2022-2023 数学冀教版新中考精讲精练 考点17 三角形

考点17 三角形

考点总结

知识点一 三角形的概念

三角形的概念 ：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。

三角形特性

（1）三角形有三条线段

（2）三条线段不在同一直线上    三角形是封闭图形

（3）首尾顺次相接

三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。

三角形按边分类  ：

等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。

等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等。

三角形三边的关系（重点） 

（1）三角形的任意两边之和大于第三边。 

三角形的任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可） 

用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。

（2） 已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b 

三角形的分类：

三角形按边的关系分类如下：

         不等边三角形

三角形                   底和腰不相等的等腰三角形

         等腰三角形

                         等边三角形

三角形按角的关系分类如下：

直角三角形（有一个角为直角的三角形）

三角形   锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）

钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）

三角形的稳定性

    三角形具有稳定性 

    四边形及多边形不具有稳定性 

要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。

知识点二 与三角形有关的线段

三角形的高概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

三角形的中线概念：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

性质：三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。

三角形的角平分线概念：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

注意：三角形的角平分线是一条线段，角的平分线是一条射线。

知识点三 与三角形有关的角

三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：

①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

备注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。等角的补角相等，等角的余角相等。

三角形的外角和定理：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角

性质：1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 

2. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

知识点三 等腰三角形

等腰三角形概念：有两边相等的三角形角等腰三角形。

等腰三角形性质：

1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）

等腰三角形的判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.

等边三角形概念：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。

等边三角形性质和判定：

（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。

（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（补充：

（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。

（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

（3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线[

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•滦州市一模）以下是四位同学在钝角三角形△ABC中画AC边上的高，其中正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】找到经过顶点B且与AC垂直的BD所在的图形即可．

【解答】解：A、高BD交AC的延长线于点D处，符合题意；

B、没有经过顶点B，不符合题意；

C、做的是BC边上的高线AD，不符合题意；

D、没有经过顶点B，不符合题意．

故选：A．

2．（2021•遵化市模拟）如图，△ABC中，BC＝6，BD是中线，E是BD上一点，作射线AE，交BC于点F，若BE＝2DE，则FC＝（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5

【分析】先根据重心的性质得到点E为△ABC的重心，则AF为BC边上的中线，于是可得到FC的长．

【解答】解：∵BD是中线，BE＝2DE，

∴点E为△ABC的重心，

∴AF为BC边上的中线，

∴FC＝BF＝BC＝×6＝3．

故选：C．

3．（2021•河北模拟）如图，直线EF∥直线GH，在Rt△ABC中，∠C＝90°，顶点A在GH上，顶点B在EF上，且BA平分∠DBE．若∠CAD＝26°，求∠BAD的度数．

下面是嘉琪在作业本上写出的解答过程，他故意把部分步骤内容用小图标遮挡．

关于小图标遮挡的内容，下面的回答错误的是（　　）

A．代表64° B．代表∠DBE C．代表∠DBE D．代表∠CBE

【分析】利用三角形内角和定理可得∠ADC的度数，再利用平行线的性质及角平分线的定义可得答案．

【解答】解：∵∠C＝90°，∠CAD＝26°，

∴∠ADC＝64°．

∵直线EF∥直线GH，

∴∠DBE＝∠ADC＝64°．

∵BA平分∠DBE，

∴∠ABE＝DBE＝32°．

∵直线EF∥直线GH，

∴∠BAD＝∠ABE＝32°．

故选：D．

4．（2021•路南区二模）如图，直线l∥m，将三角形△ABC（∠ABC＝45°）的直角顶点C放在直线m上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°

