2022-2023 数学北师大版新中考精讲精练 考点20与圆有关的位置关系

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考点20与圆有关的位置关系

【考点总结】一、点与圆的位置关系
1．点和圆的位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内．
2．点和圆的位置关系的判断：如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d。
d＞r点在圆外；
d＝r点在圆上；
d＜r点在圆内.
3．过三点的圆
(1)经过三点的圆：
①经过在同一直线上的三点不能作圆；
②经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．
(2) 三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心．[
【考点总结】二、直线与圆的位置关系
1．直线和圆的位置关系：相离、相切、相交．
2．概念：
(1)直线和圆有两个交点，这时我们就说这条直线和圆相交；
(2)直线和圆有唯一公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点；(3)直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．
3．直线和圆的位置关系的判断：如果圆的半径是r，直线l到圆心的距离为d，那么直线l和⊙O相交d＜r；直线l和⊙O相切d＝r；直线l和⊙O相离d＞r.
【考点总结】三、切线的判定和性质
1．切线的判定方法：
(1)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
2．切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
【考点总结】四、三角形(多边形)的内切圆
1．与三角形(多边形)内切圆有关的一些概念：
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心．
2．三角形的内心的性质：
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三边的距离相等，且在三角形内部．
【考点总结】五、圆与圆的位置关系
1．概念：
①两圆外离：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的外部；
②两圆外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的外部；③两圆相交：两个圆有两个公共点；
④两圆内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部；⑤两圆内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部．
2．圆与圆位置关系的判断：设两圆半径分别为R和r，圆心距为O1O2＝D．
两圆外离d＞R＋r；
两圆外切d＝R＋r；
两圆相交R－r＜d＜R＋r(R≥r)；
两圆内切d＝R－r(R＞r)；
两圆内含0≤d＜R－r(R＞r)．
真题演练
一、单选题
1．（2021·湖北云梦·九年级期中）如图，是等边的外接圆，点是弧上的点，且，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据等边三角形的性质得到∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，根据圆周角定理得到∠BCD=∠BAD=40°，进而可求出∠ACD的度数．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，
∵∠CAD=20°，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=40°，
∵，
∴∠BCD=∠BAD=40°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=100°，
故选：D．
2．（2021·江苏南京·九年级阶段练习）如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为（　　）

A．1 B．﹣2 C．2﹣1 D．3
【答案】B
【分析】
如图，连接BO′、BC．在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接BO′、BC．

∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，
∴，O′E＝2，
在Rt△BCO′中，，
∵O′E+BE≥O′B，
∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E＝﹣2，
故选：B．
3．（2021·山西大同·一模）如图，AB是半圆O的直径，AB＝10，以OB为边作平行四边形OBCE，若CE与半圆O相切于点C，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题目已知条件OB是⊙O的切线，利用切线的性质，连接OC，构造,又因为EC=CO,可得是等腰直角三角形，用等腰面积减去45°扇形面积即可求出答案．
【详解】

解：设OE与⊙O的交点为F；
如图，连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴ ，
∵四边形OBCE为平行四边形，
∴,
∴∠COB=∠ECO=90°，∠EOC=∠OCB，
∵CO=OB,
∴∠OCB=45°，
∴∠EOC=45°，
∵ ,
∵S阴影=S△ECO-S扇形COF
= ,
故选：A．
4．（2021·吉林前郭尔罗斯·三模）如图，四边形ABDE是⊙O的内接四边形，CE是⊙O的直径，DC．若∠BDC＝20°，则∠A的度数为（　　）

A．90° B．100° C．110° D．120°
【答案】C
【分析】
根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵CE是⊙O的直径，
∴∠CDE＝90°，
∵∠BDC＝20°，
∴∠BDE＝∠CDE﹣∠BDC＝70°，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠BDE＝110°，
故选：C．
5．（2021·湖南怀化·中考真题）以下说法错误的是（ ）
A．多边形的内角大于任何一个外角 B．任意多边形的外角和是
C．正六边形是中心对称图形 D．圆内接四边形的对角互补
【答案】A
【分析】
根据多边形的概念及外角和，正多边形的性质及圆内接四边形的性质可直接进行排除选项．
【详解】
解：对于A选项，多边形的内角不一定大于任何一个外角，如正方形，故错误，符合题意；
对于B选项，任意多边形的外角和是360°，正确，故不符合题意；
对于C选项，正六边形是中心对称图形，正确，故不符合题意；
对于D选项，圆内接四边形的对角互补，正确，故不符合题意；
故选A．
6．（2021·山东招远·一模）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由切线的性质求解 再利用三角形的内角和定理求解 再利用圆心角与圆周角的关系可得答案．
【详解】
解： 是的切线，，



故选：
7．（2021·江苏灌云·九年级阶段练习）平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点与⊙O的位置关系是（　　）
A．点在⊙O内 B．点在⊙O上 C．点在⊙O外 D．无法确定
【答案】A
【分析】
本题根据题意可作图可知，即可判定点与的位置关系.
【详解】
解：由题意可作图，如下图所示：

