第29讲 二项式定理-2023年新高考艺术生突破数学90分讲义

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第29讲 二项式定理
【知识点总结】
一、二项式定理
.
展开式具有以下特点：
（1）项数：共项.
（2）二项式系数：依次为组合数.
（3）每一项的次数是一样的，都为次，展开式依的降幂、的升幂排列展开.特别地，.
二、二项式展开式的通项（第项）
二项式展开的通项为.其中的二项式系数.令变量（常用）取1，可得的系数.
注 通项公式主要用于求二项式展开式的指数、满足条件的项数或系数、展开式的某一项或系数.在应用通项公式时要注意以下几点：
①分清是第项，而不是第项；
②在通项公式中，含这6个参数，只有是独立的，在未知的情况下利用通项公式解题，一般都需要先将通项公式转化为方程组求和.
三、二项式展开式中的系数
（1）二项式系数与项的系数
二项式系数仅指而言，不包括字母所表示的式子中的系数.例如：的展开式中，含有的项应该是，其中叫做该项的二项式系数，而的系数应该是（即含项的系数）.
（2） 二项式系数的性质
①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即，…，.
②二项展开式中间项的二项式系数最大.
如果二项式的幂指数是偶数，中间项是第项，其二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间项有两项，即为第项和第项，它们的二项式系数和相等并且最大.
（3）二项式系数和与系数和
①二项式系数和 .
奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，
.
②系数和
求所有项系数和，令；求变号系数和，令；求常数项，令。
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
的展开式通项为，
的展开式通项为，
所以，的展开式通项为，其中，、，
令，得，得，
所以，展开式中的系数为.
故选：D.
（多选题）例2.（2022·全国·高三专题练习）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】
由题意，当时，，
当时，，
当时，，
所以，，
，
当时，，
所以.
故选：ACD.
例3．（2022·全国·高三专题练习）若的展开式中各项系数的和为，则该展开式的常数项为___________.
【答案】
【详解】
因为的展开式中各项系数的和为0，
令得，
解得，
所以的常数项为.
故答案为：-120
例4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992，则在的展开式中，二项式系数最大的项为________．
【答案】－8064－32
【详解】
由题意知，，即，故，解得n＝5.
由二项式系数的性质知，的展开式中第6项的二项式系数最大，
故二项式系数最大的项为＝－8064.
故答案为：－8064.
例5．（2022·全国·高三专题练习）除以的余数是____．
设复数(是虚数单位)，则____．
【答案】 ##
【详解】
解：

.
因为后十项均能被整除，所以除以的余数是.
，
则
.
故答案为：1；.
例6．（2022·全国·高三专题练习）求的展开式中含的项．
【详解】
由，
可得展开式中含的项为：
.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（理））的展开式中项的系数为（ ）
A． B． C．24 D．
【答案】B
【分析】
将式子分成两项之和，再利用二项式定理的展开式，求特定的项.
【详解】

因为


，
所以的展开式中项的为
，系数为.
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）的展开式中项的系数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
将化简为:,写出二项展开式的通项公式,即可求得答案.
【详解】

