2022-2023学年北京市丰台区高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年北京市丰台区高二（上）期末数学试卷

1.  已知经过，两点的直线的一个方向向量为，那么(    )

A.  B.  C.  D. 2

2.  圆C：的圆心坐标和半径分别为(    )

A. ，2 B. ，2 C. ，4 D. ，4

3.  有一组样本数据，，…，的方差为，则数据，，⋯，的方差为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知m，n是实数，若，，且，则(    )

A.  B. 0 C. 2 D. 4

5.  记录并整理某车间10名工人一天生产的产品数量单位：个如表所示：

那么这10名工人一天生产的产品数量的第30百分位数为(    )

A.  B. 51 C. 52 D. 53

6.  某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重单位：克数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是，样本数据分组为已知样本中产品净重小于14克的个数是36，则样本中净重大于或等于10克并且小于22克的产品的个数是(    )

A. 90 B. 75 C. 60 D. 45

7.  已知生产某种产品需要两道工序，设事件“第一道工序加工合格”，事件“第二道工序加工合格”，只有第一道工序加工合格才进行第二道工序加工，那么事件“产品不合格”可以表示为(    )

A.  B. AB C.  D.

8.  已知圆M：和存在公共点，则m的值不可能为(    )

A. 3 B.  C. 5 D.

9.  已知双曲线的右支与圆交于A，B两点，O为坐标原点．若为正三角形，则该双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C.  D. 2

10.  在平面直角坐标系xOy中，方程对应的曲线记为C，给出下列结论：
①是曲线C上的点；
②曲线C是中心对称图形；
③记，，P为曲线C上任意一点，则面积的最大值为
其中正确结论的个数为(    )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

11.  双曲线的渐近线方程为______.

12.  甲、乙两人独立地破译某个密码，若两人独立译出密码的概率都是，则密码被破译的概率为______.

13.  写出过点且与圆相切的一条直线的方程______.

14.  在空间直角坐标系中，已知过坐标原点O的平面的一个法向量是，点到平面的距离为______.

15.  棱长为2的正方体中，点P满足，其中x，y，，给出下列四个结论：
①当，时，可能是等腰三角形；
②当，时，三棱锥的体积恒为；
③当，且时，的面积的最小值为；
④当，且时，可能为直角．
其中所有正确结论的序号是______.

16.  已知的三个顶点分别是，，
求的外接圆C的方程；
求直线l：被圆C截得的弦的长．

17.  如图，在正四棱柱中，，M是棱上任意一点．
求证：；
若M是棱的中点，求异面直线AM与BC所成角的余弦值．

18.  某公司为了了解A，B两个地区用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取400名用户，从B地区随机抽取100名用户，通过问卷的形式对公司产品评分．该公司将收集的数据按照分组，绘制成评分分布表如下：

采取按组分层随机抽样的方法，从A地区抽取的400名用户中抽取10名用户参加座谈活动．求参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于60分的用户有多少名？
从中参加座谈的且评分不低于60分的用户中随机选取2名用户，求这2名用户的评分恰有1名低于80分的概率；
若A地区用户对该公司产品的评分的平均值为，B地区用户对该公司产品的评分的平均值为，两个地区的所有用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小，并说明理由．

19.  已知抛物线C：过点
求抛物线C的方程及其焦点坐标；
过点A的直线l与抛物线C的另一个交点为B，若的面积为2，其中O为坐标原点，求点B的坐标．

20.  如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且
求证：平面PAD；
求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值；
在棱PB上是否存在点与P，B不重合，使得DG与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．

21.  已知椭圆E：过点，两点．
求椭圆E的方程；
过点P的直线l与椭圆E交于C，D两点．
若点P坐标为，直线BC，BD分别与x轴交于M，N两点．求证：；
若点P坐标为，直线g的方程为，椭圆E上存在定点Q，使直线QC，QD分别与直线g交于M，N两点，且请直接写出点Q的坐标，结论不需证明．

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：由已知可得直线AB的斜率为，
则，
故选：
求出直线的斜率，由此即可求解．
本题考查了直线的斜率以及方向向量的应用，属于基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：圆C：的圆心坐标为，
半径为：
故选：
利用圆的定义和性质直接求解．
本题考查圆的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】解：设数据，，…，的平均数为，
则数据，，⋯，的平均数为，
数据，，…，的方差为，
又数据，，⋯，的方差为
故选：
设数据，，…，的平均数为，即可求出该数据的方差关系式，然后再求出数据，，⋯，的平均数以及方差关系式，化简即可求解．
本题考查了数据的方差的求解，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

