2022-2023学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷

1.  在复平面内，复数对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.  经过点且倾斜角为的直线的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  已知直线l经过点，，平面的一个法向量为，则(    )

A.  B.
C.  D. l与相交，但不垂直

4.  已知抛物线上的点到其焦点的距离是1，那么实数a的值为(    )

A.  B.  C. 1 D. 2

5.  在平行六面体中，点M满足若，，，则下列向量中与相等的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  已知直线l：，：，则“”是“直线l与相交”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7.  在正方体中，直线l是底面ABCD所在平面内的一条动直线，记直线与直线l所成的角为，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知A，异于坐标原点是圆与坐标轴的两个交点，则下列点M中，使得为钝角三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  “天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点P向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线PM，PN，则就是“天问一号”在点P时对火星的观测角．图所示的Q，R，S，T四个点处，对火星的观测角最大的是(    )
 

A. Q B. R C. S D. T

10.  如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为，的中点，P为正方体表面上的动点．下列叙述正确的是(    )

A. 当点P在侧面上运动时，直线CN与平面BMP所成角的最大值为
B. 当点P为棱的中点时，平面BMP
C. 当点P在棱上时，点P到平面CNM的距离的最小值为
D. 当点时，满足平面NCP的点P共有2个
 

11.  若复数z满足，则______.

12.  已知直线：，直线：若，则实数______.

13.  已知双曲线的渐近线为，则该双曲线的离心率为______.

14.  已知椭圆M：的左、右焦点分别是，，，且是面积为的正三角形．过垂直于的直线交椭圆M于B，C两点，则的周长为______.

15.  古希腊数学家阿波罗尼斯在其著作《圆锥曲线论》中，系统地阐述了圆锥曲面的定义和利用圆锥曲面生成圆锥曲线的方法，并探究了许多圆锥曲线的性质．其研究的问题之一是“三线轨迹”问题：给定三条直线，若动点到其中两条直线的距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数，求该点的轨迹．
小明打算使用解析几何的方法重新研究此问题，他先将问题特殊化如下：
给定三条直线：，：，：，动点P到直线，和的距离分别为，和，且满足，记动点P的轨迹为曲线给出下列四个结论：
①曲线C关于x轴对称；
②曲线C上的点到坐标原点的距离的最小值为；
③平面内存在两个定点，曲线C上有无数个点P到这两个定点的距离之差为；
④的最小值为
其中所有正确结论的序号是______.

16.  已知直线：与直线：交于点A，点A关于坐标原点的对称点为C，点B在直线上，点D在直线上．
当时，求C点的坐标；
当四边形ABCD为菱形时，求k的值．

17.  已知曲线M上的任意一点到点的距离比它到直线的距离小
求曲线M的方程；
设点，若过点的直线与曲线M交于B、C两点，求的面积的最小值．

18.  如图，在四棱锥中，四边形ABCD是平行四边形，点F为PD的中点．
已知点G为线段BC的中点，求证：平面PAG；
若，直线PC与平面ABCD所成的角为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择几个作为已知，使四棱锥唯一确定，求：
直线CD到平面ABF的距离；
二面角的余弦值．
条件①：平面ABCD；
条件②：；
条件③：平面平面

19.  已知椭圆E：的焦距为2，长轴长为
求椭圆E的方程；
过点且与x轴不重合的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，点B关于x轴的对称点为问：平面内是否存在定点P，使得恒在直线PC上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：，
则复数对应的点位于第一象限．
故选：
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：倾斜角为的直线的方程的斜率，
经过点且倾斜角为的直线的方程是，即为
故选：
根据点斜式方程和一般式方程即可求出．
本题考查了点斜式方程和一般式方程，属于基础题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：根据题意，，，则，
而平面的一个法向量为，则有，
即，必有，
故选：
根据题意，求出的坐标，分析可得，由平面法向量的定义分析可得答案．
本题考查空间向量的应用，涉及向量平行的判断方法，属于基础题．
 

