2023年高考数学压轴题--圆锥曲线专题 第11讲：斜率问题三（解析版）

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第十一讲：斜率问题（三）
【学习目标】
基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，斜率的计算；
应用目标：掌握圆锥曲线中斜率的加减乘除运算，并利用计算进行证明；
拓展目标：能够熟练应用圆锥曲线中的斜率关系，解决相关的位置关系和等量关系问题.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.

【基础知识】
1、斜率之和：通过点的坐标，表示出斜率，并表示出，利用通分，转化为两根之和，两根之积的问题，利用韦达定理求解。
2、斜率相乘或相除：通过点的坐标，表示出斜率，并表示出或；利用通分，转化为两根之和，两根之积的问题，利用韦达定理求解。
3、斜率倍数关系：通过点的坐标，表示出斜率，并表示出，转化为；利用通分，转化为两根之和，两根之积的问题，利用韦达定理求解。
4、斜率呈等差数列或等比数列：当斜率呈等差数列时，则，当斜率呈等比数列时，则，最后利用通分，转化为两根之和，两根之积的问题，利用韦达定理求解。
5、斜率求解范围：通过点的坐标，表示出斜率，并表示斜率的关系；利用通分，转化为两根之和，两根之积的问题，韦达定理带入，最后利用基本不等式、二次函数或导数求解最值。

【考点剖析】
考点一：斜率关系一（斜率加减运算）
例1．在平面直角坐标系中，已知点，，点M满足．记点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设直线l不经过点且与曲线C相交于A，B两点．若直线l过定点，证明：直线PA与直线PB的斜率之和为定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
解析：(1)由椭圆定义可知，点M的轨迹为椭圆，设椭圆方程为，
根据题意得，，，，
所以曲线C的方程为；
(2)设直线PA与直线PB的斜率分别为，，，，
当直线l斜率不存在时，，代入椭圆方程中，化简可得，
不妨令，，则；
当直线l斜率存在时，设直线l方程为，将直线l的方程代入椭圆方程中，
化简得，
由得,
解得或，由直线l不经过点可知，
∴，，
∴


；
综上，直线PA与直线PB的斜率之和为定值．

变式训练1：如图，椭圆经过点，且长轴长是短轴长的倍．
(1)求椭圆的方程；
(2)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、（均异于点），求证：直线与的斜率之和为定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
解析：(1)将点的坐标代入椭圆的方程，可得，由已知可得，
因此，椭圆的方程为.
(2)证明：设点、，直线的方程为，即，
由已知可得，
联立，消去可得，
，可得，
由韦达定理可得，，

.
因此，直线与的斜率之和为定值.

变式训练2：已知双曲线的一条渐近线斜率为，且双曲线C经过点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)斜率为的直线l与双曲线C交于异于M的不同两点A、B，直线MA、MB的斜率分别为、，若，求直线l的方程．
【答案】(1)；(2).
解析：(1)由题设可得：，
∴.
(2)设，，，
联立，则，
∴，
由，可得，故，
∴.


变式训练3：已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)设直线过点且与曲线相交于两点，不经过点．证明：直线的斜率与直线的斜率之和为定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析，定值为-1.
解析：(1)圆：的圆心，半径为8，
因A是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于P点，则，
于是得，因此，P点的轨迹C是以，为左右焦点，
长轴长的椭圆，短半轴长有，
所以P点的轨迹C的方程是.
(2)因直线过点且与曲线C：相交于M，N两点，则直线的斜率存在且不为0，
又不经过点，即直线的斜率不等于-1，设直线的斜率为k，且，
直线的方程为：，即，
由消去y并整理得：，
，即，则有且，
设，则，
直线MQ的斜率，直线NQ的斜率，
，
所以直线MQ的斜率与直线NQ的斜率之和为定值.

考点二：斜率关系二（斜率乘除运算）
例1．已知椭圆的离心率为，左顶点到左焦点的距离为1，椭圆上一点位于第一象限，点与点关于原点对称，直线与椭圆的另一交点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线的斜率为，直线的斜率为．求证：为定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析
解析：（1），，∴，，，
∴；
(2)设，，则，CF：
联立
∴，∴




变式训练1：已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)若，是抛物线上一点，过点的直线与抛物线交于，两点（均与点不重合），设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析
解析：(1)设点，，点，，
联立，整理得，
，
由抛物线的定义知，
解得，
抛物线的方程为．
(2)，为抛物线上一点，
，即，
设，，，，直线的方程为，
由，消去得，
，，
，
即为定值．


