2022-2023学年河南省周口市太康县高二上学期期末质量检测数学（理）试题（解析版）

2022-2023学年河南省周口市太康县高二上学期期末质量检测数学（理）试题

一、单选题

1．已知向量，且，则x的值为（   ）

A．4 B．2 C．3 D．1

【答案】A

【分析】根据可知，代入坐标公式即可求解．

【详解】因为，所以，

因为向量，，

所以，解得，所以x的值为4，

故选：A．

2．正四棱锥的所有边长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，由题可得，进而即为与所成角，然后结合条件可得，进而即得.

【详解】因为正四棱锥的所有边长都相等，为的中点，

设，连接，则是的中位线，

故，

所以为异面直线与所成的角或其补角，

设，则，，，

所以，即，

所以，

即异面直线与所成角的余弦值为.

故选：C．

3．若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标，由，可求得弦MN所在直线的斜率，点斜式求方程.

【详解】圆的标准方程为，圆心．因为点为弦MN的中点，所以，

又AP的斜率，所以直线MN的斜率为2，弦MN所在直线的方程为，即.

故选：D

4．已知数列满足，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先根据题意得到是周期为6的数列，再根据求解即可.

【详解】由，，，

所以，，，，

，即是周期为6的数列.

所以故.

故选：D

5．已知点，若点C是圆上的动点，则面积的最小值为(    )

A．3 B．2 C． D．

【答案】D

【分析】首先求出直线的方程和线段的长度，利用圆心到直线的距离再减去圆的半径得出的高的最小值，即可求解.

【详解】由题意，易知直线的方程为，且,

∵圆可化为，

∴圆心为，半径为1，

又∵圆心到直线的距离，

∵的面积最小时，点C到直线的距离最短，该最短距离即圆心到直线的距离减去圆的半径，

故面积的最小值为.

故选：D.

6．若直线的方向向量，平面的法向量，则（    ）

A． B． C． D．或

【答案】D

【解析】直接利用空间向量数量积的坐标表示计算可得到答案.

【详解】直线的方向向量，平面的法向量

由，则或，

故选：D.

【点睛】本题考查了空间向量数量积的坐标表示，向量垂直的坐标表示，属于基础题.

7．点M，N是圆＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于（    ）

A．  B． C．3 D．9

【答案】C

【分析】根据题意可得：直线l：x－y＋1＝0经过圆心（－，－1），代入运算解得k＝4，再代入求圆的半径．

【详解】圆＝0的标准方程为（x＋）2＋（y＋1）2＝5＋，

则圆心坐标为（－，－1），半径为

因为点M，N在圆＝0上，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，

所以直线l：x－y＋1＝0经过圆心，

所以－＋1＋1＝0，k＝4．

所以圆的方程为：＝0，圆的半径＝3.

故选：C．

8．设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥，

∠=，则C的离心率为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ m，

        故离心率e＝选D.

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

9．一个礼堂的座位分左、中、右三组，左、右两组从第一排到最后一排每排依次增加1个座位，中间一组从第一排到最后一排每排依次增加2个座位，各组座位具有相同的排数，第一排共有16个座位，最后一排共有52个座位，则该礼堂的座位总数共有（    ）

A．442个 B．408个 C．340个 D．306个

【答案】C

【分析】根据题意可知是等差数列，可得，公差，，求出，然后用等差求和公式即可

【详解】设该礼堂从第一排到最后一排的座位数构成一个数列，共排座位，

故得到首项，公差，，

由可得，

所以座位总数为，

故该礼堂的座位总数共有340个，

故选：C.

10．已知双曲线：的右焦点为，圆的半径为2，双曲线的一条渐近线与圆相交于、两点，若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】利用列方程，化简求得，由此求得，进而求得双曲线的离心率.

【详解】双曲线，右焦点，一条渐近线，

到渐近线的距离，

所以，离心率.

