2022-2023学年四川省成都市蓉城高中联盟高二（上）期末数学试卷（文科）

2022-2023学年四川省成都市蓉城高中联盟高二（上）期末数学试卷（文科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．过点，且与已知直线垂直的直线方程为　　

A． B． C． D．

3．若一个圆的标准方程为，则此圆的圆心与半径分别是　　

A．；4 B．；2 C．；4 D．；2

4．将某选手的得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余分数的平均分为91，现场作的分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以表示，则　　

A．2 B．3 C．4 D．5

5．某校为了了解高二学生的身高情况，打算在高二年级12个班中抽取3个班，再按每个班男女生比例抽取样本，正确的抽样方法是　　

A．简单随机抽样 

B．先用分层抽样，再用随机数表法 

C．分层抽样 

D．先用抽签法，再用分层抽样

6．已知命题，则为　　

A． B． 

C． D．

7．下列命题为真命题的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，，则 D．若，则

8．已知双曲线的上、下焦点分别为，，是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为　　

A． B． C． D．

9．已知的方程为，且与直线相交于，两点，则　　

A． B．4 C． D．6

10．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的，分别为7，5，则输出的　　

A．1 B．2 C．3 D．4

11．若两个正实数，满足，则的最小值为　　

A． B．2 C．4 D．

12．在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，离心率为，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为24，则椭圆的方程为　　

A． B． 

C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．以下两个变量成负相关的是 　　．

①学生的学籍号与学生的数学成绩；

②坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数；

③气温与冷饮销售量；

④电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量．

14．若圆与圆外切，则实数　　．

15．若抛物线上的点到焦点的距离为8，则点到轴的距离为 　　．

16．已知抛物线上的两点，满足为坐标原点），且，分处对称轴的两侧，则直线所过定点为 　　．

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知命题：方程表示焦点在轴上的双曲线，命题．

（1）若为真，求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

18．（12分）已知直线与圆交于，两点．

（1）求圆的弦的长；

（2）若直线与直线平行，且与圆相切，求直线的方程．

19．（12分）已知抛物线的焦点为，与椭圆其中一个焦点重合．过抛物线的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点．

（1）求抛物线的方程；

（2）求线段的中点的坐标．

20．（12分）世界对中国的印象很多，让很多人印象深刻的肯定包括“吃”，中国有句话叫民以食为天，中国人认为吃对于人来说是一件很重要的事情，不但要能吃，也要会吃．我们四川更是遍地美食，四川人很多也是“好吃嘴”，但是好吃不等于健康，有人对不同类型的某些食品做了一次调查，制作了下表．其中表示某种食品所含热量的百分比，表示一些“好吃嘴”以百分制给出的对应的评分．

附：相关系数可以衡量两个变量和之间线性关系的强弱，当为正时，和正相关，当为负时，和负相关，统计学认为如果，相关性很强，如果，相关性一般，如果，相关性较弱．，，．

参考数据：．

（1）试用对两个变量，的相关性进行分析的结果保留两位小数）；

（2）求回归方程．

21．（12分）四川新高考于2022年启动，2025年整体实施，2025年参加高考的学生将面临“”高考新模式．其中的“3”指“语、数、外”三个必选学科，“1”是指“物理、历史”两个学科二选一，“2”是指“化学、政治、生物、地理”这四个再选学科中选两科，对于再选学科会通过等级赋分的办法计入总成绩．等级赋分以30分作为赋分起点，满分为100分，将考生每门的原始成绩从高到低划定为、、、、五等，各等级人数所占比例分别为、、、、．现在高2022级新高一学生已经开始使用新教材，并且新高一的学生也参加了进高中以来的第一次期中考试，成都市某高中为了调研新高一学生在此次期中考试中政治学科的学情，随机抽取了100名新高一学生的政治成绩，统计了如下表格：

（1）根据统计表格画出频率分布直方图；

（2）根据统计数据估计该学校新高一学生在此次期中考试中政治成绩的平均分；

（3）根据统计数据结合等级赋分的办法，预估此次考试政治赋分等级至少为的大致分数线（取整数）．

22．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，且过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于，两点，求△的面积最大时直线的方程．

