2023年高考数学压轴题--圆锥曲线专题 第12讲：斜率问题四（解析版）

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第十二讲：斜率问题（四）
【学习目标】
基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，直线斜率的表示和计算过程；
应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中，直线与其对应的关系，倾斜角互补，斜率互为相反数；
拓展目标：能够熟练应用数形结合，观察线段长度，位置关系等，进行倾斜角和斜率的转化.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.

【基础知识】
1、倾斜角互补
直线和的倾斜角分别为和，当时，则；
2、角度相等
当角度的公共边为轴、轴或与之平行的线段时，则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系，即倾斜角互补，斜率相加为零；
3、线段相等
等腰三角形的底边为轴、轴或与之平行的线段时，则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系，即倾斜角互补，斜率相加为零；
4、角平分线
当角平分线为轴、轴或与之平行的线段时，则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系，即倾斜角互补，斜率相加为零；


【考点剖析】
考点一：倾斜角互补
例1．已知椭圆（）离心率等于，且椭圆C经过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P作倾斜角分别为的两条直线PA，PB，设PA，PB与椭圆C异于点P的交点分别为A，B，若，试问直线AB的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.
【答案】(1)(2)直线AB的斜率是定值，为
解析：(1)因为椭圆（）离心率等于，且椭圆C经过点，
所以且，
解得，
所以椭圆C的方程为
(2)
由题意得，两条直线PA，PB的斜率均存在，且互为相反数，
设直线为，则直线为，
设，
将代入，
得，
所以，所以，
同理可得，
所以



所以直线AB的斜率是定值，等于


变式训练1：已知椭圆()的离心率为，以原点为圆心，以的短半轴长为半径的圆被直线截得的弦长为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)点的坐标为，直线（不过原点也不过点）交于两点，且直线的倾斜角互补，若点是的中点，求直线的斜率.
解析：(1)由已知得，，∴，,
又原点到直线的距离为＝，
因此，，
故椭圆的方程为；
(2)由题意可得直线的斜率存在，
设直线的方程为，设，，，，
由可得，
则△，
且，，
直线，的倾斜角互补，则，
代入，，
所以
即有，
整理可得，
即又直线不经过点即故




变式训练2：已知圆：，圆：，动圆与圆和圆均内切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程
(2)点（）为轨迹上的点，过点作两条直线与轨迹交于两点，直线，的斜率互为相反数，则直线的斜率是否为定值？若是，求出定值：若不是，请说明理由.
【答案】(1)；(2)是定值，定值为.
解析：(1)由题意得，.
设动圆圆心C的坐标为，半径为r，
则，.
从而.
∴动圆圆心C的轨迹E是焦点为，，长轴长等于4的椭圆，且，.
又，得，
∴动圆圆心C的轨迹E的方程为.
(2)由（1）可得.
设直线PA的方程为
则直线PB的方程为.
设，.
由消去y，整理得，
则，即.（1）
同理可得.（2）
∴.
将（1）（2）代入上式，化简得.
故直线AB的斜率为定值.

变式训练3：已知抛物线C1：与椭圆C2：（）有公共的焦点，C2的左､右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为.
(1)求椭圆C2的方程；
(2)如图，若直线l与x轴，椭圆C2顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧），且∠PF1Q与∠PF1R互为补角，求△F1QR面积S的最大值.
【答案】(1)；(2)
解析：（1）由题意可得，抛物线的焦点为，
所以椭圆的半焦距，又椭圆的离心率，所以，则，即，
所以椭圆的方程为.
（2）设，，，
∵与互补，
∴，所以，
化简整理得①，
设直线PQ为，联立直线与椭圆方程
化简整理可得，
，
可得②，
由韦达定理，可得，③，
将，代入①，
可得④，
再将③代入④，可得，解得，
∴PQ的方程为，
且由②可得，，即，
由点到直线PQ的距离，

令，，则
，当且仅当时，等号成立，
所以面积S最大值为.



