第12讲：圆锥曲线中的斜率问题(四)-冲刺高考数学压轴题——圆锥曲线专题全面复习讲义

第十二讲：斜率问题（四）

【学习目标】

基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，直线斜率的表示和计算过程；

应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中，直线与其对应的关系，倾斜角互补，斜率互为相反数；

拓展目标：能够熟练应用数形结合，观察线段长度，位置关系等，进行倾斜角和斜率的转化.

素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.

【基础知识】

1、倾斜角互补

直线和的倾斜角分别为和，当时，则；

2、角度相等

当角度的公共边为轴、轴或与之平行的线段时，则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系，即倾斜角互补，斜率相加为零；

3、线段相等

等腰三角形的底边为轴、轴或与之平行的线段时，则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系，即倾斜角互补，斜率相加为零；

4、角平分线

当角平分线为轴、轴或与之平行的线段时，则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系，即倾斜角互补，斜率相加为零；

【考点剖析】

考点一：倾斜角互补

例1．已知椭圆（）离心率等于，且椭圆C经过点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点P作倾斜角分别为的两条直线PA，PB，设PA，PB与椭圆C异于点P的交点分别为A，B，若，试问直线AB的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.

变式训练1：已知椭圆()的离心率为，以原点为圆心，以的短半轴长为半径的圆被直线截得的弦长为2.

(1)求椭圆的方程；

(2)点的坐标为，直线（不过原点也不过点）交于两点，且直线的倾斜角互补，若点是的中点，求直线的斜率.

变式训练2：已知圆：，圆：，动圆与圆和圆均内切.

(1)求动圆圆心的轨迹的方程

(2)点（）为轨迹上的点，过点作两条直线与轨迹交于两点，直线，的斜率互为相反数，则直线的斜率是否为定值？若是，求出定值：若不是，请说明理由.

变式训练3：已知抛物线C1：与椭圆C2：（）有公共的焦点，C2的左､右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为.

(1)求椭圆C2的方程；

(2)如图，若直线l与x轴，椭圆C2顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧），且∠PF1Q与∠PF1R互为补角，求△F1QR面积S的最大值.

考点二：角度问题（倾斜角互补）

例1．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知点，（）在椭圆上，点，是椭圆上不同于，的两个动点，且满足：，试问：直线的斜率是否为定值？请说明理由.

变式训练1：已知椭圆：，为上焦点，左顶点到的距离为，且离心率为，设为坐标原点，点的坐标为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若过的直线与交于，两点，证明：.

变式训练2：在平面直角坐标系中，动点到点的距离等于点到直线的距离.

(1)求动点的轨迹方程；

(2)记动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于两点，在轴上是否存在一点，使若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

变式训练3：在平面直角坐标系中，已知圆，点在圆上，过点作轴的垂线，垂足为是的中点，当在圆上运动时形成的轨迹为．

(1)求的轨迹方程；

(2)若点，试问在轴上是否存在点，使得过点的动直线交于两点时，恒有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

考点三：长度相等（倾斜角互补）

例1．已知椭圆的离心率为，经过点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点A､B在椭圆C上，直线､分别与y轴交于点M､N，，试问直线的斜率是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.

变式训练1：已知椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为，过且垂直于

已知椭圆：的左､右焦点分别为､，焦距为2，点在椭圆上.

(1)求椭圆的方程；

(2)若点是椭圆上一点，为轴上一点，，设直线与椭圆交于，两点，若直线，关于直线对称，求直线的斜率.

变式训练2：已知椭圆C：的短轴长为2，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点在椭圆C上，且直线PA与PB关于直线对称.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求证：直线AB的斜率为定值.

变式训练3：已知点，直线l的方程为，双曲线的右焦点为，双曲线的两条渐近线与直线l围成的三角形的面积为．

(1)求双曲线的方程；

(2)直线过点与双曲线相交于A，B两点，直线FA与直线FB分别与y轴交于C，D两点，证明：（O为坐标原点）．

考点四：角平分线（已知）

例1．已知椭圆C：（）的离心率为，点在椭圆C上，点F是椭圆C的右焦点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，则在x轴上是否存在一点P，使得x轴平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由，

变式训练1：已知抛物线，过焦点的直线l交抛物线C于M、N两点，且线段中点的纵坐标为2．

（1）求直线l的方程；

（2）设x轴上关于y轴对称的两点P、Q，（其中P在Q的右侧），过P的任意一条直线交抛物线C于A、B两点，求证：始终被x轴平分．

变式训练2：已知椭圆：的离心率为，点为椭圆C上一点．

(1)求椭圆的方程；

(2)若是椭圆上的两个动点，且的角平分线总是垂直于轴，求证：直线的斜率为定值．

考点五：角平分线（翻译）

例1．已知曲线的焦点为，曲线上有一点满足.