二项展开式的通项公式
中不含项,无需求解.
中含项,即当时
中含项,即当时
的展开式中项
故选:A.
【点睛】
本题考查求二项式展开式中常数项,解题关键是掌握二项展开式的通项公式,考查分析能力和计算能力,属基础题.
3．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））已知，二项式的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中的常数项为（ ）
A．66 B．36 C．30 D．6
【答案】B
【分析】
利用赋值法求出a值，再分析计算二项式展开式的通项即可得解
【详解】
因的展开式中所有项的系数和为192，则当时，，解得，
从而有展开式的通项为，
因此，在中，当，即时，与相乘可得常数项， 当，即时， 与2相乘可得常数项，
于是得：，
所以展开式中的常数项为36.
故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习（理））的展开式中的中间项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据8为偶数可知中间一项为第五项代入公式计算即可.
【详解】
由题意得中间项为.
故选：B
5．（2022·全国·高三专题练习）展开式中的常数项为－160，则a＝（ ）
A．－1 B．1 C．±1 D．2
【答案】B
【分析】
写出该二项展开式的通项公式，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于-160求得实数a的值.
【详解】
的展开式通项为，
∴令，解得，
∴的展开式的常数项为，
∴
∴
故选：B.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A．512 B．210
C．211 D．212
【答案】A
【分析】
根据题意求出n，二项式展开式奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等，故奇数项的二项式系数和为.
【详解】
∵的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，∴，解得n＝10，
对于二项式，令x＝，可得其展开式的奇数项和偶数项的二项式系数之和为0，即奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等，又因为所有二项式系数之和为，∴的展开式中奇数项的二项式系数和为，
故选：A．
7．（2022·全国·高三专题练习）的展开式中系数为有理数的各项系数之和为（ ）
A．1 B．20
C．21 D．31
【答案】C
【分析】
写出二项式的通项公式，有理项x的次数为整数﹒
【详解】
因为展开式的通项为，
因此，要使系数为有理数，只需为整数，
又因为0≤k≤5且k∈Z，所以k＝2，5，
因此系数为有理数的项为,
故所求系数之和为20＋1＝21.
故选：C.
8．（2022·全国·高三专题练习）若在(x＋1)4(ax－1)的展开式中，x4项的系数为15，则a的值为（ ）
A．－4 B．
C．4 D．
【答案】C
【分析】
先把展开式中的常数项和的系数求出来，进而求(x＋1)4(ax－1)的x4项的系数，列出方程，求出a的值.
【详解】
对的展开式通项公式，当时，，当时，，其中x4的系数为1×(－1)＋4a＝－1＋4a＝15，解得：a＝4
故选：C.
9．（2022·全国·高三专题练习（理））的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．24 D．36
【答案】B
【分析】
由二项式定理写出的展开式通项公式，结合乘积形式确定含项，即可得其系数.
【详解】
由题意得：的展开式的通项为；
当时，，此时只需乘以因式中的即可，得到；
当时，，此时只需乘以因式中的即可，得到；
据此可得，的展开式中的系数为.
故选：B.
10．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三阶段练习（理））已知，且恰能被14整除，则的取值可以是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．13
【答案】D
【分析】
由并展开，根据展开式的特征，结合题设条件可得，即可确定取值.
【详解】
由，
∴要使恰能被14整除，只需能被14整除即可且，
∴，当k=1时，m=13满足题意.
故选：D
11．（2021·全国·高三专题练习）今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过天后是（ ）
A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五
【答案】C
【分析】
运用二项式展开式可得被7除得余数为1，即可得结果．
【详解】

所以被7除得余数为1，故经过天后是星期四
故选：C
12．（2021·全国·高三专题练习（理））在QBasic等程序语言中，通常用表示除以后得到的余数，例如，．则等于（ ）
A．1 B．3 C．9 D．7
【答案】C
【分析】
根据，利用二项展开得余数即可.
【详解】
由
，
所以.
故选：C.
13．（2021·河南驻马店·高三阶段练习（理））若，且, 则实数的值为
A．1或3 B．-3 C．1 D．1或 -3
【答案】D
【详解】
令得：，而，所以有
.
令得：，因此有，解得，或，故选：D

