2022-2023学年北京师大附中高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年北京师大附中高二（上）期末数学试卷

1.  已知向量，，且，那么(    )

A.  B. 9 C.  D. 18

2.  已知O为原点，点，以OA为直径的圆的方程为(    )

A.  B.
C.  D.

3.  已知双曲线的渐近线方程为，则实数m的值为(    )

A.  B. 4 C.  D.

4.  为抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知直线l过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案如图，把三片这样的达芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．如图3中每个正方体的棱长为1，则点A到平面QGC的距离是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在正方体中，E是棱CD上的动点．则下列结论不正确的是(    )

A. 平面
B.
C. 直线AE与所成角的范围为
D. 二面角的大小为

8.  设是首项为正数的等比数列，公比为q，则“”是“对任意正整数n，”的(    )

A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

9.  已知圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知曲线C：，点，下面有四个结论：
①曲线C关于x轴对称；
②曲线C与y轴围成的封闭图形的面积不超过4；
③曲线C上任意点P满足；
④曲线C与曲线有5个不同的交点．
则其中所有正确结论的序号是(    )

A. ②③ B. ①④ C. ①③④ D. ①②③

11.  已知等比数列中，，，则数列的前5项和______.

12.  已知圆C：，若直线与圆C相交得到的弦长为，则______.

13.  已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点P在椭圆上，若，则的面积为______.

14.  已知正方体的棱长为2，点M，N分别是棱BC、的中点，点P在平面内，点Q在线段上，若，则PQ长度的最小值为______.

15.  角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要经过8个步骤变成简称为8步“雹程”，已知数列满足为正整数，
①若，则使得至少需要______步雹程；
②若；则m所有可能取值的和为______.

16.  已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若，且，，成等比数列
求数列的通项公式；
设数列满足，若数列前n项和

17.  如图，在正方体中，E为的中点．
求证：平面ACE；
求直线AD与平面ACE所成角的正弦值．

18.  如图，在三棱柱中，底面ABC，是边长为2的正三角形，，D，E分别为AB，BC的中点．
求证：平面；
求二面角的余弦值．

19.  已知椭圆C：的离心率为，且经过点
求椭圆C的标准方程；
过点作直线l与椭圆相交于A，B两点，试问在x轴上是否存在定点Q，使得两条不同直线QA，QB恰好关于x轴对称，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

20.  已知抛物线E：的焦点为F，是E上一点，且
求E的方程；
设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点．

21.  已知有限数列A：，，⋯，为单调递增数列．若存在等差数列B：，，⋯，，对于A中任意一项，都有，则称数列A是长为m的数列．
判断下列数列是否为数列直接写出结果：
①数列1，4，5，8；
②数列2，4，8，
若，证明：数列a，b，c为数列；
设M是集合的子集，且至少有28个元素，证明：M中的元素可以构成一个长为4的数列．

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：因为向量，，且，
所以，解得，，
所以
故选：
根据空间向量的共线定理列方程求出x、y的值，再计算
本题考查了空间向量的共线定理应用问题，是基础题．
 

2.【答案】A 

【解析】解：O为原点，点，
则，OA的中点坐标为，
故以OA为直径的圆的方程为
故选：
先求出圆心与半径，即可求解．
本题主要考查圆的标准方程的求解，属于基础题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：由双曲线的渐近线方程为，
，，解得，
故选：
由双曲线的渐近线方程为，可得，，解得
本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

4.【答案】D 

【解析】解：椭圆的右焦点坐标为，
抛物线的焦点坐标为，
抛物线的准线方程为
故选：
先求出椭圆的焦点坐标即是抛物线的焦点坐标，即可求出准线方程．
本题考查了抛物线的标准方程及其性质，是基础题．
 

5.【答案】B 

【解析】解：直线l与直线垂直，
则可设直线l为，
直线l过点，
，解得，

故选：
根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．
本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：建立空间直角坐标系如图，