2022-2023学年四川省成都市蓉城高中联盟高二（上）期末数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】：设，，

，

，但推不出，

“”是“”的充分不必要条件，

故选：．

2．过点，且与已知直线垂直的直线方程为　　

A． B． C． D．

【解析】：由直线方程，可得，

，又过点，

直线方程为，

即，

故选：．

3．若一个圆的标准方程为，则此圆的圆心与半径分别是　　

A．；4 B．；2 C．；4 D．；2

【解析】：一个圆的标准方程为，

此圆的圆心与半径分别是，半径为2，

故选：．

4．将某选手的得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余分数的平均分为91，现场作的分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以表示，则　　

A．2 B．3 C．4 D．5

【解析】：根据题意，去掉99，87，剩余5个数的和为，

，

．

故选：．

5．某校为了了解高二学生的身高情况，打算在高二年级12个班中抽取3个班，再按每个班男女生比例抽取样本，正确的抽样方法是　　

A．简单随机抽样 

B．先用分层抽样，再用随机数表法 

C．分层抽样 

D．先用抽签法，再用分层抽样

【解析】：先在高二年级12个班中抽取3个班，宜用抽签法，再按每个班男女生比例抽取样本，适合使用分层抽样，

所以先用抽签法，再用分层抽样．

故选：．

6．已知命题，则为　　

A． B． 

C． D．

【解析】：根据题意，命题，

则为，

故选：．

7．下列命题为真命题的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，，则 D．若，则

【解析】：对于，若，则，故，故错；

对于，若，当时，则，故错；

对于，若，，则当，，，，则，，则，故错；

对于，若，则，则，故正确；

故选：．

8．已知双曲线的上、下焦点分别为，，是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为　　

A． B． C． D．

【解析】：根据题意可得，，，

，又焦点在轴上，

双曲线的标准方程为，

故选：．

9．已知的方程为，且与直线相交于，两点，则　　

A． B．4 C． D．6

【解析】：圆的圆心到直线的距离为，

则由垂径定理可得，．

故选：．

10．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的，分别为7，5，则输出的　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【解析】：当，时，满足，满足，执行，

当，时，满足，不满足，执行，

当，时，满足，不满足，执行，

当，时，满足，满足，执行，

当，时，满足，跳出循环，输出．

故选：．

11．若两个正实数，满足，则的最小值为　　

A． B．2 C．4 D．

【解析】：两个正实数，满足，

则，当且仅当时，取得最小值为4．

故选：．

12．在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，离心率为，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为24，则椭圆的方程为　　

A． B． 

C． D．

【解析】：由于椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的方程为，

又离心率为，则，

又过的直线交椭圆于，两点，且的周长为24，则，解得，

所以，则，

所以椭圆的方程为．

故选：．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．以下两个变量成负相关的是 　②　．

①学生的学籍号与学生的数学成绩；

②坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数；

③气温与冷饮销售量；

④电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量．

【解析】：①学生的学籍号与学生的数学成绩，两个变量无相关，

②坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数，两个变量负相关，

③气温与冷饮销售量，两个变量正相关，

④电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量，两个变量正相关．

故答案为：②．

14．若圆与圆外切，则实数　5　．

【解析】：圆的圆心坐标为，半径为2，

圆的圆心坐标为，半径为3，

，且两圆外切，，解得，

故答案为：5．

15．若抛物线上的点到焦点的距离为8，则点到轴的距离为 　5　．

【解析】：抛物线方程为，，

又点到焦点距离为8，

，

，，

点到轴距离为5．

故答案为：5．

16．已知抛物线上的两点，满足为坐标原点），且，分处对称轴的两侧，则直线所过定点为 　　．

【解析】：设直线的方程为，

联立，

消可得，

由已知可得△，

设，，，，

则，，

又两点，满足为坐标原点），

则，

则，

即，

即或，

又，分处对称轴的两侧，

则，

即，

即直线的方程为，

则直线所过定点为，

故答案为：．

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知命题：方程表示焦点在轴上的双曲线，命题．

（1）若为真，求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【解析】：（1）由命题：方程表示焦点在轴上的双曲线，

