叠性质即可求解．
【详解】解：如图，
∵AGBE，ADBC，
∴∠1=∠5，∠5=∠4
∴∠4=∠1=42°，
∵CDBE，
∴∠4=∠3=42°，
由折叠性质得：∠6=∠3＝42°，又∠6+∠3+∠2=180°，
∴∠2=96°．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的问题，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理．
3．如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1=∠2 B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图3，测得∠1=∠2 D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．
【详解】A、 当∠1=∠2时，内错角相等，两直线平行，所以；
B、由∠1=∠2且∠3=∠4可得∠1=∠2=∠3=∠4=90∘，所以；
C、∠1=∠2不能判定a，b互相平行；
D、∠1+∠2=180°时，同旁内角互补，两直线平行，所以．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
4．如图，将一张对边互相平行的纸条沿EF折叠，若∠EFB＝32°，则①；②∠AEC＝148°；③∠BGE＝64°；④∠BFD＝116°，则下列结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据平行线的性质及翻折变换的性质对各小题进行逐一分析即可．
【详解】解：①∵AEBG，∠EFB=32°，
∴=∠EFB=32°，故本小题正确；
②∵AEBG，∠EFB=32°，
∴∠AEF=180°-∠EFB=180°-32°=148°，
∵∠AEF=∠AEC+∠GEF，
∴∠AEC＜148°，故本小题错误；
③∵=32°，
∴∠GEF==32°，
∴=+∠GEF=32°+32°=64°，
∵AEBG，
∴∠BGE==64°，故本小题正确；
④∵∠BGE=64°，
∴∠CGF=∠BGE=64°，
∵DFCG，
∴∠BFD=180°-∠CGF=180°-64°=116°，故本小题正确．
综上，①③④正确，共3个．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
5．为了检验一条纸带的两条边线是否平行，小明沿折叠后，如图，测量得到：①；②；③；④．其中能够判定两条边线、互相平行的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由内错角相等，两直线平行可判断①，由等腰三角形的性质可得但是不能判定平行，可判断②，由等腰三角形的性质可得再结合轴对称的性质可得可判断③，由轴对称的性质可得但不能判定平行，从而可得答案．
【详解】解：
∴ 故①符合题意；
∵
∴ 不能得到 故②不符合题意；
∵
∴
由折叠可得：
∴
∴，故③符合题意；
∴ 不能得到 故④不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握“轴对称的性质与等腰三角形的性质及平行线的判定方法”是解本题的关键．
6．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠．则与的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据折叠性质，先得出，根据，得出，，得出，根据，得出，即可得出结论．
【详解】解：根据折叠可知，，
∵，
，，
∴，
∵，
，即，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，根据题意得出，是解题的关键．
7．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，且，则的度数是______．
【答案】57°##57度
【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到，再根据同旁内角互补可得，进而得出．
【详解】解：如图，延长到点，
纸带对边互相平行，
，
由折叠得，，
∵，
，
，
，
，即，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，图形的折叠，熟练掌握平行线的性质，图形的折叠的性质是解题的关键．
8．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为和．若，，则的度数为______．
【答案】68°##68度
【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到，进而得出，再由折叠的性质得．
【详解】解：如图，延长到点，
由折叠可得， ，
∵，
∴，
纸带对边互相平行，
∴，
∴，
由折叠可得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．
9．如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成∠1与∠2．若∠1＝68°，则∠2＝_______°．
【答案】22°##22度
【分析】延长CE，交AD与点F，根据平行的性质有∠2=∠DFE，再根据∠1+∠DFE=90°，即可求出∠DFE，则问题得解．
【详解】延长CE，交AD与点F，如图，
根据题意有：，∠DEC=90°，
∴∠2=∠DFE，∠DEF=∠DEC=90°，
∴△DEF是直角三角形，即∠1+∠DFE=90°，
∵∠1=68°，
∴∠DFE=90°-∠1=22°，
∴∠2=22°，
故答案为：22°．
【点睛】本题考查了由平行线的性质探究角的关系；掌握两直线平行内错角相等是解题关键．
