2022-2023学年湖南省衡阳市衡南县高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年湖南省衡阳市衡南县高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据交集的定义求解即可.

【详解】，；

 故选：D．

2．在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由复数的几何意义确定复数，再由复数乘法求.

【详解】因为复数z对应的点的坐标为，

所以，

所以，

故选：B．

3．命题的否定为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，由特称命题的否定是全称命题即可得到结果.

【详解】原命题的否定为.

故选:A

4．已知，则在上的投影向量的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据投影向量的定义即可求解.

【详解】在上的投影向量为，

故选：C

5．马林•梅森（MarinMersenne，1588-1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物．梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对作了大量的计算、验证工作．人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如（其中p是素数）的素数，称为梅森素数（素数也称质数）．在不超过40的素数中，随机选取3个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】列举法找出所有不超过40的素数和梅森素数，计算随机抽取其中3个素数时，不含梅森素数的概率，用1减去即可求出含有一个梅森素数的概率.

【详解】不超过40的素数，有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37一共有12个.其中梅森素数为：3，7，31，共有3个.不含梅森素数的概率为， 则随机选取3个素数，至少有一个梅森素数的概率为.

故选：C.

6．设随机变量，若，则a的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据正态分布的对称性分析运算.

【详解】由题意可得：正态曲线的对称轴为，

因为若，则，解得.

故选：B.

7．等腰三角形的底和腰之比为（黄金分割比）的三角形称为黄金三角形，它被称为最美的三角形．如图，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成，且黄金三角形的顶角．根据这些信息，可求得的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由图可得，再利用倍角余弦公式可得，再结合诱导公式即可求解.

【详解】由图形知，则，

所以，

，

.

故选：A

8．设椭圆C：的右焦点为F，椭圆C上的两点关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设椭圆的左焦点为，连接，，利用椭圆对称性结合，推出，设，，推出，继而令，推得，从而求得的关系式，求得答案.

【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，，

由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，又，即FA⊥FB，

所以四边形为矩形，所以，

设，，在中，，，，

可得，

所以，令，得．

又，得，所以，所以，

结合，所以，所以，所以，

即椭圆C的离心率的取值范围为，

故选：B．

二、多选题

9．下列说法正确的有（    ）

A．在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法

B．离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和

C．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点

D．在回归分析中，决定系数越大，模拟的效果越好

【答案】ABD

【分析】利用独立性检验的概念可判断A选项；利用离散型随机变量的概念可判断B选项；利用回归直线的概念可判断C选项；利用决定系数与模拟效果的关系可判断D选项.

【详解】对于A选项，在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，A对；

对于B选项，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，B对；

对于C选项，线性回归方程对应的直线必过样本中心点，不一定过样本数据点中的一个点，C错；

对于D选项，在回归分析中，决定系数越大，模拟的效果越好，D对.

故选：ABD.

10．若函数（，，）的部分图象如图，则（    ）

A．是以为周期的周期函数

B．的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数是奇函数

C．在上单调递减

D．的图象的对称中心为，

【答案】AC

【分析】首先根据函数图象得到，对于选项A，根据三角函数的周期性即可判断A正确，对选项B，向左平移后得到，不是奇函数，即可判断B错误，对选项C，根据，即可判断C正确，对选项D，根据的图象的对称中心为，即可判断D错误.

【详解】由题图可知，因为当时，，所以.

因为，所以，所以.

由题图可知，所以，所以.

由题图可知，当时，取得最大值，

所以，，解得，.

又，所以，所以.

对于A，，则A正确.

对于B，的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，

此函数不是奇函数，故B错误.

对选项C，，则，

所以在上单调递减，故C正确.

对选项D，，，得，，

所以的图象的对称中心为，，则D错误.

故选：AC.

11．如图，正方体的棱长为2，动点分别在线段上，则（    ）

A．异面直线和所成的角为

B．点到平面的距离为

C．若分别为线段的中点，则平面

D．线段长度的最小值为

【答案】BCD

【分析】利用异面直线所成角方法求解即可判断选项A，利用等体积法求解点到面的距离即可判断B，利用线面平行的判定定理判断选项C，建立空间直角坐标系利用向量共线的性质建立关系式，然后利用两点间的距离公式表示出来分析即可判断选项D.

【详解】因为，

所以异面直线和所成的角即为和所成的角，

因为，

所以为等边三角形，即，

故错误.

连接如图所示：

点到平面的距离为，

因为，

所以.

因为，

所以，

所以点到平面的距离为，

故B正确，

当分别为线段的中点时，

则为的中位线，

所以，

又平面，平面，

所以平面，

故C正确.

以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

如图所示：

则，

设，，

所以，

所以，

设，，

又

所以，

所以，

所以

当时，

有最小值，即，故D选项正确，

故选：BCD.

12．函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，且，则（    ）

A．为偶函数

B．

C．的图象关于对称

D．若，则为奇函数

【答案】AC

【分析】根据简单复合函数的求导法则及奇偶性的定义判断A、D，利用特殊值判断B，根据周期性及奇偶性判断函数的对称性，即可判断C.

【详解】因为为奇函数且在定义域上可导，即，

所以两边对取导可得，即，

所以为偶函数，故A正确；

对于B：令，显然为奇函数，且最小正周期，

即满足，则，则，故B错误；

对于C：因为且为上的奇函数，所以，

即，所以，即，

所以的图象关于对称，故C正确；

对于D：因为，则，

即为奇函数，由A可知为偶函数，故D错误；

故选：AC

三、填空题

13．的二项展开式中的常数项为      ．

【答案】

【分析】首先写出展开式的通项，再令的指数为，求出所对应的，再代入计算可得.

