2022-2023 数学北师大版新中考精讲精练 考点18特殊四边形

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考点18特殊四边形
【考点总结】一、矩形的性质与判定
1．定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
2．性质：
(1)矩形的四个角都是直角．
(2)矩形的对角线相等．
(3)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴；它的对称中心是对角线的交点．
3．判定：
(1)有三个角是直角的四边形是矩形．
(2)对角线相等的平行四边形是矩形．
【考点总结】二、菱形的性质与判定
1．定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
2．性质：
(1)菱形的四条边都相等．
(2)菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角．
3．判定：
(1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
(2)四条边都相等的四边形是菱形．
【考点总结】三、正方形的性质与判定
1．定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形．
2．性质：
(1)正方形的四条边都相等，四个角都是直角．
(2)正方形的对角线相等，且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角．
(3)正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴；正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．
3．判定：
(1)一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．
(2)一组邻边相等的矩形是正方形．
(3)对角线互相垂直的矩形是正方形．
(4)有一个角是直角的菱形是正方形．
(5)对角线相等的菱形是正方形．
真题演练

一、单选题
1．（2021·广西·二模）如图，正方形的边长为6，为对角线，取中点E，与交于点F则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先利用正方形的性质和勾股定理求出AE和DE，再利用平行线分线段成比例求出EF和DF，最后通过作辅助线构造直角三角形求解即可．
【详解】
解：∵正方形的边长为6，中点为点E，
∴，,
∴，,
∵AE∥DC，
∴,
∴,
∴，
∵,
∴，
∴，,
如图，过D点作DH⊥AC，
由正方形性质可知，,
∴,
故选：B．

2．（2021·黑龙江·中考真题）如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在的延长线上，连接，点是的中点，连接交于点，连接，若，．则下列结论：①；②；③；④；⑤点D到CF的距离为．其中正确的结论是（ ）


A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
【答案】C
【分析】
由题意易得，①由三角形中位线可进行判断；②由△DOC是等腰直角三角形可进行判断；③根据三角函数可进行求解；④根据题意可直接进行求解；⑤过点D作DH⊥CF，交CF的延长线于点H，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】
解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∵，，
∴，则，
∵OF∥BE，
∴△DGF∽△DCE，
∴，
∴，故①正确；
∴点G是CD的中点，
∴OG⊥CD，
∵∠ODC=45°，
∴△DOC是等腰直角三角形，
∴，故②正确；
∵CE=4，CD=8，∠DCE=90°，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴，故④错误；
过点D作DH⊥CF，交CF的延长线于点H，如图所示：


∵点F是CD的中点，
∴CF=DF，
∴∠CDE=∠DCF，
∴，
设，则，
在Rt△DHC中，，
解得：，
∴，故⑤正确；
∴正确的结论是①②③⑤；
故选C．
3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，正方形的顶点A、D在⊙O上，边与⊙O相切，若正方形的周长记为，⊙O的周长记为，则、的大小关系为（ ）

A． B． C． D．无法判断
【答案】A
【分析】
设正方形的边长为，⊙O的半径为，则，，结合垂径定理，勾股定理得出，则，，即可得出结论
【详解】
如图：设与⊙O相切与点N，连接ON，延长NO交AD于点M，

