2022-2023学年四川省成都市蓉城高中联盟高二（上）期末数学试卷（理科）

2022-2023学年四川省成都市蓉城高中联盟高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．过点且与直线垂直的直线方程为　　

A． B． C． D．

2．若一个圆的标准方程为，则此圆的圆心与半径分别是　　

A．；4 B．；2 C．；4 D．；2

3．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以表示如下：则　　

A．2 B．3 C．4 D．5

4．某校为了了解高二学生的身高情况，打算在高二年级12个班中抽取3个班，再按每个班男女生比例抽取样本，正确的抽样方法是　　

A．简单随机抽样 

B．先用分层抽样，再用随机数表法 

C．分层抽样 

D．先用抽签法，再用分层抽样

5．若，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知命题，，则为　　

A．， B．， 

C．， D．，

7．下列命题为真命题的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，，则 D．若，则

8．已知双曲线的上、下焦点分别为，，是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为　　

A． B． C． D．

9．已知的圆心是坐标原点，且被直线截得的弦长为6，则的方程为　　

A． B． C． D．

10．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的，分别为39，27，则输出的　　

A．1 B．3 C．5 D．7

11．若两个正实数，满足，则的最小值为　　

A．6 B．9 C．12 D．15

12．直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，由，分别向准线引垂线，，垂足分别为，，如果，，为的中点，则　　

A． B． C． D．2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．以下两个变量成正相关的是 　　．

①学生的学籍号与学生的数学成绩；

②坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数；

③气温与冷饮销售量；

④电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量．

14．若圆与圆外切，则实数　　．

15．若抛物线上的点到焦点的距离为8，则点到轴的距离为 　　．

16．，是椭圆的两个焦点，点是椭圆上异于顶点的一点，点是△的内切圆圆心，若△的面积是△的面积的4倍，则椭圆的离心率为 　　．

三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知直线与圆交于，两点．

（1）求圆的弦的长；

（2）若直线与直线平行，且与圆相切，求直线的方程．

18．（12分）已知命题：方程表示焦点在轴上的双曲线，命题．

（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；

（2）若，为假，为真，求实数的取值范围．

19．（12分）世界对中国的印象很多，让很多人印象深刻的肯定包括“吃”，中国有句话叫民以食为天，中国人认为吃对于人来说是一件很重要的事情，不但要能吃，也要会吃．我们四川更是遍地美食，四川人很多也是“好吃嘴”，但是好吃不等于健康，有人对不同类型的某些食品做了一次调查，制作了下表．其中表示某种食品所含热量的百分比，表示一些“好吃嘴”以百分制给出的对应的评分．

附：相关系数可以衡量两个变量和之间线性关系的强弱，当为正时，和正相关，当为负时，和负相关，统计学认为如果，相关性很强，如果，相关性一般，如果，相关性较弱．，，．

参考数据：．

（1）试用对两个变量，的相关性进行分析的结果保留两位小数）；

（2）求回归方程．

20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的左焦点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，求的面积．

21．（12分）四川新高考于2022年启动，2025年整体实施，2025年参加高考的学生将面临“”高考新模式．其中的“3”指“语、数、外”三个必选学科，“1”是指“物理、历史”两个学科二选一，“2”是指“化学、政治、生物、地理”这四个再选学科中选两科，对于再选学科会通过等级赋分的办法计入总成绩．等级赋分以30分作为赋分起点，满分为100分，将考生每门的原始成绩从高到低划定为、、、、五等，各等级人数所占比例分别为、、、、．现在高2022级新高一学生已经开始使用新教材，并且新高一的学生也参加了进高中以来的第一次期中考试，成都市某高中为了调研新高一学生在此次期中考试中生物学科的学情，随机抽取了100名新高一学生的生物成绩，统计了如下表格：

（1）根据统计表格画出频率分布直方图；

（2）根据统计数据估计该学校新高一学生在此次期中考试中生物成绩的平均分；

（3）根据统计数据结合等级赋分的办法，预估此次考试生物赋分等级至少为的大致分数线（取整数）．

22．（12分）已知抛物线的焦点为，过抛物线的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，线段的中点为．

（1）求抛物线的方程；

（2）证明：抛物线过，两点的切线的交点在抛物线的准线上．

2022-2023学年四川省成都市蓉城高中联盟高二（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．过点且与直线垂直的直线方程为　　