变式训练2：已知点，，设动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若动直线经过点，且与曲线交于（不同于）两点，问：直线与的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
【答案】（1）；（2）直线和的斜率之比为定值．
解析：（1）设，依题意可得，所以，
所以曲线E的方程为．
（2）依题意，可设直线l：，，，
由，可得，则，，
因为直线AC的斜率，直线BD的斜率，因为，
所以，
所以直线AC和BD的斜率之比为定值．

变式训练3：已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点，点，试探究：直线与的斜率之积是否为常数.
【答案】（1）；（2）直线与的斜率之积为常数.
（1）因为椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为，
所以，即，
又因为椭圆的离心率为，所以，
又因为，所以联立，解得，
所以.
（2）易知直线的斜率存在且不为，
所以设直线的方程为，
由，得，
由得或 ，
，，
所以，
，
所以
，
所以直线与的斜率之积为常数.



考点三：斜率关系三（倍数关系）
例1．已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的左、右顶点分别为A、B，直线l：经过椭圆C的右焦点F，且与椭圆交于M，N两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线BM，AN的斜率分别为，，若，求证：为定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
解析：(1)由题意知右焦点F(1，0)，，又，
则，，
所以椭圆的标准方程为：；
(2)设，，
由可得，
则，，
又，B（2，0），，
法一：，由得，
∴

即为定值．
法二：


即为定值．

变式训练1：已知椭圆的离心率为，短轴长为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知，A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点A作斜率为的直线交椭圆于另一点E，连接EP并延长交椭圆于另一点F，记直线BF的斜率为．若，求直线EF的方程．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)由题意可得，，，
又，解得所以椭圆的标准方程为；
(2)由（1）得，，显然直线EF的斜率存在且不为0，设，，则都不为和0．
设直线EF的方程为，由消去y得，显然，则，．
因为，所以，
等式两边平方得①．
又因为，在椭圆上，所以，②．
将②代入①可得，即，
所以，即，解得或（舍去，此时）．
所以直线EF的方程为．

变式训练2：已知圆，点，C为圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，点P的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程；
(2)若直线不与坐标轴重合与曲线E交于两点，O为坐标原点，设直线的斜率分别为，对任意的斜率k，是否存在实数λ，使得，若存在求实数λ的值，若不存在说明理由.
【答案】(1)；(2)存在，
解析：(1)由，可得，
则点P的轨迹是以为焦点的椭圆，则，，
所以曲线E的方程为
(2)设，，
则，消y可得，
，，

整理得对任意k恒成立，
所以存在实数满足题意．

变式训练3：已知椭圆：的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的方程．
(2)如图，A，B是椭圆的左、右顶点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M，N，直线AM与直线交于点P．记PA，PF，BN的斜率分别为，，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)存在；
解析：（1）设椭圆的焦距为，因为椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，
所以．
因为椭圆的离心率为，所以，解得，
所以，
所以椭圆的方程为．
（2）设，，直线的方程为，
与椭圆联立，
得，
因为直线MN交椭圆C于M，N两点，所以，
所以，，
所以．
直线：与直线的交点的坐标为，则．
假设存在满足条件的实数，则，
所以
，
所以．


考点四：斜率关系四（斜率成等差数列）
例1．已知抛物线：，点在抛物线上.
(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)若直线：交抛物线于两点，交直线：于点，记直线的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列.
【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为；(2)证明见解析
解析：(1)将代入，得，
所以焦点坐标为，准线方程为.
(2)由得：.
设，，
由得：，则，
所以
.
又，
所以，
所以，即，，成等差数列.


变式训练1：已知椭圆C：的焦距为，点在上.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于两点，点R是直线：上任意一点，设直线的斜率分别为，，，若，，成等差数列，求的方程.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)由题意得，
解得，，
所以C的方程为.
(2)设，，，
当的斜率不存在时，则的方程为，
将代入，得.
因为，，成等差数列，
所以，即，
显然当时，方程恒成立.
当的斜率存在时，设的方程为，
联立得，
则，.
，
.
因为，，成等差数列，
所以，
即恒成立.
则，
解得.
综上所述，的方程为.

变式训练2：．已知为抛物线的焦点，过的动直线交抛物线于两点．当直线与轴垂直时，．
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线的斜率为1且与抛物线的准线相交于点，抛物线上存在点使得直线的斜率成等差数列，求点的坐标．
【答案】(1)；(2)
解析：（1）因为，在抛物线方程中，
令，可得，
所以当直线与轴垂直时，解得，
抛物线的方程为.
（2）因为抛物线的准线方程为，
由题意可知直线的方程为，
所以.
联立消去，得，
设，，则，，
若存在定点满足条件，则，
即，
因为点均在抛物线上，所以.
代入化简可得，
将，代入整理可得
，即，
所以，解得，
将代入抛物线方程，可得，
于是点即为满足题意的定点.