为中点，
设正方形的边长为，⊙O的半径为，

在中，


正方形周长为，⊙O的周长为
，




故选：A．
4．（2021·浙江义乌·九年级期中）如图，将一矩形纸片如图折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，连接，当四边形的面积是矩形面积的时，的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据矩形的性质及折叠的性质可证得，进而设出相应的辅助元，借助四边形的面积是矩形面积的列出等式，计算可得b＝4x，进而即可求得答案．
【详解】
解：∵在矩形ABCD中，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，ADBC，
∴∠AHJ＝∠CFK，
∵折叠，
∴，，，，
∴AH＝JH，BF＝JF，AE＝JE＝BE＝AB，CF＝KF，DH＝KH，CG＝KG＝DG＝CD，
∠EJK＝∠B＝90°，∠JKG＝∠D＝90°，∠AHE＝∠JHE＝∠AHJ，∠CFG＝∠KFG＝∠CFK，
∴∠AHE＝∠CFG，
∵AB＝CD，
∴AE＝CG，
∴（AAS），
∴AH＝JH＝CF＝KF，
∴DH＝KH＝BF＝JF，
设AB＝CD＝2a，AD＝BC＝b，AH＝JH＝CF＝KF＝x，
则AE＝JE＝BE＝CG＝KG＝DG＝a，DH＝KH＝BF＝JF＝b－x，
∴JK＝KH－JH＝b－2x，
∵∠EJK＝∠JKG＝90°，
∴JEKG，
又∵JE＝KG，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形的面积是矩形面积的，
∴JE·JK＝AB·BC，
∴a(b－2x)＝·2a·b，
解得b＝4x，
∴AH＝x，DH＝b－x＝3x，
∴，
故选：D．
5．（2021·内蒙古赛罕·二模）如图，在菱形中，若分别交于点E，F，，则的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先证明，根据对应边的比求出BF的长度，运用勾股定理求出的高，即为的高，运用面积公式计算即可．
【详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴三角形三边上的高相等为，
∴三角形的面积为，
故选B．
6．（2021·河南·郑州外国语中学九年级开学考试）如图，点O是菱形对角线的中点，过O作于H．若，，则的长为（ ）

A．2 B．2.4 C．2.5 D．3
【答案】B
【分析】
连接，根据菱形和等腰三角形三线合一的性质，得，根据勾股定理计算，得；根据相似三角形性质，通过证明，利用相似比计算，即可得到答案．
【详解】
连接，如图

∵菱形，
∴
∵点O是菱形对角线的中点，
∴
∴，即
∴
∵，即
∴
∴
∴
∴
故选：B．
7．（2021·重庆市第七中学校九年级阶段练习）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D．对角线平分一组对角且相等的四边形是正方形
【答案】C
【分析】
根据矩形、菱形、正方形的判定和性质，一一判断即可得出．
【详解】
解：A、对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题，对角线互相垂直的四边形除了菱形还有可能是梯形或者其他一般的四边形．
B、对角线互相垂直的平行四边形是正方形，是假命题，对角线互相垂直的平行四边形是菱形（菱形判定定理）．
C、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，是真命题．
D、对角线平分一组对角且相等的四边形是正方形，是假命题，有可能是菱形或者其他一般四边形．
证明C选项：设平行四边形ABCD的对角线AC平分和，求证：四边形ABCD是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC（平行四边形对边平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵AC平分，
∴，
∴（等量代换），
∴AB=BC（等角对等边），
∴四边形ABCD是菱形（菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形）。


故选：C．
8．（2021·重庆·字水中学三模）下列命题是假命题的是（ ）
A．有一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【答案】D
【分析】
根据正方形、矩形、平行四边形、菱形的判定定理逐一判断即可．
【详解】
A：是真命题，是正方形的判定定理；
B：是真命题，是矩形的判定定理；
C：是真命题，是平行四边形的判定定理；
D：不正确，是假命题，对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形；
故选：D．
9．（2021·安徽·合肥38中二模）如图，RtABC≌RtDCB，其中∠ABC=90°，AB=3，BC=4，O为BC中点，EF过点交AC、BD于点E、F，连接BE、CF，则下列结论错误（ ）

A．四边形BECF为平行四边形 B．当BF=3.5时， 四边形BECF为矩形
C．当BF=2.5时，四边形BECF为菱形 D．四边形BECF不可能为正方形
【答案】B
【分析】
证明△BOF≌△COE，得到BF=CE，由此判断A选项；利用勾股定理的逆定理判断B选项；利用直角三角形斜边中线的性质定理得到BE=CE，由此判断C选项；利用判断D选项．
【详解】
证明：∵RtABC≌RtDCB，
∴∠ACB=∠CBD，
∴BD∥AC，
∵O为BC中点，
∴OB=OC，
∵∠BOF=∠COE，
∴△BOF≌△COE，
∴BF=CE，
∴四边形BECF为平行四边形，故A选项正确；
∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=5，
∵BF=3.5,
∴CE=BF=3.5，AE=1.5，
∵，
∴∠BEC不是直角，故四边形BECF不为矩形，故B选项错误；
当BF=2.5时，则CE=BF=2.5，
∴AE=2.5，
∴AE=CE，
∴，
∴四边形BECF为菱形，故C选项正确；
∵AB=3，BC=4，AC=5，
∴，
∴四边形BECF不可能为正方形，故D选项正确；
故选：B．
10．（2021·福建省福州屏东中学二模）如图，边长为的正方形的中心与半径为的的圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：延长DC，CB交⊙O于M，N，连接OF，过点O作OH⊥AB于H．

