第16讲 数列的通项6种常见题型总结-【高考备考题型讲义】备战2024年高考数学常考题型分类讲义（新高考专用）

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第16讲 数列的通项6种常见题型总结
【题型目录】
题型一：已知，求
题型二：叠加法（累加法）求通项
题型三：叠乘法（累乘法）求通项
题型四：构造法求通项
题型五：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
【典型例题】
题型一：已知，求
【例1】已知数列的前项和. 若，则（    ）
A． B． C． D．

【例2】（2022·甘肃·高台县第一中学高二阶段练习（理））已知为数列的前n项和，且，则数列的通项公式为（    ）
A． B． C． D．

【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，求的通项公式．


【题型专练】
1.已知数列的前项和是，
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.

2．（2022·浙江·高二期末）已知数列的前项和，则______.

3．（2022·辽宁实验中学高二期中）设数列满足，则的前n项和（       ）
A． B．
C． D．

题型二：叠加法（累加法）求通项
【例1】在数列中，，则（    ）
A． B． C． D．

【例2】已知数列满足，，且，若表示不超过的最大整数（例如，），则（    ）
A． B． C． D．

【例3】南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，5，10，17，26，37，则该数列的第19项为（    ）
A．290 B．325 C．362 D．399


【例4】已知数列满足，，则______．

【例5】已知数列中，，，是公差为2的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和，求使得成立的最小整数.


【题型专练】
1．若，，，则_________．

2．数列满足，则_____．

3．若数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．


4．已知数列满足：，，（）．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式．


5．已知无穷数列的前项和为，，，对任意的，都有．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，求数列的通项公式；

题型三：叠乘法（累乘法）求通项
【例1】已知数列满足，，则数列的通项公式是（    ）
A． B．
C． D．

【例2】在数列中，，，，则（    ）
A． B． C． D．

【例3】已知数列满足，则___________．

【例4】记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前项和.

【例5】设数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)对于任意的正整数，，求数列的前项和．


【例6】在数列中，，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若，且数列的前项n和为，证明：.

【题型专练】
1．数列的前n项和（，n为正整数），且，则______．

2．数列满足：，，则通项________．

3．设是首项为1的正项数列且，且，求数列的通项公式_________

4．已知数列满足：，，求数列的通项公式.


5．已知数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求.


6．已知为数列的前n项和，且，．
(1)求，；
(2)求的通项公式．

题型四：构造法求通项
【例1】已知数列中，，则等于（    ）
A． B．
C． D．



【例2】若数列和满足，，，，则（    ）
A． B． C． D．


【例3】（多选题）已知数列满足，，则下列结论中错误的有（    ）
A．为等比数列 B．的通项公式为
C．为递增数列 D．的前项和为

【例4】（多选题）已知数列满足：，当时，，则关于数列的说法正确的是(    )
A． B．是递增数列
C． D．数列为周期数列


【例5】在①；②；③三个条件中任选一个，补充到下面问题的横线处，并解答.
已知数列的前项和为，且，_____.
(1)求；
(2)设，求数列的前项和.
注:如果选捀多个条件解答，按第一个解答计分.


【例6】已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，若，求．



【题型专练】
1.（多选题）数列的首项为1，且，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ）
A． B．数列是等比数列
C． D．

2．已知数列满足，则数列的前项和为______．


3．已知数列中，，，则通项______；



4．已知数列满足，.求数列的通项公式;



5．已知数列的前项和，求的通项公式．



6．设数列满足，.
（1）设，求证：是等比数列；
（2）设的前n项和为，求满足的n的最大值.



7．已知正项数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，记数列的前n项和为，证明：．



8．已知数列，，.
(1)求数列的前5项；
(2)求数列的前n项和.


9．已知数列和满足，，，，则______，______．


题型五：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
【例1】已知数列的前项和为，，且，则下列说法中错误的是（    ）
A． B．
C．是等比数列 D．是等比数列


【例2】（2022·上海市南洋模范中学高二开学考试）若数列的前项和为，则数列的通项公式是___________.

【例3】已知数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.


【例4】数列中，为的前项和，，.
(1)求证: 数列是等差数列，并求出其通项公式；
(2)求数列的前项和.



【例5】（2022·辽宁沈阳·高三阶段练习）从条件①；②；③中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
已知数列的前项和为，，_____________.
(1)求的通项公式；
(2)表示不超过的最大整数，记，求的前项和.


【题型专练】
1．（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（理））设数列的前n项和为，已知.
(1)求数列的通项公式；


2．已知数列的前项和为，且满足，.求和.


3．已知正项数列的前项和为，且和满足：.求的通项公式.


4．已知等比数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.


5．已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若，求数列的前项和．


6．已知数列中，，其前n项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列的前n项和为，求证：.