2022-2023学年河南省周口市太康县高二上学期1月期末质量检测数学（文）试题（含解析）

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太康县2022-2023学年高二上学期1月期末质量检测数学（文）试题考生注意:1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间 120分钟。2.请将各题答案填写在答题卡上。3.本试卷主要考试内容:人教A版选择性必修一、选择性必修二第一章。第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知，，，则( )A. B. C. D.2. 正四棱锥的所有边长都相等，E为SC的中点，则BE与SA所成角的余弦值为( )A. B. C. D.3. 若直线l的方向向量，平面的法向量，则( )A. B. C. D.或4. 若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为( )A. B. C. D.5. 已知，则( )A.506 B.1011 C.2022 D.4044已知点，若点C是圆上的动点，则面积的最小值为( )A.3 B.2 C. D.点M，N是圆上的不同两点，且点M，N关于直线对称，则该圆的半径等于( )A. B. C.3 D.98. 设等差数列的前n项和为，若，，成等差数列，且，则的公差( )A.2 B.1 C.-1 D.-2设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，，则C的离心率为( )A. B. C. D.10. 一个礼堂的座位分左、中、右三组，左、右两组从第一排到最后一排每排依次增加1个座位，中间一组从第一排到最后一排每排依次增加2个座位，各组座位具有相同的排数，第一排共有16个座位，最后一排共有52个座位，则该礼堂的座位总数共有( )A.442个 B.408个 C.340个 D.306个已知双曲线的右焦点为F，圆F的半径为2，双曲线C的一条渐近线与圆F相交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率为( )A. B. C.2 D.12. 设抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于点A，B，与圆交于点P，Q，其中点A，P在第一象限，则的最小值为( )A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，，若，则____________.14. 已知点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线E上的两点，满足，，则______.15. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，线段与y轴交于点Q，若，且为等腰三角形，则椭圆的离心率为____________.16. 将等差数列按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵.根据这个排列规则,数阵中第20 行从左至右的第5个数是________.三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. （10分）已知向量(1)求；(2)求与夹角的余弦值.18.（12分）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，点G在CD上，且.（1）求证：；（2）求EF与所成角的余弦值.19.（12分）已知等差数列，（1）求的通项公式（2）求数列的前项和为20.（12分）河道上有一抛物线形拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面8m，拱圈内水面宽24m，一条船在水面以上部分高65m，船顶部宽6m.（1）试建立适当的平面直角坐标系，求拱圈所在的抛物线的标准方程；（2）近日水位暴涨了1.54m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少?（精确到0.1m）21.（12分）已知椭圆的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点.（1）求椭圆M的方程；（2）若直线与圆相切于点P，且交椭圆M于两点，射线于椭圆M交于点Q，设的面积与的面积分别为.（1）求的最大值；（2）当取得最大值时，求的值.22.（12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线C上，TP垂直x轴于点P，且点P到双曲线C的渐近线的距离为2.（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知过点的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，且的外接圆圆心Q在y轴上，求满足条件的所有直线l的方程.参考答案1、答案：C解析：.2、答案：C解析：如图所示建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，.，，，BE与SA所成角的余弦值为.故选C.3、答案：D解析：因为，所以，所以或.故选：D4、答案：D解析：圆的标准方程为，圆心.因为点为弦MN的中点，所以.又AP的斜率，直线MN的斜率为2，弦MN所在直线的方程为，即.5、答案：D解析：，，，，，…，，，，，，，，显然，当时，满足，，，.故选：D.6、答案：D解析：点，，圆化为，圆心，半径是.直线AB的方程为，圆心到直线AB的距离为.直线AB和圆相离，点C到直线AB距离的最小值是.面积的最小值为.故选：D.7、答案：C解析：的圆心坐标，因为点M，N在圆上，且点M，N关于直线对称，所以直线经过圆心，所以，解得，所以圆的方程为：，即，所以圆的半径为3.故选C.8、答案：D解析：等差数列的前n项和为，，，成等差数列，且，，，解得的公差.故选：D.9、答案：D解析：方法一：由题意可设，结合条件可知，，故离心率.方法二：由可知P点的横坐标为c，将代入椭圆方程可得，所以.又由可得，故，变形可得，等式两边同除以，得，解得或(舍去).10、答案：C解析：设该礼堂从第一排到最后一排的座位数构成一个数列，共n排座位，故得到首项，公差，，由可得，所以座位总数为，故该礼堂的座位总数共有340个，故选：C.11、答案：B解析：双曲线，右焦点，一条渐近线，F到渐近线的距离，，所以，离心率.故选：B12、答案：D解析：由抛物线方程，得，因此.设直线l的方程为，联立得.设，，则，，从而.又，，.因此，当且仅当时取等号.故选D.13、答案：-2解析：由题设且，则，解得.故答案为：-2.14、答案：4解析：设，，而，则，①，，，由，得，所以，②联立①②得：.故答案为：4.15、答案：解析：，线段与y轴交于点Q，，P在y右侧，则，，，为等腰三角形，则，所以，，整理得，，，故答案为：.16、答案：583解析：记每一行的第1个数组成数列则累加得所以则第20行从左到右的第5个数是17、答案：(1)因为，则(2)因为所以故与夹角的余弦值为.解析： 18、（1）答案：见解析解析：证明：设，则..，，.（2）答案：解析：由(1)知，又，.，与所成角的余弦值为.19、答案：（1）；（2）解析： （1）由已知得，解得的通项公式为，即；（2）由（1）得数列的前项和20、答案：（1）设抛物线形拱桥与水面两交点分别为A,B，以AB的垂直平分线为y轴，拱圈最高点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，设拱圈所在抛物线的方程为，因为点在抛物线上，所以，解得，故拱圈所在抛物线的方程是.（2）在中，当时，，，故当水位暴涨1.54m后，船身至少应降低0.6m，才能安全通过桥洞.21、答案：（1），（2）①1，②解析： （1）由题意设椭圆的上下顶点为，左焦点为，则是等边三角形，所以，则椭圆方程为，将代入椭圆方程，可得，解得，所以椭圆方程为（2）①由直线与圆相切得，则，设，将直线代入椭圆方程得，，，因为，所以，且，所以设点O到直线的距离为，所以的面积为，当，得时等号成立，所以的最大值为1②设，由直线与圆相切于点P，可得，则，可得，所以，因为，所以，所以22、答案：(1).(2).解析：(1)由在双曲线C上，得①，由TP垂直x轴于点P，得，则由P到双曲线C的渐近线的距离为2，得，得，代入①，得，即，从而，故双曲线C的标准方程为.(2)解法一：由题意，，可设直线，则，联立得，得，设，则，从而，则线段AB的中点，且.由题意设，易知Q在线段AB的垂直平分线上，因此，得，即，连接QP，QA，QM，因此.由勾股定理可得，，又，则，化简得，得(舍去)，因此直线l的方程为.解法二：由题意，，可设直线，则，联立得，得，设，则.由题意设，则有，将代入，可得，则为方程的两根，故，从而，解得，因此直线l的方程为.