4.【答案】D 

【解析】解：由抛物线方程知：抛物线焦点为，准线为，
由抛物线定义知：，解得：，
故选：
利用抛物线焦半径公式可直接构造方程求得结果．
本题主要考查抛物线的性质，属于中档题．
 

5.【答案】C 

【解析】解：平行六面体中，点M满足若，，，
所以
故选：
直接利用向量的线性运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
 

6.【答案】A 

【解析】解：：，
则的圆心为，半径为1，
圆心到直线l的距离为，
当时，，故直线l与相交，充分性成立，
当直线l与相交，则，即，必要性不成立，
故“”是“直线l与相交”的充分而不必要条件，故A正确．
故选：
根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
 

7.【答案】A 

【解析】解：如图，过C作l的平行线，过作该平行线的垂线，垂足为P，

则，，
设正方体的棱长为1，则，，
，
当且仅当P与A重合时，取得等号，
的最小值为
故选：
过点C作l的平行线，过作该平行线的垂线，垂足为P，则，则，根据可求出结果．
本题考查正方体结构特征、异面直线所成角的定义及正弦值求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

8.【答案】D 

【解析】解：对于圆，
令，解得，2；
令，解得，
不妨取，，
可得直线AB的方程：，即
圆心满足直线BA的方程，
下列点M中，使得为钝角三角形，则点M必须在的内部．
经过验证，在上，点在的外部，只有点在圆的内部，
故选：
对于圆，可得，，可得直线AB的方程圆心满足直线BA的方程，下列点M中，使得为钝角三角形，点M必须在的内部，经过验证进而得出结论．
本题考查了点及其直线与圆的位置关系、钝角三角形、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

9.【答案】A 

【解析】解：设火星半径为R，椭圆左焦点为，连接，则，

因为，所以越小，越大，越大，
所以当点P位于条件中点Q处，对火星的观测角最大．
故选：
连接点P和椭圆的左焦点，由对称性和椭圆上点到焦点距离的特征得点P位于条件中点Q处，对火星的观测角最大．
本题考查了椭圆的几何性质，属于中档题．
 

10.【答案】C 

【解析】解：由于线面角的最大值为，
因为NC与MB不可能垂直，故直线CN与平面BMP所成角的最大值达不到，故选项A错误；
取DC的中点为H，的中点为P，连接，相交于点O，连接OH，ON，

因为且，所以四边形ONCH时平行四边形，
故，
因为平面，平面，故CN不能与平面BMP平行，故B错误；
因为，
M到平面PNC的距离为，故当点P运动到点时，取最小值为，
故，
因为，，，
，故，故C正确；
当点时，满足平面NCP的点P共有1个，点当P为平面的中心时满足，故D错误．
故选：
NC与MB不可能垂直，故选项A错误；平移NC与平面相交于一点H，故选项B错误；利用体积相等即可求出点P到平面CNM的距离的最小值为判断选项C，当点时，满足平面NCP的点P共有1个，当点P为平面的中心时满足，故判断选项
本题主要考查直线与平面所成的角，直线与平面的平行，直线与平面的垂直，点到平面的距离的求法，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，即，

故答案为：
根据已知条件你，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：直线：，直线：，且，
，
，
故答案为：
直线的垂直关系可得a的方程，解方程可得a值．
本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：已知双曲线的渐近线为，
又双曲线的渐近线为，
则，
则，
即，
即，
即该双曲线的离心率为，
故答案为：
由双曲线的性质，结合双曲线离心率的求法求解即可．
本题考查了双曲线的性质，属基础题．
 

14.【答案】8 

【解析】解：如图，设，则，

因面积为，且其为正三角形，
又，则，则，
又直线BC过，与垂直，为正三角形，则直线BC为中垂线，
则，，又，
故的周长，
又C，B在椭圆上，则由椭圆定义有
故答案为：
由面积为，且其为正三角形，可得a，然后由中垂线性质结合椭圆定义可得答案．
本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
 

