2022-2023 数学冀教版新中考精讲精练 考点21 勾股定理

考点21 勾股定理

考点总结

知识点一 直角三角形与勾股定理

直角三角形三边的性质：

1、  直角三角形的两个锐角互余。

2、  直角三角形斜边的中线，等于斜边的一半。

3、  直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半。

勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么

变式：

1）a²=c²- b²

2）b²=c²- a²

适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。

勾股定理的证明：

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

用拼图的方法验证勾股定理的思路是：

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

方法一：，，化简可证．

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为　　

大正方形面积为

所以

方法三：，，化简得证

知识点二 勾股数

勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数

常见的勾股数：如；；；等

扩展：用含字母的代数式表示组勾股数：

1）（为正整数）；

2）（为正整数）

3）（，为正整数）

注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•张家口一模）如图，在6×4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均在格点上．则∠ABC﹣∠DCE＝（　　）

A．30° B．42° C．45° D．50°

2．（2021•迁西县模拟）如图，快艇从A地出发，要到距离A地10海里的C地去，先沿北偏东70°方向走了8海里，到达B地，然后再从B地走了6海里到达C地，此时快艇位于B地的（　　）

A．北偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上 

C．北偏西30°方向上 D．北偏西40°方向上

3．（2021•河北模拟）如图，在“赵爽弦图”中，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成的，若把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，可得正方形MNPQ，连接MF并延长交NP于点O，若正方形MNPQ的面积为49，正方形EFGH的面积为1，则OF的长为（　　）

A． B． C． D．

4．（2021•路南区三模）观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，a＞b，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（　　）

A．a（a﹣b）＝a2﹣ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 

C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2

5．（2021•泸州模拟）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（　　）

A．9 B．6 C．4 D．3

6．（2021•河北模拟）勾股定理是初中数学最重要的定理之一，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在最大正方形内．记四边形ABCD的面积为S1，四边形DCEG的面积为S2，△GEF的面积为S3，四边形HGFP的面积为S4．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（　　）

A．S1 B．S2 C．S3 D．S4

7．（2020•绵阳模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝90°，AB＝5，CD＝AD＝3，点E是线段CD的三等分点，且靠近点C，∠FEG的两边与线段AB分别交于点F、G，连接AC分别交EF、EG于点H、K．若BG＝，∠FEG＝45°，则HK＝（　　）

A． B． C． D．

8．（2020•漳州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

9．（2020•绍兴模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，P是BC上一点，且DB＝DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB＝1：3，BC＝，则PE+PF的长是（　　）

A． B．6 C． D．

10．（2021•碑林区校级四模）如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，则AC边上的高为（　　）

A． B． C． D．

二．填空题（共5小题）

11．（2021•张家口一模）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，点E在BC上，AE⊥DE．且AE＝DE，若EC＝1．则CD＝　   　．

12．（2020•隆化县二模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，P为直线AB上一动点，连PC．

（1）线段PC的最小值是　   　．

（2）当PC＝5时，AP长是　   　．

13．（2020•曲阳县模拟）如图，已知在直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，△ABC的面积为5，则△ABC的周长为　   　．

14．（2020•北京一模）如图，边长为1的正方形网格中，AB　   　3．（填“＞”，“＝”或“＜”）

15．（2020•迁安市一模）如图，在△ABC中，BC＝AC＝5，AB＝8，CD为AB边的高，点A在x轴上，点B在y轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动△ABC在平面内滑动，设运动时间为t秒，当B到达原点时停止运动

（1）连接OC，线段OC的长随t的变化而变化，当OC最大时，t＝　   　；

（2）当△ABC的边与坐标轴平行时，t＝　   　．

三．解答题（共3小题）

16．（2020•莲池区一模）如图，一棵高10m的大树倒在了高8m的墙上，大树的顶端正好落在墙的最高处，如果随着大树的顶端沿着墙面向下滑动，请回答下列各题．

（1）如果大树的顶端沿着墙面向下滑动了2m，那么大树的另一端点是否也向左滑动了2m？说明理由，

（2）如果大树的顶端沿着墙面向下滑动了am，那么大树的另一端点是否也向左滑动了am？说明理由．

17．（2020•邢台一模）已知：整式A＝n（n+6）+2（n+8）（n＞0），整式B＞0．

尝试：化简整式A；

发现：A＝B2，求整式B；

应用：利用A＝B2，填写下列表格：

18．（2020•安徽模拟）在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．

（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；

（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．