(1)求抛物线的方程；

(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点，直线与轴相交于，试探究轴上存在一点是否存在异于的定点满足恒成立.若存在，请求出点坐标.

变式训练1：设抛物线上的点与焦点的距离为6，且点到轴的距离为．

（1）求抛物线的方程；

（2）设抛物线的准线与轴的交点为点，过焦点的直线与抛物线交于两点，证明：．

变式训练2：已知为坐标原点，点，设动点到直线的距离为，且，.

(1)记动点的轨迹为曲线，求曲线的方程；

(2)若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于，两点，直线与的交点为（不在曲线上），且，设直线，的斜率分别为，.求证：为定值.

考点六：定比分点（弦长的应用）

例1．已知椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．

(1)求椭圆的方程；

(2)设点在直线上，过点的两条直线分别交曲线于两点和两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和．

变式训练1：已知为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，P为抛物线C上一点，PF与y轴垂直，Q为y轴上一点，且，若.

(1)求；

(2)设点，过点作两条不同的直线分别交抛物线C于A，B两点和D，E两点，且满足，求证为定值.

变式训练2：已知椭圆：的左、右焦点分别为，离心率为，且经过点．

(1)求椭圆的方程；

(2)动直线与椭圆相切，点是直线上的两点，且，求四边形的面积；

(3)过椭圆内一点作两条直线分别交椭圆于点，和，设直线与的斜率分别是，若，试问是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由．

变式训练3：在平面直角坐标系中，已知点，，点P为平面内的动点，且的周长为.记点P的轨迹为C.

(1)试说明曲线C的形状，并求C的方程；

(2)设点M在直线上，且M不在C上，过M的两条直线分别交C于A，B两点和R，H两点，且，直线和的斜率都存在且不为零，求直线的斜率与直线的斜率的比值.

【当堂小结】

1、知识清单：

（1）椭圆，双曲线，抛物线的简单性质；

（2）倾斜角互补，斜率相加为零；

（3）数形结合把图形转化为倾斜角，斜率求解；

2、易错点：数形结合将图形转化为倾斜角；

3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；

4、核心素养：数学运算，数学抽象.

【过关检测】

1．已知抛物线，直线与交于两点且（为坐标原点）．

(1)求抛物线的方程；

(2)设，若直线的倾斜角互补，求的值．

2．已知椭圆的焦距为，左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且轴，，为垂足，为坐标原点，且．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过椭圆的右焦点的直线（斜率不为）与椭圆交于两点，为轴正半轴上一点，且，求点的坐标．

3．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点的纵坐标为4，．

(1)求抛物线的方程；

(2)过点作直线交抛物线于两点，试问抛物线上是否存在定点使得直线与的斜率互为倒数？若存在求出点的坐标，若不存在说明理由．

4．已知双曲线的左焦点为，到的一条渐近线的距离为1.直线与交于不同的两点，，当直线经过的右焦点且垂直于轴时，.

(1)求的方程；

(2)是否存在轴上的定点，使得直线过点时，恒有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

5．已知椭圆C：的离心率为，点和点都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．

(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；

(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q（不与O重合），使得？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．

6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点分别为，其离心率，且椭圆C经过点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点M作两条不同的直线与椭圆C分别交于点A，B（均异于点M）.若∠AMB的角平分线与y轴平行，试探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由.

7．已知抛物线的焦点为F，其中P为E的准线上一点，O是坐标原点，且．

(1)求抛物线E的方程；

(2)过的直线与E交于C，D两点，在x轴上是否存在定点，使得x轴平分？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

8．已知动点到点的距离与到直线的距离相等，动点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)已知，不垂直于坐标轴的直线与曲线相交于，两点，是坐标原点，若平分，问直线是否过定点？若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由.

9．已知抛物线的准线方程为．

(1)求C的方程；

(2)直线与C交于A，B两点，在C上是否存在点Q，使得直线QA，QB分别与y轴交于M，N两点，且？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．