15.【答案】①③④ 

【解析】解：直线的方程为，直线的方程为，
设点，，则，，，
所以，化简可得，
对于①，在曲线C上任取一点，则点P关于x轴的对称点为，
所以，故点P在曲线C上，故①对；
对于②，设点，当时，则曲线C的方程可化为，可得，
设坐标原点为O，则，
且原点坐标满足方程，此时有意义，故②错；
对于③，当，则曲线C的方程可化为，
整理可得，取双曲线的焦点，，
根据双曲线的定义可知，曲线C上有无数个点P，使得，故③对；
对于④，当点P在抛物线上，且时，
，当且仅当时，等号成立，
当点P在双曲线的上支时，则，且且，
此时，
因为，
所以且，
故，
当且仅当时，等号成立；
当点P在的下支时，同理可求得的最小值为，
综上所述，的最小值为，故④对．
故答案为：①③④．
设点，求出点P的轨迹方程，根据曲线对称性的定义可判断①；化简曲线C的方程，利用两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可判断②；化简曲线C的方程，根据双曲线的定义可判断③；对点P的位置进行分类讨论，利用二次函数的基本性质可求得的最小值可判断④．
本题主要考查曲线有关几何性质的应用，解题的关键在于根据题中的几何关系求出曲线的方程，并对曲线的方程进行化简，进而通过曲线的方程对曲线的几何性质进行分析求解，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．
 

16.【答案】解：当时，直线：，又直线：，
可得A为，为；
联立，可得，
设，又四边形ABCD为菱形，
，且，又B在直线：上，
，解得，
的值为 

【解析】求出A点坐标，从而可得C点坐标；
根据菱形的性质，建立方程即可求解．
本题考查直线，点的对称性问题，菱形的性质，方程思想，属中档题．
 

17.【答案】解：曲线M上的任意一点P到点的距离比它到直线的距离小1，
所以P到点的距离等于它到直线的距离，根据抛物线的定义可知，
M为抛物线，且焦点为，故，
故M的方程为：；
由题意设，，
且BC所在直线为，代入整理得：
，易知，
且，，
故，当时取等号，
故，
故当时，的面积的最小值为 

【解析】根据抛物线的定义，求出曲线M的方程；
把直线，的方程设成，代入曲线M的方程消去x，然后将表示为m的函数，求其最小值即可．
本题利用抛物线的定义求其标准方程，以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
 

18.【答案】解：证明：四边形ABCD是平行四边形，点F为PD的中点，
取PA的中点E，连接EF，EG，则易得，且，
四边形EFCG为平行四边形，
，又平面PAG，平面PAG，
平面PAG；
根据题意可得：选条件①，②或选条件①，③才能使四棱锥唯一确定，
当选条件①，②时，则平面ABCD，，
又，且直线PC与平面ABCD所成的角为，
，，
，底面平行四边形ABCD为矩形，
当选条件①，③时，则平面ABCD，平面平面PAD，
，
又，且直线PC与平面ABCD所成的角为，
，，
故选条件①，②或选条件①，③确定的四棱锥相同，
建系如图，则，，，，，
，，，，
，平面ABF，平面ABF，
平面ABF，
直线CD到平面ABF的距离等于D到平面ABF的距离，
又，设平面ABF的法向量为，
则，取，
到平面ABF的距离；
设平面AFC的法向量为，
则，取，
又由知平面ABF的法向量，
设二面角的平面角为，由图可知为锐角，
，
故二面角的余弦值为 

【解析】根据线面平行的判定定理即可证明；
选条件①，②或选条件①，③都可以确定四棱锥，再利用向量法即可分别求解与
本题考查线面平行的判定定理，向量法求解点面距问题，向量法求解二面角问题，属中档题．
 

19.【答案】解：椭圆E：的焦距为2，长轴长为4，
，，，
椭圆E的方程为；
存在定点，使得恒在直线PC上，
理由如下：设直线l：，设，，，
，，由，得，
，，，
，，
，
，
，P，C三点共线． 

【解析】由已知易得c，a，进而可求椭圆E的方程；
存在定点，使得恒在直线PC上，设直线l：，设，，，可得，，可证，从而可得，P，C三点共线．
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属中档题．