变式训练3：已知中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为的椭圆过点.
（1）求的标准方程；
（2）是否存在不过原点的直线与交于两点，使得直线的斜率成等比数列､若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
解析：（1）设C的标准方程为（a>b>0），
由题意得，，解得，
∴C的标准方程为
（2）联立，得（m≠0），
设，则，
∴
∵OP，PQ，OQ的斜率成等比数列，∴，∴，
∴，∴，∴，解得
综上，.

考点五：斜率关系五（范围）
例1．已知椭圆的离心率为，C的左，右焦点分别为，A，B是C上关于原点对称的两点，四边形的周长为.
(1)求C的方程；
(2)设分别为直线和的斜率，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)由题设及椭圆性质，得，，
得，
故C的方程为.
(2)当直线的斜率不存在时，A，B为椭圆的短轴端点，；
当直线的斜率存在时，设直线：，
联立得，
得，
则（当时，等号成立），
所以.
综上，的取值范围为.

变式训练1：已知椭圆：的一个焦点与抛物线的焦点相同，且椭圆过点
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的右顶点为，与轴不垂直的直线交椭圆于，两点与点不重合，，且满足，若点为中点，求直线与的斜率之积的取值范围.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)抛物线的焦点为，
，
又椭圆过点，即，
解得：，，
椭圆的标准方程为：.
(2)题意的右顶点为，由题意可知直线的斜率存在且不为，
设的方程为，由与轴不垂直，故.
联立方程组，消元可得：，
设，，
由根与系数的关系可得：，故，，
，故直线的方程为，
用替换可得：，，
点坐标为，
直线的斜率，
直线的斜率，
，
且，，
.
即
直线与的斜率之积的取值范围是

变式训练2：已知椭圆：过点，左焦点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线与椭圆有两个不同的交点，，点，记直线，的斜率分别为，，求的取值范围.
【答案】(1)；(2).
解析：（1）因为左焦点为，所以，
因为椭圆过点，所以，又因为，
解得：，，所以椭圆的方程为.
（2）设，，
联立 得，
由，解得，
，，，

，
因为，
所以，
因为，所以，
所以的取值范围为.

变式训练3：已知点是椭圆的左顶点，椭圆的离心率为，
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为的直线交椭圆于两点，点在椭圆上，，且，证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
解析：(1)依题意，，椭圆半焦距c，则，即，因此，
所以椭圆的方程为.
(2)直线的方程为：，由消去y并整理得：
，设，由得，
于是得，因，即直线的斜率为，同理得，
而，即，整理得，
令，则是的零点，又，因此在单调递增，
又，即在有唯一的零点，且零点在内，
所以.



【当堂小结】
1、知识清单：
（1）椭圆，双曲线，抛物线简单性质；
（2）斜率的相关表示，斜率的运算（加、减、乘、除）；
（3）利用基本不等式，导数等方法求解范围；
2、易错点：斜率的计算和范围求解；
3、考查方法：基本不等式，数形结合思想，数与形的转化；
4、核心素养：数学运算，数学抽象.

【过关检测】
1．在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线l与C交于M，N两点（异于点A），记直线AM，AN的斜率分别为，，当时，．
(1)求C的方程；
(2)证明：为定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
解析：(1)∵在上，∴，
当时，直线的方程为：，
将代入，并整理得，
解得，或，
∴，解得，
∴椭圆的方程为：.
(2)由题意知，直线的斜率存在，
不妨设直线的方程为，，，
联立得
∴，且，
∴


，
∴，即为定值.
2．已知动点M到直线的距离是M与点距离的倍，记M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)动直线与C交于两点A，B，曲线C上是否存在定点P，使得直线的斜率和为零？若存在求出点P坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2)存在，定点或.
解析：(1)设动点M的坐标为，由已知得，化简整理得，
所以曲线C的方程为.
(2)由已知与联立，消去y整理得：，
由已知得，且，解得：
设，则，，
假定曲线C上存在定点使得直线的斜率和为零，即，
则，整理得，
则有，整理得：，
因当时恒有成立，则，
解得 或，显然点或在椭圆C上，
所以曲线C上存在定点或，使得直线的斜率和为零.

3．已知椭圆C的两个焦点为，，并且椭圆C经过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)斜率不为0的直线 l 过定点，且与椭圆C交于点A､B两点，在椭圆C上是否存在定点P，使得为定值？如果存在，求出定点P的坐标和定值；如不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，定点，定值为；或定点，使得为定值为.
解析：(1)设椭圆C的标准方程为，
则，解得，
∴椭圆C的标准方程为；
(2)由题可设直线，设，
由，得，
∴，
假设在椭圆C上存在定点，使得为定值，,
则
又，，
∴为定值，
则，
∴当时，，当时，，
∴在椭圆C上是存在定点，使得为定值为；或定点，使得为定值为.

