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    备战2023数学新中考二轮复习考点精讲精练(河北专用)突破06 一元二次方程与不等式(组)
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    备战2023数学新中考二轮复习考点精讲精练(河北专用)突破06 一元二次方程与不等式(组)

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    考点精讲
    一元二次方程
    只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程.
    它的一般形式为(a≠0).
    不等式的相关概念
    1.不等式
    用不等号连接起来的式子叫做不等式.
    常见的不等号有五种: “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”.
    2.不等式的解与解集
    不等式的解:使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.
    不等式的解集:一个含有未知数的不等式的解的全体,叫做不等式的解集.
    不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来,具体表示方法是先确定边界点:解集包含边界点,是实心圆点;不包含边界点,则是空心圆圈;再确定方向:大向右,小向左.
    3.解不等式
    求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程,叫做解不等式.
    一元一次不等式(组)
    1.一元一次不等式的概念
    只含有一个未知数,且未知数的次数是1,系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式.其标准形式:ax+b>0(a≠0)或ax+b≥0(a≠0) ,ax+b<0(a≠0)或ax+b≤0(a≠0).
    2.一元一次不等式的解法
    一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似,但要特别注意不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时,不等号要改变方向.
    解一元一次不等式的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)化系数为1.



    考点解读
    考点一、一元二次方程
    1、定义
    等号两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程。
    一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。
    2、一元二次方程的解法
    直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。
    (1)直接开方法。适用形式:x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。
    (2)配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2,配方法解一元二次方程的一般步骤是:
    ①化简——把方程化为一般形式,并把二次项系数化为1;②移项——把常数项移项到等号的右边;③配方——两边同时加上一次项系数的一半的平方,把左边配成x2+2bx+b2的形式,并写成完全平方的形式;④开方,即降次;⑤解一次方程。
    (3)公式法。当b2-4ac≥0时,方程ax2+bx+c=0的实数根可写为:的形式,这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
    ①b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根。

    ②b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根。

    ③b2-4ac<0时,方程无实数根。
    定义:b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式,通常用字母Δ表示,即Δ=b2-4ac。
    (4)因式分解法。主要用提公因式法、平方差公式、十字相乘法。
    3、一元二次方程与实际问题
    解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤:
    第1步:审题。认真读题,分析题中各个量之间的关系。
    第2步:设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
    第3步:列方程。根据题中各个量的关系列出方程。
    第4步:解方程。根据方程的类型采用相应的解法。
    第5步:检验。检验所求得的根是否满足题意。
    第6步:答。
    考点二、不等式(组)
    1、定义
    定义1:用符号“<”或“>”表示大小关系的式子,叫做不等式。用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式。
    定义2:使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
    定义3:一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集。
    定义4:求不等式的解集的过程叫做解不等式。
    定义5:含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
    解一元一次不等式的一般步骤:
    (1)去分母(2)去括号(3)移项(4)合并同类项(5)将x项的系数化为1。
    定义6:几个不等式的解集的公共部分,叫做由他们所组成的不等式组的解集,当任何数x都不能使不等式同时成立,我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
    2、不等式的性质
    性质1:若a>b,则a±c>b±c。不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变。
    性质2:若a>b,c>0,则ac>bc,>。不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。
    性质3:若a>b,c<0,则ac<bc,<。不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
    对于不等式组,应先求出各不等式的解集,然后在数轴上表示,找出解集的公共部分。
    3、不等式(组)与实际问题
    解有关不等式(组)实际问题的一般步骤:
    第1步:审题。认真读题,分析题中各个量之间的关系。
    第2步:设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
    第3步:列不等式(组)。根据题中各个量的关系列不等式(组)。
    第4步:解不等式(组),找出满足题意的解(集)。
    第5步:答。

    考点突破
    1.(2021·河北·石家庄市第四十一中学九年级期中)解一元二次方程x2-6x+2=0,用配方法可变形为(       )
    A.(x-3)2=9 B.(x+3)2=9 C.(x-3)2=11 D.(x-3)2=7
    2.(2022·河北保定·九年级期末)某公司今年10月的营业额为2500万元,按计划第十二月的总营业额要达到9100万元,求该公司11;12两个月营业额的月均增长率,设该公司11,12两个月营业额的月均增长率为,则根据题意可列的方程为(       )
    A. B.
    C. D.
    3.(2021·河北·景县教研室七年级期末)如果(m+3)x<2m+6的解集为x<2,则m的取值范围是(  )
    A.m>0 B.m<﹣3
    C.m>﹣3 D.m是任意实数
    4.(2022·河北·石家庄二十三中九年级期末)在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,交AC于点D.BC=8,则AC=(  )

