2022-2023 数学浙教版新中考精讲精练 考点22特殊的平行四边形

考点22特殊的平行四边形

考点总结

1．矩形：

2．菱形：

3．正方形：

4．四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系：

真题演练

一、单选题

1．（2021·浙江衢州·中考真题）如图．将菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱形，．当AC平分时，与满足的数量关系是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

根据菱形的性质可得AB=AC，根据等腰三角形的性质可得∠BAC=∠BCA=，根据旋转的性质可得∠CAC′=∠BAB′=，根据AC平分可得∠B′AC=∠CAC=，即可得出，可得答案．

【详解】

∵四边形ABCD是菱形，，

∴AB=AC，

∴∠BAC=∠BCA==，

∵将菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱形，

∴∠CAC′=∠BAB′=，

∵AC平分，

∴∠B′AC=∠CAC=，

∴∠BAC=∠B′AC+∠BAB′=2=，

∴，

故选；C．

2．（2021·浙江台州·中考真题）如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（   ）

A．（36）cm2 B．（36）cm2 C．24 cm2 D．36 cm2

【答案】A

【分析】

过点C作，过点B作，根据折叠的性质求出，，分别解直角三角形求出AB和AC的长度，即可求解．

【详解】

解：如图，过点C作，过点B作，

∵长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P，

∴，

∴，

∴，，，

∴，

∴，

故选：A．

3．（2021·浙江绍兴·中考真题）如图，菱形ABCD中，，点P从点B出发，沿折线方向移动，移动到点D停止．在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（   ）

A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形

B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形

C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形

D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形

【答案】C

【分析】

是特殊三角形，取决于点P的某些特殊位置，按其移动方向，逐一判断即可．

【详解】

解：连接AC，BD，如图所示．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=DA，∠D=∠B．

∵∠B=60°，

∴∠D=∠B=60°．

∴和都是等边三角形．

点P在移动过程中，依次共有四个特殊位置：

（1）当点P移动到BC边的中点时，记作．

∵是等边三角形，是 BC的中点，

∴．

∴．

∴是直角三角形．

（2）当点P与点C重合时，记作．

此时，是等边三角形；

（3）当点P移动到CD边的中点时，记为．

∵和都是等边三角形，

∴．

∴是直角三角形．

（4）当点P与点D重合时，记作．

∵，

∴是等腰三角形．

综上，形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：

直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形．

故选：C

4．（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（      ）

A． B． C． D．4

【答案】A

【分析】

连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A，D，F，E四点共圆，∠DFE=90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE的长度，从而求解．

【详解】

解：连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB

∵在中，，点G是DE的中点，

∴AG=DG=EG

又∵AG=FG

∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径

∴∠DFE=90°

∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，点是BC的中点，

∴CF=BF=，FN=FM=

又∵FN⊥AC，FM⊥AB，

∴四边形NAMF是正方形

∴AN=AM=FN=

又∵，

∴

∴△NFD≌△MFE

∴ME=DN=AN-AD=

∴AE=AM+ME=3

∴在Rt△DAE中，DE=

故选：A．

5．（2021·浙江宁波·中考真题）如图是一个由5张纸片拼成的，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，另两张直角三角形纸片的面积都为，中间一张矩形纸片的面积为，与相交于点O．当的面积相等时，下列结论一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据△AED和△BCG是等腰直角三角形，四边形ABCD是平行四边形，四边形HEFG是矩形可得出AE=DE=BG=CG=a， HE=GF，GH=EF，点O是矩形HEFG的中心，设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c，过点O作OP⊥EF于点P，OQ⊥GF于点Q，可得出OP，OQ分别是△FHE和△EGF的中位线，从而可表示OP，OQ的长，再分别计算出，，进行判断即可

