2022-2023学年北京市通州区高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年北京市通州区高二（上）期末数学试卷

1.  已知椭圆的焦点分别为，，点P为椭圆上一点，则(    )

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

2.  已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的渐近线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知数列的前5项为1，，，，，则数列的一个通项公式为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知等差数列的通项公式，则数列的首项和公差d分别为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

5.  在等比数列中，，，则数列的前5项和为(    )

A. 40 B. 80 C. 121 D. 242

6.  已知圆与y轴相切，则(    )

A.  B.  C. 2 D. 3

7.  如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，点E，F分别是PC，PD的中点，则点C到平面AEF的距离为(    )

A.  B.  C.  D. 2

9.  已知抛物线与直线相交于A，B两点，则线段AB的长为(    )

A.  B.  C.  D. 5

10.  已知数列满足，数列的前n项和为，若对任意恒成立，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  点到直线的距离为______.

12.  已知抛物线经过点，则该抛物线的方程为______；准线方程为______.

13.  如图，点M为四面体OABC的棱BC的中点，用，，表示，则______.

14.  已知有穷数列的各项均不相等，将数列的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列，称数列为数列的“序数列”．例如，数列，，满足，则其“序数列”为1，3，设各项均不相等的数列2，，，为数列
①若，则数列的“序数列”为______；
②若数列的“序数列”为3，4，1，2，则t的取值范围为______.

15.  已知曲线E的方程为，给出下列四个结论：
①若点是曲线E上的点，则，；
②曲线E关于x轴对称，且关于原点对称；
③曲线E与x轴，y轴共有4个交点；
④曲线E与直线只有1个交点．
其中所有正确结论的序号是______.

16.  已知两点，，直线l：
若直线经过点A，且，求直线的方程；
若圆心为C的圆经过A，B两点，且圆心C在直线l上，求该圆的标准方程．

17.  已知双曲线的顶点在x轴上，两顶点间的距离是2，离心率
求双曲线的标准方程；
若抛物线的焦点F与该双曲线的一个焦点相同，点M为抛物线上一点，且，求点M的坐标．

18.  在等比数列中，，公比，设
求的值；
若m是和的等差中项，求m的值；
求数列的前n项和

19.  如图，在长方体中，，，点E为的中点．
求证：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值．

20.  已知椭圆C：的焦距为，点在椭圆C上，点B的坐标为，点O为坐标原点．
求椭圆C的标准方程；
过的直线l交椭圆C于，两点，判断与的大小，并说明理由．

21.  已知等差数列的第2项为4，前6项的和为42，数列的前n项和为，且
求数列的通项公式；
求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
设求证：

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：因为椭圆的焦点分别为，，点P为椭圆上一点，
由椭圆的定义可知，，
故选：
根据椭圆的定义即可求解．
本题考查了椭圆的定义，属于基础题．
 

2.【答案】C 

【解析】解：已知双曲线的标准方程为，
则该双曲线的渐近线方程为，
故选：
由双曲线的性质求解即可．
本题考查了双曲线的性质，属基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】解：数列的前5项为1，，，，，
，符合题意，
故选：
根据题意，分别令，，，，，验证，即可得出答案．
本题考查数列的概念，考查对应思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

4.【答案】D 

【解析】解：等差数列的通项公式，
则，，
故，
故选：
根据已知条件，结合等差数列的通项公式，即可求解．
本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题．
 

5.【答案】C 

【解析】解：因为，
所以等比数列的公比，
因为，
所以，
所以数列的前5项和为，
故选：
由，，得等比数列的公比q，首项，进而可得数列的前5项和为，即可得出答案．
本题考查等比数列的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：由圆的方程可得圆心的坐标，
再由圆与y轴相切，可得半径，
故选：
由圆的方程可得圆心坐标，再由与y轴相切，可得半径等于圆心到y轴的距离，可得半径的值．
本题考查直线与圆相切的性质的应用，属于基础题．
 

7.【答案】A 

【解析】解：设，则P为，
又P在圆上，
，
的轨迹方程为
故选：
根据“相关点法“即可求解．
本题考查利用“相关点法“求解轨迹方程，属基础题．
 

8.【答案】B 

【解析】解：如图所示，

建立空间直角坐标系．，，
，，，
，，，
设平面AEF的法向量为，则则，则，，
取
点C到平面AEF的距离为
故选：
如图所示，建立空间直角坐标系．设平面AEF的法向量为，则，利用点C到平面AEF的距离为，即可得出．
本题考查了空间向量的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

9.【答案】D 

【解析】解：抛物线的焦点坐标为，准线方程为 ，
联立抛物线与直线方程得，
设，，则，
因为直线过焦点F，设A，B到准线的距离分别为，，
由抛物线定义可知；
即线段AB的长为
故选：
联立抛物线和直线方程，消去y可得到，可设，，从而有，可看出直线过焦点，从而根据抛物线定义可得到，可求得线段AB的长．
本题考查抛物线的标准方程，抛物线的焦点和准线，韦达定理，以及抛物线的定义．
 

10.【答案】C 

【解析】解：，
，
对任意恒成立，即对任意恒成立，
，，
对任意恒成立，
又，
，即，
故选：
利用裂项求和法可得，题意转化为对任意恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得出答案．
本题考查裂项法求和和数列与不等式的综合，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