    A.44 B.44 C.16 D.12
    5.(2021·河北·石家庄市第四十一中学九年级阶段练习)已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根,则该等腰三角形的底边长为(       )
    A.2 B.4 C.8 D.2或4
    6.(2021·河北唐山·一模)关于x的一元二次方程无实数根,则实数m的取值范围是(       )
    A. B. C. D.
    7.(2018·河北·模拟预测)有x支球队参加篮球比赛,共比赛了45场,每两队之间都比赛一场,则下列方程中符合题意的是(       )
    A. B. C. D.
    8.(2021·河北·九年级专题练习)不等式组的整数解的个数是(       )
    A.2 B.3 C.4 D.5
    9.(2021·河北·九年级专题练习)已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长,且m、n是关于x的一元二次方程﹣6+k+2=0的两个根,则k的值等于(  )
    A.7 B.7或6 C.6或﹣7 D.6
    10.(2021·河北石家庄·七年级期末)关于的不等式组.
    (1)当时,不等式组的解集是______.
    (2)当的解集是时,字母的取值范围是______.
    11.(2021·河北·邯郸市永年区教育体育局教研室九年级期中)如图,矩形鸡场平面示意图,一边靠墙,墙长,另外三面用竹篱笆图成,若竹篱笆总长为,所围的面积为,则此矩形鸡场中,平行于墙面的竹篱笆边长为______.

    12.(2021·河北秦皇岛·九年级期中)若关于的一元二次方程的一个解是,则的值是__________.
    13.(2021·河北唐山·九年级期中)解方程
    (1)(配方法)
    (2)(适当方法)
    14.(2021·河北邯郸·七年级期末)建设新农村,绿色好家园.为了减少冬季居民取暖带来的环境污染,国家特推出煤改电工程.某学校准备安装一批柜式空调(A型)和挂壁式空调(B型).经市场调查发现,3台A型空调和2台B型空调共需21000元;1台A型空调和4台B型空调共需17000元.
    (1)求A型空调和B型空调的单价.
    (2)为响应国家号召,有两家商场分别推出了优惠套餐.甲商场:A型空调和B型空调均打八折出售;乙商场:A型空调打九折出售,B型空调打七折出售.已知某学校需要购买A型空调和B型空调共16台,则该学校选择在哪家商场购买更划算?
    15.(2021·河北保定·九年级期中)在一次聚会上,规定每两个人见面必须握手,且只握手次.
    (1)若参加聚会的人数为,则共握手 次;若参加聚会的人数为(为正整数),则共握手 次;
    (2)若参加聚会的人共握手次,请求出参加聚会的人数.
    16.(2022·河北保定·九年级期末)已知关于x的一元二次方程:.
    (1)当时,解方程:
    (2)若的一个解是,求;
    (3)若抛物线与x轴无交点,试确定k的取值范围.
    17.(2021·河北·九年级专题练习)某校计划为教师购买甲、乙两种词典.已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元,购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元.
    (1)求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元?
    (2)学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本,总费用不超过1600元,那么最多可购买甲种词典多少本?
    18.(2021·河北·广平县第二中学九年级期中)如图,一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=(k为常数且k≠0)的图象相交于A(﹣1,m),B两点.
    (1)求反比例函数的表达式;
    (2)直接写出不等式x+4≤的解集;
    (3)将一次函数y=x+4的图象沿y轴向下平移b个单位(b>0),使平移后的图象与反比例函数y=的图象有且只有一个交点,求b的值.

    19.(2021·河北邢台·七年级期末)习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然之气”.某校为提高学生的阅读品味,现决定购买获得第十届矛盾文学奖的《北上》(徐则臣著)和《牵风记》(徐怀中著)两种书共50本.已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元;购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同.
    (1)求这两种书的单价;
    (2)若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半,且购买两种书的总价不超过1600元.请问有哪几种购买方案?哪种购买方案的费用最低?最低费用为多少元?
    20.(2020·河北石家庄·八年级期中)某中学为了创设“书香校园”,准备购买两种书架,用于放置图书.在购买时发现,种书架的单价比种书架的单价多20元,用600元购买种书架的个数与用480元购买种书架的个数相同.
    (1)求两种书架的单价各是多少元?
    (2)学校准备购买两种书架共15个,且购买的总费用不超过1400元,求最多可以购买多少个种书架?

    参考答案与解析:
    1.D
    【解析】
    先把常数项移项到方程的右边,再在方程两边都加上一次项系数的一半的平方即可.
    【详解】



    故选D
    【点睛】
    本题考查的是利用配方法解一元二次方程,掌握配方法是解题的关键.
    2.C
    【解析】
    根据等量关系第10月的营业额×(1+x)2=第12月的营业额列方程即可.
    【详解】
    解:根据题意,得:,
    故选:C.
    【点睛】
    本题考查一元二次方程的应用,理解题意,正确列出方程是解答的关键.
    3.C
    【解析】
    由原不等式变形为(m+3)x<2(m+3),解该不等式的下一步是两边都除以x的系数(m+3),题中给出的解集是x<2,据此可以求得m的取值范围.
    【详解】
    解:由不等式(m+3)x<2m+6,得
    (m+3)x<2(m+3),
    ∵(m+3)x<2m+6的解集为x<2,
    ∴m+3>0,
    解得,m>﹣3;
    故选:C.
    【点睛】
    本题考查了不等式的基本性质,熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键.不等式的性质:不等式的基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变;不等式的基本性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式的基本性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
    4.A
    【解析】
    根据两角对应相等,判定两个三角形相似.再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出AC的长.
    【详解】
    解:∵AB=AC,∠A=36°,
    ∴∠ABC=∠C==72°,
    ∵BD平分∠ABC,
    ∴∠ABD=∠DBC=36°,
    ∴∠BDC=∠ABD+∠A=72°,
    ∴∠BDC=∠C=72°,
    ∴AD=BD=BC=8.
    ∵∠A=∠DBC=36°,∠C公共角,
    ∴△ABC∽△BDC,
    ∴,即,
    整理得:AC2-8AC-64=0,
    解方程得:AC=4+4,或AC=4-4(舍去),
    故选:A.
    【点睛】
    本题考查的是相似三角形的判定与性质,先用两角对应相等判定两个三角形相似,再用相似三角形的性质对应边的比相等进行计算求出AC的长.
    5.A
    【解析】

    解一元二次方程求出方程的解,得出三角形的边长,用三角形存在的条件分类讨论边长,即可得出答案.
    【详解】
    解:x2-6x+8=0
    (x-4)(x-2)=0
    解得:x=4或x=2,
    当等腰三角形的三边为2,2,4时,不符合三角形三边关系定理,此时不能组成三角形;
    当等腰三角形的三边为2,4,4时,符合三角形三边关系定理,此时能组成三角形,
    所以三角形的底边长为2,
    故选:A.
    【点睛】
    本题考查了等腰三角形的性质,三角形的三边关系,解一元二次方程,能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键.
    6.D
    【解析】
    根据判别式的意义得到△=(-2)2-4m<0,然后解不等式即可.
    【详解】
    解:∵关于x的一元二次方程无实数根,
    ∴△=(-2)2-4m<0,
    解得m>1.
    故选:D.
    【点睛】
    本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;当△<0时,方程无实数根.
    7.B
    【解析】
    先列出x支篮球队,每两队之间都比赛一场,共可以比赛场,再根据题意即可列出方程.
    【详解】
    解:由题意得:;
    故选B.
    【点睛】
    本题主要考查一元二次方程的应用,熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键.
    8.C
    【解析】
    先分别求出每一个不等式的解集,然后确定出不等式组的解集,最后确定整数解的个数即可.
    【详解】

    由①得:x>-2,
    由②得:x<3,
    所以不等式组的解集为:-2 整数解为-1,0,1,2,共4个,
    故选C.
    【点睛】
    本题考查了一元一次不等式组的整数解,熟练掌握解一元一次不等式组的方法以及解集的确定方法是解题的关键.解集的确定方法:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小无解了.
    9.B
    【解析】
    当m=4或n=4时,即x=4,代入方程即可得到结论,当m=n时,即△=(﹣6)2﹣4×(k+2)=0,解方程即可得到结论.
    【详解】
    当m=4或n=4时,即x=4,
    ∴方程为42﹣6×4+k+2=0,
    解得:k=6;
    当m=n时,﹣6+k+2=0
    ∵,,,
    ∴,
    解得:,
    综上所述,k的值等于6或7,
    故选:B.
    【点睛】
    本题主要考查了一元二次方程的根、根的判别式以及等腰三角形的性质,由等腰三角形的性质得出方程有一个实数根为2或方程有两个相等的实数根是解题的关键.
    10.         
    【解析】
    (1)分别求出每个不等式的解集,即可得到答案;
    (2)先分别求出每个不等式的解集,然后结合解集是,即可求出的取值范围.
    【详解】
    解:(1),
    解不等式①,得,
    解不等式②,得,
    ∴不等式组的解集为;
    故答案为:.
    (2),
    解得:,
    ∵原不等式组的解集是,

