考点精讲

分式的有关概念及性质
1．分式
设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.

分式有意义，无意义或等于零的条件

1.分式有意义的条件：分母不等于零.

2.分式无意义的条件：分母等于零.

3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.

分式的运算
1．基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
（1）加减运算     

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.

 　    ；

异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.

（2）乘法运算  

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.

（3）除法运算  

两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
（4）乘方运算   （分式乘方）

分式的乘方，把分子分母分别乘方．
2．零指数    .
3．负整数指数 　
4．分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．
5．约分
把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．

约分需明确的问题：
(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；
(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．
6．通分
根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．

通分注意事项：
(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．
(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．
(3)确定最简公分母的方法：
最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；
最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.

考点解读

考点一：分式

1、分式的定义

一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。

注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。

2、分式的基本性质

分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。

；（C≠0）。

3、分式的约分和通分

定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。

定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母

4、分式的乘除

①乘法法则：。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

②除法法则：。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

③分式的乘方：。分式乘方要把分子、分母分别乘方。

④整数负指数幂：。

5、分式的加减

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

①同分母分式的加减：；

②异分母分式的加法：。

注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。

考点二：二次根式

1、二次根式的定义

一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式。

2、二次根式的基本性质

①  (a≥0)； ②  (a≥0)；  ③  (a取全体实数)。

3、二次根式的乘除

(1)二次根式的乘法：①；  ② (a≥0， b≥0)。

(2)二次根式的除法：①；      ②  (a≥0， b＞0)。

4、最简二次根式

最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

5、二次根式的加减

二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

考点解读

1．（2021·河北·九年级专题练习）要使二次根式有意义，则x的取值可以是（       ）

A．0 B．1 C．2 D．4

2．（2021·河北邢台·八年级期末）有下列计算：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数为（     ）

A． B． C． D．

3．（2021·河北·青龙满族自治县教师发展中心八年级期中）如图，若x为正整数，则表示分式的值落在（       ）

A．线①处 B．线②处 C．线③处 D．线④处

4．（2021·河北保定·八年级期末）若二次根式有意义，则下列各数中，实数x不可以取的值是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

5．（2022·河北邢台·八年级期末）的值为（       ）

A．2 B． C．1 D．0

6．（2021·河北·邯郸市永年区教育体育局教研室八年级期中）当时，计算的值为（       ）

A．2 B． C． D．

7．（2021·河北唐山·八年级期中）把分式中的x、y都扩大3倍，则分式的值（   ）

A．扩大3倍 B．扩大6倍 C．缩小为原来的 D．不变

8．（2022·河北·石家庄市第八十一中学八年级期末）代数式在实数范围内有意义，则x的值可能为（　　）

A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．1

9．（2021·河北唐山·一模）下列分式化简结果为的是（　　）

A． B． C． D．

10．（2021·河北石家庄·八年级期中）已知a，b均为正数，设．下列结论：①当时，；②当时，；③当时，，正确的有（       ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

11．（2021·河北邢台·八年级期中）（1）若分式无意义，则x＝___；

（2）若分式值为0，则x＝___．

12．（2020·河北·曲阳县教育和体育局教研室八年级期中）若，则分式的值为__________．

13．（2021·河北沧州·八年级期末）（1）分解因式＝ ______________．

（2）已知，，则＝ ________．

（3）某种球形冠状病毒的直径大约为0.000000102m，这个数用科学记数法表示为________________________．

14．（2021·河北·曲阳县教育和体育局教研室七年级期中）计算：____．

15．（2021·河北·邢台三中八年级期末）若，则代数式的值是________．

16．（2021·河北·安新县教师发展中心八年级期末）计算：（﹣1）（+1）+|1﹣|．

17．（2021·河北沧州·八年级期中）计算：

（1）；

（2）；

（3）．

18．（2021·河北秦皇岛·八年级期中）先化简，然后从0，1，2中选取一个合适的x值代入求值．

19．（2021·河北保定·八年级期末）计算

（1）（1）；

（2）．

20．（2022·河北唐山·八年级期末）（1）先化简，再求值：

，其中，．

（2）先化简，然后在－2，0，2，3中选择一个合适的数代入并求值

21．（2021·河北·景县教研室八年级期末）计算：

（1）；

（2）．

22．（2021·河北·青龙满族自治县教师发展中心八年级期中）计算

（1）

（2）

23．（2021·河北保定·八年级期末）计算：