二、多选题
14．（2022·江苏·高三专题练习）已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（ ）
A．二项展开式中各项系数之和为 B．二项展开式中二项式系数最大的项为
C．二项展开式中无常数项 D．二项展开式中系数最大的项为
【答案】AB
【分析】
由二项式系数之和求得，令可求得各项系数和，由二项式系数的性质可得二项式系数最大的项，写出展开式通项公式，由的指数确定有无常数项，列不等式求得系数最大的项．
【详解】
因为的二项展开式中二项式系数之和为64，所以，得，所以二项式为，则二项式展开式的通式公式，
对于A，令，可得二项展开式中各项系数之和为，所以A正确；
对于B，第4项的二项式系数最大，此时，则二项展开式中二项式系数最大的项为，所以B正确；
对于C，令，则，所以二项展开式中的常数项为，所以C错误；
对于D，令第项的系数最大，则，解得，
因为，所以时，二项展开式中系数最大，则二项展开式中系数最大的项为，所以D错误，故选：AB.
15．（2022·全国·模拟预测）下列关于多项式的展开式的结论中，正确的是（ ）
A．各项系数之和为 B．各项系数的绝对值之和为
C．不存在项 D．常数项为
【答案】AD
【分析】
赋值法判断A、B；根据已知多项式，结合二项式定理判断C、D的正误.
【详解】
令得，故A 正确﹔
取多项式，将代入多项式可得，故B错误﹔
由题设，，
若要得到含项，只需个因式中个取，剩下个取，故C错误;
个因式中个取，个取，剩下个取，得
5个因式中个取个取，剩下个取，得，
5个因式中均取，得.
故常数项为，D正确.
故选：AD.
16．（2022·全国·高三专题练习）设，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．中最大的是
D．当时，除以2000的余数是1
【答案】ABD
【分析】
A赋值法求即可；B由，写出展开式通项，求；C：由B求得，与比较大小；D将代入右式，并确定、的值，即可.
【详解】
A：令，，正确；
B：由，则展开式通项为，故，，所以，正确；
C：由B知：，显然比大，错误；
D：时，，而，，即可知除以2000的余数是1，正确.
故选：ABD
17．（2021·广东·高三阶段练习）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
根据题意，分别令，和，可判定A、C正确，B错误，令，得到，结合二项展开式的通项，可判定D错误.
【详解】
由
令，可得，所以A正确；
令，可得得，
所以，所以B错误；
令，可得得，C正确；
令，则的展开式的通项为，
所以，所以D错误．
故选：AC．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（ ）
A．7 B．8
C．9 D．10
【答案】ABC
【分析】
若为偶数，则展开式中间一项的二项式系数最大；若为奇数，则展开式中间两项与的二项式系数和相等，且最大.
【详解】
若展开式只有第五项的二项式系数最大，则，解得：n＝8；若展开式第四项和第五项的二项式系数最大，则，解得：n＝7；若展开第五项和第六项的二项式系数最大，则，解得：n＝9；
故选：ABC
19．（2022·全国·高三专题练习）在的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为1
C．二项式系数最大的项为第4项 D．有理项共3项
【答案】AB
【分析】
利用二项式定理以及展开式的通项，赋值法对应各个选项逐个判断即可．
【详解】
解：选项A：所有项的二项式系数和为，故A正确；
选项B：令，则，所以所有项的系数的和为1，故B正确；
选项C：二项式系数最大的项为第4项和第5项，故C不正确；
选项D：二项式的展开式的通项为，
当时，，二项式的展开式的第一项为有理项，
当时，，二项式的展开式的第三项为有理项，
当时，，二项式的展开式的第五项为有理项，
当时，，二项式的展开式的第七项为有理项，所以有理项有4项，故D不正确，
故选：AB．
20．（2022·全国·高三专题练习）已知，下列命题中，正确的是（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为；
B．展开式中所有奇次项系数的和为；
C．展开式中所有偶次项系数的和为；
D．.
【答案】ACD
【分析】
由二项式定理知的所有项的二项式系数和为，分别令、，再将所得作和差处理，求奇偶次项的系数和，根据通项，即可求，进而判断各选项的正误.
【详解】
A：由二项式知：，正确；
当时，有，当有，
B：由上，可得，错误；
C：由上，可得，正确；
D：由二项式通项知：，则，，…，，所以，正确.
故选：ACD
21．（2022·全国·高三专题练习）若(1＋mx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8且a1＋a2＋…＋a8＝255，则实数m的值为（ ）
A．1 B．－1
C．－3 D．3
【答案】AC
【分析】
赋值法求解各项系数的和，列出方程，求出实数m的值.
【详解】
当x＝0时，a0＝1，
当x＝1，a0＋a1＋a2＋…＋a8＝(1＋m)8，则a1＋a2＋…＋a8＝(1＋m)8－1，
所以(1＋m)8－1＝255，解得m＝1或－3.
故选：AC.


三、填空题
22．（2022·全国·高三专题练习（理））已知二项式的展开式中所有项的二项式系数之和为，则该展开式中的常数项是_______．(用数字作答)
【答案】
【分析】
由题意可得求出的值，再求出二项式展开式的通项，令的指数位置等于求得的值即可求得常数项.
【详解】
由题意可得：，可得，
所以展开式通项为，
令可得常数项为，
故答案为：.
23．（2022·浙江·高三专题练习）若二项式的展开式中第项与第项的系数相同，则其常数项是___________.
【答案】
【分析】
根据求出的值，再由二项式展开式的通项即可求出常数项.
【详解】
由已知条件可得，所以，，
二项式的展开式通项为，
令，解得：，
因此展开式中的常数项为，
故答案为：.
24．（2022·天津南开·高三期末）二项式的展开式中，常数项是________.
【答案】7
【分析】
求出二项式的展开式的通项，再求出x的幂指数为0时的值，代入计算作答.
【详解】
二项式的展开式的通项，
由得，则，
所以所求常数项是7.
故答案为：7
25．（2022·全国·高三专题练习）若的展开式中各项系数的和为，则该展开式的常数项为___________.
【答案】
【分析】
根据的展开式中各项系数的和为0，令求得a，再利用通项公式求解.
【详解】
因为的展开式中各项系数的和为0，
令得，
解得，
所以的常数项为.
故答案为：-120
26．（2022·全国·高三专题练习）的展开式中的系数是___________．
【答案】
【分析】
由可知展开式的通项为，令，然后再考虑展开式的通项，即可求解.
【详解】
因为展开式的通项为，令得，，
又展开式的通项为，
令得，，
所以的展开式中，的系数是.
故答案为：.
27．（2022·全国·高三专题练习（理））若在的展开式中第项的二项式系数最大，则的展开式中，常数项是___________.
【答案】60
【分析】
先求出k，再利用二项展开式的通项公式求出常数项.
【详解】
的展开式中第项的二项式系数最大，则.
的展开式通项，当，即时为常数项，故常数项为.
故答案为：60
28．（2022·全国·高三专题练习）若的展开式中，含的项是第四项，则展开式中的二项式系数和为______．
【答案】256
【分析】
由二项式可得展开式通项，由含的项是第四项求出、，进而求展开式中的二项式系数和.
【详解】
由题意，二项式展开式的通项为，
当时，，解得，则二项式系数和为256．
故答案为：256
29．（2021·全国·高三开学考试（理））的展开式中各项系数之和为，则该展开式中的系数为___________.
【答案】-48
【分析】
令x=1，解得a=1，再利用的通项公式，进而得出．
【详解】
令x=1,=2，解得a=1.
又的通项公式，
令5−2r=3，5−2r=5.
解得r=1，r=0.
∴该展开式中的系数为=−80+32=−48，
故答案为：−48.
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，根据通项公式求系数，属于中等题.
30．（2021·江苏·盐城中学一模）若，则__________．
【答案】
【详解】
令 ，则，为的系数，其中展开式中的系数为，展开式中的系数为，则.
【点睛】解决二项式定理问题，第一常利用通项公式，求出展开式的某些指定项，第二要熟悉二项式系数及性质，弄清楚二项式系数和项的系数，第三要掌握赋值法求系数和，第四要学会利用换元法转化问题.
31．（2022·全国·高三专题练习）已知（x-3y）n的展开式中，第5项的二项式系数与第12项的二项式系数相等，则展开式共有___________项.
【答案】16
【分析】
根据已知条件解出，可确定展开式共有项
【详解】
由题可知，，则，展开式共有16项，
故答案为：16
32．（2021·福建·上杭一中模拟预测）除以88的余数是______．
【答案】1
【分析】
把所给的式子化为，再利用二项式定理展开可得它除以88的余数．
【详解】
解：由题意得：
，
故它除以88的余数为，
故答案为：1．
33．（2021·福建三明·模拟预测）设且，若能被5整除，则等于___________.
【答案】.
【分析】
由，根据能被5整除，进而求得的值.
【详解】
由
，
其中能被5整除，
要使得能被5整除，只需能被5整除，所以.
故答案为：.
34．（2021·山东·高三阶段练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是________.
【答案】
【分析】
根据，由二项式定理进行近似计算即可.
【详解】
根据二项式定理可得：
,
故答案为：

四、解答题
35．（2022·全国·高三专题练习）在(2x－3y)10的展开式中，求：
（1）二项式系数的和；
（2）各项系数的和；
（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
（4）奇数项系数和与偶数项系数和.
【答案】
（1）210
（2）1
（3）29，29
（4）奇数项系数和为，偶数项系数和为
【分析】
（1）二项式系数的和直接使用公式进行求解；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和，直接利用公式进行求解；第（2）问和第（4）问：设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10(*),各项系数和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.
（1）
二项式系数的和为.
（2）
令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.
（3）
奇数项的二项式系数和为，偶数项的二项式系数和为.
（4）
设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10
令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①
令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②
其中①＋②得：，∴奇数项系数和为；①－②得：，∴偶数项系数和为.
36．（2022·全国·高三专题练习）设，求：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）分别令和，作差即可得到结果；
（2）令即可求得结果；
（3）由和所得式子作和即可推导得到结果.
（1）
令得：；令得：，
.
（2）
令得：.
（3）
由（1）（2）知：，
两式作和得：，.
37．（2022·全国·高三专题练习）已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：
（1）a0＋a1＋a2＋…＋a5；
（2）|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；
（3）a1＋a3＋a5.
【答案】（1）1；（2）243；（3）－121.
【分析】
（1）赋值法令x＝1，即得解；
（2）利用通项分析可得a1，a3，a5为负值，|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，令x＝－1即得解；
（3）由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35联立即得解.
【详解】
（1）令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
（2）令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.
由(2x－1)5的通项Tk＋1＝ (－1)k·25－k·x5－k，
知a1，a3，a5为负值，
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.
（3）由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，
得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，
所以a1＋a3＋a5＝＝－121.

五、双空题
38．（2022·全国·高三专题练习）已知的展开式的二项式系数之和为，则__________；的系数为__________用数字作答
【答案】
【分析】
根据二项式系数和的公式可得，即可得的值；求出展开式的通项，令的指数位置等同于求得的值即可求解.
【详解】
由题意可得：展开式中的二项式系数的和是，所以，
展开式的通项为，
令可得，所以的系数为，
故答案为：；.
39．（2022·全国·高三专题练习）二项式的展开式中，常数项为___________，系数最大的项为______________.
【答案】15
【分析】
先求得展开式的通项，令x的次数为0求常数项；设系数最大的项为项，由求解.
【详解】
展开式的通项为，
令，解得，
所以，即常数项为15，
设系数最大的项为项，
则，即，
解得，
所以系数最大的项为.
故答案为：15；
40．（2022·全国·高三专题练习）在的展开式中，第项的二项式系数是___________，第项的系数是___________.
【答案】 ##
【分析】
写出展开式通项，可求得第项的二项式系数和系数.
【详解】
因为二项展开式的通项是，
当时，，所以第项的系数为，二项式系数为.
故答案为：；.
41．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则___________.___________.
【答案】
【分析】
令可得：可得的值，求出的项的系数可得的值，即可求解.
【详解】
因为，
令可得：，解得：，
所以展开式中的项为，所以，
故答案为：；.