第16讲 数列通项-2023年新高考艺术生突破数学90分讲义

第16讲 数列通项

【知识点总结】

一、观察法

根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项.

二、利用递推公式求通项公式

①叠加法：形如的解析式，可利用递推多式相加法求得

②叠乘法：形如 的解析式， 可用递推多式相乘求得

③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列

构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法和同除以指数法.

④利用与的关系求解

形如的关系，求其通项公式，可依据

，求出

【典型例题】

（多选）例1．（2022·全国·高三专题练习）数列{an}的前n项和为Sn，，则有（    ）

A．Sn＝3n－1 B．{Sn}为等比数列

C．an＝2·3n－1 D．

例2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的首项，满足，则__________.

例3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式______．

例4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的首项为，且满足.求的通项公式.

例5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，，，求数列的通项公式.

例6．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，求.

例7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，，求的通项公式.

【技能提升训练】

一、单选题

1．（2022·全国·高三专题练习）下列有关数列的说法正确的是（    ）

①数列1，2，3可以表示成，2，；

②数列，0，1与数列1，0，是同一数列；

③数列的第项是；

④数列中的每一项都与它的序号有关．

A．①② B．③④ C．①③ D．②④

2．（2022·全国·高三专题练习）九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一.”在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1=1，且an=则解下4个环所需的最少移动次a4数为（    ）

A．7 B．10 C．12 D．22

3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则（    ）

A． B． C． D．

4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列{an}满足，且a1=1，a2=5，则（    ）

A．69 B．105 C．204 D．205

5．（2020·全国·高三阶段练习（文））在数列中，，，则（    ）.

A． B．

C． D．

6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为（    ）

A． B． C． D．

7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，(，)，则数列的通项（    ）

A． B．

C． D．

8．（2022·全国·高三专题练习）若为数列的前项和，且，则等于（    ）

A． B． C． D．

9．（2021·安徽·高三阶段练习（文））数列中的前n项和，数列的前n项和为，则（    ）.

A．190 B．192 C．180 D．182

10．（2022·全国·高三专题练习）数列满足，则（    ）

A． B． C． D．

11．（2022·全国·高三专题练习）设数列的前项和为，若，且，，则（    ）

A． B． C． D．

12．（2022·全国·高三专题练习）数列的前项和为，若，，则等于（    ）

A． B．

C． D．

13．（2021·全国·高三专题练习（理））在数列中，，，，则（    ）

A． B． C． D．

14．（2022·全国·高三专题练习）数列的通项公式可能是an＝（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

15．（2022·全国·高三专题练习）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则（    ）

A．an＝－

B．an＝

C．数列为等差数列

D．－5050

16．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，那么下列选项正确的是（    ）

A．数列是等比数列 B．数列的通项公式为

C． D．

三、填空题

17．（2022·全国·高三专题练习）已知数列，，，则________．

18．（2021·河北·高三阶段练习）已知数列的前项和记作，，则________．

19．（2021·山西省长治市第二中学校高三阶段练习（理））已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，则满足的最大的正整数等于_________．

20．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为且满足，，则______．

21．（2022·全国·高三专题练习）若数列满足，且，则数列的通项公式为_________.

22．（2021·江西·高三阶段练习（文））若正项数列满足，则数列的通项公式是_______．

23．（2021·全国·模拟预测（文））已知数列的前项和为，且，则___________.

24．（2021·全国·高三专题练习（文））已知数列满足，且，则________________.

25．（2021·全国·高三专题练习（理））以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.

此表由若干个数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和.若每行的第一个数构成有穷数列，则得到递推关系.则___________.

26．（2021·甘肃·西北师大附中高三阶段练习）已知数列满足，则的最小值为___________.

四、解答题

27．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知数列{an}满足：，求{an}的通项公式；

（2）在数列{an}中，已知a1=3，（3n+2）an+1=（3n-1）an（n∈N*），an≠0，求an.

28．（2022·浙江·高三专题练习）（1）已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通项公式an；

（2）设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an.

29．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式.

30．（2021·山东·济宁市教育科学研究院高三期末）已知数列的前n项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

31．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，求数列的通项公式.

32．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等差数列的前项和为，满足，，

（1）求数列的通项公式；

（2）若，记数列的前项和，求.

33．（2022·全国·高三专题练习）已知各项均为正数的数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

34．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的前n项和为.

（1）求m的值，并求出数列的通项公式；

（2）令，设为数列的前n项和，求.

35．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，．

（1）证明：数列为等比数列，并求出；

（2）求数列的前n项和．