在Rt△OFH中，FH=，
∵AH=BH=，
∴AF=，
∴S△DAF=•AD•AF=，
则图中阴影部分的面积=×（S圆OS正方形ABCD）S△ADF
=•[π•（）2]（2）
=2π；
故选：A．

二、填空题
11．（2021·浙江·翠苑中学二模）正方形的边长为4，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，联结并延长交正方形一边于点．当时，的长为__________．
【答案】2或
【分析】
分两种情形：如图1中，当BN=DM时，连接CC′交BM于J．如图2中，当BN=DM时，过点C′作C′T⊥CD于T．分别求解即可．
【详解】
解：如图1中，当BN=DM时，连接CC′交BM于J．

∵BN=DM，BN∥DM，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∴BM∥DN，
∴∠BMC=∠NDM，∠BMC′=∠DC′M，由折叠知，MC′=MC，∠BMC=∠BMC′，
∴∠NDM=∠DC′M，
∴MC′=MD，
∴CM=DM=CD=2．
如图2中，当BN=DM时，过点C′作C′T⊥CD于T．

∵CB=CD，BN=DM，
∴CN=CM=MC′，
在△BCM和△DCN中，
，
∴△BCM≌△DCN（SAS），
∴∠CDN=∠CBM，
∵∠CBM+∠BCC′=90°，∠BCC′+∠C′CD=90°，
∴∠CBM=∠C′CD，
∴∠C′CD=∠DCC′，
∴C′D=C′C，
∵C′T⊥CD，
∴DT=TC=2，
∵C′T∥CN，
∴DC′=C′N，
∴C′T=CN，
设C′T=x，则CN=CM=MC′=2x，TM=，
∴，
∴，
∴CM=，
综上所述，CM的值为2或．
12．（2021·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，边长为1的正方形的顶点在第一象限，以长为边长所作的正方形的顶点在第二象限，以长为边长所作的正方形的顶点在第三象限，以长为边长所作的正方形的顶点在第四象限．按此方式依次作下去，则点的坐标是______．

【答案】
【分析】
根据题目所给的条件，计算出每一个象限内的点的坐标，观察坐标的特点得出规律即可．
【详解】
解：∵以长为边长所作的正方形的顶点在第二象限，
∴，
∵以长为边长所作的正方形的顶点在第三象限，
∴，
∵以长为边长所作的正方形的顶点在第四象限，
∴，
以此类推，可得到：
，，…，4次一循环，
∴，
∴点在第二象限，
∴，
故答案为：．
13．（2021·江西·模拟预测）如图，将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点，则的大小为__________．

【答案】100°
【分析】
根据正方形及旋转的性质可得∴∠BAE=35°，∠E=90°，∠ABD=45°，再求得∠ABH=135°，再由四边形AEHB的四个内角和为360°即可求解．
【详解】
∵将正方形ABCD绕点A顺时针旋转35°，得到正方形AEFG，
∴∠BAE=35°，∠E=90°，∠ABD=45°，
∴∠ABH=135°，
∴∠DHE=360°-∠E-∠BAE-∠ABH=360°-90°-35°-135°=100°．
故答案为100°．
14．（2021·浙江柯桥·一模）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”，图①是由边长的正方形薄板分成7块制作成的“七巧板”图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形，该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为_______(结果保留根号).

【答案】
【分析】
由题目中第一个图可到小正方形的边长与小等腰三角形的直角边相等，与平行四边形的短边相等，所以大正方形的对角线长度为4倍小正方形边长，设出小正方形边长，利用大正方形面积列出方程，解出方程即可
【详解】
设小正方形边长为a，由题目中第一个图可到小正方形的边长与小等腰三角形的直角边相等，与平行四边形的短边相等， 所以大正方形对角线长4a，S大正方形==10×10，解得，舍去负值，得到，故填
15．（2021·山东北区·一模）正方形ABCD的边长为4，M为BC的中点，点N在CD边上，且，则 ___．
【答案】5
【分析】
作图后，通过证Rt△ABM≌Rt△APM（HL）得到AB=AP=PM，∠3=∠4；则易证Rt△PMN≌Rt△CMN（HL），则∠5=∠6，PN=CN．则AN=AP+NP=AB+NC，然后通过△ABM∽△MCN可以求得NC的长度，计算AN即可．
【详解】
解：如图，过点M作MP⊥AN于点P，连接MN．