则，，，，
，，，
设平面QGC的一个法向量为，
由，取，得，
点A到平面QGC的距离是
故选：
由题意建立空间直角坐标系，求出平面QCG的一个法向量，再由点到平面的距离公式求解．
本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间向量的应用，考查运算求解能力，是中档题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：对于A，因为平面平面，平面，
则平面，
故选项A正确；
建立空间直角坐标系如图所示，
设正方体的棱长为1，
则，，，，设，，
所以，
因为，
则，即，
故选项B正确；
对于C，，
设直线AE与所成角为，
所以，
当时，最大值为，则的最小值为，
当时，最小值为0，则的最大值为，
故选项C错误；
对于D，二面角即二面角，
因为，，平面，平面，
所以即为二面角的平面角，
在正方形中，，
故二面角的大小为，
故选项D正确．
故选：
利用面面平行的性质，即可判断选项A，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，即可判断选项B，利用线面角的计算公式，即可判断选项C，由二面角的定义，得到二面角的大小为，即可判断选项
本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
 

8.【答案】A 

【解析】解：，，，
，，，，
，
为的充分不必要条件，
即是对任意的正整数n，的充分不必要条件．
故选：
根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列的性质和公式是解决本题的关键．
 

9.【答案】A 

【解析】解：圆C的方程为，
整理得：，圆心为，半径
又直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，
点C到直线的距离小于或等于2，
，
化简得：，解之得，的最小值是
故选：
圆C的圆心为，半径，从而得到点C到直线的距离小于或等于2，由此能求出k的最小值．
本题考查实数值的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与圆相交的性质的合理运用．
 

10.【答案】D 

【解析】解：当时，曲线C方程可化为：，，表示部分椭圆；
当时，曲线C方程可化为：，，表示部分双曲线．
作出曲线C的图形，如图所示，
对①，由图可知：曲线C关于x轴对称，①正确；
对②，由图可知：曲线C与y轴围成的封闭图形的面积显然小于，②正确；
对③，为椭圆的焦点，且椭圆中，，，
由椭圆的几何性质及双曲线的几何性质可得：，③正确；
对④，如图，由题意可得直线与直线与双曲线分别切于，，
且两直线都过，曲线C与曲线有3个不同的交点，④错误．
故选：
先分类讨论化简曲线C的方程，再根据椭圆与双曲线的几何性质，数形结合即可分别求解．
本题考查分类讨论思想，椭圆与双曲线的几何性质，化归转化思想，数形结合思想，属中档题．
 

11.【答案】121 

【解析】解：根据题意，设等比数列的公比为q，
又由，，则有，即，解可得，
则数列的前5项和；
故答案为：
根据题意，设等比数列的公比为q，由等比数列的通项公式可得，即，解可得，进而由等比数列的前n项和公式计算可得答案．
本题考查等比数列的性质，关键是掌握等比数列的通项公式．
 

12.【答案】 

【解析】解：由圆C：，得圆心，半径，
则圆心到直线即的距离为，
，解得
故答案为：
根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式，利用弦长的一半，圆心到直线的距离与圆的半径的关系列出关于k的方程，解之即可．
本题考查直线与圆相交的弦长问题，考查运算求解能力，属基础题．
 

13.【答案】3 

【解析】解：由椭圆的方程可得焦点在x轴上，离心率，可得，
所以椭圆的方程为：，所以，
因为，所以，
则，
由椭圆的定义可得，
即，
所以，
所以，
故答案为：
由椭圆的方程及离心率可得的值，再由数量积为，可得，由椭圆的定义和勾股定理可得的值，代入三角形的面积公式，可得的面积．
本题考查椭圆的性质的应用及数量积的运算性质的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，取中点O，则面，即，
，则，点P在以O为圆心，1以半径的位于平面内的半圆上．
可得O到的距离减去半径即为PQ长度的最小值，
作于H，
的面积为，
，可得，长度的最小值为


故答案为：
取中点O，则面，即，可得点P在以O为圆心，1以半径的位于平面内的半圆上．即O到的距离减去半径即为PQ长度的最小值，作于N，可得OH，PQ长度的最小值为
本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题
 

15.【答案】9 385 

【解析】解：，依题意，，
共9共步骤；
若，，，或，
若，
的集合为，其和为385；
故答案为：9，
根据题目所给的步骤逐步计算即可．
本题考查数列的新定义，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

16.【答案】解析：由题意知：……分
解得，
故数列；…分
由可知，…分
则…分
…分 

【解析】通过首项和公差表示出，，，，进而利用条件联立方程组，计算即可；
通过的结论，利用裂项相消法即可求和．
本题考查数列的通项与求和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于基础题．
 

17.【答案】证明：连接BD交AC于点O，连接OE，
在正方形ABCD中，
因为E为的中点，
所以………………分
因为平面ACE，平面ACE，
所以平面………………分
解：不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系
则，，，，
所以，，………………分
设平面ACE的法向量为，
所以所以即………………分
令，则，，
于是………………分
设直线AD与平面ACE所成角为，
则………………分
所以直线AD与平面ACE所成角的正弦值为 

【解析】连接BD交AC于点O，连接OE，证明然后证明平面
不妨设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系求出平面ACE的法向量，利用空间向量的数量积求解直线AD与平面ACE所成角的正弦值即可．
本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
 

18.【答案】解：证明：在三棱柱中，因为底面ABC，平面ABC，
所以又为等边三角形，D为AB的中点，所以
因为，所以平面
解：取中点F，连结DF，则因为D，F分别为AB，的中点，
所以由知，，如图建立空间直角坐标系，
由题意得，，，，，，
，，，，
设平面的法向量，，，
则，令，则
平面BAE法向量
因为，
由题意知二面角为锐角，所以它的余弦值为 

【解析】推导出由此能证明平面
取中点F，连结DF，则由，，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

19.【答案】解：由题意，
，解得
椭圆C的标准方程为；
在x轴上假设存在点Q，使得QA，QB恰好关于x轴对称，
设，，
再设直线l：，，
联立，得
则，，
由，可得，
即，
可得
则，得，即
故在x轴上是否存在定点，使得两条不同直线QA，QB恰好关于x轴对称． 

【解析】由题意列关于a，b，c的方程组，求解a，b，c的值，则椭圆方程可求；
在x轴上假设存在点Q，使得QA，QB恰好关于x轴对称，设，，再设直线l：，，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系结合列式求解t得结论．
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．
 

20.【答案】解：根据题意知，，①……………………………………………分
因为，所以②．…………………………………………………分
联立①②解的，…………………………………………………………分
所以E的方程为………………………………………………………………分
证明：设，由题意，可设直线BM的方程为，代入，得
由根与系数的关系．得，③…………………………分
由轴及点P在直线上，得，
则由A，P，B三点共线，得，………………………………分
整理，得
将③代入上式并整理，得……………………………………………………………………分
由点B的任意性，得，所以
即直线BM恒过定点……………………………………………………………分 

【解析】根据抛物线的性质即可得到，，解得即可；
设，由题意，可设直线BM的方程为，由根与系数的关系．得，，再根据A，P，B三点共线，化简整理可得即可求出直线BM过定点．
本题考查了抛物线的性质和直线和抛物线的位置关系，以及直线过定点的问题，属于中档题
 

21.【答案】解：根据题意可得，数列1，4，5，8是数列；数列2，4，8，16是数列．
证明：①当时，令，，，，
所以数列，，，为等差数列，且，
所以数列a，b，c为数列．
②当时，令，，，，
所以数列，，，为等差数列，且
所以数列a，b，c为数列．
③当时，令，，，，
所以数列，，，为等差数列，且
所以数列a，b，c为数列．
综上，若，数列a，b，c为数列．
证明：假设M中没有长为4的数列，
考虑集合，，1，2，
因为数列0，16，32，48，64是一个共有5项的等差数列，
所以存在一个k，使得中没有一个元素属于
对于其余的k，
再考虑集合，，1，2，
因为，，，，是一个共有5项的等差数列，
所以存在一个j，使得中没有一个元素属于
因为中4个数成等差数列，
所以每个中至少有一个元素不属于
所以集合中至少有个元素不属于集合
所以集合M中至多有个元素，这与M中至少有28个元素矛盾．
所以假设不成立．
所以M中的元素必能构成长为4的数列． 

【解析】根据题中数列的定义，进行判定得出结果；根据题中定义，使用讨论法进行证明；根据定义，使用反证法，使用归纳法进行演绎推理．
本题属于新定义题型，主要考查学生对数列性质的应用，属于中档题．