2022-2023学年四川省成都市蓉城联盟高二（下）期末数学试卷（文科）（含解析）

2022-2023学年四川省成都市蓉城联盟高二（下）期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共11小题，共55.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知为虚数单位，则复数等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知函数，若，则(    )

A.  B.  C.  D. 或

4.  已知，满足约束条件则目标函数的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在区间上随机地抽取一个实数，则满足的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若双曲线的渐近线方程为，实轴长为，且焦点在轴上，则该双曲线的标准方程为(    )

A. 或 B.
C.  D.

7.  设，为不同的平面，，为不同的直线，，，则“”是“”的(    )

A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

8.  函数在上是(    )

A. 偶函数、增函数 B. 奇函数、减函数 C. 偶函数、减函数 D. 奇函数、增函数

9.  已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

10.  一次数学考试中，某班平均分为分，方差为，后来发现甲乙两名同学的成绩统计有误，甲同学的成绩统计为分，而实际成绩应该是分；乙同学的成绩统计为分，而实际成绩为分，现重新统计计算，得到方差为，则与的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

11.  在一个正三棱柱中，所有棱长都为，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共1小题，共5.0分。在每小题有多项符合题目要求）

12.  若方程恰有一个实数根，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知，，，则实数 ______ ．

14.  曲线所围成平面区域的面积为______ ．

15.  已知过原点的直线与曲线相切，则直线的斜率为______ ．

16.  已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆上一点处的切线方程为试运用该性质解决以下问题：椭圆：，点为在第一象限中的任意一点，过点作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于，两点，则面积的最小值为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知函数．
若在点处的切线与直线平行，求实数的值；
当时，求函数的单调区间．

18.  本小题分
现在的高一年级学生将会是四川省首届参加新高考的学生，高考招生计划按历史科目组合与物理科目组合分别编制为了了解某校高一学生的物理学习情况，在一次全年级物理测试后随机抽取了名学生的物理成绩，将成绩分为，，，，，共组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数低于分为不及格．
求直方图中的值，并估计本次物理测试的及格率；
在样本中，采取分层抽样的方法从成绩不及格的学生中抽取名作试卷分析，再从这名学生中随机抽取名做面对面交流，求名面对面交流学生的成绩均来自的概率．

19.  本小题分
如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，．
证明：；
求三棱锥的体积．

20.  本小题分
已知椭圆：的离心率为，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合．
求椭圆的方程；
若直线：与椭圆交于不同的，两点，且满足为坐标原点，求弦长的值．

21.  本小题分
函数，．
当时，证明：；
若是的一个极大值点，求实数的取值范围．

22.  本小题分
已知曲线的参数方程为为参数，直线的倾斜角为，且过点．
求曲线的普通方程与直线的参数方程；
若直线与曲线交于，两点，且，求直线的倾斜角．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
则．
故选：．
根据集合的交集运算求解．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
 

3.【答案】 

【解析】解：当时，，解得，不满足要求，舍去；
当时，，解得，满足要求．
故选：．
分与两种情况，求出答案．
本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，
将化为，
观察图形可得，当直线过点时，最小，
联立方程，可得，则．
故选：．
画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出．
本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
根据几何概型的概率公式知：．
故选：．
根据不等式可解得，由几何概型的概率公式即可求解．
本题主要考查几何概型的概率公式，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题可得，解得，
因为焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为．
故选：．
根据双曲线的性质求解．
本题考查双曲线方程的求法，是基础题，
 

7.【答案】 

【解析】解：因为，，所以，
若，则；
若，则．
故选：．
利用线面垂直和面面平行的知识即可判断．
本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了线面垂直的性质，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
则，
所以函数是奇函数，
，
所以在上是单调递增的．
故选：．
由函数奇偶性的定义可判断奇偶性，由导数即可判断单调性．
本题主要考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：因为，
，，
又，
所以，即．
故选：．
根据指数函数、对数函数的性质判断即可．
本题主要考查对数值大小的比较，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为，所以更正后的平均分不变，
又，
所以．
故选：．
根据已知条件可知平均分不变，根据方差公式计算更正前后的方差，比较大小即可．
本题考查方差的相关知识，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由已知做出正三棱柱，则，
设点，分别为正，正的中心，连接，则，连接并延长交于于点，则，，
设点为中点，连接，则点为正三棱柱外接球的球心，且平面，，
因为点为正的中心，
所以，
所以，则，
因为平面，
所以，
则正三棱柱外接球半径，
所以该球的表面积为：．
故选：．
由已知画出图形，连接上下底面中心，则的中点即为外接球球心，连接，求出即可计算得出外接球的面积．
本题考查球的表面积相关知识，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：令，，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，当时，，
当趋向正无穷大时，趋向正无穷，故作出的大致图象，如图所示：