【详解】

解：由题意得，△AED和△BCG是等腰直角三角形，

∴

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，CD=AB，∠ADC=∠ABC，∠BAD=∠DCB

∴∠HDC=∠FBA，∠DCH=∠BAF，

∴△AED≌△CGB，△CDH≌ABF

∴AE=DE=BG=CG

∵四边形HEFG是矩形

∴GH=EF，HE=GF

设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c

过点O作OP⊥EF于点P，OQ⊥GF于点Q，

∴OP//HE，OQ//EF

∵点O是矩形HEFG的对角线交点，即HF和EG的中点，

∴OP，OQ分别是△FHE和△EGF的中位线，

∴，

∵

∵

∴，即

而，

所以，，故选项A符合题意，

∴，故选项B不符合题意，

而于都不一定成立，故都不符合题意，

故选：A

6．（2021·浙江温州·中考真题）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，根据题意可知BE=PC=DF，AE=BP=CF，根据可得BE=PE=PC=PF=DF，根据正方形的性质可证明△FDG是等腰直角三角形，可得DG=FD，根据三角形中位线的性质可得PH=FQ，CH=QH=CQ，利用ASA可证明△CPH≌△GDQ，可得PH=QD，即可得出PH=BE，可得BH=，利用勾股定理可用BE表示长CH的长，即可表示出CG的长，进而可得答案．

【详解】

如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，

∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，

∴BE=PC=DF，AE=BP=CF，

∵，

∴BE=PE=PC=PF=DF，

∵∠CFD=∠BPC，

∴DF//EH，

∴PH为△CFQ的中位线，

∴PH=QF，CH=HQ，

∵四边形EPFN是正方形，

∴∠EFN=45°，

∵GD⊥DF，

∴△FDG是等腰直角三角形，

∴DG=FD=PC，

∵∠GDQ=∠CPH=90°，

∴DG//CF，

∴∠DGQ=∠PCH，

在△DGQ和△PCH中，，

∴△DGQ≌△PCH，

∴PH=DQ，CH=GQ，

∴PH=DF=BE，CG=3CH，

∴BH=BE+PE+PH=，

在Rt△PCH中，CH==，

∴CG=BE，

∴．

故选：C．

7．（2021·浙江嘉兴·中考真题）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（      ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形

【答案】D

【分析】

此题是有关剪纸的问题，此类问题应亲自动手折一折，剪一剪．

【详解】

解：由题可知，AD平分,折叠后与重合，故全等，所以EO=OF;

又作了AD的垂直平分线，即EO垂直平分AD，所以AO=DO，且EO⊥AD；

由平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形为平行四边形，所以AEDF为平行四边形；

又AD⊥EF，所以平行四边形AEDF为菱形．

故选：

8．（2021·浙江绍兴·中考真题）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是（   ）

A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形

B．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形

C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形

D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形

【答案】C

【分析】

根据平移和大菱形的位置得出菱形的个数进行判定即可

【详解】

如图所示，
用2个相同的菱形放置，最多能得到3个菱形；
用3个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形，
用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形，
用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形，
用6个相同的菱形放置，最多能得到40个菱形．
故选：C．
9．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）如图，正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，顶点C、D在⊙O内，将正方形ABCD绕点B顺时针旋转α度，使点C落在⊙O上．若正方形ABCD的边长和⊙O的半径相等，则旋转角度α等于（    ）

A．36° B．30° C．25° D．22.5°

【答案】B

【分析】

连接OA，OB，OG，由旋转的性质可得，AB=BG，∠ABE=∠CBG=α，先证明△OAB和△OBG都是等边三角形，得到∠OBA=∠OBG=60°，再由∠ABO+∠OBG=∠ABC+∠CBG=120°，求解即可．

【详解】

解：如图所示，连接OA，OB，OG，

由旋转的性质可得，AB=BG，∠ABE=∠CBG=α

∵正方形ABCD的边长和⊙O的半径相等，

∴OA=OB=OG=BG=AB，

∴△OAB和△OBG都是等边三角形，

∴∠OBA=∠OBG=60°，

∵∠ABO+∠OBG=∠ABC+∠CBG=120°，∠ABC=90°（正方形的性质），

∴∠CBG=30°，

∴α=30°，

故选B．

10．（2021·浙江杭州·模拟预测）已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

设，，，，由于四边形EFGH为平行四边形且四边形ABCD是矩形，所以，，根据 ，化简后得，F为BC上一动点，x是变量，是x的系数，根据平不会随点F的位置改变而改变，为固定值，x的系数为0，bc为固定值，，进而可得点E是AB的中点，即可进行判断．