10．在“妙折生平——折纸与平行”的拓展课上，小潘老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片ABC，∠B＝32°，∠C＝60°，点D是AB边上的固定点（BD＜AB），请在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，使EF与三角形ABC的一边平行，则∠BDE为____________度．
【答案】28°或74°或118°
【分析】分三种情况，分别画出图形，结合平行线的性质和三角形内角和定理，三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：当时，
由折叠得，∠B=∠F=32°，∠BED=∠DEF，
∵，
∴∠B=∠CEF=32°，
∴∠BEF=180°-32°=148°，
∴；
当时，
∵，
∴∠BEF=∠C=60°，
∴，
∴；
当时，
∴∠CEF=∠C=60°，
∴∠BGD=∠CEF+∠F=92°，
∴∠BDG=180°-∠B-∠BGD=56°，
∴；
综上所述，∠BDE为28°或74°或118°．
故答案为：28°或74°或118°
【点睛】本题主要考查了图形的折叠，平行线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
11．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部的位置，且与点C在直线AB的异侧，折痕为DE，已知∠C＝90°，∠A＝34°.若保持△DE的一边与BC平行，则∠ADE的度数____．
【答案】45°或28°
【分析】根据题意，分，两种情况分析，根据平行线的性质与三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：∵将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部A'的位置，
∴当时，经过折叠在上，不符题意，
依题意，，
①当，
②当时，
故答案为：45°或28°
【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握三角形的外角的性质，内角和定理，平行线的性质是解题的关键．
12．如图，将一条两边互相平行的纸带按图折叠，则α的度数等于______．
【答案】75°##75度
【分析】由平行线的性质可知∠2=∠1，由折叠的性质可知2α+30=180，列方程求解．
【详解】解：∵ADBC，
∴∠2=∠1=30°，
∴2α+30=180，
∴α=75，
故答案为：75°．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质．根据折叠性质及互补关系列出方程是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，∠A＝56°，∠C＝46°，D是线段AC上一个动点，连接BD，把△BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于△ABC边时，∠CDB的大小为______．
【答案】或
【分析】先根据折叠的性质可得，设，再分①和两种情况，画出相应的图形，利用平行线的性质、平角的定义建立方程，解方程即可得．
【详解】解：由折叠的性质得：，
设，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当时，
，
，
，
，
解得，
即；
②如图，当时，
，
，
，
解得，
即；
综上，的大小为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、一元一次方程的应用，正确分两种情况，并画出图形是解题关键．
14．将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图（1），AD∥BC，ED'∥FC'，设∠AED'＝x°
（1）∠EFB＝_____．（用含x的代数式表示）
（2）若将图1继续沿BF折叠成图（2），∠EFC″＝_____．（用含x的代数式表示）．
【答案】 90°- x° x°-90°
【分析】（1）由平行线的性质得∠DEF=∠EFB，∠AEH+∠EHB=180°，折叠和三角形的外角得∠D'EF=∠EFB，∠EFB=∠EHB，最后计算出∠EFB=90°- x°；
（2）由折叠和平角的定义求出∠EFC'=90°+ x°，再次折叠经计算求出∠EFC"= x°-90°．
【详解】解：（1）如图1所示，
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB，∠AEH+∠EHB=180°，
又∵∠DEF=∠D'EF，
∴∠D'EF=∠EFB，
又∵∠EHB=∠D'EF+∠EFB，
∴∠EFB=∠EHB，
又∵∠AED'=x°，
∴∠EHB=180°-x°
∴∠EFB=（180°-2）=90°- x°
故答案为：90°- x°；
(2)如图2所示，
∵∠EFB+∠EFC'=180°，
∴∠EFC=∠EFC'=180°-（90°- x°）=90°+ x°，
又∵∠EFC'=2∠EFB+∠EFC"，
∴∠EFC"=∠EFC'-2∠EFB=90°+ x°-2（90°- x°）
= x°-90°，
故答案为： x°-90°．
【点睛】本题综合考查了平行线的性质，折叠问题，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，平角的定义以及角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是折叠前后的变及不变的问题，二次折叠角的前后大小等量关系．
15．如图所示，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点B落在点B′处，若EB′恰好与BC平行，且∠B＝80°，则∠CDE＝_____°．
【答案】130
【分析】先求出∠B=∠B′=80°，∠BDE=∠B′DE，根据平行线的性质得到∠B′DC=80°，进而得到∠BD B′=100°，∠BDE=50°，即可求出∠CDE＝130°．
【详解】解：由折叠的定义得∠B=∠B′=80°，∠BDE=∠B′DE，
∵EB′∥BC，
∴∠B′=∠B′DC=80°，