    ∴;
    故答案为:.
    【点睛】
    本题主要考查一元一次不等式组解法,解题的关键是掌握解一元一次不等式的能力,并根据不等式组的解集得出关于a的不等式组.
    11.7
    【解析】
    设鸡场的长为xm,根据矩形的长×矩形的宽=70,由此可得出方程求出未知数,结合墙长得到合适的解.
    【详解】
    解:设鸡场的长为xm,则鸡场的宽为(27-x)m,
    根据题意得:(27-x)x=70,
    解得:x=7或x=20,
    ∵墙长8m,
    ∴x=7,
    ∴平行于墙面的竹篱笆边长为7m,
    故答案为:7
    【点睛】
    本题考查的是一元二次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.
    12.2022
    【解析】
    根据一元二次方程解的意义可得a+b的值,然后代入所求的算式即可得到解答.
    【详解】
    解:由题意可得:
    a+b+1=0,
    ∴a+b=-1,
    ∴2021-a-b=2021-(a+b)=2021+1=2022,
    故答案为2022.
    【点睛】
    本题考查代数式的求值,根据一元二次方程解的意义求得a+b的值是解题关键.
    13.(1),;(2),
    【解析】
    (1)直接利用配方法求解即可;
    (2)先把方程右边利用平方差公式得到,然后移项,利用因式分解法求解即可.
    【详解】
    解:(1)∵,

    ∴,
    ∴,
    ∴,;
    (2)∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,.
    【点睛】
    本题主要考查了解一元二次方程,解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法.
    14.(1)A型空调的单价为5000元,B型空调的单价为3000元;(2)见解析.
    【解析】
    (1)设A型空调的单价为x元,B型空调的单价为y元,根据“3台A型空调和2台B型空调共需21000元;1台A型空调和4台B型空调共需17000元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
    (2)设购买A型空调m(,且m为整数)台,则购买B型空调台,设在甲商场购买共需元,在乙商场购买共需元,利用总价=单价×数量,可用含m的代数式表示出,分和三种情况,求出m的取值范围(或m的值),此题得解.
    【详解】
    解:(1)设A型空调的单价为x元,B型空调的单价为y元,
    依题意得:,解得:.
    答:A型空调的单价为5000元,B型空调的单价为3000元.
    (2)设购买A型空调m(,且m为整数)台,则购买B型空调台,
    设在甲商场购买共需元,在乙商场购买共需元,
    根据题意得:;

    当时,,
    解得:;
    当时,,
    解得:;
    当时,,
    解得:.
    答:当时,选择乙商场购买更划算;当时,选择甲、乙两商场所需费用一样;当时,选择甲商场购买更划算.
    【点睛】
    本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,用含m的代数式表示出w甲,w乙.
    15.(1)15,;(2)10人
    【解析】
    (1)根据握手次数=参会人数×(参会人数-1)÷2,即可求出结论;
    (2)设有x人参加聚会,由(1)的结论结合共握手45次,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论
    【详解】
    解:(1)若参加聚会的人数为,则共握手(次);
    参加聚会的人数为(为正整数),则共握手次.
    (2)设有人参加聚会,根据题意得,,
    解得:,(不合题意,舍去),
    答:参加聚会的有人.
    【点睛】
    本题考查了一元二次次方程的应用,解题的关键是:(1)根据各数量之间的关系,列式计算;(2)根据各数量之间的关系,用含n的代数式表示出握手总数;(3)找准等量关系,正确列出一元二次方程.
    16.(1),;(2)2;(3)
    【解析】
    (1)将k=1代入,配方法解方程即可.
    (2)将代入,即可求得k值.
    (3)抛物线,令其,则原方程无解,即抛物线与x轴无交点,即可求得k取值范围.
    【详解】
    (1)将代入
    则方程为