4.【答案】D 

【解析】解：根据题意，若，，且，
设，则有，解可得、，
则；
故选：
根据题意，设，则有，解可得m、n的值，计算可得答案．
本题考查空间向量的平行，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
 

5.【答案】C 

【解析】解：将10个数据按照从小到大的顺序排列为：
46，48，51，53，53，56，56，56，58，71，
，
所给数据的第30百分位数为第3个数据与第4个数据的平均数，等于
故选：
将数据按照从小到大的顺序排列，然后由百分位数的定义求解即可．
本题考查了百分位数的求解，解题的关键是掌握百分位数的定义，考查了运算能力，属于基础题．
 

6.【答案】A 

【解析】解：由频率分布直方图可知样本中产品净重小于14克的频率为，
设样本总体个数为n，则，解得，
又样本中净重大于或等于10克并且小于22克的频率为，
所以样本中净重大于或等于10克并且小于22克的产品个数为，
故选：
根据频率分布直方图求出样本中产品净重小于14克的频率，然后设样本总体个数为n，则即可建立方程求出n的值，进而可以求解．
本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生的识图能力，属于基础题．
 

7.【答案】D 

【解析】解：由题意可知要使产品不合格，
需第一道工序不合格或者第一道工序合格且第二道工序不合格，
则“产品不合格”可以表示为，
故选：
根据和事件以及积事件的性质即可求解．
本题考查了事件的关系与运算，属于基础题．
 

8.【答案】D 

【解析】解：圆M：的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
若圆M与圆N存在公共点，则，
即，解得
结合选项可得，m的值不可能为
故选：
由两圆的方程可得圆心坐标与半径，再由圆心距与半径的关系列式求得m的范围，结合选项得答案．
本题考查圆与圆位置关系的判定及应用，考查运算求解能力，是基础题．
 

9.【答案】C 

【解析】解：如图所示，设，，
联立，解得，
为正三角形，
，，
化为，，
解得，即，
故选：
如图所示，设，，联立，解得x，根据为正三角形，利用边角关系可得关于a，b，c的方程，进而得出离心率．
本题考查了双曲线的标准方程及其性质、圆的方程、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

10.【答案】C 

【解析】解：对于①，把代入不成立，得不是曲线C上的点，故①错误；
对于②，以替换x，以替换y，方程不变，可知曲线C是中心对称图形，故②正确；
对于③，在方程中，取，可得，即，
面积的最大值为，故③正确．
正确结论的个数为
故选：
把原点的坐标代入切线方程判断①；由中心对称的概念判断②；取求得y的最值，再由三角形面积公式求面积判断③．
本题考查切线方程，考查推理论证能力与运算求解能力，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：把双曲线转化为标准方程：，
双曲线的渐近线方程为
，
整理，得
故答案为：
把双曲线转化为标准方程：，得到双曲线的渐近线方程为，由此能求出结果．
本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意把双曲线方程转化为标准方程．
 

12.【答案】 

【解析】解：密码被破译的概率为
故答案为：
求得密码没有被破译的概率，用1减去没有被破译的概率，即为密码被破译的概率．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
 

13.【答案】或 

【解析】解：根据题意，在圆外，
过点与圆相切的直线有两条．
当斜率存在时，设切线的斜率为k，
则切线方程为，即，
，，切线方程为，
当斜率不存在时，切线方程为
综上，所求的切线方程为或
故答案为；或
根据题意，在圆外，过点与圆相切的直线有两条，考虑斜率存在和斜率不存在，分情况讨论即可．
本题考查直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键，属于基础题．
 

14.【答案】5 

【解析】解：根据题意，点，则，
平面的一个法向量是，
则点到平面的距离，
故答案为：
根据题意，求出向量的坐标，由点到平面的距离公式计算可得答案．
本题考查空间向量的应用，涉及点到平面的距离计算，属于基础题．
 

15.【答案】①②③ 

【解析】解：对于①：当，时，点P是线段上的动点，显然当P是线段的中点时，，故①正确；
对于②：当，时，点P是线段上的动点，，又平面，平面，
到平面的距离为定值，三棱锥的体积，故②正确；