【详解】

解：∵四边形EFGH为平行四边形且四边形ABCD是矩形，

∴，，

设，，，，

∴

∵F为BC上一动点，

∴x是变量，是x的系数，

∵不会随点F的位置改变而改变，为固定值，

∴x的系数为0，bc为固定值，

∴，

∴，

∴E是AB的中点，

∴，

故选：C．

二、填空题

11．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝6，点E是AD上一个动点，把△CDE沿CE向矩形内部折叠，当点D的对应点D′恰好落在矩形的内角平分线上时（∠DCD'为锐角），则cos∠DCD'＝__________________．

【答案】或或或

【分析】

根据D′恰好落在矩形的内角平分线上时，分四种情况，分别考虑，当D'落在∠BCD的平分线上，则∠DCD'=45°即可；当D'落在∠D的平分线上，则∠DCD'=90°，不符合题意；当D'落在∠ABC的平分线上，则∠D'BC=45°，当D'落在∠BAD的平分线上，则∠DAG=45°，都是在Rt△CD'H中，利用勾股定理列出方程，即可求出答案．

【详解】

解：如图1，当D'落在∠BCD的平分线上，则∠DCD'＝45°，cos∠DCD'＝；

当D'落在∠D的平分线上，则∠DCD'＝90°，不符合题意，舍去；

如图2，当D'落在∠ABC的平分线上，则∠D'BC＝45°，

连接BD'，作D'H⊥BC于H，

设D'H＝t，则BH＝t，CH＝8﹣t，

在Rt△CD'H中，由勾股定理得：

t2+（8﹣t）2＝62，

解得：t＝4±，

∵D'H⊥BC，CD⊥BC，

∴∠DCD'＝∠CD'H，

∴cos∠DCD'＝cos∠CD'H＝；

如图3，当D'落在∠BAD的平分线上，则∠DAG＝45°，

连接AD'，过D'作D'H⊥BC于H，延长HD'交AD于G，

设D'G＝t，则AG＝t，D'H＝6﹣t，HC＝8﹣t，

在Rt△CD'H中，由勾股定理得：

（6﹣t）2+（8﹣t）2＝62，

解得t1＝7+（不合题意，舍去），t2＝7﹣，

∴D'H＝6﹣t＝﹣1，

∵D'H⊥BC，CD⊥BC，

∴∠DCD'＝∠CD'H，

∴cos∠DCD'＝cos∠CD'H＝，

综上所述：cos∠DCD'＝或或或．

故答案为：或或或．

12．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）已知，在射线上取一点，在射线上取一点，连接，再作点关于直线的对称点，连接，，得到如下图形．移动点，当时，______；当时，的度数是______．

【答案】90°    30°或150°   

【分析】

当AD=BC时,证明OA=OB=OC即可．分两种情况，取BC的中点E，连接AE，DE，依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到△ADE是等边三角形，进而依据轴对称的性质得出∠ABD的度数．

【详解】

解：①如图1中，设AD交BC于点O．

∵A,D关于BC对称，

∴OA=OD,AD⊥BC,

∵∠MAN=∠AOC=∠AOB=90°,

∴∠CAO+∠OAB=90°,∠CAO+∠ACO=90°,

∴∠ACO=∠OAB,

∴△AOC∽△BOA,

∴OA2=OB•OC,

∵AD=BC,

∴（BC）2=OC•(BC-OC),

∴BC2-4OC•BC+4OC2=0,

∴(BC-2OC)2=0,

∴BC=2OC,

∴OB=OC=OA,

∴∠ABO=∠OCD=45°,

∴∠ABD=90°．

②分两种情况：

如图，当AB＞AC时，取BC的中点E，连接AE，DE，

则AE=DE=BC，

即BC=2AE=2DE，

又∵BC=2AD，

∴AD=AE=DE，

∴△ADE是等边三角形，

∴∠AED=60°，

又∵BC垂直平分AD，

∴∠AEC=30°，

又∵BE=AE，

∴∠ABC=∠AEC=15°，

∴∠ABD=2∠ABC=30°；

如图，当AB＜AC时，同理可得∠ACD=30°，

又∵∠BAC=∠BDC=90°，

∴∠ABD=150°，

故答案为：90°，30°或150°．

13．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF，MN对折，得到五边形GEFNM．其中，顶点A与D重合于点G，重叠部分GHIJ为正方形，顶点I在EM上，若FN=8cm，EM=10cm，则BC长为______cm．

【答案】

【分析】

先根据折叠图形的性质找对应角和对应边相等，然后根据矩形的性质得到AD//BC，由平行的性质可证角相等，继而可证等腰三角性质，由等腰三角形可证线段相等，再根据勾股定理和解直角三角形进行求解.

