高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.4 二项分布与超几何分布多媒体教学课件ppt

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某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对6个．问题　如何求出甲通过自主招生初试的概率？若记甲答对试题的个数为X，那么如何构建适当的概率模型刻画其分布？
知识点　超几何分布1．超几何分布的概念一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝___________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)超几何分布是不放回抽样．(　　)(2)超几何分布的总体是只有两类物品．(　　)(3)超几何分布与二项分布的均值相同．(　　)(4)超几何分布与二项分布没有任何联系．(　　)
3．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝________．
题型一　超几何分布的辨析【例1】　下列问题中，哪些属于超几何分布问题，并说明理由．(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列；解 中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．
(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列；(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列；解 符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布．(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列．解 中没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不属于超几何分布问题．
|通性通法|判断一个随机变量是否服从超几何分布的方法(1)总体是否可分为两类明确的对象；(2)是否为不放回抽样；(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．　
(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有(　 　)A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为XB．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量XD．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X解析：依据超几何分布模型定义可知，A、B、D中随机变量X服从超几何分布．而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．
题型二　超几何分布的概率【例2】　某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；解 由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．解 根据题意，知X的所有的可能取值为1，2，3，服从超几何分布，
|通性通法|求超几何分布的分布列的步骤
即M2－M－6＝0，解得M＝3或M＝－2(舍去)．∴7名学生中甲班的学生共有3人．
(2)设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求ξ≥1的概率．解：由题意可知，ξ服从超几何分布．
题型三　超几何分布与二项分布间的关系【例3】　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图如图．
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；解 质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值；解 质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0，1，2，X服从超几何分布．
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
|通性通法|二项分布与超几何分布的关系在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布.
(1)100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；
(2)某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．解：由于商品数量较大，从中只抽取5件，故η的分布列近似地为ξ的分布列．
随机变量函数的数学期望和方差1．某商场做促销活动，凡是一家三口一起来商场购物的家庭，均可参加返现活动，活动规则如下：商家在箱中装入20个大小相同的球，其中6个是红球，其余都是黑球；每个家庭只能参加一次活动，参加活动的三口人，每人从中任取一球，只能取一次，且每人取球后均放回；若取到黑球则获得4元返现金，若取到红球则获得12元返现金．若某家庭参与了该活动，求该家庭获得的返现金额的期望．
设该运动员的得分为随机变量Y，则Y的所有可能取值为－8，－4，0，4，8，12，16，20，24，且P(Y＝－8)＝P(X＝0)，P(Y＝－4)＝P(X＝1)，P(Y＝0)＝P(X＝2)，P(Y＝4)＝P(X＝3)，P(Y＝8)＝P(X＝4)，P(Y＝12)＝P(X＝5)，P(Y＝16)＝P(X＝6)，P(Y＝20)＝P(X＝7)，P(Y＝24)＝P(X＝8)，
∴随机变量X，Y的关系为Y＝4X－8，∴E(Y)＝E(4X－8)＝4E(X)－8＝4×4－8＝8，D(Y)＝D(4X－8)＝16D(X)＝16×2＝32.
结论 求解随机变量Y＝aX＋b的均值时，可以先求出随机变量X的均值E(X)，然后利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，求得随机变量Y的均值；也可以先求出Y＝aX＋b的分布列，然后利用均值的定义公式求出随机变量Y的均值．由以上两题可以看出，要求期望的随机变量Y本身并不服从超几何分布或二项分布，但它和另一个服从超几何分布或二项分布的随机变量X可以建立一个一次函数关系，这时通常先根据超几何分布或二项分布的期望公式求得X的期望E(X)，再利用期望的性质求得E(Y)；也可以直接对Y进行分析，求得其分布列，然后利用期望的定义求解．
网约车的兴起丰富了民众出行的选择，为民众出行提供便利的同时也解决了很多劳动力的就业问题．梁某为网约车司机，据梁某自己统计某一天出车一次的总路程数可能的取值是20，22，24，26，28，30，它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t.(1)求这一天中梁某一次行驶路程X的分布列，并求X的均值和方差；解：由概率分布的性质知，0.1＋0.2＋0.3＋0.1＋t＋2t＝1，∴t＝0.1.∴X的分布列为
∴E(X)＝20×0.1＋22×0.2＋24×0.3＋26×0.1＋28×0.1＋30×0.2＝25.D(X)＝52×0.1＋32×0.2＋12×0.3＋12×0.1＋32×0.1＋52×0.2＝10.6.
(2)网约车计费规则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3 km时，收费5元，若行驶路程超过3 km，则每超出1 km(不足1 km也按1 km计程)收费3元．依据以上条件，计算梁某一天中出车一次收入的均值和方差．解：设梁某一天出车一次的收入为Y元，则Y＝3(X－3)＋5＝3X－4(X＞3，X∈N)，∴E(Y)＝E(3X－4)＝3E(X)－4＝3×25－4＝71，D(Y)＝D(3X－4)＝32D(X)＝95.4.
3．学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二(1)班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到．若X表示选到高二(1)班的候选人的人数，则E(X)＝________．
解析：本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率．
5．(多选)下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是(　 　)A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数XB．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为XC．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为XD．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数解析：由超几何分布的定义可知仅B是超几何分布，故选A、C、D.
6．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝________．
7．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)＝________，随机变量X的均值E(X)＝________．
8．数学教师从6道习题中随机抽3道让同学解答，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是________．
9．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．(1)求ξ的分布列；解：ξ可能取的值为0，1，2，服从超几何分布，
(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．
11．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，则事件A发生的概率是________；设X为选出的4人中种子选手的人数，则随机变量X均值E(X)＝________．
12. 某商场庆“五一”举行促销活动，活动期间凡在商场购物满88元的顾客，凭发票都有一次摸奖机会，摸奖规则如下：准备了10个相同的球，其中有5个球上印有“奖”字，另外5个球上无任何标志，摸奖前在盒子里摇匀，然后由摸奖者随机地从中摸出5个球，奖品按摸出的球中含有带“奖”字球个数规定如表：
(1)若某人凭发票摸奖一次，求中奖的概率；解：设X为摸取5个球中印有“奖”字的球的个数，则X服从参数为N＝10，M＝5，n＝5的超几何分布．X的可能取值为0，1，2，3，4，5，
(2)若某人凭发票摸奖一次，求奖品为自行车的概率．
13．某班同学利用寒假对A小区的居民进行了一次生活习惯是否符合低碳理念的调查，生活习惯符合低碳理念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两类人数各占A小区总人数的比例如下表所示：
在A小区中随机选择20户，设从中抽取的3户中“非低碳族”的数量为X，则X的分布列为________．
所以随机变量X的分布列为
14.某外语学校的一个社团有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求：(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列．解：由题意可知，X所有可能的取值为0，1，2，3.