    故方程的解为,.
    (2)将代入得



    (3)由可知a=2,b=4,c=k

    ∵令,则原方程无解


    即时,抛物线与x轴无交点.
    【点睛】
    本题考查了一元二次方程的性质,第三问中使用一元二次方程根的判别式,应先将方程整理成一般形式,再确定a,b,c的值.注意利用判别式可以判断方程的根的情况,反之,当方程有两个不相等的实数根时,;有两个相等的实数根时,;没有实数根时,.当时,方程有两个相等的实数根,不能说方程只有一个根.
    17.(1)每本甲种词典的价格为70元,每本乙种词典的价格为50元;(2)学校最多可购买甲种词典5本
    【解析】
    (1)设每本甲种词典的价格为x元,每本乙种词典的价格为y元,根据“购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元,购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
    (2)设学校购买甲种词典m本,则购买乙种词典(30-m)本,根据总价=单价×数量结合总费用不超过1600元,即可得出关于m的一元一次不等式,解之取其中的最大值即可得出结论.
    【详解】
    (1)设每本甲种词典的价格为元,每本乙种词典的价格为元,根据题意,得

    解得
    答:每本甲种词典的价格为70元,每本乙种词典的价格为50元.
    (2)设学校计划购买甲种词典本,则购买乙种词典本,根据题意,得

    解得
    答:学校最多可购买甲种词典5本.
    【点睛】
    本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.
    18.(1);(2)或;(3)或.
    【解析】
    (1)先根据一次函数的解析式求出点的坐标,再利用待定系数法即可得;
    (2)先联立一次函数和反比例函数的解析式求出点的坐标,再结合函数图象即可得;
    (3)先求出一次函数平移后的函数解析式,再与反比例函数的解析式联立,然后利用一元二次方程根的判别式即可得.
    【详解】
    解:(1)将点代入得:,即,
    将点代入得:,
    则反比例函数的表达式为;
    (2)联立,解得或,
    即点的坐标为,
    不等式表示一次函数的图象位于反比例函数的图象的下方(含交点),
    则此不等式的解集为或;
    (3)一次函数平移后的函数解析式为,
    联立,
    整理得:,
    一次函数的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点,
    关于的一元二次方程有且只有一个实数根,
    此方程根的判别式,
    解得或,
    则的值为或.
    【点睛】
    本题考查了反比例函数与一次函数的综合、一元二次方程根的判别式等知识点,较难的是题(3),将直线与双曲线的交点问题转化为一元二次方程的根的问题是解题关键.
    19.(1)两种书的单价分别为35元和30元;(2)共有4种购买方案分别为:购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本,购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本,购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本,购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本;其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低,最低费用为1585元.
    【解析】
    (1)设购买《北上》和《牵风记》的单价分别为x、y,根据“购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元”和“ 购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元”建立方程组求解即可;
    (2)设购买《北上》的数量n本,则购买《牵风记》的数量为50-n,根据“购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半”和“购买两种书的总价不超过1600元”两个不等关系列不等式组解答并确定整数解即可.
    【详解】
    解:(1)设购买《北上》和《牵风记》的单价分别为x、y
    由题意得: 解得
    答:两种书的单价分别为35元和30元;
    (2)设购买《北上》的数量n本,则购买《牵风记》的数量为50-n
    根据题意得解得:
    则n可以取17、18、19、20,
    当n=17时,50-n=33,共花费17×35+33×30=1585元;
    当n=18时,50-n=32,共花费17×35+33×30=1590元;
    当n=19时,50-n=31,共花费17×35+33×30=1595元;
    当n=20时,50-n=30,共花费17×35+33×30=1600元;
    所以,共有4种购买方案分别为:购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本,购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本,购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本,购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本;其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低,最低费用为1585元.
    【点睛】
    本题考查了二元一次方程组和不等式组的应用,弄清题意、确定等量关系和不等关系是解答本题的关键.
    20.(1)购买种书架需要100元,种书架需要80元;(2)最多可购买10个种书架.
    【解析】
    (1)根据题意以书架个数为等量关系列出分式方程求解即可;
    (2)根据题意用代数式表示总费用,小于等于1400,列出不等式求解即可.
    【详解】
    解:(1)设种书架的单价为元,根据题意,得

    解得
    经检验:是原分式方程的解       
    答:购买种书架需要100元,种书架需要80元.
    (2)设准备购买个种书架,根据题意,得   

    解得       
    答:最多可购买10个种书架.
    【点睛】
    本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用,解题关键在于根据题意列出方程和不等式.
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