A． B． C． D．

【解析】：由题意知与直线垂直的直线的斜率为，

故过点且与直线垂直的直线方程为，即．

故选：．

2．若一个圆的标准方程为，则此圆的圆心与半径分别是　　

A．；4 B．；2 C．；4 D．；2

【解析】：一个圆的标准方程为，

此圆的圆心与半径分别是，半径为2，

故选：．

3．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以表示如下：则　　

A．2 B．3 C．4 D．5

【解析】：由图可知去掉的两个数是87，99，因为七个剩余分数的平均分为91，

所以，解得．

故选：．

4．某校为了了解高二学生的身高情况，打算在高二年级12个班中抽取3个班，再按每个班男女生比例抽取样本，正确的抽样方法是　　

A．简单随机抽样 

B．先用分层抽样，再用随机数表法 

C．分层抽样 

D．先用抽签法，再用分层抽样

【解析】：先在高二年级12个班中抽取3个班，宜用抽签法，再按每个班男女生比例抽取样本，适合使用分层抽样，

所以先用抽签法，再用分层抽样．

故选：．

5．若，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】：，，

根据分条件、必要条件的定义，则“”是“”的必要不充分条件，

故选：．

6．已知命题，，则为　　

A．， B．， 

C．， D．，

【解析】：命题为全称命题，则命题的否定为，．

故选：．

7．下列命题为真命题的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，，则 D．若，则

【解析】：对于，若，则，故，故错；

对于，若，当时，则，故错；

对于，若，，则当，，，，则，，则，故错；

对于，若，则，则，故正确；

故选：．

8．已知双曲线的上、下焦点分别为，，是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为　　

A． B． C． D．

【解析】：根据题意可得，，，

，又焦点在轴上，

双曲线的标准方程为，

故选：．

9．已知的圆心是坐标原点，且被直线截得的弦长为6，则的方程为　　

A． B． C． D．

【解析】：因为圆心是坐标原点，直线方程为，

所以圆心到直线的距离为，

因为圆被直线截得的弦长为6，弦长的一半为3，

所以圆的半径，

则圆的方程为．

故选：．

10．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的，分别为39，27，则输出的　　

A．1 B．3 C．5 D．7

【解析】：，，

满足，满足，，

满足，不满足，，

满足，不满足，，

满足，满足，，

满足，满足，，

满足，满足，，不满足，

故输出．

故选：．

11．若两个正实数，满足，则的最小值为　　

A．6 B．9 C．12 D．15

【解析】：，，，则，当且仅当，即，时取等号，

故选：．

12．直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，由，分别向准线引垂线，，垂足分别为，，如果，，为的中点，则　　

A． B． C． D．2

【解析】：如图，由抛物线的定义可知，，

，，

由题意可得，

，，

，

，又过点作交于点，

，

在中，，

．

故选：．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．以下两个变量成正相关的是 　③④　．

①学生的学籍号与学生的数学成绩；

②坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数；

③气温与冷饮销售量；

④电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量．

【解析】：对于①，学生的学籍号与学生的数学成绩没有相关关系；

对于②，一般情况下，坚持每天吃早餐的人患胃病的概率低，坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数成负相关关系；

对于③，一般情况下，气温低，喝冷饮的人少，气温与冷饮销售量成正相关关系；

对于④，一般情况下，电瓶车越重，每千米的耗电量越高，电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量成正相关关系．