4．已知双曲线C：（，）的一条渐近线的方程为，双曲线C的右焦点为，双曲线C的左、右顶点分别为A，B．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点（点P在x轴的上方），直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，证明：为定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
解析：（1）由题意可知在双曲线C中，，，，
解得
所以双曲线C的方程为；
（2）证法一：由题可知，
设直线，，，
由，得，
则，，
∴，，


；
当直线的斜率不存在时，，此时.
综上，为定值．
证法二：设直线PQ方程为，，，
联立得整理得，
由过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，
则解得，
，，，
由双曲线方程可得，，，，
∵，∴，，
．
证法三：设直线PQ方程为，，，
联立得整理得，
由过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，
则解得，
∴，，由双曲线方程可得，，
则，
所以，，

，
∴为定值．


5．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，点Q是PF的中点，且Q到抛物线C的准线的距离为．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知圆，圆M的一条切线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，求证：OA，OB的斜率之差的绝对值为定值．
【答案】(1)；(2)2.
解析：(1)根据题意可列
故抛物线C的方程为.
(2)①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，，.
②当直线的斜率存在且不为0时，故设直线的方程为，
圆M的一条切线l与抛物线C交于A，B两点，故
设
把直线的方程与抛物线进行联立
.


.
综上所述：的斜率之差的绝对值为定值为2.
6．在平面直角坐标系中，已知点，，直线与直线的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若点为曲线上的任意一点（不含短轴端点），点，直线与直线交于点，直线与轴交于点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析
解析：(1)设，，，，
，
曲线的方程为．
(2)设，直线方程为
直线方程为：，方程为：
在方程中令，
联立，

，
为定值．



7．如图，已知点是拋物线的准线上的动点，拋物线上存在不同的两点满足的中点均在上.
(1)求拋物线的方程；
(2)记直线的斜率分别为，请问是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2)存在，.
解析：(1)∵抛物线的准线，
∴，即，抛物线的方程为.
(2)方法①：设中点，
设直线的方程为，整理得
∵直线的斜率不为零，令，
∴直线的方程为：，
联立消得，
则，，
∵，即，，
∴，化简得，
同理设中点，直线的方程为：，
联立消得，
则，，
∵，即，，
∴，化简得，
则，是方程的两根，
即，
又∵
∴由得，，即，
故存在满足条件.
方法②：设，中点为，
则，消得，
同理设中点，
则，消得则，
则、是方程的两根，即，
由和得，
由得，
又∵，即，，即，
∴，
又∵，且，
∴，即，
故存在满足条件.

8．已知椭圆的焦距为，点在椭圆上.过点的直线l交椭圆于A，B两点.
(1)求该椭圆的方程；
(2)若点P为直线上的动点，记直线PA，PM，PB的斜率分别为，，.求证：，，成等差数列.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
解析：(1)∵椭圆的焦距，
椭圆的两焦点坐标分别为，
又点在椭圆上，
，
即.

该椭圆的方程为.
(2)设.
当直线l的斜率为0时，其方程为，代入，可得.
不妨取，则
，
成等差数列.
当直线l的斜率不为0时，设其方程为，
由，消去x得.






即，
成等差数列，
综上可得，，成等差数列.

9．已知椭圆的左､右焦点分别是，其离心率，点是椭圆C上一点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设是椭圆C上的一动点，由原点O向引两条切线，分别交椭圆C于点，若直线的斜率均存在，并分别记为，求证：为定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析
解析：(1)由己知有
解得
椭圆C的方程为；
(2)证明：设直线，直线，又直线为圆R的切线，
则，
化简可得，
同理可得，
是方程的两根，
则，可知，
又在椭圆上，则，
，
为定值.

10．已知抛物线，，点在上，且不与坐标原点重合，过点作的两条切线，切点分别为，.记直线，，的斜率分别为，，.
(1)当时，求的值；
(2)当点在上运动时，求的取值范围.
【答案】(1)；(2).
解析：(1)因为，所以.
设过点并与相切的直线的方程为.
联立方程组整理得，
则.
由题可知，，即方程的两根，故.
(2)因为，
所以可设过点并与相切的直线的方程为.
联立方程组整理得，
则.
由题可知，，.
又，所以.
当时，，所以，
当且仅当时，等号成立.
当时，，所以，
当且仅当时，等号成立.
故的取值范围为