故选：B

11．已知数列满足，且对任意都有，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由，得，两式相除可得，从而可得数列 为等比数列，首项为 ，公比为，进而可求出的值，可得答案

【详解】∵数列 满足，

时， 时， ，可得 .

，数列 为等比数列，首项为 ，公比为 .

.

∵对任意 都有，则 的取值范围为

故选：D.

【点睛】此题考查等比数列的前项和公式的应用，考查由递推式求数列的通项，属于基础题

12．已如抛物线的焦点是，点是其准线上一个动点，其中．过点且斜率为的直线与抛物线交于A，两点，过点的直线交抛物线于，两点．若，则直线的斜率的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先由T在准线上求抛物线的方程，分别设直线方程和点，，联立直线与抛物线，利用韦达定理计算，再利用平行条件和点差法求得，代入计算，即由求得n的范围，进而求得k的取值范围.

【详解】解：由点在准线上知，，，所以抛物线的方程为．

依题意可设直线的方程为，设直线的方程为，斜率，，．

由消去，得，

所以由知，判别式，，，

则．

由，消去，得，

所以判别式，，，

所以

因为，所以，

结合点A，在抛物线上，则，作差得，

点，两点在抛物线上，则，作差得，

所以，即，得，

即，所以，

即，因为， 即，

所以，即，

所以或.

故选：

【点睛】思路点睛：

（1）求解直线与抛物线的综合问题时，一般会用到根与系数的关系，根的判别式等；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点（设焦点在轴的正半轴上），可直接使用公式求弦长（其中，），若不过焦点，则使用一般的弦长公式．

二、填空题

13．在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，平面ABC，．M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为______．

【答案】

【分析】利用等体积法求得到平面的距离.

【详解】因为平面ABC，平面ABC，所以，

依题意可知平面，

所以平面，

由于是的中点，所以到平面的距离是到平面的距离的一半，

即到平面的距离是.

,，

所以，

由于，所以，

，

设到平面的距离为，则，

即.

故答案为：

14．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，，是椭圆的任意两点，四边形是平行四边形，且，则椭圆的离心率的取值范围是________．

【答案】

【分析】四边形是平行四边形分析可得，，再根据可得，结合及运算求解.

【详解】因为四边形是平行四边形，则且

∴，则

若，即

所以，即，

同除以可得：，解得．

因为，所以．

故答案为：.

15．已知点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线E上的两点，满足，则______．

【答案】4

【分析】根据抛物线的几何性质以及向量的运算性质即可得出结论.

【详解】设，而，

则，①

，，，

由，得，

所以，②

联立①②得：.

故答案为：4

16．将等差数列按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵.根据这个排列规则，数阵中第20 行从左至右的第5个数是________.

【答案】583

【分析】根据题意，记每一行的第1个数组成数列

利用累加法分析求出的值，进而分析可得答案.

【详解】记每一行的第1个数组成数列

则

累加得

所以

则第20行从左到右的第5个数是

故答案为：583

三、解答题

17．试判断数列为等差数列是（，为常数，且，）的什么条件？并说明理由．

【答案】必要非充分条件，理由见解析

【解析】根据等差数列的概念，以及等差数列通项公式的函数特征，由充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果.

【详解】若数列为等差数列，

公差为时，（为常数），不满足（，为常数，且，）；

公差不为时，（其中，且为常数），满足（，为常数，且，）；

所以由“为等差数列”，不能推出“（，为常数，且，）”；

若（，为常数，且，），

则，所以数列为等差数列，

因此，由“（，为常数，且，）”能推出“为等差数列”.

所以，数列为等差数列是（，为常数，且，）的必要非充分条件.

【点睛】本题主要考查命题的必要不充分条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念即可，其中涉及等差数列的概念及通项公式，属于基础题型.

18．如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，点G在CD上，且．

（1）求证：；

（2）求EF与C1G所成角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）建立空间直角坐标系，直接利用向量法证明；

（2）直接利用向量法求EF与CG所成角的余弦值

【详解】（1）建立以D点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，

则，，

所以，即，

所以.