【分析】过点B作直线n∥l．由平行线的性质和判定，可得到∠1、∠2、∠3、∠4、∠ABC间关系，利用角的和差关系计算可得结论．

【解答】解：过点B作直线n∥l．

∵l∥m，

∴m∥n∥l．

∴∠3＝∠2，∠1＝∠4．

∵∠ABC＝45°，∠1＝20°，

∴∠3＝∠ABC﹣∠4

＝45°﹣20°

＝25°．

∴∠2＝25°．

故选：B．

5．（2021•张家口一模）如图，在一副三角板中，标识了4个角，其中最大的角为（　　）

A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4

【分析】根据三角板中这四个角的度数可得结论．

【解答】解：三角板中这四个角的度数分别是：

∠1＝∠2＝45°，∠3＝30°，∠4＝60°．

故选：D．

6．（2021•河北模拟）如图，△ABC中，AD为BC边上的高，下列等式错误的是（　　）

A．∠ADB＝∠ADC＝90° B．∠B+∠BAD＝90° 

C．∠C+∠DAC＝90° D．∠BAD＝∠DAC

【分析】根据三角形高线的意义和三角形内角和等于180°即可求解．

【解答】解：∵AD为BC边上的高

∴∠ADB＝∠ADC＝90°

∴∠B+∠BAD＝90°，∠C+∠DAC＝90°，

∴A，B，C选项正确，

∵∠BAD与∠DAC不一定相等，

∴D选项错误，

故选：D．

7．（2021•高阳县模拟）一副三角板如图放置，则∠1的度数为（　　）

A．45° B．60° C．65° D．75°

【分析】利用一副三角板先得出∠ECB、∠CDF的度数，再利用三角形的内角和定理求出∠CFD的度数即可．

【解答】解：∵三角板是一副，

∴∠ECD＝45°，∠ADC＝60°．

∴∠CFD＝180°﹣∠ECD﹣∠ADC

＝180°﹣45°﹣60°

＝75°．

∴∠1＝75°．

故选：D．

8．（2021•遵化市模拟）将一副三角板按如图所示的方式摆放，则∠1＝（　　）

A．45° B．60° C．65° D．75°

【分析】根据三角形外角的性质即可得到结论．

【解答】解：∠1＝30°+（90°﹣45°）＝75°，

故选：D．

9．（2021•河北）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．

下列说法正确的是（　　）

A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 

B．证法1用严谨的推理证明了该定理 

C．证法2用特殊到一般法证明了该定理 

D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理

【分析】依据定理证明的一般步骤进行分析判断即可得出结论．

【解答】解：∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形，

∴A的说法不正确，不符合题意；

∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，

∴B的说法正确，符合题意；

∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明，

∴C的说法不正确，不符合题意；

∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次数的多少无关，

∴D的说法不正确，不符合题意；

综上，B的说法正确．

故选：B．

10．（2021•路南区一模）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据高线的定义即可得出结论．

【解答】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，

故选：A．

二．填空题（共5小题）

11．（2021•河北）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 　减少　（填“增加”或“减少”） 　10　度．

【分析】延长EF，交CD于点 G，依据三角形的内角和定理可求∠ACB，根据对顶角相等可得∠DCE，再由三角形内角和定理的推论得到∠DGF的度数；利用∠EFD＝110°，和三角形的外角的性质可得∠D的度数，从而得出结论．

【解答】解：延长EF，交CD于点G，如图：

∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，

∴∠ECD＝∠ACB＝70°．

∵∠DGF＝∠DCE+∠E，

∴∠DGF＝70°+30°＝100°．

∵∠EFD＝110°，∠EFD＝∠DGF+∠D，

∴∠D＝10°．

而图中∠D＝20°，

∴∠D应减少10°．

故答案为：减少，10．

12．（2021•海港区模拟）如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有　3　个．

【分析】由已知条件，根据三角形内角和等于180°求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏．

【解答】解：∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，∠A＝36°，

∴∠ABD＝180°﹣72°﹣36°﹣36°＝36°＝∠A，

∴AD＝BD，△ADB是等腰三角形，

∵根据三角形内角和定理知∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝∠C，

∴BD＝BC，△BDC是等腰三角形，

∵∠C＝∠ABC＝72°，

∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形．

故图中共3个等腰三角形．

故答案为：3．

13．（2021•滦南县二模）如图1，正△ABC的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正△A1B1C1，再把正△A1B1C1的各边延长一倍得到正△A2B2C2（如图2），如此进行下去，…则：

