2022-2023学年吉林省长春市长春市希望高中高一上学期期末数学试题（解析版）

2022—2023学年上学期期末检测

高一数学

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选择是符合题目要求的．）

1. 已知条件：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据充要条件与集合的包含关系可得.

【详解】因为是的充分不必要条件，所以，即.

故选：D.

2. 若，，，则a、b、c的大小关系为（）

A. a>b>c B. b>a>c C. c>b>a D. c>a>b

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，借助0,1比较大小即可.

【详解】，且，

，，

故选：A

3. 已知函数则值为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

分析】先计算，再将代入解析式中计算即可.

【详解】解：因为

所以，

所以.

故选：A.

4. 已知，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据二倍角公式求出，结合诱导公式即可得解.

【详解】由题，，

.

故选：A

5. 如图为函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象．求函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的解析式（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据图象得到的周期，零点和特殊值，从而得到的解析式；

【详解】解：由图象可知，，

，，

，，及，，

而，，，

；

故选：A

【点睛】本题考查了利用函数的部分图象求解析式，属于基础题.

6. （）

A.  B. 4 C.  D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】利用诱导公式以及三角恒等变换即可求解.

【详解】

.

故选：A

7. 已知函数，，则（）

A. 的最大值为 B. 在区间上只有个零点

C. 的最小正周期为 D. 为图象的一条对称轴

【答案】D

【解析】

【分析】首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：函数

，

可得的最大值为2，最小正周期为，故A、C错误；

由可得，即，

可知在区间上的零点为，故B错误；

由，可知为图象的一条对称轴，故D正确．

故选：D

8. 已知，且，则的最大值为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先化简，由，结合基本不等式，求得，进而求得的最大值.

【详解】由，可得，

又由，可得，

当且仅当时，即时，等号成立，

所以，即的最大值为.

故选：D.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分）

9. 下面选项正确的有（）

A. 分针每小时旋转弧度

B. 中，若，则

C. 在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点

D. 函数是奇函数

【答案】BD

【解析】

【分析】A选项，按照角的定义进行判断；B选项，结合三角形中角的范围可以求解；C选项，画出函数图象即可确定交点个数；D选项，利用定义判断函数的奇偶性.

【详解】分针每小时旋转一圈且顺时针旋转，即弧度，A错误；

中，，若，则，B正确；

在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象如图所示，

两图象只有一个交点，C错误；

函数定义域为，且，故函数是奇函数.

故选：BD

10. 已知函数，，构造函数，那么关于函数的说法正确的是（）

A. 的图象与x轴有3个交点 B. 在上单调递增

C. 有最大值1，无最小值 D. 有最大值3，最小值1

【答案】AC

【解析】

【分析】根据给定条件，作出函数的图象，借助图象逐项判断作答.

【详解】依题意，由解得，则，

作出函数的图象，如图：

观察图象知，函数的图象与x轴有三个交点，在上单调递减，有最大值1，无最小值，

即选项A，C正确；选项B，D不正确.

故选：AC

11. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（）

A. 所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度

B. 所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度

C. 向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

D. 向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

【答案】AC

【解析】

【分析】根据三角函数的图象变换规律逐个分析可得答案.

【详解】将函数图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象，A正确.

将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象，B不正确.

将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可以得到函数的图象，C正确.

将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可以得到函数， D不正确.

故选：AC

12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（）

A. 函数有2个零点 B. 当时，

C. 不等式的解集是 D. ，都有

【答案】BCD

【解析】

分析】根据函数奇偶性定义和零点定义对选项一一判断即可．

【详解】对A，当时，由得，又因为是定义在上的奇函数，所以，故函数有3个零点，则A错；

对B，设，则，则，则B对；

对C，当时，由，得；当时，由，得无解；则C对；

对D，，都有

，则D对．

故选：BCD．

【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据奇偶性定义，结合二次函数，二次方程和二次不等式求解．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 命题“，”为真命题，则实数m的范围为________．

【答案】

【解析】

【分析】分与两种情况，列出不等式组，求出实数m的范围.

【详解】当时，，恒成立，符合题意，

当时，要满足，解得：，

综上：实数m的范围是.

故答案为：

14. 已知是第四象限角，且，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用同角三角函数关系可得，再由诱导公式化简目标式求值即可.

【详解】由题设，，

.

故答案为：

15. 已知函数是定义在上的奇函数，则___________.

【答案】0

【解析】

【分析】根据题意得到关于对称，根据余弦函数的性质可得到，代入函数即可得到答案

【详解】因为是定义在上的奇函数，故关于对称，

所以，解得，

因为，所以，

所以，

所以，

故答案为：0

16. 已知函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】根据分段函数的两段单调递增和两段的端点值之间的大小关系列式可求出结果.

【详解】因为函数是定义在上的增函数，

所以，解得.

故答案为：

四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤）

17. 解下列不等式：

（1）；

（2）；

（3）．

【答案】（1）或

（2）

（3）

【解析】

【分析】（1）将式子变形为，即可求出不等式的解集；

（2）依题意可得，由，即可得解；

（3）移项、通分，再写成等价形式，即可求出不等式的解集；

【小问1详解】

解：因为，即，解得或，

所以不等式的解集为或；

【小问2详解】

解：因为，即，

因为，所以方程无实数根，

又函数开口向上，所以恒成立，

所以不等式的解集为；

【小问3详解】

解：由，即，可得，

等价于，解得，

所以不等式的解集为．

18. 计算下列各式的值：

（1）；

（2）．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据指数、根式运算求得正确答案.

（2）根据对数运算求得正确答案.

【小问1详解】

【小问2详解】

.

19. 已知函数.

（1）求该函数的定义域；

（2）求该函数的单调区间及值域.

【答案】（1）

（2）单调递增区间；单调递减区间为；值域为

【解析】

【分析】（1）令，解不等式即可求得定义域；

（2）根据复合函数单调性的判断方法可确定的单调区间；利用二次函数最值的求法可求得，结合对数函数单调性可求得值域.

【小问1详解】

由得：，的定义域为.

【小问2详解】

令，在上单调递增；在上单调递减；

又在上单调递减，

的单调递增区间为；单调递减区间为，

，，

的值域为.

20.
 

（1）化简：；

（2）已知角的终边经过点，求，的值；

【答案】（1）

（2），.

【解析】

【分析】（1）利用诱导公式求解即可.

（2）利用三角函数定义求解即可.

【小问1详解】

.

【小问2详解】

因为角的终边经过点，所以，

所以，.

21. 已知函数，

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若函数在上有零点，求的取值范围．

【答案】（1），k∈Z

（2）

【解析】

【分析】（1）利用余弦的二倍角公式化简，再结合余弦函数的单调性求解即可；（2）转化为方程在上有解即可.

【小问1详解】

当 ，k∈Z时，单调递增，

∴函数的单调递增区间为，k∈Z．

【小问2详解】

函数在上有零点，也就是在上有解．

∵当时，．

∴a的取值范围是．

22. 已知，二次函数的图象经过点，且的解集为.

（1）求实数a，b的值；

（2）若方程在上有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围.

【答案】（1），（2）

【解析】

【分析】

（1）根据一元二次不等式的解集和一元二次方程的关系计算可得.

（2）由（1）知，得方程等价于方程，令，即的两个零点满足分析可得.

【详解】解：（1）因为的图象经过点，所以，

所以，

的解集为，

所以，且，

且，得，

故，

（2）由，

得方程等价于方程，

令，即的两个零点满足，

所以必有，

即，解得，

所以实数k的取值范围是

【点睛】本题考查一元二次方程，二次函数以及一元二次不等式的关系，二次函数的零点问题，属于中档题.