【详解】

解：由折叠可得：∠EFB=∠EFI，∠CNM=∠INM，CN=NH，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD//BC，

∴∠BFE=∠IEF，∠IMN=∠CNM，

∴∠EFI=∠IEF，∠IMN=∠INM，

∴EI=FI，IM=IN，

∵四边形GHIJ是正方形，

∴HI=JI，∠HIJ=90°，

∴BC=BF+FN+CN=FJ+FN+NH=FI+IJ+FN+IN+IH=2IJ+EM+FN，

∵∠FIN=∠HIJ=90°，

∴FI2+IN2=FN2，

∵FI+IN=IE+IM=EM，

∴FI2+（EM-FI）2=FN2,

由图可知：FI<IN，

∴FI=，

∴IM=IN=EM-FI=，

∵AD//BC，

∴∠JIM=∠IFN，

∴IJ=IM×cos∠JIM=IM×cos∠IFN=IM×,

∴BC=10+8+=.

故答案为：.

14．（2021·浙江·翠苑中学二模）正方形的边长为4，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，联结并延长交正方形一边于点．当时，的长为__________．

【答案】2或

【分析】

分两种情形：如图1中，当BN=DM时，连接CC′交BM于J．如图2中，当BN=DM时，过点C′作C′T⊥CD于T．分别求解即可．

【详解】

解：如图1中，当BN=DM时，连接CC′交BM于J．

∵BN=DM，BN∥DM，

∴四边形BNDM是平行四边形，

∴BM∥DN，

∴∠BMC=∠NDM，∠BMC′=∠DC′M，由折叠知，MC′=MC，∠BMC=∠BMC′，

∴∠NDM=∠DC′M，

∴MC′=MD，

∴CM=DM=CD=2．

如图2中，当BN=DM时，过点C′作C′T⊥CD于T．

∵CB=CD，BN=DM，

∴CN=CM=MC′，

在△BCM和△DCN中，

，

∴△BCM≌△DCN（SAS），

∴∠CDN=∠CBM，

∵∠CBM+∠BCC′=90°，∠BCC′+∠C′CD=90°，

∴∠CBM=∠C′CD，

∴∠C′CD=∠DCC′，

∴C′D=C′C，

∵C′T⊥CD，

∴DT=TC=2，

∵C′T∥CN，

∴DC′=C′N，

∴C′T=CN，

设C′T=x，则CN=CM=MC′=2x，TM=，

∴，

∴，

∴CM=，

综上所述，CM的值为2或．

15．（2021·浙江·翠苑中学二模）如图，在矩形中对角线，交于点，平分交于点，连结．若，，则__________．

【答案】

【分析】

过点O作OM⊥AB于点M，利用正方向的性质以及角平分线的性质可以判定△DAE为等腰直角三角形，求出AE、BE，再根据AD=6，AB=8，求出AC，从而求出OA、OB，再在直角三角形OAM中求出OM即可．

【详解】

解：过点O作OM⊥AB于点M，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC=∠DAB=90°，OA=OB=OC=OD，

又∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE=45°，

∴△DAE为等腰直角三角形，

∴AE=DA，

∵AD=6，AB=8，

∴AE=6，BE=2，

在Rt△DAB中，

AC=BD==10，

∴OA=OB=5，

∵OM⊥AB，

∴AM=MB=4，

∴OM==3，

又∵ME=MB-EB=4-2=2，

在Rt△OME中，

OE==，

故答案为：．

三、解答题

16．（2021·浙江衢州·中考真题）（推理）

如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．

（1）求证：．

（运用）

（2）如图2，在（推理）条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长．

（拓展）

（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）或

【分析】

（1）根据ASA证明；

（2）由（1）得，由折叠得，进一步证明，由勾股定理得，代入相关数据求解即可；

（3）如图，连结HE，分点H在D点左边和点在点右边两种情况，利用相似三角形的判定与性质得出DE的长，再由勾股定理得，代入相关数据求解即可．

【详解】

（1）如图，由折叠得到，

，

．

又四边形ABCD是正方形，

，

，

，

又 正方形

，

．

（2）如图，连接，

由（1）得，

，

由折叠得，，

．

四边形是正方形，

，

，

又，

，

．

，，

，．

，

，

（舍去）．

（3）如图，连结HE，

由已知可设，，可令，

①当点H在D点左边时，如图，

同（2）可得，，

，

由折叠得，

，

又，

，

，

又，

，

，

，

，

，

．

，

，

，

（舍去）．

②当点在点右边时，如图，

同理得，，

同理可得，

可得，，

，

，

（舍去）．

17．（2021·浙江台州·中考真题）如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4，点A是⊙O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作平行四边形ABCD．