∵M为BC的中点，
∴BM=CM．
∵∠BAM=∠MAN，即∠1=∠2，
∴BM=PM，
在Rt△ABM与Rt△APM中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△APM（HL），
∴AB=AP，∠3=∠4，
∴PM=CM，
在Rt△PMN与Rt△CMN中

∴Rt△PMN≌Rt△CMN（HL），
∴∠5=∠6，PN=CN．
∴∠4+∠5=∠3+∠6=90°，
∴∠1=∠6．
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABM∽△MCN，
∴，即，解得 NC=1，
∴AN=AP+NP=AB+NC=4+1=5，即AN=5．
故答案是：5．

三、解答题
16．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校二模）如图，图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）如图1，点P在小正方形的顶点上，在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q，连接AQ、QC、CP、PA，并直接写出四边形AQCP的周长；
（2）在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为10的矩形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上．

【答案】（1）作图见解析，四边形AQCP的周长为4；（2）见解析．
【分析】
（1）利用网格特点和对称的性质作出格点Q，使P、Q点关于直线AC对称，判断四边形AQCP为正方形，然后计算AP的长度得到正方形AQCP的周长；
（2）利用（1）中方法作正方形ABCD，则正方形ABCD满足条件．
【详解】
（1）如图，点Q和四边形AQCP为所作；
由网格特征可得AQ=QC=CP=PA，OA=OC=OQ=OP，
∵点P与点Q关于AC对称，
∴PQ⊥AC，
∴四边形AQCP是正方形，
∴四边形AQCP的周长＝4AQ=4×＝4；
（2）如图，矩形ABCD为所作．

17．（2021·福建省福州屏东中学二模）如图，四边形为正方形．

（1）请用直尺（不含刻度）与圆规在正方形内作一点，使得点到、的距离相等，且点到的距离等于的长；（不要求写做法，但要保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若正方形的边长为2，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质，先作出BC垂直平分线MN与BC交于H，然后连接AH，作AH的垂直平分线EF，直线EF与直线MN的交点P即为所求；
（2）先证明四边形四边形BHPG是矩形，得到PH=BG=AP，根据H为BC的中点，得到PG=BH=1，再利用勾股定理求解即可.
【详解】
解：（1）如图所示：
分别以B、C为圆心，以大于BC长的一半为半径画弧，两者交于M、N，连接MN交BC于H，连接AH，再以A、H为圆心，以大于AH长的一半为半径画弧，两弧交于E、F，连接EF交直线MN于P，点P即为所求；

（2）连接AP，过点P作PG⊥AB于G，
∵四边形ABCD是正方形，，PH⊥BC，PG⊥AB，
∴∠B=∠PHB=∠PGB=∠PGA=90°，
∴四边形BHPG是矩形，
∴PH=BG=AP，
∵H为BC的中点，
∴PG=BH=1，
设AP=BG=x，则AG=AB-BG=2-x,
在直角三角形AGP中，，
∴，
解得，
∴.

18．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在正六边形中，以为对角线作正方形，、与分别交于、．

（1）______°；
（2）若，求的长．（参考数据：，结果精确到0.1，可以直接利用（1）的结论．）
【答案】（1）15；（2）1.1
【分析】
（1）根据正六边形和正方形的内角及对角线性质求解；
（2）作AD中点O，连接BO，连接PO交BC于H，则由题意可以得到OP、OH，从而得到PH、MH，最后得到 MN的值 ．
【详解】
解：（1）∵AD是正六边形ABCDEF和正方形APDQ的对角线，
∴，∠ PAD=45°，
∴∠BAM=∠BAD-∠PAD=60°-45°=15°，
故答案为15；
（2）如图，作中点，连接，


在正六边形中，，，
、平分、，，
∴，
∴，是等边三角形，
∴，，
∴
连接交于，
在正方形中，，，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴ ．