2022-2023学年四川省成都市蓉城高中联盟高二（上）期末数学试卷（文科）(含答案解析)

2022-2023学年四川省成都市蓉城高中联盟高二（上）期末数学试卷（文科）

1.  若，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

2.  过点，且与已知直线垂直的直线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若一个圆的标准方程为，则此圆的圆心与半径分别是(    )

A. ；4 B. ；2 C. ；4 D. ；2

4.  将某选手的得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余分数的平均分为91，现场作的分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则(    )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

5.  某校为了了解高二学生的身高情况，打算在高二年级12个班中抽取3个班，再按每个班男女生比例抽取样本，正确的抽样方法是(    )

A. 简单随机抽样 B. 先用分层抽样，再用随机数表法
C. 分层抽样 D. 先用抽签法，再用分层抽样

6.  已知命题，则为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  下列命题为真命题的是(    )

A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，则

8.  已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知的方程为，且与直线相交于A，B两点，则(    )

A.
B. 4
C.
D. 6

10.  如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为7，5，则输出的(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

11.  若两个正实数x，y满足，则的最小值为(    )

A.  B. 2 C. 4 D.

12.  在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点，在y轴上，离心率为，过的直线l交椭圆于A，B两点，且的周长为24，则椭圆C的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

13.  以下两个变量成负相关的是______.
①学生的学籍号与学生的数学成绩；
②坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数；
③气温与冷饮销售量；
④电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量．

14.  若圆与圆外切，则实数______.

15.  若抛物线上的点M到焦点的距离为8，则点M到y轴的距离为______.

16.  已知抛物线上的两点A，B满足为坐标原点，且A，B分处对称轴的两侧，则直线AB所过定点为______.

17.  已知命题p：方程表示焦点在x轴上的双曲线，命题q：
若p为真，求实数m的取值范围；
若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

18.  已知直线l：与圆C：交于A，B两点．
求圆C的弦AB的长；
若直线m与直线l平行，且与圆C相切，求直线m的方程．

19.  已知抛物线C：的焦点为F，与椭圆其中一个焦点重合．过抛物线的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线交于A，B两点．
求抛物线C的方程；
求线段AB的中点P的坐标．

20.  世界对中国的印象很多，让很多人印象深刻的肯定包括“吃”，中国有句话叫民以食为天，中国人认为吃对于人来说是一件很重要的事情，不但要能吃，也要会吃．我们四川更是遍地美食，四川人很多也是“好吃嘴”，但是好吃不等于健康，有人对不同类型的某些食品做了一次调查，制作了下表．其中x表示某种食品所含热量的百分比，y表示一些“好吃嘴”以百分制给出的对应的评分．

附：相关系数r可以衡量两个变量x和y之间线性关系的强弱，当r为正时，x和y正相关，当r为负时，x和y负相关，统计学认为如果相关性很强，如果相关性一般，如果相关性较弱．，，
参考数据：
试用r对两个变量x，y的相关性进行分析的结果保留两位小数；
求回归方程．

21.  四川新高考于2022年启动，2025年整体实施，2025年参加高考的学生将面临“”高考新模式．其中的“3”指“语、数、外”三个必选学科，“1”是指“物理、历史”两个学科二选一，“2”是指“化学、政治、生物、地理”这四个再选学科中选两科，对于再选学科会通过等级赋分的办法计入总成绩．等级赋分以30分作为赋分起点，满分为100分，将考生每门的原始成绩从高到低划定为A、B、C、D、E五等，各等级人数所占比例分别为、、、、现在高2022级新高一学生已经开始使用新教材，并且新高一的学生也参加了进高中以来的第一次期中考试，成都市某高中为了调研新高一学生在此次期中考试中政治学科的学情，随机抽取了100名新高一学生的政治成绩，统计了如下表格：

根据统计表格画出频率分布直方图；
根据统计数据估计该学校新高一学生在此次期中考试中政治成绩的平均分；
根据统计数据结合等级赋分的办法，预估此次考试政治赋分等级至少为B的大致分数线取整数

22.  已知椭圆的左、右焦点分别为，且过点
求椭圆E的标准方程；
过椭圆E的左焦点的直线与椭圆E交于A，B两点，求的面积最大时直线AB的方程．

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：设，，
，
，但推不出，
“”是“”的充分不必要条件，
故选：
直接根据充分与必要条件的概念即可得解．
本题考查了充分必要条件的定义，属于基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：由直线方程，可得，
，又过点，
直线方程为，
即，
故选：
根据直线垂直，设直线方程，将已知点代入方程，即可求解．
本题主要考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，属于基础题．
 

3.【答案】D 

【解析】解：一个圆的标准方程为，
此圆的圆心与半径分别是，半径为2，
故选：
由题意，根据圆的标准方程的特征，得出结论．
本题主要考查圆的标准方程的特征，属于基础题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：根据题意，去掉99，87，剩余5个数的和为，
，

故选：
去掉最高分和最低分可以得到剩余的数，根据剩余数的平均数为91，可以列出关于x的等式，解出x即可．
本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了平均数的应用，是基础题．
 

5.【答案】D 

【解析】解：先在高二年级12个班中抽取3个班，宜用抽签法，再按每个班男女生比例抽取样本，适合使用分层抽样，
所以先用抽签法，再用分层抽样．
故选：
根据抽样特点选择抽样方法即可．
本题考查了抽样方法的应用，解题时应该根据抽样特点选择抽样方法，属于基础题．
 

6.【答案】B 

【解析】解：根据题意，命题，
则为，
故选：
根据题意，由全称命题和特称命题的关系，分析可得答案．
本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．
 

7.【答案】D 

【解析】解：对于A，若，则，故，故A错；
对于B，若，当时，则，故B错；
对于C，若，，则当，，，，则，，则，故C错；
对于D，若，则，则，故D正确；
故选：
根据不等式的性质以及取特殊值法可解．
本题考查不等式的性质，属于基础题．
 

8.【答案】D 

【解析】解：根据题意可得，，，
，又焦点在y轴上，
双曲线的标准方程为，
故选：
根据双曲线的几何性质即可求解．
本题考查双曲线的几何性质，属基础题．
 

9.【答案】D 

【解析】解：圆的圆心到直线的距离为，
则由垂径定理可得，
故选：
先求出圆心到直线的距离，再由垂径定理即可得解．
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．
 

10.【答案】A 

【解析】解：当，时，满足，满足，执行，
当，时，满足，不满足，执行，
当，时，满足，不满足，执行，
当，时，满足，满足，执行，
当，时，满足，跳出循环，输出
故选：
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
 

11.【答案】C 

【解析】解：两个正实数x，y满足，
则，当且仅当时，取得最小值为
故选：
利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

12.【答案】A 

【解析】解：由于椭圆的焦点在y轴上，故设椭圆C的方程为，
又离心率为，则，
又过的直线l交椭圆于A，B两点，且的周长为24，则，解得，
所以，则，
所以椭圆C的方程为
故选：
根据题意设椭圆C的方程为，易知，，由此求得a，c的值，进而求得b，由此可得解．
本题考查椭圆的定义及其标准方程，考查椭圆的简单几何性质，考查运算求解能力，属于基础题．
 

13.【答案】② 

【解析】解：①学生的学籍号与学生的数学成绩，两个变量无相关，
②坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数，两个变量负相关，
③气温与冷饮销售量，两个变量正相关，
④电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量，两个变量正相关．
故答案为：②．
根据已知条件，结合变量间的相关关系，即可求解．
本题主要考查变量间的相关关系，属于基础题．
 

14.【答案】5 

【解析】解：圆的圆心坐标为，半径为2，
圆的圆心坐标为，半径为3，
，且两圆外切，，解得，
故答案为：
由两圆的方程分别求得圆心坐标与半径，再由圆心距与半径的关系列式求解．
本题考查圆与圆的位置关系的判定及应用，是基础题．
 