由题意，方程恰有一个实数根，
即函数的图象与直线的图象有一个公共点，
易知点为函数的图象与直线的公共点，
又曲线在点处的切线方程为，所以，
显然也成立，故实数的值为或．
故选：．
把方程问题转化为函数与直线有一个交点，利用导数研究函数图象，数形结合即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，解得．
故答案为：．
由平面向量平行的坐标公式计算即可．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由得，
则曲线表示的是以为圆心，为半径的圆，
所以曲线所围成平面区域的面积为：．
故答案为：．
由方程得出曲线表示的轨迹是圆，求出半径即可求出面积．
本题考查定积分的应用，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
设该切线方程，且与相切于点，
，整理得，
，
故答案为：．
根据题意，设出切点，然后求导，根据切线的斜率为切点处导数值即可得到结果．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，，由题意得，过点的切线的方程为：，
令，可得，令，可得，
所以面积，
又点在椭圆上，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最小值为．
故答案为：．
设，，根据题意，求得过点的切线的方程，即可求得、坐标，代入面积公式，即可求得面积的表达式，利用基本不等式，即可求得答案．
本题主要考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：因为，所以，
因为在点处的切线与直线平行，所以，
即，解得．
当时，则，
令，解得或，所以的单调递增区间为，，
令，解得，所以的单调递减区间为． 

【解析】求出函数的导函数，依题意可得，代入计算可得；
求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：因为，
所以，
由频率分布直方图可知，成绩不少于分的频率为，
即及格率为；
由分层抽样可知，成绩在，分别抽取的人数为，
不妨设成绩在的人为，，成绩在的人为，，，，
则任取人的所有基本事件为：
，，，，，，，，，，，，，，，共个，
其中人成绩都在的有个，
所以由古典概型知． 

【解析】根据频率分布直方图直接计算即可得解；
由分层抽样得出成绩在个区间的人数，列出基本事件，由古典概型求解即可．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
 

19.【答案】解：证明：连接交于点，
因为，
所以与共面，
所以平面，
因为四边形为正方形，
所以，
又因为平面，平面，
所以，
又因为平面，平面，，
所以平面，
又平面，
所以．

连接、，由得平面，
因为平面，平面，
所以，，
因为平面，，平面，
所以，，
易得，，
在中，，
在中，，
因为，
所以，
又因为平面，平面，，
所以平面，
所以．
 

【解析】连接交于点，首先证明平面，再根据正方形的性质得出，由平面得出，即可证明；
连接、，证明出平面，得出三棱锥以为底，为高，根据体积公式计算即可．
本题考查线面垂直的判定定理与性质，几何体的体积的求解，属中档题．
 

20.【答案】解：由得焦点，则椭圆的焦点为，
因为椭圆离心率为，
所以，解得，则，
所以椭圆的方程为．
设，，
由得，，
易得，则，，，
因为，
所以，解得，
所以

． 

【解析】由抛物线方程得出椭圆的一个焦点，得出，根据椭圆离心率得出，再根据，即可写出椭圆方程；
设，，由直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理得出，，，结合得出，由弦长公式计算即可．
本题主要考查椭圆的性质及椭圆的方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：当时，则，
所以当时，当时，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以在处取得极小值即最小值，即，
所以恒成立．
函数定义域为，且，
当，即时恒成立，
当时，当时，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以在处取得极小值，即是的一个极小值点，不符合题意；
当，即时恒成立，所以在上单调递增，无极值，不符合题意；
当，即时，
令，解得或，令，解得，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极小值，即是的一个极小值点，不符合题意；
当，即时，
令，解得或，令，解得，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，即是的一个极大值点，符合题意；
综上可得实数的取值范围为． 

【解析】当时求出函数解析式，即可求出导函数，从而求出函数的单调性，即可得到函数的最小值，即可得证；
求出函数的导函数，分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得到函数的极值点，即可得解．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：由曲线的参数方程为为参数，得，
，，即．
因为直线的倾斜角为，且过点，所以直线的参数方程为参数，
将直线的参数方程代入，
可得，即，
设，两点所对的参数为，，，，
，一正一负，
，而，，
，，，
，
解得，为直线的倾斜角，，
，或，
直线的倾斜角为或． 

【解析】将曲线利用参数方程转普通方程，根据直线的倾斜角与过定点写出参数方程即可．
将直线的参数方程代入，设，两点所对的参数为，，利用韦达定理代入中，化简即可求解．
本题考查简单曲线的参数方程相关知识，属于中档题．