∴∠BD B′=180°-∠B′DC=100°，
∴∠BDE=∠B′DE=50°，
∴∠CDE＝180°-∠BDE=130°．
故答案为：130
【点睛】本题考查了折叠的定义，平行线的性质，邻补角的定义等知识，熟知相关知识并根据图形灵活应用是解题关键．
16．如图，将一张上、下两边平行（即ABCD）的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕．
(1)试说明∠1＝∠2；
(2)已知∠2＝54°，求∠BEF的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连续两次利用定理“两直线平行，内错角相等”即可求证；
（2）先利用求出，再利用求出，最后利用关系式求解即可．
（1）
解：证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）
∵，∠2＝54°
∴．
根据折叠的性质知：，
∴．
又∵，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行的性质，折叠的性质，掌握平行的性质和折叠前后对应的角相等是解题的关键．
17．如图，把长方形ABCD的两角折叠，折痕分别为EF、HG，点B、D折叠后的对应点分别是、，并且使与在同一直线上，已知长方形的两组对边分别平行，试说明两条折痕EF、GH也相互平行．
【答案】见解析
【分析】先根据折叠得出，，再根据平行线的性质得出，即可得出，最后根据平行线的判定得出结论．
【详解】证明：根据折叠可知，，，
∵长方形的两组对边分别平行，即
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，折叠的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等和内错角相等两直线平行，是解题的关键．
18．有一条纸带ABCD，现小强对纸带进行了下列操作：
(1)为了检验纸带的两条边线AB与CD是否平行，小强如图①所示画了直线后，量得∠1=∠2，则，理由为 ;
(2)将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图②所示，设∠1为70°，请求出∠的度数；
(3)如图③，已知这是一条长方形纸带，点E在折线AD→DC上运动，点F是AB上的动点，连接EF将纸带沿着EF折叠，使点A的对应点落在DC上，若，请用含x的代数式来表示的度数为 .（直接写出答案）
【答案】(1)同位角相等，两直线平行
(2)
(3)或
【分析】(1)根据平行线的判定方法即可解决问题；
(2)如图②−1中，证明∠α=∠4即可解决问题；
(3)分两种情形：如图③−1中，证明∠DEA′=2∠EAA′，∠DEA′=∠CA′F即可；如图③−2中，证明∠EA′F=2∠EAA′即可解决问题．
（1）
解：如图①中，∵∠1=∠2，
∴(同位角相等两直线平行)，
故答案为：同位角相等，两直线平行；
（2）
解：如图②−1中，
由翻折的性质可知，∠3=∠4，
∵，
∴∠α=∠3，
∴∠α=∠4，
∵∠1=∠2=70°，
∴；
（3）
解：如图③−1中，
由翻折可知，EA=EA′，∠EA′F=∠DAB=90°，
∴∠EAA′=∠EA′A，
∴∠DEA′=∠EAA′+∠EA′A=2∠EAA′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵∠DEA′+∠DA′E=90°，∠DA′E+∠CA′F=90°，
∴∠DEA′=∠CA′F，
∴∠CA′F=2∠DAA′，
∴；
如图③−2中，
由翻折可知，EA=EA′，FA=FA′，
∴∠EAA′=∠EA′A，∠FAA′=∠FA′A，
∵，
∴∠EA′A=∠FAA′，
∴∠EAA′=∠AA′F，
∴∠EA′F=2∠EAA′，
∵∠CA′F+∠EA′F=180°，
∴2∠EAA′=180°−x，
∴，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了平行线的性质，矩形的性质，三角形内角和定理及外角的性质，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
19．综合与实践：折纸中的数学
知识背景
我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学﹣﹣长方形纸条的折叠与平行线．
知识初探
(1)如图1，长方形纸条ABGH中，，∠A＝∠B＝∠G＝∠H＝，将长方形纸条沿直线CD折上，点A落在A'处，点B落在B'处，B'C交AH于点E，若∠ECG＝，则∠CDE＝ ；
类比再探
(2)如图2，在图1的基础上将∠HEC对折，点H落在直线EC上的H'处，点G落在G'处得到折痕EF，则折痕EF与CD有怎样的位置关系？说明理由；
(3)如图3，在图2的基础上，过点G'作BG的平行线MN，请你猜想∠ECF和∠H'G'M的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）先根据折叠的性质可得，再根据平角的定义可得，然后根据平行线的性质即可得；
（2）先根据折叠的性质可得，，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得出结论；
（3）过点作于，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据折叠的性质可得，从而可得，最后根据等量代换即可得出结论．
（1）
解：由折叠的性质得：，
，，
，
，
，
故答案为：．
（2）
解：，理由如下：
由折叠的性质得：，，
，
，
，
．
（3）
解：，理由如下：
如图，过点作于，
，
又，
，
，
由折叠的性质得：，
，
．
【点睛】本题考查了折叠的性质、平行线的判定与性质、平行公理推论等知识点，熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题关键．
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