（1）正△A1B1C1的面积为 　7　；

（2）正△AnBn∁n的面积为 　7n　（用含有n的式子表示，n为正整数）．

【分析】（1）根据已知条件求出△ABC与△A1AB1的底与高的关系，从而可得面积比．然后同样方法求出，△CA1C1的面积＝△B1BC1的面积，进而去求解．

（3）由（1）的方法可得△A2B2C2的面积为7△A1B1C1的面积，然后根据三角形面积与n的关系求解．

【解答】解：（1）∵AC＝AA1，

∴△ABC与△A1AB1的底相等，

∵AB1＝2AB，

∴△ABC与△A1AB1的高的比为1：2，

∴△ABC与△A1AB1的面积比为1：2，

∵△ABC的面积为1，

∴△A1AB1的面积为2，

同理，△CA1C1的面积＝△B1BC1的面积＝2，

∴△A1B1C1的面积为2+2+2+1＝7，

故答案为：7．

（2）同理（1）可证△A2B2C2的面积为7△A1B1C1的面积＝7×7＝72，

依次类推，△AnBn∁n的面积为7n．

故答案为：7n．

14．（2020•保定模拟）如图，∠AOB＝10°，点P在OB上．以点P为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P1（点P1与点O不重合），连接PP1；再以点P1为圆心，OP为半径画弧，交OB于点P2（点P2与点P不重合），连接P1P2；再以点P2为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P3（点P3与点P1不重合），连接P2P3；…，按照上面的要求一直画下去，就会得到OP＝PP1＝P1P2＝P2P3..，则

（1）∠P2P3P4＝　100　°；

（2）与线段OP长度相等的线段一共有　9　条（不含OP）．

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠P1PB的度数，∠P2P1C的度数，∠P3P2B的度数，∠P4P3A的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．

【解答】解：（1）由题意可知，OP＝PP1＝P1P2，

则∠POP1＝∠OP1P，∠P1PP2＝∠P1P2P，

∵∠AOB＝10°，

∴∠P1PB＝20°，∠P2P3A＝30°，∠P3P2B＝40°，∠P4P3A＝50°，

∴∠P2P3P4＝100°；

（2）由（1）得，按照上面的要求一直画下去，得到点Pn，若之后就不能再画出符合要求点Pn+1了，

∴10°＜n＜90°，解得n＜9，n为整数，故n＝8．

此外，△P4P5P6为等边三角形，

故与线段OP长度相等的线段一共有9条（不含OP）．

故答案为：100，9．

15．（2020•高阳县模拟）如图，边长为2的等边△ABC与等边△DEF互相重合，将△ABC沿直线l向左平移m个单位长度，将△DEF沿直线l向右平移m个单位长度．

（1）若AD＝12，则m＝　6　．

（2）若C、E是线段BF的三等分点时，m＝　或2　．

【分析】（1）根据点平移的性质可得出AD＝2m＝12，从而得出结论；

（2）根据点E、C的位置不同，两种情况来考虑，根据线段间的关系结合BC＝2即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论．

【解答】解：（1）∵将△ABC沿直线l向左平移m个单位长度，将△DEF沿直线l向右也平移m个单位长度，

∴AD＝2m，

∵AD＝12，

∴2m＝12，

∴m＝6．

故答案为：6；

（2）E、C是线段BF的三等分点分两种情况：

①点E在点C的左边时，如图1所示．

∵E、C是线段BF的三等分点，

∴BE＝EC＝CF，

∵BC＝2，BE＝1m，

∴2m＝2÷2，解得：m＝；

②点E在点C的右边时，如图2所示．

∵E、C是线段BF的三等分点，

∴BC＝CE＝EF，

∵BC＝2，BE＝2m，

∴2m＝2×2，解得：m＝2．

综上可知：当E、C是线段BF的三等分点时，m的值为或2．

故答案为：或2．

三．解答题（共2小题）

16．（2021•路南区三模）如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°．

（1）若∠1＝50°，求∠2；

（2）连接DF，若DF∥BC，求证：∠1＝∠3．

【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和解答即可；

（2）根据平行线的性质和三角形的内角和解答即可．

【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠A＝∠C＝60°，

∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，

∠DEB+∠DEF+∠2＝180°，

∵∠DEF＝60°，

∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，

∴∠2＝∠1＝50°；

（2）连接DF，

∵DF∥BC，

∴∠FDE＝∠DEB，

∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠FDE+∠3+∠DEF＝180°，

∵∠B＝60°，∠DEF＝60°，

∴∠1＝∠3．

17．（2020•孟村县模拟）如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为a3＝12．第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4＝20，…，依此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为an（n⩾3）

（1）由题意可得a5＝　30　；

（2）求+++…+．

【分析】（1）结合图形观察数字，发现：a3＝12＝3×4，a4＝20＝4×5，进一步得到a5＝5×6；

（2）在计算的时候，根据＝﹣，…进行简便计算．

【解答】解：（1）∵a3＝12＝3×4，a4＝20＝4×5，

∴a5＝5×6＝30．

（2）+++…+＝﹣+﹣+…+﹣＝﹣＝．

故答案为30．