综上，两个变量成正相关的是③④．

故答案为：③④．

14．若圆与圆外切，则实数　5　．

【解析】：圆的圆心坐标为，半径为2，

圆的圆心坐标为，半径为3，

，且两圆外切，，解得，

故答案为：5．

15．若抛物线上的点到焦点的距离为8，则点到轴的距离为 　5　．

【解析】：抛物线方程为，，

又点到焦点距离为8，

，

，，

点到轴距离为5．

故答案为：5．

16．，是椭圆的两个焦点，点是椭圆上异于顶点的一点，点是△的内切圆圆心，若△的面积是△的面积的4倍，则椭圆的离心率为 　　．

【解析】：设椭圆方程为：，

点是椭圆上异于顶点的一点，，是椭圆的两个焦点，

设，，，△的周长为，

由椭圆的定义可得，

△的内切圆半径，，

，

解得：，即离心率，

故答案为：．

三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知直线与圆交于，两点．

（1）求圆的弦的长；

（2）若直线与直线平行，且与圆相切，求直线的方程．

【解析】：（1）由圆，得圆，可得圆心，半径，

圆心到直线的距离，可得；

（2）直线与直线平行，可设直线的方程为：，

又直线与圆相切，有，可得或，

直线的方程为：或．

18．（12分）已知命题：方程表示焦点在轴上的双曲线，命题．

（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；

（2）若，为假，为真，求实数的取值范围．

【解析】：（1）由方程表示焦点在轴上的双曲线，可得，

是的充分不必要条件，，，，，

经检验，满足题意，实数的取值范围为：，；

（2）易得，，又假，为真，，一真一假，

当真假时有：，且或，得，

当假真时有，或，且，得，

综上所述，实数的取值范围为：，，．

19．（12分）世界对中国的印象很多，让很多人印象深刻的肯定包括“吃”，中国有句话叫民以食为天，中国人认为吃对于人来说是一件很重要的事情，不但要能吃，也要会吃．我们四川更是遍地美食，四川人很多也是“好吃嘴”，但是好吃不等于健康，有人对不同类型的某些食品做了一次调查，制作了下表．其中表示某种食品所含热量的百分比，表示一些“好吃嘴”以百分制给出的对应的评分．

附：相关系数可以衡量两个变量和之间线性关系的强弱，当为正时，和正相关，当为负时，和负相关，统计学认为如果，相关性很强，如果，相关性一般，如果，相关性较弱．，，．

参考数据：．

（1）试用对两个变量，的相关性进行分析的结果保留两位小数）；

（2）求回归方程．

【解析】：（1）由图表可得，，

，，

，

，

为正且接近于1，两个变量，之间成正相关，并且有相当强的相关性；

（2）易得，则，

回归方程为．

20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的左焦点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，求的面积．

【解析】：（1）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且过点，

则，，

又，得，

椭圆的标准方程为：；

（2）过椭圆的左焦点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，

易得过椭圆的左焦点且斜率为1的直线方程为，

由，得，

设，，，，有，，

，

又点到直线的距离，

面积．

21．（12分）四川新高考于2022年启动，2025年整体实施，2025年参加高考的学生将面临“”高考新模式．其中的“3”指“语、数、外”三个必选学科，“1”是指“物理、历史”两个学科二选一，“2”是指“化学、政治、生物、地理”这四个再选学科中选两科，对于再选学科会通过等级赋分的办法计入总成绩．等级赋分以30分作为赋分起点，满分为100分，将考生每门的原始成绩从高到低划定为、、、、五等，各等级人数所占比例分别为、、、、．现在高2022级新高一学生已经开始使用新教材，并且新高一的学生也参加了进高中以来的第一次期中考试，成都市某高中为了调研新高一学生在此次期中考试中生物学科的学情，随机抽取了100名新高一学生的生物成绩，统计了如下表格：

（1）根据统计表格画出频率分布直方图；

（2）根据统计数据估计该学校新高一学生在此次期中考试中生物成绩的平均分；

（3）根据统计数据结合等级赋分的办法，预估此次考试生物赋分等级至少为的大致分数线（取整数）．

【解析】：（1）根据统计表格画出频率分布直方图，如图：

（2）根据统计数据估计该学校新高一学生在此次期中考试中生物成绩的平均分为

；

（3）等级赋分以30分作为赋分起点，满分为100分，将考生每门的原始成绩从高到低划定为、、、、五等，各等级人数所占比例分别为、、、、．

则此次考试生物赋分等级至少为所占比例为，即求原始成绩的百分之五十分位数，

根据直方图可知，，对应频率为0.05，，对应频率为0.25，，对应频率为0.35，

故原始成绩的百分之五十分位数位于，区间内，

，

故此次考试生物赋分等级至少为的大致分数线为76分．

22．（12分）已知抛物线的焦点为，过抛物线的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，线段的中点为．

（1）求抛物线的方程；

（2）证明：抛物线过，两点的切线的交点在抛物线的准线上．

【解析】：（1）设，，，，

线段的中点为，直线的斜率为1，

，，

又，两点在抛物线上，

，，

相减得：，

，即，

抛物线的方程为．

（2）证明：易得过，两点的抛物线的切线不与坐标轴垂直，

不妨设过，的抛物线的切线方程为：，，即，

由，化为，

△，

又，整理得，解得．

过，的抛物线的切线方程为：，整理得；

同理可得过，的抛物线的切线方程为：，

设两切线的交点为，，由

可得，

直线的方程为：，

由，化为，

，，

即两切线的交点在抛物线的准线上．