对于③：当，且时，点P在线段上的动点，
显然P为与的交点时，的面积的最小，
最小值为，故③正确；

对于④：当，且时，M，N为，的中点，点P为直线MN上的动点，
以B为原点，BA，BC，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，
，，
，
故不可能为直角，故④错误．
故答案为：①②③．
利用空间几何的性质，逐项判断即可．
本题考查空间几何体的体积问题，考查三角形形状的判断，考查空间角问题，属中档题．
 

16.【答案】解：设的外接圆C的一般方程为，，
把，，代入可得，
解得，，，
的外接圆C的一般方程为
由可得：，
圆心，半径，
圆心C到直线l的距离，
直线l：被圆C截得的弦的长 

【解析】设的外接圆C的一般方程为，，把，，代入可得关于D，E，F方程组，解得D，E，F，即可得出的外接圆C的一般方程．
由可得：，可得圆心，半径，利用点到直线的距离公式可得圆心C到直线l的距离d，即可得出直线l：被圆C截得的弦的长
本题考查了圆的方程、直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：证明：在正四棱柱中，，
M是棱上任意一点，
，平面ABCD，
平面ABCD，，
，平面，
平面，；
以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

是棱的中点，，，，，
，，
设异面直线AM与BC所成角为，
则异面直线AM与BC所成角的余弦值为：
 

【解析】，平面ABCD，从而，进而平面，由此能证明；
以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AM与BC所成角的余弦值．
本题考查线面垂直、线线垂直的判定与性质、异面直线所成角的定义及其余弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

18.【答案】解：设从A地区抽取的用户中抽取的10名用户参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于60分的用户有m名，
则，解得；
将从中参加座谈的且评分不低于60分的6名用户中，评分为的4名编号为1，2，3，4，评分为的两名用户编号为a，b，
则从6人中随机选取2名用户的样本空间，
设“这两名用户的评分恰有一名低于80分“，则，
则；
无法判断和的大小，
理由：因为样本的抽样具有随机性，样本不一定能完全代表总体，所以无法比较． 

【解析】按照分层抽样的规律，即抽样比相等，列出方程求解；
利用列举法表示出所有的样本点，再求出要求事件包含的样本点的个数，套用公式求出结论；
根据抽样具有随机性的特点，可得总体的和的大小关系无法确定．
本题考查分层抽样的性质，古典概型的概率计算公式，属于中档题．
 

19.【答案】解：把点代入抛物线C：方程，
则，解得
抛物线C的方程为，焦点坐标为
设过点A的直线l方程为，，直线l与x轴相交于，
联立，化为，
则，可得，
则的面积，
，
化为：，
，，无解，舍去．
，解得，4，
由，可得，解得，；
由，可得，解得，
综上可得：点B的坐标为， 

【解析】把点代入抛物线C：方程，解得p，进而得出抛物线C的方程及其焦点坐标．
设过点A的直线l方程为，，直线l与x轴相交于，把直线l的方程代入抛物线方程化为，利用根与系数的关系可得m与的关系，代入的面积，解得，可得点B的坐标．
本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：证明：，，
，
平面面ABCD，
，
面PAD，面PAD，，
平面PAD；
以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，，，，
，，，
由平面PAD，可得平面PAD的一个法向量为，
设平面PBC的一个法向量为，则，即，则可取，
，，
平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为；
设，设，，
，
可得，，，
，
，
，，
解得，
 

【解析】证明，说明，即可证明平面PAD；
以D为原点，分别以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系求出平面PBC的法向量，平面PAD的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可；
设，设，根据DG与平面PBC所成角的正弦值为，即可求出的值，可得答案．
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题意得，，
所以椭圆E的方程为；
证明：设过点的直线l的方程为，设，，
不妨令，由，
整理得，
所以，解得，
所以；
①当时，直线BC的方程为，令，解得，
直线BD的方程为，令，解得，
所以


，
所以；
②当时，得，此时直线BC的方程为，
直线BD的方程为，所以，，符合题意；
综上，；
由题意可得 

【解析】由题意得，，即可求解椭圆E的方程；
设过点的直线l的方程为，设，，令，由，利用韦达定理得到，再分和两种情况即可得证；
根据题意直接写出Q点坐标即可．
本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．