可得，解得，

即实数的取值范围为；

（2）若是的充分不必要条件，则真含于，

则有，解得，

即实数的取值范围为，．

18．（12分）已知直线与圆交于，两点．

（1）求圆的弦的长；

（2）若直线与直线平行，且与圆相切，求直线的方程．

【解析】：（1）圆的圆心为，半径为3，

圆心到直线的距离为，

则由垂径定理可得，；

（2）由于直线与直线平行，则设直线的方程为，

又直线与圆相切，则，即，

解得或，

所以直线的方程为或．

19．（12分）已知抛物线的焦点为，与椭圆其中一个焦点重合．过抛物线的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点．

（1）求抛物线的方程；

（2）求线段的中点的坐标．

【解析】：（1）已知抛物线的焦点为，与椭圆其中一个焦点重合．

又椭圆的右焦点坐标为，

则抛物线的焦点坐标为，

则，

即，

即抛物线方程为；

（2）已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，

则所在直线方程为，

联立，

则，

设，，，，

则，，

则，，

则线段的中点的坐标为．

20．（12分）世界对中国的印象很多，让很多人印象深刻的肯定包括“吃”，中国有句话叫民以食为天，中国人认为吃对于人来说是一件很重要的事情，不但要能吃，也要会吃．我们四川更是遍地美食，四川人很多也是“好吃嘴”，但是好吃不等于健康，有人对不同类型的某些食品做了一次调查，制作了下表．其中表示某种食品所含热量的百分比，表示一些“好吃嘴”以百分制给出的对应的评分．

附：相关系数可以衡量两个变量和之间线性关系的强弱，当为正时，和正相关，当为负时，和负相关，统计学认为如果，相关性很强，如果，相关性一般，如果，相关性较弱．，，．

参考数据：．

（1）试用对两个变量，的相关性进行分析的结果保留两位小数）；

（2）求回归方程．

【解析】：（1）由图表可得，，

，，

，

，

为正且接近于1，两个变量，之间成正相关，并且有相当强的相关性；

（2）易得，则，

回归方程为．

21．（12分）四川新高考于2022年启动，2025年整体实施，2025年参加高考的学生将面临“”高考新模式．其中的“3”指“语、数、外”三个必选学科，“1”是指“物理、历史”两个学科二选一，“2”是指“化学、政治、生物、地理”这四个再选学科中选两科，对于再选学科会通过等级赋分的办法计入总成绩．等级赋分以30分作为赋分起点，满分为100分，将考生每门的原始成绩从高到低划定为、、、、五等，各等级人数所占比例分别为、、、、．现在高2022级新高一学生已经开始使用新教材，并且新高一的学生也参加了进高中以来的第一次期中考试，成都市某高中为了调研新高一学生在此次期中考试中政治学科的学情，随机抽取了100名新高一学生的政治成绩，统计了如下表格：

（1）根据统计表格画出频率分布直方图；

（2）根据统计数据估计该学校新高一学生在此次期中考试中政治成绩的平均分；

（3）根据统计数据结合等级赋分的办法，预估此次考试政治赋分等级至少为的大致分数线（取整数）．

【解析】：（1）根据统计表格画出频率分布直方图，如图：

（2）根据统计数据估计该学校新高一学生在此次期中考试中政治成绩的平均分为

；

（3）等级赋分以30分作为赋分起点，满分为100分，将考生每门的原始成绩从高到低划定为、、、、五等，各等级人数所占比例分别为、、、、．

则此次考试政治赋分等级至少为所占比例为，即求原始成绩的百分之五十分位数，

根据直方图可知，，对应频率为0.05，，对应频率为0.25，，对应频率为0.35，

故原始成绩的百分之五十分位数位于，区间内，

，

故此次考试政治赋分等级至少为的大致分数线为76分．

22．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，且过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于，两点，求△的面积最大时直线的方程．

【解析】：（1）由题意可得，解得，，

所以椭圆的标准方程为：；

（2）由（1）可得过左焦点的直线的斜率不为0，设直线的方程，设，，，，

联立，整理可得：，

显然△，，，

则，

所以，

令，可得，所以，

令，，

因为，所以，当且仅当，即时取等号，

此时，解得，

所以，即的最大值为：，

所以，

即的最大值为2；此时直线的方程为：，

即△的面积最大时直线的方程．