考点二：角度问题（倾斜角互补）
例1．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，（）在椭圆上，点，是椭圆上不同于，的两个动点，且满足：，试问：直线的斜率是否为定值？请说明理由.
【答案】(1)；(2)为定值，理由见解析
解析：（1）因为椭圆的中心的原点，焦点在轴上，
所以设椭圆标准方程为，
因为椭圆离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，
焦点为，所以，
所以，解得，
所以椭圆的标准方程.
（2）由题意，直线与椭圆交点，
设，当时直线斜率之和为，
设斜率为，则斜率为，的直线方程为，
与椭圆联立得，
所以，同理，
所以，
，
直线的斜率为.

变式训练1：已知椭圆：，为上焦点，左顶点到的距离为，且离心率为，设为坐标原点，点的坐标为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过的直线与交于，两点，证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析
解析：(1)左顶点到的距离为，可得，又，故，从而﹒
∴椭圆的标准方程为﹒
(2)证明：当与轴重合时，，分
当与轴不重合时，设的方程为，，，
直线，的斜率，之和为，
又，，，
联立方程，可得，
，，
，从而，
故直线，的倾斜角互补，.
综上.

变式训练2：在平面直角坐标系中，动点到点的距离等于点到直线的距离.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)记动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于两点，在轴上是否存在一点，使若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2)存在，.
解析：(1)因为动点到点的距离等于点到直线的距离，
所以动点到点的距离和它到直线的距离相等，
所以点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，
设抛物线方程为，
由，得，
所以动点的轨迹方程为.
(2)由题意可知，直线的斜率不为0，
故设直线的方程为，.
联立，得，
恒成立，
由韦达定理，得，，
假设存在一点，满足题意，
则直线的斜率与直线的斜率满足，
即，
所以，
所以
解得，
所以存在一点，满足，点的坐标为.

变式训练3：在平面直角坐标系中，已知圆，点在圆上，过点作轴的垂线，垂足为是的中点，当在圆上运动时形成的轨迹为．
(1)求的轨迹方程；
(2)若点，试问在轴上是否存在点，使得过点的动直线交于两点时，恒有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析.
解析：(1)设，因为N为的中点，，
又P点在圆上，，
即C的轨迹方程为；
(2)不存在满足条件的点M，理由如下：
假设存在满足条件的点M，设点M的坐标为，直线的斜率为k，
则直线的方程为，
由消去y并整理，得，
设，则
由，得，即，
将代入上式并化简，
得．
将式代入上式，有，
解得，
而，求得点在椭圆外，若与椭圆无交点不满足条件，所以不存在这样的点．



考点三：长度相等（倾斜角互补）
例1．已知椭圆的离心率为，经过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A､B在椭圆C上，直线､分别与y轴交于点M､N，，试问直线的斜率是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.
【答案】(1)；(2)直线的斜率为定值.
解析：(1)依题意可得，解得，所以椭圆方程为；
(2)因为，所以为等腰三角形，所以和关于直线对称，所以的斜率存在，设直线的方程为，，，则直线的方程为，即，直线的方程为，即，所以，即，即，即，即
由，消去得，所以，，，所以




即
所以，即，
所以或，
当时，直线：过点，不合题意；
所以，此时可以满足，
所以直线的斜率为定值.


变式训练1：已知椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为，过且垂直于
已知椭圆：的左､右焦点分别为､，焦距为2，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点是椭圆上一点，为轴上一点，，设直线与椭圆交于，两点，若直线，关于直线对称，求直线的斜率.
【答案】(1)；(2)
解析：（1）依题意可得，又，
所以，，.
所以；
（2）因为，所以是的中点. 结合轴，
所以轴，所以，则，解得，因为，所以，所以.
因为直线、关于直线对称.
所以、的倾斜角互补，所以，
显然直线的斜率存在，设：，由，
得，由得.
设， ，则，，
由，
整理得，
所以，即
若，则，
所以直线的方程为，此时，直线过点，舍去.
所以，即，
所以直线的斜率为.

变式训练2：已知椭圆C：的短轴长为2，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点在椭圆C上，且直线PA与PB关于直线对称.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：直线AB的斜率为定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
解析：(1)由题设，且，可得，
∴椭圆C的标准方程为.
(2)由（1）知：，由直线PA与PB关于直线对称，如下图示：
令，，
联立椭圆方程整理得：，
∴，且，，
又，
而，，，
∴，
∴，而不在直线上，则，
∴为定值，得证.


变式训练3：已知点，直线l的方程为，双曲线的右焦点为，双曲线的两条渐近线与直线l围成的三角形的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)直线过点与双曲线相交于A，B两点，直线FA与直线FB分别与y轴交于C，D两点，证明：（O为坐标原点）．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
解析：(1)双曲线的两条渐近线与直线l围成的三角形为△，
所以，得，所以．
又，解得，，所以双曲线的方程为.
(2)证明：若直线的斜率不存在，根据对称性，显然有；
若直线的斜率存在，设为k，则直线m的方程为，
联立，得，
易知，且．设，，
且，，
则，．
若证，可证，即证，
即
．
由于，
所以，从而．


考点四：角平分线（已知）
例1．已知椭圆C：（）的离心率为，点在椭圆C上，点F是椭圆C的右焦点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，则在x轴上是否存在一点P，使得x轴平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由，
【答案】(1)；(2)存在，
解析：(1)由题意得
解得：，.所以椭圆C的方程为.
(2)由题意可知.
若直线l斜率存在，设直线l的方程为，，
联立得，整理得.
由题意可知恒成立，所以，
假设在x轴上存在一点，使得x轴平分，则，
所以，整理得，
即，
整理得，，
则，
即，解之得.
若直线l斜率不存在时，则M，N两点关于x轴对称，当点P坐标为时，x轴平分.
综上所述，在x轴上存在一点，使得x轴平分.

变式训练1：已知抛物线，过焦点的直线l交抛物线C于M、N两点，且线段中点的纵坐标为2．
（1）求直线l的方程；
（2）设x轴上关于y轴对称的两点P、Q，（其中P在Q的右侧），过P的任意一条直线交抛物线C于A、B两点，求证：始终被x轴平分．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
解析：（1）由已知可设直线l的方程为：，
联立方程组可得，
设，则．
又因为，得，
故直线l的方程为：即为；
（2）由题意可设，
可设过P的直线为．
联立方程组可得，显然．
设，则．
所以

．
所以始终被x轴平分．

变式训练2：已知椭圆：的离心率为，点为椭圆C上一点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若是椭圆上的两个动点，且的角平分线总是垂直于轴，求证：直线的斜率为定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
解析：(1)椭圆的离心率，又，∴．
∵椭圆：经过点，解得，
∴椭圆的方程为；
(2)∵的角平分线总垂直于轴，∴MP与NP所在直线关于直线对称．设直线MP的斜率为k，则直线NP的斜率为
∴设直线MP的方程为，直线NP的方程为
设点，．
由消去y，得．
∵点在椭圆C上，则有，即．
同理可得．
∴，又．
∴直线MN的斜率为．



考点五：角平分线（翻译）
例1．已知曲线的焦点为，曲线上有一点满足.
(1)求抛物线的方程；
(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点，直线与轴相交于，试探究轴上存在一点是否存在异于的定点满足恒成立.若存在，请求出点坐标.
【答案】(1)；(2)存在，
解析：（1）在曲线上，则，则，
而，故抛物线C的方程为.
（2）易知直线的斜率不为0，故设
联立：，
故.
，因为，
则
则或（舍），故.
因为都在轴上，要使得，
则轴为的角平分线，
若，则垂直于轴，轴平分，则垂直于轴，
则直线的方程为，此时，而相异，故，同理
故与的斜率互为相反数，即
为定值.
故当时，有恒成立.

变式训练1：设抛物线上的点与焦点的距离为6，且点到轴的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）设抛物线的准线与轴的交点为点，过焦点的直线与抛物线交于两点，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
解析：（1）由点到轴的距离为得：，
将代入得：，
由抛物线的定义得，，
由已知，，
所以，
所以抛物线的方程为；
（2）由得，
由题意知与抛物线交于两点，
可设直线的方程为，，，
联立方程，得，
所以，，，
所以
，
所以，
则
所以为的角平分线，
由角平分线的性质定理，得．

变式训练2：已知为坐标原点，点，设动点到直线的距离为，且，.
(1)记动点的轨迹为曲线，求曲线的方程；
(2)若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于，两点，直线与的交点为（不在曲线上），且，设直线，的斜率分别为，.求证：为定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析
解析：(1)设点，因为，
所以，
因为，所以
所以2x-12+y2=8-x+4=4-x
所以
所以
所以C的方程为：
(2)设，，
设直线l的方程为：，则
由得：
所以，，
所以
所以
设直线的方程为：，则
同理可得
因为
所以
即，即，即
解得，即
所以为定值.

考点六：定比分点（弦长的应用）
例1．已知椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点在直线上，过点的两条直线分别交曲线于两点和两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和．
【答案】(1)；(2)0
解析：(1)因为椭圆的离心率为，
所以，所以①
又因为过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，
所以②，由①②可知，所以，
，所以椭圆C的方程为
(2)因为点P在直线上，所以设点，
由题可知，直线AB的斜率与直线MN的斜率都存在．
所以直线AB的方程为：，即，
直线MN的方程为：，即，
设，，，，
所以，消去y可得，，
整理可得，
且所以，，
又因为，
，
所以


，
同理可得，
又因为，所以，
又因为，，，都是长度，所以，
所以，整理可得，
又因为，所以，
所以直线AB的斜率与直线MN的斜率之和为0．

变式训练1：已知为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，P为抛物线C上一点，PF与y轴垂直，Q为y轴上一点，且，若.
(1)求；
(2)设点，过点作两条不同的直线分别交抛物线C于A，B两点和D，E两点，且满足，求证为定值.
【答案】(1);(2)证明见解析
解析：(1)的焦点，不妨设点在第一象限，由于轴，则，
∵△∽△, ∴, 即,
∴，即，
(2)设所在的直线方程为：，，,
的直线方程为：，，;
则，，
即，
将直线的直线方程;，与抛物线的方程联立，消去y得到：，
由韦达定理可知，，
则,
同理可得,
即,
∵，
∴，即，
又∵，∴，即.

变式训练2：已知椭圆：的左、右焦点分别为，离心率为，且经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)动直线与椭圆相切，点是直线上的两点，且，求四边形的面积；
(3)过椭圆内一点作两条直线分别交椭圆于点，和，设直线与的斜率分别是，若，试问是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)是；
解析：(1)由题意可得，
将点代入椭圆方程得，
解得，
即有椭圆方程为；
(2)将直线代入椭圆方程可得，，
由直线和椭圆相切的条件可得，解得，
焦点，由对称性可取直线，
则，，
即有四边形的面积为；
(3)
可得直线的方程为，
联立方程，得．
设，则．
∵
．
同理，直线的方程为，则．
∵，
∴．
又T为椭圆内任意一点，∴，即，
所以，∴．
又直线与不重合，∴为定值．



变式训练3：在平面直角坐标系中，已知点，，点P为平面内的动点，且的周长为.记点P的轨迹为C.
(1)试说明曲线C的形状，并求C的方程；
(2)设点M在直线上，且M不在C上，过M的两条直线分别交C于A，B两点和R，H两点，且，直线和的斜率都存在且不为零，求直线的斜率与直线的斜率的比值.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)由已知，得，所以点P的轨迹C是以，分别为左､右焦点的椭圆，但需要去掉椭圆与x轴的两个交点.
所以，，，所以C的方程为；
(2)设，，，，.
的方程为：，
联立方程组
消去y，得，
所以，，
所以
，.
设的方程为，同理得，
因为，
所以，
解得，或（舍去），所以；
综上，，.


【当堂小结】
1、知识清单：
（1）椭圆，双曲线，抛物线的简单性质；
（2）倾斜角互补，斜率相加为零；
（3）数形结合把图形转化为倾斜角，斜率求解；
2、易错点：数形结合将图形转化为倾斜角；
3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；
4、核心素养：数学运算，数学抽象.


【过关检测】
1．已知抛物线，直线与交于两点且（为坐标原点）．
(1)求抛物线的方程；
(2)设，若直线的倾斜角互补，求的值．
【答案】(1)；(2).
解析：(1)设，，
由，得，
故，
由，可得，即，
∴，
故抛物线的方程为：；
(2)设的倾斜角为，则的倾斜角为，
∴,
由，得，
∴，
∴，同理，
由，得，
∴，即，
故.

2．已知椭圆的焦距为，左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且轴，，为垂足，为坐标原点，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点的直线（斜率不为）与椭圆交于两点，为轴正半轴上一点，且，求点的坐标．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)∵椭圆的焦距为，∴，即，
轴，∴，则,
由，，则△∽△，
∴，即，
整理得，即，解得或（舍去）
∴，∴，
则椭圆的标准方程为，
(2)设直线的方程为，且，
将直线方程与椭圆方程联立得，
，
则，，
∵，∴，
∴,
∴，
∴
，
即.

3．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点的纵坐标为4，．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作直线交抛物线于两点，试问抛物线上是否存在定点使得直线与的斜率互为倒数？若存在求出点的坐标，若不存在说明理由．
【答案】(1)；(2)存在，
解析：(1)
则，
，，
，
故C的方程为：；
(2)假设存在定点，使得直线与的斜率互为倒数，
由题意可知，直线AB的斜率存在，且不为零，
，，
，，所以Δ>0y1+y2=4my1y2=-16m，
即或，

，
，
则，，
使得直线与的斜率互为倒数.

4．已知双曲线的左焦点为，到的一条渐近线的距离为1.直线与交于不同的两点，，当直线经过的右焦点且垂直于轴时，.
(1)求的方程；
(2)是否存在轴上的定点，使得直线过点时，恒有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2)存在，理由见解析.
解析：（1）双曲线的左焦点，其中一条渐近线，则；
对双曲线，令，解得，则，解得，
故双曲线方程为：.
（2）根据（1）中所求可知，假设存在轴上的点满足题意，
若直线的斜率不为零，则设其方程为，联立双曲线方程，
可得，则，
即，此时直线与双曲线交于两点，
则，则，
即，即，
则，此时满足题意；
若直线的斜率为零，且过点，此时，满足题意.
综上所述，存在轴上的一点满足.

5．已知椭圆C：的离心率为，点和点都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．
(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；
(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q（不与O重合），使得？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)，；(2)存在或，使得，理由见解析.
解析：(1)由离心率可知：，又，，解得：，，故椭圆C：，直线PA为：，令得：，所以；
(2)存在或，使得，理由如下：
假设，使得，则，其中，直线：，令得：，则，，解得：，其中，故，所以，所以或

6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点分别为，其离心率，且椭圆C经过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点M作两条不同的直线与椭圆C分别交于点A，B（均异于点M）.若∠AMB的角平分线与y轴平行，试探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由.
【答案】(1);(2)是，证明见解析
解析：(1)由，得，所以a2 =9b2①，
又椭圆过点，则②，
由①②解得a=6，b=2，所以椭圆的标准方程为
(2)设直线MA的斜率为k，点， 因为∠AMB的平分线与y轴平行，所以直线MA与MB的斜率互为相反数，则直线MB的斜率为-k.
联立直线MA与椭圆方程，得
整理，得，
所以，同理可得，
所以，
又

所以为定值.

7．已知抛物线的焦点为F，其中P为E的准线上一点，O是坐标原点，且．
(1)求抛物线E的方程；
(2)过的直线与E交于C，D两点，在x轴上是否存在定点，使得x轴平分？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)存在；
解析：(1)抛物线的焦点为，
设，则，
因为，所以，得．
所以抛物线E的方程为．
(2)假设在x轴上存在定点，使得x轴平分．
设直线的方程为，设点，，
联立，可得．
∵恒成立，∴，
设直线MC，MD的斜率分别为，，
则

由定点，使得x轴平分，
则，所以．
把根与系数的关系代入可得，得．
故存在满足题意．综上所述，
在x轴上存在定点，使得x轴平分．

8．已知动点到点的距离与到直线的距离相等，动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)已知，不垂直于坐标轴的直线与曲线相交于，两点，是坐标原点，若平分，问直线是否过定点？若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由.
【答案】(1)；(2)过定点，定点为
解析：(1)因为动点到的距离与直线的距离相等，
所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，
设的方程为，则
故曲线的方程为；
(2)由题意设直线的方程为，
联立消整理得，
，
设，，
则，，
因为平分，所以，
故，
所以，
而

由题知，所以，
所以直线的方程为，
当时，，故直线恒过定点.

9．已知抛物线的准线方程为．
(1)求C的方程；
(2)直线与C交于A，B两点，在C上是否存在点Q，使得直线QA，QB分别与y轴交于M，N两点，且？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；(2)见解析
解析：(1)
(2)设，联立，得
由，得，
假设C上存在点Q，使得直，则
又

即存在点满足条件.