∵，
∴点在内.
故A正确，B、C、D错误，
故选：A.
8．（2021·陕西·西安高新一中实验中学模拟预测）如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（ ）

A．42° B．46° C．50° D．54°
【答案】A
【分析】
先根据已知条件推出，则，再根据圆内接四边形互补，得到，即求出的度数．
【详解】
解：为中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
9．（2021·全国·九年级专题练习）已知的圆心O到直线l的距离为5，的半径为3，则直线l和的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
【答案】A
【分析】
根据直线AB和⊙O相离⇔d＞r进行判断．
【详解】
解：∵的圆心O到直线l的距离为5，的半径为3，
∴直线AB与⊙O相离．
故选：A．
10．（2021·重庆八中二模）如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A为切点，PO与⊙O相交于B点，已知∠BCA＝34°，C为⊙O上一点，连接CA，CB，则∠P的度数为（　　）

A．34° B．56° C．22° D．28°
【答案】C
【分析】
根据切线的性质可得： 利用圆周角定理可得： 从而可求出结果．
【详解】
解：∵PA是⊙O的切线，A为切点，
∴∠OAP＝90°，
又∵∠BCA＝34°，
∴∠O＝2∠ACB＝68°，
∴∠P＝90°﹣∠AOB＝90°﹣68°＝22°．
故选：C．

二、填空题
11．（2021·全国·九年级期末）在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8、BD=6，则菱形ABCD的内切圆半径为 ________．

【答案】
【分析】
根据菱形的性质，可得AC⊥BD， ，再由勾股定理可得，然后设菱形ABCD的内切圆半径为r，根据三角形的面积，即可求解．
【详解】
解：在菱形ABCD中，AC⊥BD， ，
∵AC=8、BD=6，
∴AO=4，DO=3，
∴ ，
设菱形ABCD的内切圆半径为r，
∴ ，
∵，
∴ ，解得： ，
即菱形ABCD的内切圆半径为．
故答案为：
12．（2021·浙江·杭州市采荷中学三模）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．则⊙O的半径为______．

【答案】5
【分析】
如图，设交于．解直角三角形求出，再在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】
解：如图，设交于．半径为，

，平分，
，，
，
在中，则有，
解得，
故答案为：5．
13．（2021·浙江杭州·九年级期末）在平面直角坐标系中，若菱形的两条对角线分别与轴、轴平行，则称该菱形为坐标平面内的“规则菱形”．已知点，，的坐标分别为，，，现以点为圆心，长为半径作，若在上存在点，线段上存在点，使以点，为相邻顶点的“规则菱形”为正方形，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】
如图，作点A关于x轴点对称点G，连接AG交x轴于H，以AG为对角线作正方形ADGE，可得正方形ADGE是“规则菱形”，根据以点，为相邻顶点的“规则菱形”为正方形可知△AHE为等腰直角三角形，根据点A坐标可得点E坐标，当点N与点B重合时，过点B作BF//AE，当⊙C与BF相切时，c有最大值，根据⊙C半径及等腰直角三角形点性质可求出FC1的长，可得点C坐标，即可得出c值，同理，当点N与点A重合时可求出点c的最小值，即可得c点取值范围．
【详解】
如图，作点A关于x轴点对称点G，连接AG交x轴于H，以AG为对角线作正方形ADGE，
∴HD=HE，AH=HG，DE⊥AG，AG⊥x轴，
∴点D、E在x轴上，△AHE为等腰直角三角形，正方形ADGE是“规则菱形”，
∴AH=EH，∠AEH=45°，
∵A（2，5），B（5，5），
∴OE=7，AB=3，AB//EF，
∵以点，为相邻顶点的“规则菱形”为正方形，
∴当点N与点B重合时，过点B作BF//AE，则四边形AEFB是平行四边形，
∴AB=EF，当⊙C与BF相切于M时，c有最大值，
∴OF=10，
∵BF//AE，
∴∠BFE=45°，
∵⊙C半径为，⊙C与BF相切于M，
∴C1M⊥BF，C1M=，
∵∠C1FM=45°，
∴C1M=FM=，
∴FC1=4，
∴OC1=14，
∴C1（14，0），即c=14，
同理，当点N与点A重合时可得⊙C与AD相切时，c有最小值，HD=5，OD=3，C2D=4，
∴OC2=7，
∴C2（-7，0），即c=-7，
∴的取值范围是．

故答案为：．
14．（2021·江苏·泰兴市实验初级中学一模）如图，直角坐标系中，⊙A的半径为3，点A的坐标为(﹣3，﹣4)，若将⊙A沿y轴方向平移，平移后，使⊙A上只有3个点到x轴的距离为2，则平移后点A的坐标为_____．

【答案】(﹣3，﹣1)或(﹣3，1)
【分析】
利用图像法解决问题即可．
【详解】
解：如图，观察图像可知，当A（﹣3，﹣1）或A′（﹣3，1）时⊙A上只有3个点到x轴的距离为2．

故答案为：（﹣3，﹣1）或（﹣3，1）．
15．（2021·山东·宁津县教育和体育局教育科学研究所一模）如图，切于点，是直径，连接交于，若，，则阴影部分的面积是________．