15.【答案】5 

【解析】解：抛物线方程为，，
又点M到焦点距离为8，
，
，，
点M到y轴距离为
故答案为：
根据抛物线的几何性质，方程思想，即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，方程思想，属基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设直线AB的方程为，
联立，
消x可得，
由已知可得，
设，，
则，，
又两点A，B满足为坐标原点，
则，
则，
即，
即或，
又A，B分处对称轴的两侧，
则，
即，
即直线AB的方程为，
则直线AB所过定点为，
故答案为：
由抛物线的性质，结合直线与抛物线的位置关系求解即可．
本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属基础题．
 

17.【答案】解：由命题p：方程表示焦点在x轴上的双曲线，
可得，解得，
即实数m的取值范围为；
若p是q的充分不必要条件，则真含于，
则有，解得，
即实数a的取值范围为 

【解析】根据命题p，得到，进而求得实数m的取值范围；
若p是q的充分不必要条件，则真含于，得到，进而求得实数a的取值范围．
本题考查根据方程表示双曲线求参数的范围，根据充分必要条件求参数的范围，属于基础题．
 

18.【答案】解：圆C：的圆心为，半径为3，
圆心到直线l：的距离为，
则由垂径定理可得，；
由于直线m与直线l平行，则设直线m的方程为，
又直线m与圆C相切，则，即，
解得或，
所以直线m的方程为或 

【解析】先求出圆心到直线的距离，再由垂径定理即可得解；
由平行关系设出直线m的方程，再根据圆心到直线m的距离等于半径，即可得解．
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：已知抛物线C：的焦点为F，与椭圆其中一个焦点重合．
又椭圆的右焦点坐标为，
则抛物线的焦点F坐标为，
则，
即，
即抛物线方程为；
已知过抛物线的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线交于A，B两点，
则AB所在直线方程为，
联立，
则，
设，，
则，，
则，，
则线段AB的中点P的坐标为 

【解析】先求出椭圆的焦点坐标，然后求出抛物线方程即可；
由题意可得AB所在直线方程为，联立，则，设，，则，，然后求解即可．
本题考查了抛物线方程的求法，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属基础题．
 

20.【答案】解：由图表可得，，
，，
，
，
为正且接近于1，两个变量x，y之间成正相关，并且有相当强的相关性；
易得，则，
回归方程为 

【解析】利用已知条件以及相关系数的公式即可求解，进而可以判断；求出回归方程的系数b的值，由此求出a的值，进而可以求解．
本题考查了回归直线方程的求解以及回归直线方程系数的判断，属于基础题．
 

21.【答案】解：根据统计表格画出频率分布直方图，如图：

根据统计数据估计该学校新高一学生在此次期中考试中政治成绩的平均分为
；
等级赋分以30分作为赋分起点，满分为100分，将考生每门的原始成绩从高到低划定为A、B、C、D、E五等，各等级人数所占比例分别为、、、、
则此次考试政治赋分等级至少为B所占比例为，即求原始成绩的百分之五十分位数，
根据直方图可知，对应频率为，对应频率为，对应频率为，
故原始成绩的百分之五十分位数位于区间内，
，
故此次考试政治赋分等级至少为B的大致分数线为76分． 

【解析】根据题意，画出频率分布直方图即可；根据平均数的求法，求解即可；根据统计数据结合等级赋分的办法，此次考试政治赋分等级至少为B所占比例为，即求原始成绩的百分之五十分位数，根据百分位数的定义，求解即可．
本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
 

22.【答案】解：由题意可得，解得，，
所以椭圆E的标准方程为：；
由可得过左焦点的直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程，设，，
联立，整理可得：，
显然，，，
则，
所以，
令，可得，所以，
令，，
因为，所以，当且仅当，即时取等号，
此时，解得，
所以，即的最大值为：，
所以，
即的最大值为4；此时直线AB的方程为：，
即的面积最大时直线AB的方程 

【解析】由椭圆的焦点坐标及过的点P的坐标和a，b，c之间的关系，可得a，b的值，进而求出椭圆E的标准方程；
由题意可得直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，进而求出AB的纵坐标的差的绝对值的表达式，代入三角形的面积公式，换元，由均值不等式可得三角形的面积的最大值，并求出此时直线AB的方程．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，换元法及均值不等式的性质的应用，属于中档题．