（1）如图2，若点A是劣弧的中点．

①求证：平行四边形ABCD是菱形；

②求平行四边形ABCD的面积．

（2）若点A运动到优弧上，且平行四边形ABCD有一边与⊙O相切．

①求AB的长；

②直接写出平行四边形ABCD对角线所夹锐角的正切值．

【答案】①证明见解析；②；（2）①AB的长为或；②

【分析】

（1）①利用等弧所对的弦相等可得，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得证；②连接AO，交BD于点E，连接OD，根据垂径定理可得，利用勾股定理求出OE的长，即可求解；

（2）①分情况讨论当CD与相切时、当BC与相切时，利用垂径定理即可求解；②根据等面积法求出AH的长度，利用勾股定理求出DH的长度，根据正切的定义即可求解．

【详解】

解：（1）①∵点A是劣弧的中点，

∴，

∴，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴平行四边形ABCD是菱形；

②连接AO，交BD于点E，连接OD，

，

∵点A是劣弧的中点，OA为半径，

∴，OA平分BD，

∴，

∵平行四边形ABCD是菱形，

∴E为两对角线的交点，

在中，,

∴，

∴；

（2）①如图，当CD与相切时，连接DO并延长，交AB于点F，

∵CD与相切，

∴，

∴，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，

∴，

在中，，

在中，，

∴，解得，

∴，

∴；

如图，当BC与相切时，连接BO并延长，交AD于点G，

同理可得，，

所以,

综上所述，AB的长为或；

②过点A作，

，

由（2）得：

根据等面积法可得，

解得，

在在中，，

∴，

∴．

18．（2021·浙江绍兴·中考真题）如图，矩形ABCD中，，点E是边AD的中点，点F是对角线BD上一动点，．连结EF，作点D关于直线EF的对称点P．

（1）若，求DF的长．

（2）若，求DF的长．

（3）直线PE交BD于点Q，若是锐角三角形，求DF长的取值范围．

【答案】（1）3；（2）2或6；（3）或

【分析】

（1）根据已知条件可求出，在Rt△EFD中即可求出DF

（2）作点D关于直线EF的对称点P，P分两种情况当P在BD下方时根据等腰三角形的性质即可求出DF，P在BD上方时根据等腰三角形的性质即可求出DF；

（3）作点D关于直线EF的对称点P，P分两种情况①P在BD下方时根据等腰三角形的性质可求出DF，当PE⊥BD时DF最小，当PE⊥AD时，DF最大，②P在BD上方时根据等腰三角形的性质可求出DF，当PE⊥BD时DF最小，当PE⊥AD时，DF最大，；

【详解】

解：（1）如图1，矩形ABCD中，

，

，，

，

点E是AD中点，

，

，

∴△EFD为直角三角形，

∵，

∴

．

（2）第一种情况，如图2，

，

由对称性可得，EF平分，

，

∴是等腰三角形，过点F作FM⊥ED

DM=EM= ，

∵在Rt△DMF中，，

∴．

第二种情况，如图3，

延长PE交BD于M

∵

∴∠EMD=90°

∵

∴

∴，

∵点D关于直线EF的对称点P

∴FE垂直平分PD交PD于H

∴∠HED=60°，∠HDE=30°

∴∠HDF=60°

∴∠EFD=30°

∴是等腰三角形，

∴FE垂直平分DF

∵在Rt△DME中，，

∴

∵．

∴．

综上：DF的长为2或6.

（3）∵是锐角三角形

∴当PE⊥BD时DF最小，当PE⊥AD时，DF最大

由（2）可得当时，

（如图2）或6（如图3）．

当时，

第①种情况，如图4，

EF平分，，

过点F作于点M，

设，则，，

，

，，

．

第②种情况，如图5，

EF平分，，

过点F作于点M，

设，则，，

，

，，

，DF最大值为8，

．

综上：或．