2023年高考数学压轴题--圆锥曲线专题 第05讲：向量问题二（解析版）

第四讲：向量问题（二）

【学习目标】

基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，向量的坐标表示及运算；

应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中向量的数量积，垂直，直角，锐角和钝角的向量表示；

拓展目标：能够熟练应用向量的相关运算，求解相关的解析几何中的向量问题（直角，锐角和钝角）.

素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.

【基础知识】

解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形分析和坐标等的计算，在一定程度上可以进行向量的计算，达到解决解析几何的目的，下面是解析几何中常用的向量的运算，包括：垂直，直角，锐角和钝角的向量表示，因此在解析几何中的运算，重点放在点的坐标的表示和计算中。

1、垂直

当直线时，利用向量进行数量积的翻译，即,（用斜率翻译时，要注意斜率不存在的情况）

2、向量模长

当时，通过平方推导，转化为，即翻译成垂直.

3、定角

求解角度的大小时，通过向量的夹角公式进行翻译， 向量的数量积，即.

4、直角，锐角和钝角

当为直角时，则；

当为锐角时，则；

当为钝角时，则；

【考点剖析】

考点一：已知垂直求参

例1．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为，且椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线交于、两点，且求直线的方程.

变式训练1：已知椭圆标准方程为，椭圆的左右焦坐标分别为，离心率为，过点直线与椭圆交于两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若，求直线的方程.

变式训练2：在平面直角坐标系中，为坐标原点.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比为常数2，动点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)过点的直线交曲线于两点，若，求直线的方程.

变式训练3：已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且的面积为（为坐标原点）．

（1）求抛物线的方程；

（2）直线：与抛物线交于，两点，若，求直线的方程．

考点二：垂直（证明）

例1．已知抛物线的焦点与椭圆：的一个焦点重合．

(1)求抛物线的方程；

(2)若直线：交抛物线C于，两点，O为原点，求证：．

变式训练1：已知椭圆：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)为椭圆上不与重合的任意一点，直线分别与直线相交于点，求证：.

变式训练2：已知抛物线：经过点.

（1）求抛物线的方程及其准线方程；

（2）设过点的直线与抛物线交于，两点，若，轴.垂足为，求证：.

变式训练3：已知抛物线：，斜率为1的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，且.

（1）求抛物线的方程；

（2）设点，过点作直线，与抛物线相切，切点分别为，，证明：.

考点三：向量模长相等（垂直）

例1．设椭圆的离心率为，点在椭圆上．

(1)求椭圆的方程；

(2)设的右顶点为，若直线与椭圆交于两点（不是左右顶点）且满足，求原点到直线距离的最大值.

变式训练1：设椭圆过两点，O为坐标原点

(1)求椭圆E的方程;

(2)设E的右顶点为D，若直线与椭圆E交于A，B两点(A，B不是左右顶点)且满足，证明:直线l过定点，并求该定点坐标.

变式训练2：已知双曲线的左焦点为，右顶点为，渐近线方程为，到渐近线的距离为．

(1)求的方程；

(2)若直线过，且与交于两点（异于的两个顶点），直线与直线的交点分别为．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

变式训练3：已知椭圆：，焦点为､，过轴上的一点（）作直线交椭圆于两点.

(1)若点在椭圆内，

①求多边形的周长；

②求的最小值的表达式；

(2)是否存在与轴不重合的直线，使得成立？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由.

考点四：定角（直角）

例1．已知椭圆的短轴的两个端点分别为，离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设点，点为椭圆上异于的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为定值.

变式训练1：已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，且．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点的直线（不与轴重合）交椭圆于点，直线分别与直线交于点，求的大小．

变式训练2：已知椭圆经过点，其离心率为，设直线与椭圆相交于、两点.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知直线与圆相切，求的大小（为坐标原点）.

变式训练:3：设分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆的上顶点，是等边三角形，短轴长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知分别为椭圆左右顶点，位于轴两侧的分别是椭圆和圆上的两个动点，且直线与轴平行，直线分别与轴交于，证明：.

考点五：锐角和钝角

例1．已知点在椭圆上，的离心率为．

（1）求的方程；

（2）设过定点的直线与交于不同的两点，且为锐角，求的斜率的取值范围．

变式训练1：已知椭圆的长轴长为，短轴长为2.

（1）求椭圆的焦点坐标；

（2）直线与椭圆相交于两点，点为椭圆的左焦点，若为锐角，求实数的取值范围.

变式训练2：如图所示，椭圆：()的左右顶点分别为、，上下顶点分别为、，四边形的面积为，周长为．直线：与椭圆交于不同的两点和．

（1）求椭圆的方程；

（2）若，求的值．

（3）若为锐角，求的取值范围．

变式训练3：已知椭圆的短轴长为，离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线平行于直线，且与椭圆交于两个不同的点，若为钝角，求直线在轴上的截距的取值范围．

【当堂小结】

1、知识清单：

（1）椭圆，双曲线，抛物线的基本性质；

（2）线段垂直的向量数量积点乘为零；

（3）直角，锐角和钝角的向量表示；

2、易错点：垂直，直角，锐角和钝角的向量表示；

3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；

4、核心素养：数学运算，数学抽象.

【过关检测】

1．已知抛物线，点在抛物线上．

(1)求抛物线的方程；

(2)不过原点的直线与抛物线交于不同两点，，若，求的值．

2．已知椭圆：经过点为，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点.已知点，且，求此时的值.

3．已知抛物线过点，是抛物线的焦点，直线交抛物线于另一点，为坐标原点.

(1)求抛物线的方程和焦点的坐标；

(2)抛物线的准线上是否存在点使，若存在请求出点坐标，若不存在请说明理由.

4．已知双曲线的中心在原点，抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，且双曲线经过点，又知直线与双曲线相交于两点.

（1）求双曲线的方程；

（2）若，求实数值.

5．已知抛物线：的焦点是圆与轴的一个交点.

(1)求抛物线的方程;

(2)若过点的直线与抛物线交于不同的两点A、B，为坐标原点，证明：.

6．已知椭圆的左焦点，右顶点．

(1)求的方程

(2)设为上一点（异于左、右顶点），为线段的中点，为坐标原点，直线与直线交于点，求证：．

7．已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆左、右顶点，、分别为椭圆上、下顶点，且四边形的面积为.

（1）求椭圆的方程；

2）过点的直线与椭圆相交于、（异于点、）两点，证明：.

8．设椭圆过，两点，O为坐标原点.

(1)求椭圆E的方程；

(2)椭圆E的右顶点为D，直线与椭圆E交于A、B两点（A、B不是左右顶点），若其满足，且直线l与以原点为圆心半径为的圆相切，求直线l的方程.

9．设椭圆的离心率为，点在椭圆E上．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设E的右顶点为D，若直线与椭圆E交于A，B两点（A，B不是左右顶点）且满足，求原点到直线l距离的最大值.

10．已知椭圆经过一点，左、右焦点分别为，P是椭圆上一动点，当垂直于x轴时，.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点，斜率为k的直线l交椭圆于两点，且为钝角（O为坐标原点），求k的取值范围.

11．如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为．

（1）求的值；

（2）过点的直线与分别交于（均异于点），若为钝角，求直线的斜率的范围．