11.【答案】2 

【解析】解：点到直线的距离
故答案为：
由已知结合点到直线的距离公式的应用即可求解．
本题主要考查了点到直线的距离公式，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：将代入，解得，则抛物线方程为；
根据准线定义可得，准线方程为故答案为：；
将点代入方程求解即可；根据准线方程的定义求解即可．
本题主要考查抛物线的定义和性质，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由于点M为四面体OABC的棱BC的中点，
所以
故答案为：
直接利用向量的线性运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
 

14.【答案】4，2，1， 

【解析】解：①因为，所以数列为：2，3，1，5，由“序数列定义可得：
时，数列的“序数列”为4，2，1，3，
②因为数列的“序数列”3，4，1，2，而数列为2，，，5，
由“序数列”定义可得：，解得：，
所以t的取值范围为，
放答案为：4，2，1，3；
根据“序数列”定义直接求解即可．“序数列”实际上给出数列中的项的大小顺序．
本题考查数列的项与序数之间的关系，属于中档题．
 

15.【答案】①④ 

【解析】解：当时，曲线方程为，当时，曲线方程为，
故作出曲线E分图像如下：

由图象知：
，，①正确；
曲线E关于x轴对称，不关于原点对称，②错误；
曲线E与x轴，y轴共有3个交点，③错误；
当时，曲线E与直线必有1个交点，
当时，联立直线方程和曲线方程得到，整理得到，很显然无解，所以曲线E与直线只有1个交点，④正确，
故答案为：①④．
先分和整理得到曲线方程，然后作出曲线的图像即可判断．
本题主要考查曲线与方程，属于中档题．
 

16.【答案】解：直线l的方程为
直线经过点，且满足，
设所求直线方程为，
由已知，，
直线的方程为；
，，
直线AB的斜率，
直线AB的垂直平分线的斜率为不存在，
又线段AB的中点坐标为，
线段AB的垂直平分线的方程是，
圆心C在直线l：上
圆心C的坐标是方程组的解，得圆心C的坐标，
圆C的半径长，
圆C的标准方程是 

【解析】设所求直线方程为，由直线经过点，求出，由此能求出直线的方程．
根据题意，分析可得圆C的圆心是线段AB的垂直平分线与直线l的交点，先求出线段AB的垂直平分线的方程，与直线l联立可得圆心C的坐标，进而可得圆的半径，即可得答案；
本题考查直线方程的求法，考查圆的方程的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．
 

17.【答案】解：由题意设所求双曲线方程为，
又双曲线的顶点在x轴上，两顶点间的距离是2，离心率，
则，，
即，
即双曲线方程为；
由可知，
则，
即抛物线的方程为，
设点M的坐标为，
又，
则，
则，，
即点M的坐标为或 

【解析】由双曲线的性质求双曲线的标准方程即可；
由抛物线的性质求点M的坐标即可．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了抛物线的性质，属基础题．
 

18.【答案】解：因为等比数列中，，公比，
所以；
因为，
所以，
又因为，所以和的等差中项；
因为，
所以
 

【解析】先求通项公式，再求的值；
先求的通项公式，可得和的值，从而可求m的值；
利用分组求和的方法，结合等差数列等比数列的求和公式求解即可．
本题考查了等差数列和等比数列的综合运用，属于中档题．
 

19.【答案】解：证明：建立如图的空间右手直角坐标系，则根据题意可得：
，，，，
，，，
，，
，，又，
平面；
易知平面的法向量为，
又由知平面的法向量，
平面与平面的夹角的余弦值为：
 

【解析】建系，利用向量法及线面垂直的判定定理即可证明；
建系，利用向量法即可求解．
本题考查向量法证明线面垂直，线面垂直的判定定理，向量法求解面面角问题，属中档题．
 

20.【答案】解：因为椭圆C：的焦距为，解得；
又因为点在椭圆C上，所以，
又因为，所以，，
所以椭圆C的标准方程为；
因为过的直线l交椭圆C于，，且，
所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
由，消去y，整理得，
，解得；
由，，
得







，
所以直线BM与BN的倾斜角互补，则 

【解析】根据题意求出，把点代入椭圆方程，利用求出和即可；
根据题意知直线l的斜率存在，设出直线l的方程，与椭圆方程联立，消去y整理成关于x的方程，计算，利用根与系数的关系求出和，计算，判断直线BM与BN的倾斜角互补，得出
本题考查了直线与椭圆的方程应用问题，也考查了运算求解能力与推理转化能力，是难题．
 

21.【答案】解：设的首项和公差分别为，d，
由题意可知，，解得，，
故；
证明：由得：当时，，
故得，因此，
故，因此是等比数列，且公比为3，
在取，则，
所以的首项为，
因此，进而；
证明：由，得，
当时，，
所以当时，显然成立，
当时，，故得证． 

【解析】根据等差数列基本量的计算即可求解首项和公差进行求解；
根据前n项和为与的关系即可得，进而可证其为等比数列，即可求解通项；
时，，根据等比求和公式即可证明．
本题考查了等差数列和等比数列的综合运用，属于中档题．