2023年高考数学压轴题--圆锥曲线专题 第09讲：斜率问题一（解析版）

第九讲：斜率问题（一）

【学习目标】

基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质；

应用目标：掌握直线与椭圆，双曲线，抛物线的位置关系的判断，斜率的求解；

拓展目标：能够熟练应用点差法推导中点弦公式，并灵活应用中点弦和相关第三定义.

素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.

【基础知识】

1、直线与圆锥曲线的位置关系

设直线，圆锥曲线，把二者方程联立得到方程组，消去得到一个关于的方程.

（1）当时，

方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；

方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；

方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.

（2）当时，方程为一次方程，若，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；

若，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点.

2、圆锥曲线的中点弦问题

（1）为椭圆的弦，，弦中点M(x0，y0)，则所在直线的斜率为，弦的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值.

（2）AB为双曲线的弦，，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为，弦AB的斜率与弦中点M和双曲线中心O的连线的斜率之积为定值.

（3）在抛物线中，以M(x0，y0) 为中点的弦所在直线的斜率.

【考点剖析】

考点一：位置关系（交点个数）

例1．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点 的直线与抛物线只有一个公共点.

(1)求抛物线的方程；

(2)求直线的方程.

变式训练1：已知O，F分别是抛物线的顶点和焦点，动点M与点O的距离是它与点F的距离的一半．

(1)求动点M的轨迹；

(2)若过点的直线l与动点M的轨迹有且只有一个交点，求直线l的方程．

变式训练2：已知双曲线C：的焦距为4，且过点.

(1)求双曲线方程；

(2)若直线与双曲线C有且只有一个公共点，求实数的值.

变式训练3：在平面直角坐标系中，已知点到两点的距离之和等于，设点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程.

（2）若直线与曲线有公共点，求实数的取值范围.

考点二：中点弦公式（椭圆：点差法）

例1．已知椭圆的离心率为，点在上.

（1）求的方程；

（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.

变式训练1：已知动点与平面上点，的距离之和等于.

(1)求动点的轨迹方程；

(2)若经过点的直线与曲线交于，两点，且点为的中点，求直线的方程.

变式训练2：已知椭圆E：的左，右焦点分别为，，点在E上，且．

(1)求E的标准方程；

(2)若直线l与E交于A，B两点，且AB中点为，求直线l的方程．

变式训练3：已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线交椭圆于点，直线与轴的交点为．

（1）求椭圆的离心率；

（2）过点且斜率不为0的直线交椭圆于、点，线段的中点为点，求证：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．

考点三：中点弦公式（抛物线：点差法）

例1．已知抛物线的焦点为F，第四象限的一点在C上，且.

(1)求C的方程和m的值；

(2)若直线l交C于A,B两点，且线段AB中点的坐标为，求直线l的方程及线段AB的长.

变式训练1：已知是抛物线的焦点，直线交拋物线于、两点.

(1)若直线过点且，求；

(2)若平分线段，求直线的方程.

变式训练2：已知抛物线上的点到其焦点F的距离为5.

(1)求C的方程；

(2)过点的直线l交C于A，B两点，且N为线段的中点，求直线l的方程.

考点四：中点弦公式（双曲线：点差法）

例1．已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.

(1)求的方程；

(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.

变式训练1：已知双曲线C的渐近线方程为，且是双曲线上一点.

(1)求双曲线C的标准方程及离心率；

(2)过点的直线与双曲线C交于不同的两点A､B，且线段AB恰好被点M平分，求直线AB的方程.

变式训练2：已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率，焦距为.

（1）求该双曲线方程.

（2）是否定存在过点的直线与该双曲线交于、两点，且点是线段的中点若存在，请求出直线的方程，若不存在，说明理由.

变式训练3：已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点.

（1）求双曲线的方程；

（2）已知直线与双曲线交于不同的两点､，且线段的中点在圆上，求实数的值.

考点五：椭圆的第三定义（推导公式）

例1．已知椭圆C：（）的离心率为，并且经过点，

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点关于坐标原点的对称点为，点为椭圆C上任意一点，直线的斜率分别为，，求证：为定值．

变式训练1：已知椭圆的离心率为，上顶点，M、N为椭圆上异于点P且关于原点对称的两点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求证为定值．

变式训练2：已知椭圆：的离心率为，其右焦点到直线的距离为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线交椭圆于，两点，椭圆右顶点为，求证：直线，的斜率乘积为定值，并求出该定值．

变式训练3：已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的离心率为，点P在双曲线C上，点，分别为双曲线C的左右焦点，.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)已知点，，设直线PA，PB的斜率分别为，.证明：为定值.

【当堂小结】

1、知识清单：

（1）直线与椭圆，双曲线，抛物线的位置关系；

（2）圆锥曲线的中点弦问题；

2、易错点：点差法的计算；

3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；

4、核心素养：数学运算，数学抽象.

【过关检测】

1．已知曲线上任一点与点的距离与它到直线的距离相等．

(1)求曲线的方程；

(2)求过定点，且与曲线只有一个公共点的直线的方程．

2．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点E在椭圆C上，且，，.

(1)求椭圆C的方程：

(2)直线l过点，交椭圆于点A，B，且点P恰为线段AB的中点，求直线l的方程.

3．已知的周长为且点的坐标分别是，，动点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)直线过点，交曲线于两点，且为的中点，求直线的方程.

4．已知椭圆C的焦点为，，过的直线与椭圆C交于A，B两点.若的周长为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）椭圆中以为中点的弦所在直线方程.

5．双曲线的离心率为2，经过C的焦点垂直于x轴的直线被C所截得的弦长为12.

(1)求C的方程；

(2)设A，B是C上两点，线段AB的中点为，求直线AB的方程.

6．已知双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为.

(1)求C的方程；

(2)经过点的直线l交C于A，B两点，且M为线段AB的中点，求l的方程.

7．双曲线 ，离心率 ，虚轴长为 2 ．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)经过点的直线与双曲线相交于两点，且为的中点，求直线的方程．

8．已知椭圆的离心率为，上顶点，M、N为椭圆上异于点P且关于原点对称的两点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求证为定值．

9．在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离之比为.动点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程，并说明曲线是什么图形；

(2)已知曲线与轴的交点分别为，点是曲线上异于的一点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.

10．已知椭圆过点，其右焦点为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设为椭圆上一动点（不在轴上），为中点，过原点作的平行线，与直线交于点. 问：直线与斜率的乘积是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由.