（2）由（1）知，，，

则，

因为EF与CG所成角的范围为，所以其夹角余弦值为.

19．在数列的首项为 ，且满足．

（1）求证：是等比数列．

（2）求数列的前n项和．

【答案】（1）证明见解析； （2）.

【分析】（1）由，化简得到，结合等比数列的定义，即可求解；

（2）由（1）求得，分当为偶数和当为奇数，两种情况讨论，结合等比数列的求和公式，即可求解.

【详解】（1）由题意，数列满足，即，

则，

又由，可得，

所以数列表示首项为，公比为的等比数列.

（2）由（1）知，所以，

所以，

当为偶数时，可得；

当为奇数时，可得，

综上可得，.

20．河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面 8m，拱圈内水面宽 24m，一条船在水面以上部分高 6.5m，船顶部宽6m．

（1）试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程；

（2）近日水位暴涨了1.54m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少? （精确到0.1m）

【答案】（1）直角坐标系见解析，拱桥所在的抛物线方程是  （2）0.6m

【分析】（1）根据图形建立直角坐标系，设出拱桥所在的抛物线方程，设拱桥与水面两交点分别为，，由坐标系可知A,B两点的坐标，将其中一个代入抛物线方程，即可得；（2）根据船顶宽6m，可知船顶距离拱桥最高点的极限高度h，再由，可知船身应降低高度。

【详解】解：（1）设抛物线型拱桥与水面两交点分别为，，以垂直平分线为轴，拱圈最高点为坐标原点，建立平面直角坐标系，

则，，

设拱桥所在的抛物线方程为，

因点在抛物线上，代入解得，

故拱桥所在的抛物线方程是．

（2）因，故当时，，

故当水位暴涨1.54m后，船身至少应降低，

因精确到0.1m，故船身应降低0.6m．

答：船身应降低0.6m，才能安全通过桥洞．

【点睛】本题考查抛物线性质，是一道实际应用题，难度不大。

21．已知椭圆的上顶点为A，右焦点为F，O是坐标原点，是等腰直角三角形，且周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线l与AF垂直，且交椭圆于B，C两点，求面积的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）依题意求出，，的值，即可求出椭圆方程；

（2）由（1）可得直线的斜率，则可设直线的方程为，

联立直线与椭圆方程，利用根的判别式求出参数的范围，设，，利用韦达定理及点到线的距离公式表示出及点到直线的距离，则利用导数求出面积的最值；

【详解】解：（1）在中，，，则，

因为是等腰直角三角形，且周长为，

所以，，，

得，，

因此椭圆的方程为.

（2）由（1）知，，则直线的斜率，

因为直线与垂直，所以可设直线的方程为，

代入，得，

则，解得，

所以.

设，，则，，.

又点到直线的距离，

所以，.

令，

则，

令，则或，

令，则或.

因此在上是增函数，在上是减函数，

在上是增函数，在上是减函数.

因为，，，

所以当时，取得最大值，，

所以，

因此面积的最大值是.

【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，利用导数求函数的最值，属于中档题.

22．已知，分别为双曲线（，）的左､右焦点，点是双曲线上一点.若第一象限的点，是双曲线上不同的两点，且.

(1)求的离心率；

(2)设，分别是的左､右顶点，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由双曲线的定义得出，再由点代入双曲线的方程求出，最后求出的离心率；

（2）由两角差的正切公式结合斜率公式得出，再由，证明.

【详解】（1）由题意知，即，（双曲线的定义）所以.

将代入双曲线的方程得，解得，

所以，故的离心率.

（2）由（1）可知双曲线的方程为，，.

不妨设点在的上方，，.

则，，（点拨：直线的斜率等于其倾斜角的正切值）

又，，所以，，

则

.（两角差的正切公式的应用）

又，，

所以

，所以

又，，所以.