【答案】
【分析】
如图：连接OB、AB，然后根据扇形面积公式求出扇形AOB的面积，再根据三角形的面积公式分别求出△BOC的面积和△CAD的面积，最后根据图形解答即可．
【详解】
解：如图：连接OB、AB，由圆周角定理得，∠AOB=2∠ACB=60°，即∠ACB=30°
∴扇形AOB的面积=
∵AC是圆O的直径，
∴∠ABC=90°，∠ACB=30°
∴AB=AC=3
由勾股定理得，
∴△ABC的面积=
∵OA=OC
∴△BOC的面积=
∵DA切圆O于点A，
∴∠CAD=90°，
∵∠ACB=30°
∴
∴△CAD的面积=
∴阴影部分的面积．
故填：．


三、解答题
16．（2021·云南·昆明市第三中学模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB＝2∠PCB．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝6，求MC•MN的值．

【答案】（1）见解析；（2）18
【分析】
（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可，根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP即可；
（2）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ABM＝∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MN•MC，根据锐角三角函数求出BM，代入数据可得MN•MC= BM2=18．
【详解】
（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO．
又∵∠COB＝2∠CAO，∠COB＝2∠PCB，
∴∠CAO＝∠ACO＝∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB＝90°．
∴∠PCB+∠OCB＝90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：连接MA，MB，
∵点M是弧AB的中点，
∴，
∴∠ACM＝∠BCM．
∵∠ACM＝∠ABM，
∴∠BCM＝∠ABM．
∵∠BMN＝∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴，
∴BM2＝MN•MC．
∵AB是⊙O的直径，，
∴∠AMB＝90°，AM＝BM．
∴∠ABM=∠BAM=45°，
∵AB＝6，
∴BM＝ABsin45°==，
∴MN•MC＝BM2＝18．

17．（2021·河北·石家庄市第二十八中学三模）如图，已知是的直径，且，是半圆的切线，点是半圆上的一动点（不与点、重合），过点作于点，记．
（1）当时，求的长：
（2）当为何值时，与相切？说明理由；
（3）当时，求的值．

【答案】（1）3；（2）90°，理由见解析；（3）45°或135°
【分析】
（1）过C作于点，可得四边形CEAD是矩形，解直角三角形得OE=3，由CD=OA﹣OE求解即可；
（2），与相切，只需证得四边形CEAD是矩形，得出即可；
（3）如图，利用锐角三角函数和分情况讨论进行求解即可．
【详解】
解：（1）过C作于点，则∠AEC=∠OEC=90°，
∵CD⊥AP，是半圆的切线，
∴∠ADC=∠EAD=90°，
∴四边形CEAD是矩形，
∴CD=AE，
在Rt中，OC=AB=6，
∴，
则；
（2），与相切．
理由：当，则，
∴四边形CEAD是矩形，
∴，
∴，又OC为半径，
∴是的切线；
（3）当的位置如左边的图时，在直角中，，，
∴，
∴，
则；
当的位置如右图时，，
则．
故或．

18．（2021·江苏·苏州市立达中学校二模）如图，是的弦，C为上一点，过点C作的垂线与AB的延长线交于点D，连接并延长，与交于点E，连接EC，．

（1）求证：CD是的切线；
（2）若，，求的半径．
（3）在（2）的条件下，在线段AD上有一点P，连接、，则的最小值为__________．
【答案】（1）证明见详解；（2）的半径为；（3）的最小值为．
【分析】
（1）连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到∠ABE=∠BOC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线；
（2）连接AC，BC，作OF⊥AB于点F，根据圆周角定理得到∠BCE=90°，推出∠BCD=∠OCE，得到∠BCD=∠E，然后求出AB的长度，再根据垂径定理、勾股定理，即可求出OB的长度；
（3）根据题意，先找出当最大时，即时，有最小值，过作⊥OC于G，作OF⊥于F，然后利用三角形等面积法，以及勾股定理，求出，，即可求出答案．
【详解】
解：（1）连接OC，如图：

∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE，
∴∠BOC=∠OEC+∠OCE=2∠OEC，
∵，
∴，
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵C为上一点，
∴CD是的切线；
（2）连接AC、BC，作OF⊥AB于点F，如图：

∵BE是⊙O的直径，
∴∠BCE=90°，
∴∠OCE+∠OCB=90°，
∵∠OCB+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠OCE，
∴∠BCD=∠E，
∵∠A=∠E，，BD=1，
∴，
∴CD=2，AD=4，
∴AB=3．
∵OF⊥AB，AB是弦，
∴四边形OCDF是矩形，则OF=CD=2，
由垂径定理，则，
在直角△OBF中，由勾股定理，则
；
∴的半径为；
（3）根据题意，过点C、O作的外接圆，与AD相切，切点是，此时最大；如图，过作⊥OC于G，作OF⊥于F，

∵随着的增大而减小，
∴当最大时，即时，有最小值，
此时点P于点重合，；
∴点G是OC的中点，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴的最小值为．
故答案为：．