【详解】二项式展开式的通项为，

令，解得，所以，所以展开式中常数项为.

故答案为：

14．小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是0.5，小智连续两盘都获胜的概率是0.4，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是          .

【答案】0.8/

【分析】利用条件概率公式求解.

【详解】设小智第一盘获胜为事件，第二盘获胜为事件，则

，

则，

故答案为：0.8

15．对于三次函数，给出定义：设是的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”，可以发现，任何一个三次函数都有“拐点”.设函数，则             .

【答案】－3033

【分析】由题意对已知函数进行二次求导，证明函数关于点中心对称，即，由此可得到结果.

【详解】因为，

所以，

设，则，

令，可得，

又，

所以，即，

所以，

所以.

故答案为：.

【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

16．若，设表示的整数部分，表示的小数部分，如，．已知数列的各项都为正数，，且，则        ．

【答案】/

【分析】根据， 表示的含义，即可代入求解 ，通过规律即可归纳求解.

【详解】由得，

，

，

依次类推知，所以，

故答案为：

四、解答题

17．等比数列的公比为2，且成等差数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)运用等差中项求出 ，再根据等比数列的通项公式求出 ；

(2)根据条件求出 的通项公式，再分组求和.

【详解】（1）已知等比数列的公比为2，且成等差数列，

， ， 解得，

；

（2），

.

；

综上，

18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 .

(1)求角B的大小；

(2)若，且，求a和c；

(3)若，，求的周长.

【答案】(1)

(2)，

(3).

【分析】（1）根据正余弦定理化简即可.

（2）根据正弦定理结合三角形面积公式即可.

（3）根据余弦定理求出的值即可.

【详解】（1）中，，

由正弦定理得：

，

，即，

，

在三角形中，，

.

（2），由正弦定理得：，

又，，

，.

（3）由余弦定理：，，

故周长为.

19．如图，矩形ABCD是圆柱的一个轴截面，点E在圆O上，，且，．

(1)当时，证明：平面平面BDE；

(2)若直线AF与平面ODE所成角的正弦值为，试求此时的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）得到和，从而证明线面垂直，进而证明面面垂直；

（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，根据线面角的正弦值列出方程，求出答案.

【详解】（1）因为点E在圆O上，所以，

而矩形ABCD是圆柱的轴截面，

则有平面ABE，又平面ABE，即有，

又，，平面ADE，于是得平面ADE，

又因为平面ADE，所以．

当时，点F是DE的中点，又，则有

因为，平面，

所以平面BDE，又平面OAF，

所以平面平面BDE．

（2）在底面内过O作，则，，两两垂直，

所以以为原点，，，分别为x，y，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．

又因为，，，

所以，，则，，，．

，

设平面ODE的法向量为，则即

令得，， 即，设直线AF与平面ODE所成的角为，

则，解得．

即当时，直线AF与平面ODE所成角的正弦值为．

20．第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会，为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A社区参加市亚运知识竞赛．已知A社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．

(1)求这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率．

(2)某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：

方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励600元：

方案二：只参加了初赛的选手奖励100元，参加了决赛的选手奖励400元（包含参加初赛的100元），若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．

【答案】(1)

(2)从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好

【分析】（1）根据独立事件的概率，先分别求出甲乙丙三人参加市赛的概率，即可求出至少有1人参加市知识竞赛的概率．

（2）分别求出两个方案的奖励期望，比较大小即可.

【详解】（1）甲参加市赛的概率为，

乙参加市赛的概率为，

丙参加市赛的概率为，

至少1人参加市赛的概率为：．

（2）方案一：设三人中奖人数为，所获奖金总额为元，则，且．

所以元，

方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为元，则的所有可能取值为300、600、900、1200，

则，

，

，

，

所以，．

所以，，

所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．

21．如图，已知椭圆的两个焦点为，且为双曲线的顶点，双曲线的离心率，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线的斜率分别为，且直线和与椭圆的交点分别为和.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)证明：直线的斜率之积为定值；

(3)求的取值范围.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）根据椭圆和双曲线的标准方程求解即可；

（2）设点，由斜率的定义可知，再将代入双曲线方程即可求解；

（3）利用（2）中结论设直线的方程为，的方程为，分别代入椭圆方程求得即可求解.

【详解】（1）设双曲线的标准方程为，

由题意知，且，所以，

所以双曲线的标准方程为：；

（2）设点，由题可知，

则，

所以，

由点在双曲线上，可知，即有，

所以，故；

（3）由（2）可知，且，

所以可设直线的方程为，

则直线的方程为，

把直线的方程代入椭圆方程，

整理得，

设，则有，

因此

，

把直线的方程代入椭圆方程，

整理得，

设，，则有，，

因此

，

所以又，

所以，

所以，

所以的取值范围为.

【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：

（1）得出直线方程，设交点为，，

（2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程；

（3）写出韦达定理；

（4）将所求问题或题中关系转化为形式；

（5）代入韦达定理求解.

22．已知函数

(1)讨论函数的单调性;

(2)，关于的不等式恒成立，求正实数的取值范围

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求得，对进行分类讨论，从而求得的单调区间.

（2）由不等式分离，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围.

【详解】（1），

当时，，在上递增.

当时，令解得，

所以在区间递减；在区间递增.

综上所述，时，在上是增函数；

时，在上是减函数，在上是增函数.

（2）不等式，即，

由于，所以恒成立，

设，

，

由（1）知，时，，

在上是减函数，在上是增函数，，

所以，用替换得，且时，，

所以时，递增，时，递减，

所以时，，

所以，所以的取值范围是.

【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，可考虑分离常数法.分离常数后，构造新的函数，并利用导数研究所构造函数的性质（主要）是最值，由此来求得参数的取值范围.